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2015—2016学年高中数学人教A版选修2-1课件:8 含有一个量词的命题的否定

时间:


第一章
常用逻辑用语

1. 4

全称量词与存在量词

课时作业(08)

含有一个量词的命题的否定

作业 目标 作业 设计

①理解全称命题、特称命题与其否 定的关系;②能正确对含一个量词 的命题进行否定. 限时:40 分钟 满分:90 分



一、选择题:每小题 5 分,共 30 分. 1.命题“?x∈R,x3-2x+1=0”的否定是( A.?x∈R,x3-2x+1≠0 B.不存在 x∈R,x3-2x+1≠0 C.?x∈R,x3-2x+1=0 D.?x∈R,x3-2x+1≠0 )

解析:量词“?”改为“?”,“=”改为“≠”,故 D 选 项正确.

答案:D

2. 已知命题 p: “?x∈R, x2=x”是真命题, 命题 q: “存 在非零向量 a,b,a· b≤0”的否定为“对任意非零向量 a,b,a· b >0”.则下列结论: ①命题“p∧q”是真命题;②命题“(綈 p)∧q”是真命题; ③命题“(綈 p)∨(綈 q)”是假命题;④命题“p∨(綈 q)”是假命 题. 其中正确的是( A.①②

) C.②④ D.①③④

B.②③

解析:∵p:当 x=-1 时, x2≠x,∴p 是假命题,q 显然 是真命题,∴p∧q 是假命题,(綈 p)∧q 是真命题,(綈 p)∨(綈

q)是真命题,p∨(綈 q)是假命题.故选 C.

答案:C

3.“a 和 b 都不是偶数”的否定形式是( A.a 和 b 至少有一个是偶数 B.a 和 b 至多有一个是偶数 C.a 是偶数,b 不是偶数 D.a 和 b 都是偶数

)

解析:在 a,b 是否为偶数的四种情况中去掉 a 和 b 都不是 偶数还有三种情况,即 a 偶 b 奇、a 奇 b 偶、a 偶 b 偶,故选 A.

答案:A

4.已知命题 p:?x0∈R,使 tanx0=1,其中正确的是( A.綈 p:?x0∈R,使 tanx0≠1 B.綈 p:?x0?R,使 tanx0≠1 C.綈 p:?x∈R,使 tanx≠1 D.綈 p:?x?R,使 tanx≠1

)

解析:因为命题 p:?x0∈R,使 tanx0=1 为特称命题,所以 它的否定为全称命题,即綈 p:?x∈R,使 tanx≠1.

答案:C

5 . (2012· 东莞高二检测 ) 下列命题的非命题是真命题的是 ( ) A.π 是无理数 B.?x∈R,x2>-1 C.?x0∈R,使 4x0-2>5x0
2 D.?x0∈R,使 x0 +1=0

解析:选项 A 的非命题是“π 不是有理数”是假命题;选项 B 的非命题是“?x0∈R,x2 0≤-1”是假命题;选项 C 的非命题 是“?x∈R, 使 4x-2≤5x”, 是假命题; 选项 D 的非命题是“? x∈R,使 x2+1≠0”是真命题.

答案:D

6.已知命题 p:?x∈R,ax2+2x+3>0.如果命题綈 p 是真

命题,那么 a 的范围是( 1 A.a<3 1 C . a≤ 3

)

1 B.0<a≤3 1 D.a≥ 3

解析:∵綈 p 是真命题,∴p 是假命题.显然,当 a=0 时,

1 命题 p 为假命题;当 a≠0 时,则 Δ=2 -12a≥0,解得 a≤ .综 3
2

1 上,a 的范围是 a≤ ,选 C. 3
答案:C

二、填空题:每小题 5 分,共 15 分. 7.命题“?x∈[-2,3],-1<x<3”的否定是__________.

答案:?x∈[-2,3],x≤-1 或 x≥3

8.(2012· 东海高二检测)命题“?x0∈R,x0=sinx0”的否定 是__________.

解析:因为命题“?x0∈R,x0=sinx0”是特称命题,所以它 的否定是“?x∈R,x≠sinx”.

答案:?x∈R,x≠sinx

9.命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面 内”的否定是__________.

答案:过平面外一点与已知平面平行的直线中,有些直线 是不在同一平面内的

三、解答题:每小题 15 分,共 45 分. 10.写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)有些质数是奇数; (2)所有二次函数的图象都开口向上;
2 (3)?x0∈Q,x0 =5;

(4)不论 m 取何实数,方程 x2+2x-m=0 都有实数根.

解: (1)“有些质数是奇数”是特称命题, 其否定为“所有质 数都不是奇数”,假命题. (2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题, 其否定 为“有些二次函数的图象不是开口向上”,真命题.
2 (3)“?x0∈Q,x0 =5”是特称命题,其否定为 “?x∈Q,

x2≠5”,真命题. (4)“不论 m 取何实数,方程 x2+2x-m=0 都有实数根”是 全称命题,其否定为“存在实数 m0,使得方程 x2+2x-m0=0 没 有实数根”,真命题.

11.写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)q:存在一个实数 x0,使得 x2 0+x0+1≤0; (2)r:等圆的面积相等,周长相等; (3)s:对任意角 α,都有 sin2α+cos2α=1.

解:(1)这一命题的否定形式是綈 q:对所有实数 x,都有 x2 +x+1>0.利用配方法可以证得綈 q 是一个真命题. (2)这一命题的否定形式是綈 r:存在一对等圆,其面积不相 等或周长不相等.由平面几何知识知,綈 r 是一个假命题.

(3) 这一命题的否定形式是 綈 s :存在 α0 ∈R ,使 sin2α0 +

cos2α0≠1. 由于命题 s 是真命题,所以綈 s 是假命题.

2 12.已知命题“存在 x0∈R,ax0 -2ax0-3>0”是假命题,

求实数 a 的取值范围.

2 解: 因为命题“存在 x0∈R, ax0 -2ax0-3>0”的否定为“对

于任意 x∈R,ax2-2ax-3≤0 恒成立”,由“命题真,其否定 假;命题假,其否定真”可知该命题的否定是真命题.事实上, 当 a=0 时,对任意的 x∈R,不等式-3≤0 恒成立;当 a≠0 时, 借助二次函数的图象,数形结合,很容易知道不等式 ax2-2ax- 3≤0 恒成立的等价条件是 a<0 且其判别式 Δ=4a2+12a≤0,即 -3≤a<0; 综上知,实数 a 的取值范围是[-3,0].


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