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等差数列前n项和的性质应用6


1.等差数列的定义式 2.等差数列的通项公式 3.等差数列的下标和性质 4.等差数列前n项和公式

知识回顾: 1. {an}为等差数列? an+1- an=d ? 2an+1=an+2+an . ? an=an+b a、b为常数, an= a1+(n-1)d ,

an ? am 更一般的,an= am+(n-m)d ,d= n?m<

br />
.

n(a1 ? an ) n( n ? 1) na1 ? d 2 2.等差数列前n 项和Sn = = . 2

等差数列的常用性质3

注意:逆命题是不一定成立的 ;



在等差数列?an ?中,m , n, p, q ? N ? , 若 m ? n ? p ? q , 则a m ? a n ? a p ? aq

特别地,若m ? n ? 2 p,则am ? an ? 2a p

复习:
? 等差数列的前n项和公式

n(a1 ? a n ) Sn ? 2
n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2

n(n ? 1) n(a1 ? an ) ? na ? d ? 1 sn 2 2
n

a

n

a

1

a

1

n

a

1

(n ? 1)d

例1 已知数列{an}中Sn=2n2+3n, 求证:{an}是等差数列.

例1 已知数列{an}中Sn=2n2+3n+1, 求:数列{an}的通项公式.

1、通项公式与前n项和的关系:
例1、已知数列{a n}的前n项和

1 为 S ? n ? n ,求这个数列的通项 n 2
2

公式。这个数列是等差数列吗?如果是, 它的首项与公差分别是什么?

分析:

S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n?1 ? a n

S n?1 ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n?1 (n ? 1)
所以当n > 1时,

an ? S n ? S n?1

1 1 1 2 ? n ? n ? [( n ? 1) ? (n ? 1)] ? 2n ? 2 2 2
2

3 当n = 1时,a1 ? S1 ? 也满足上式。 2 3 因而,数列 {a n }是一个首项为 ,公差为2的等差数列。 2

探究:如果一个数列 {a n }的前n项和为 S n

? pn 2 ? qn ? r

,其中p、q、r为常数,且 p ? 0,那么这个数列一定是 等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少? 分析:由 Sn ? pn 2 ? qn ? r ,得 S ? a ? p ? q ? r 1 1

当n ? 2时 an ? Sn ? Sn ?1
2 2 ( pn ? qn ? r ) ? [ p ( n ? 1) ? q(n ? 1) ? r ] = 2 pn ? ( p ? q) =

令p + q + r = 2p – (p + q),得r = 0。
所以当r = 0时,数列 {a n }是等差数列,首项a 1 = p + q,

公差d ? an ? an?1 ? [2 pn ? ( p ? q)] ? [2 p(n ? 1) ? ( p ? q)] ? 2 p

* 1.已知数列{a n }的前n项和 S n满足 S n ? 2n ? 1, n ? N ,

求数列 {an }的通项。

? Sn ? 2n ? 1 解:

? an ? S n ? S n ?1 ? 2 ? 1 ? 2
n

n ?1

?1 ? 2

n ?1

* 1.已知数列{a n }的前n项和 S n满足 S n ? 2n ? 1, n ? N ,

求数列 {an }的通项。 解:? S n ? 2n ? 1

当n ? 1时,a1 ? S1 ? 2 ? 1 ? 3

当n ? 2时,

? an ? S n ? S n ?1 ? 2 ? 1 ? 2
n

n ?1

?1 ? 2

n ?1

,n ?1 ?3 an ? ? n ?1 ,n ? 2 ?2

注:由上例得S n与

a n 之间的关系:

由 S n 的定义可知,当n = 1时,S 1 当n ≥ 2时,

? a1

an ? S n ? S n ?1

?S1 (n ? 1) 即a n ? ? ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

第三课

等差数列前项和的最值问题:

例 2.在等差数列中, a1 ? ?60 , a17 ? ?12 , (1)该数列第几项开始为正? (2)前多少项和最小,并求其最小值? (3)求 ?an ? 前 n 项和 Sn? (4)求 ? an ? 前 n 项和 Tn?

对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1) 利用 a n : 当 a1 >0,d<0,前n项和有最大值

王新敞
奎屯

新疆

(可由 a n ≥0,且 an?1 ≤0,求得n的值) 当 a1 <0,d>0,前n项和有最小值
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(可由 a n ≤0,且 an?1 ≥0,求得n的值 )
王新敞
奎屯 新疆

d 2 d (2) 利用 S n :由 Sn ? 2 n ? (a 1 ? 2 )n 二次函数

配方法求得最值时n的值

王新敞
奎屯

新疆

等差数列的前n项的最值问题

? an ? 0 a1 ? 0, d ? 0, Sn有最大值 ? 一、 ? a n ?1 ? 0
? an ? 0 a1 ? 0, d ? 0, Sn有最小值 ? ? a n ?1 ? 0

二、Sn ? An ? Bn, 配方,看对称轴
2

三、特别的Sm ? Sm?1 ? am?1 =0

等差数列的前n项的最值问题
2 4 例题:已知等差数列 5,4 ,3 ? 的前 n 项和 7 7
为 S n ,求使得 S n 最大的序号 n 的值。
d 2 分析: 等差数列的前n项和公式可以写成S n ? n ? 2 d d 2 d (a1 ? )n ,所以S n可以看成函数 y ? x ? (a1 ? ) x 2 2 2 ( x ? N ? ) 当x ? n时的函数值。另一方面 ,容易知道S n关于 n的图象是一条抛物线的 一些点。因此,我们可 以利用 二次函数来求 n的值。

2 4 5 解:由题意知,等差数 列5, 4 , 3 , ?的公差为 - , 7 7 7 n 5 所以 S n ? [2 ? 5 ? (n ? 1)( ? )] 2 7

75 ? 5n 2 ? 14 5 15 2 1125 ? ? (n ? ) ? 14 2 56

15 于是,当 n取与 最接近的整数即 7或8时, S n取最大值。 2

练习:
1:数列{an}是等差数列,a1 ? 50, d ? ?0.6 (1)从第几项开始有 an ? 0

(2)求此数列前n项和的最大值

2,设为等差数列{a n } ,公差d=-2, Sn为其前n项和,若S10 =S11则a1 ?

小结:{an}为等差数列,求Sn的最值。

? an ? 0 a1 ? 0, d ? 0, Sn有最大值 ? ? a n ?1 ? 0
? an ? 0 a1 ? 0, d ? 0, Sn有最小值 ? ? a n ?1 ? 0

Sn ? An ? Bn, 配方,看对称轴
2

能力提升
已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=-2
1 1 3 ? 13 ? ? 3 ? 2 ? d ? 11 ? 13 ? ? 11 ? 10 ? d 2 2 S
n

1 ? Sn ? 13n ? n( n ? 1) ? ( ?2) 2 2 2 ? ? n ? 14n ? ?( n ? 7) ? 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.

n

3 71 1

已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=-2

∴ an=13+(n-1) ×(-2)=-2n+15 15 ? n? ? an ? 0 ? ? 2 由 ? 得 ? 13 a ? 0 ? ? n?1 n? ? ? 2 ∴当n=7时,Sn取最大值49.

已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=-2<0

则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为
∴当n=7时,Sn取最大值49.

Sn

3 ? 11 n? ?7 2

n 3 7 11

等差数列的前n项的最值问题 例.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得

a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=-2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0

∴当n=7时,Sn取最大值49.

例1的变式题一:等差数列{an}中, 首项a1>0,S3 = S11,问:这个数列 的前几项的和最大?

例1的变式题二:等差数列{an}的首 项a1> 0, 前n项和为Sn,Sm= Sl ,问: n 为何值时,Sn最大?

练习1:已知数列{an}的通项为an=26-2n, 要使此数列的前n项和最大,则n的值为 ( C)

A.12

B.13

C.12或13

D.14

练习2:等差数列{ an } 中,a1 ? 0, s 4 ? s9,则
前n项和取最大值时,n为( ) A.6 ; B.7 ; C.6或7; D.以上都不对 ;

C

题型二 等差数列前n项和的最值问题
1 【例 2】 已知数列{an},an∈N ,Sn 是其前 n 项和,Sn= (an 8
*

+2)2. (1)求证{an}是等差数列;
1 (2)设 bn= an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 2 [思路探索] (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)来求证.

(2)求bn的通项公式,然后由通项公式确定正负项求最值.

解 2.

(1)证明

1 当 n=1 时,a1=S1= (a1+2)2,解得 a1= 8

1 1 2 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1= (an+2) - (an-1+2)2, 即 8an 8 8 =(an+2)2-(an-1+2)2, 整理得,(an-2)2-(an-1+2)2=0,即(an+an-1)(an-an-1 -4)=0. ∵an∈N*,∴an+an-1>0,∴an-an-1-4=0,即 an-an
-1

=4(n≥2).

故{an}是以 2 为首项,4 为公差的等差数列.

(2)解

1 设{bn}的前 n 项和为 Tn,∵bn= an-30,且由(1) 2

知 an=2+(n-1)×4=4n-2, 1 ∴bn= (4n-2)-30=2n-31, 故数列{bn}是单调递增的等 2 差数列. 1 令 2n-31=0,得 n=15 ,∵n∈N*,∴当 n≤15 时,bn 2 <0; 当 n≥16 时, bn>0, 即 b1<b2<?<b15<0<b16<b17<?, -29-1 当 n=15 时,Tn 取得最小值,最小值为 T15= ×15 2 =-225.

求等差数列前n项和的最值常用下列两种方法: 法一是利用二次函数的最值求解,法二是通过数列的通 项的特点找出正负项的分界点.

【变式2】 已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式; (2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值. 解 (1)由a1=9,a4+a7=0, 得a1+3d+a1+6d=0, 解得d=-2, ∴an=a1+(n-1)· d=11-2n. (2)法一 a1=9,d=-2, n?n-1? Sn=9n+ · (-2) 2

=-n2+10n =-(n-5)2+25 ∴当n=5时,Sn取得最大值. 法二 由(1)知a1=9,d=-2<0, ∴{an}是递减数列.

11 令 an≥0,则 11-2n≥0,解得 n≤ . 2
∵n∈N*,∴n≤5时,an>0,n≥6时,an<0. ∴S5最大.

作业
an ? 24 ? 3n, 则前多少项的和最大? 1、数列{an}是等差数列, 2、在等差数列{an }中,an ? 2n ? 17, 则前多少项的和最小?

例2:已知数列{an}是等差数列,且 a1= 21,公差d=-2,求这个数列的前 n项和Sn的最大值。 例3设等差数列 ?a n ?的前n项和为 s n ,
已知 a3 ? 24, s11 ? 0 求: ①数列 ?a n ?的通项公式

s n 最大, ②当n为何值时,

练习 练习1、已知一个等差数列中满足3a4 ? 7a7 , 且a1 ? 0 Sn是数列{an }的前n项和,求n为何值时Sn取最大值.

4 解:方法一 ? 3a ? 7a ? d ? ? a1 ? 0 4 7 33 4 37 ? an ? a1 ? (n ? 1)(? a1 ) ? 0 ? n ? 33 4 4 33 an?1 ? a1 ? n(? a1 ) ? 0, ? n> . 33 4

? n ? 9.

练习1、已知一个等差数列中满足 3a4 ? 7a7 , 且a1 ? 0 Sn是数列{an }的前

n项和,求n为何值时Sn取最大值

解: 方法二

4 ? 3a4 ? 7a7 ? d ? ? a1 ? 0 33

n(n ? 1) 4 Sn ? na1 ? ? (? a1 ) 2 33 2 35 2 ?? a1n ? a1n, 33 33

35 对称轴n ? 4 ? [8, 9] 且更接近9,所以n=9.

练习2.已知一个等差数列?a n ?中满足3a 4 ? 7a 7,且a1 ? 0, Sn是 ?a n ?的 前n项和,求n为何值时Sn取最大值。

变式1:等差数列?a n ?中,a 2 ? 0, S4 ? S8 , 求使得Sn ? 0 成立的最大自然数n.

变式2:等差数列?a n ?中,a 3 ? a 8 ? 0, S9 ? 0.n为何值时Sn 最小?

误区警示
? ? ? ? ? ?

分析问题不严密致误

【示例】 在等差数列 an 中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10
=S15,求当 n 取何值时,Sn 有最大值,并求出它的最大值. [错解] 设公差为 d,
∵S10=S15, 10×9 15×14 ∴10×20+ d=15×20+ d, 2 2 5 得 120d=-200,即 d=- , 3 5 ∴an=20-(n-1)× , 3

5 当 an>0 时,20-(n-1)× >0, 3 ∴n<13,∴n=12 时,Sn 最大, 12×11 ? 5? S12=12×20+ ×?- ?=130. 2 ? 3? ∴当 n=12 时,Sn 有最大值 S12=130.
解中仅解不等式an>0是不正确的,事实上应 解an≥0,an+1≤0.

5 [正解] 法一 由 a1=20,S10=S15,解得公差 d=- . 3 ∵S10=S15,∴S15-S10=a11+a12+a13+a14+a15=0, ∵a11+a15=a12+a14=2a13=0,∴a13=0. ∵公差d<0,a1>0, ∴a1,a2,…,a11,a12均为正数,而a14及以后各项均为负数. ∴当n=12或13时,Sn有最大值为S12=S13=130.
法二 Sn=An2+Bn,由题意对应函数 y=Ax2+Bx 的对称

10+15 轴为 x= =12.5, 2 故当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值.

5 ? B 25 ? ?A=-6, ?- = 则? 2A 2 ,解得? 125 ? ? 20 = A + B ? ?B= 6 . 5 125 2 ∴S13=S12=- ×12 + ×12=130 为最大值. 6 6
求数列前n项和的最值问题的方法有:(1)运用 配方法转化为二次函数,借助二次函数的单调性以及数 形结合,从而使问题得解;(2)通项公式法:求使an≥0成 立的最大n即可.这是因为:当an>0时,Sn>Sn-1,即Sn 单调递增;当an<0,Sn<Sn-1,即Sn单调递减.

第四课

等差数列{an}前n项和的性质

性质1:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= - (m+p)
性质2:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0 两等差数列前n项和与通项的关系 性质3:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且 S 2 n ?1 an ? 前n项的和分别为Sn和Tn,则 T2 n ?1 bn

例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分

Sn 7n ? 1 别是Sn和Tn,且 ? Tn 4n ? 27
a5 an 求 和 . b5 bn

a5 64 ? b5 63

an 14n ? 6 ? bn 8n ? 23

课堂练习
1, 等差数列{an} {bn}的前 n 项和分别为 S n , S n
/

a8 S15 3 (1)已知 ,求 / . ? b8 4 S15 Sn a8 2n ? 3 (2)已知 / ? ,求 3n ? 4 b8 Sn
.

2.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分别

a S m m 是Sn和Tn,且 m ? ,则 ? 2 bn Tn n
2

练习
解:设首项为 a1 ,公差为 d ,
? 9 ? a1 ? 3d ?a1 ? 18 得? 则? ?? 6 ? a1 ? 8d ? d ? ?3 3 ? 63 ? Sn ? 18 n ? n (n ? 1) 得 n ? 6或n ? 7 2

.(1)在等差数列 ?a n ?中,已知 a4 ? 9, a9 ? ?6, S n ? 63, 求n.

(2)若一个等差数列前 3 项和为 34,后 3 项和为 146, 且所有项的和为 390,求这个数列项数.

练习
(2)若一个等差数列前 3 项和为 34,后 3 项和为 146, 且所有项的和为 390,求这个数列项数.
解: ? a1 ? a2 ? a3 ? 34, 又an ? an?1 ? an?2 ? 146 ,

而a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2
两式相加得 : 3(a1 ? an ) ? 180 , a1 ? an ? 60

n( a 1 ? a n ) 由S n ? ? 390 , 得n ? 13 2

作业
1,已知A n 及Bn是等差数列{a n },{b n }的前n项 a9 a3 A n 3n ? 1 b11 且 = ,求 , ? B n 4n ? 1 a11 b5 ? b7 b8 ? b4

第46页 课本习题A 组 第4,5题

第五课

课前练习
1, 在等差数列{a n }中,S 2 ? 4, S 4 =19,求S6 = 求a7 +a8 +a9 = 3,在等差数列{a n }中,Sm =30,S2m =100,求S3m

2,在等差数列{a n }中,a1 +a 2 +a 3 =8,a 4 +a 5 +a 6 =12,

例 1 在等差数列 ?an ? 中, S10 ? 30 , S20 ? 100 , 求 S30 。
方法二: 方法一:方程思想

S10, S20 ? S10,S30 ? S20

成等差数列

变式 1 在等差数列 ?an ? 中, S n ? 30 , S2n ? 100 , 求 S3 n 。
变式 2.已知等差数列前 n 项和为 S n ,前 2n 项 和为 S2 n ,前 3n 项的和为 S3n ,证明 S n ,S2 n - S n ,
S3n - S2 n 成等差数列

等差数列前n项和性质:

1.已知?a n ? 是公差为d的等差数列,若b1 ? a1 ? a2 ? ? ? ak , b2 ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ? ? a2 k,b3 ? a2 k ?1 ? a2 k ? 2 ? ? ? a3k ,? , 则 : b1 , b2 , b3 ,? , 成等差数列, 公差为:kd
(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)
数列?a n ? 是公差为d的等差数列,则Sn ? An 2 ? Bn
Sn ? Sn ? ? ? An ? B ? ? ? 是等差数列,公差为A. n ?n?

2.已知?a n ? 是公差为d的等差数列,Sn为数列?a n ?的前n项和,则 d ? Sn ? ? ? ? 是等差数列,公差为 . 2 ?n?

题型一
【例1】

等差数列前n项和性质的应用

( )一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10, 求前110项之和. [思路探索] (2)可利用前n项和公式求出a1和d,即可求出 S110,或利用等差数列前n项和的性质求解.

(2)法一

设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则

n?n-1? Sn=na1+ d. 2 10×9 ? ?10a1+ 2 d=100 由已知得? ?100a +100×99d=10 1 2 ? 11 ①×10-②,整理得 d=- , 50 1 099 代入①,得 a1= . 100 ① ②

110×109 ∴S110=110a1+ d 2 1 099 110×109 ? 11 ? =110× + ×?-50? 100 2 ? ?
?1 ? =110? ?

099-109×11? ? ?=-110. 100 ?

故此数列的前 110 项之和为-110.

法二

数列 S10,S20-S10,S30-S20,?,S100-S90,S110

-S100 为等差数列,设公差为 d′,则 10×9 10S10+ ×d′=S100=10, 2 又∵S10=100,代入上式得 d′=-22, ∴S110-S100=S10+(11-1)×d′=100+10×(-22)= -120, ∴S110=-120+S100=-110.

法三

设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn.

∵S10=100,S100=10, 11 ? 2 ? ?a=-100, ?10 a+10b=100, ∴? ∴? 2 ? ?100 a+100b=10, ?b=111, ? 10 11 2 111 ∴Sn=- n + n, 100 10 11 111 2 ∴S110=- ×110 + ×110=-110. 100 10

等差数列{an}前n项和的性质
法四:

性质1:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= - (m+p) 若S10=100,S100=10 ,则 S100+10=-(100+10)

解决此类问题的方法较多,法一、法 三是利用方程的思想方法确定出系数,从而求出 Sn;法二是利用等差数列的“片断和”性质,构造 出新数列,从而使问题得到解决.

3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B )

A.63

B.45

C.36

D.27

例2.一个等差数列的前10项的和为100, 前100项的和为10,则它的前110项的和 为 -110 .
例3.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和 为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则 m= .

10

解析:∵{an}为等差数列, ∴am-1+am+1=2am.
2 由am-1+am+1-a2 m=0得2am-am=0,

解得am=2或am=0(舍). 又S2m-1=38,

?2m-1??a1+a2m-1? 即 =38, 2 即(2m-1)×2=38. 解得m=10.

答案:10

等差数列奇,偶项和问题

结论:设数列 {an } 是等差数列,且公差为 d , (Ⅰ)若项数为偶数,设共有 2n 项, 则① S


?S奇

S奇 an ? ? nd ;② S偶 an?1 ;

结论:设数列 {an } 是等差数列,且公差为 d , (Ⅱ)若项数为奇数,设共有 2n ? 1 项, 则① S


?S



n ?1 ? ? an ?1 ? a中 ; ② S偶 n . S奇

(4)若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,公差为d,
S奇 an nd ①当项数为偶数 2n 时,S 偶-S 奇=___, = ; S偶 an+1 S奇 n a ②当项数为奇数 2n-1 时,S 奇-S 偶=___ = . n , S偶 n-1

名师点睛
1. 关于等差数列奇数项与偶数项性质的推导 ①若项数为2n,则S偶-S奇=a2+a4+…+a2n-a1-a3-… -a2n-1=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=
d+d+?+n个 d d=nd. n S奇 2?a1+a2n-1? 2an an = = = . n S偶 2an+1 an+1 ?a2+a2n? 2 ②若项数为 2n-1,由等差数列的性质:a2+a2n-2=a1+a2n-1 =?=2an.

n-1 n-1 ∴S 偶=a2+a4+?+a2n-2= (a2+a2n-2)= ×2an= 2 2 (n-1)an. n n S 奇=a1+a3+?+a2n-1= (a1+a2n-1)= ×2an=nan. 2 2 S奇 nan n ∴S 奇-S 偶=nan-(n-1)an=an, = = ,这 S偶 ?n-1?an n-1 里 an=a 中.

2. 二次函数配方法求等差数列前n项和Sn的最值

通过配方得

? B ?2 B2 Sn=A?n+2A? - ,利用二次函数的性质求最 4A ? ?
*

B 值,但特别注意 n∈N ,所以 n 为最接近- 的正整数时, 2A Sn 取最值.

例1.一个等差数列的前12项的和为354, 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数 的项的和之比为32:27,则公差为 5 .

例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( )

A

A.85

B.145

C.110

D.90

[解]

方法1:设等差数列的首项和公差分别为a1和d,

12×11 则12a1+ 2 d=354, 6×5 6?a1+d?+ 2 2d 32 = ,∴d=5. 27 6×5 6a1+ 2 2d

?S奇+S偶=354, ? 方法2:?S偶 32 ?S奇=27, ?

? ?S偶=192, ?? ? ?S奇=162,

∴S偶-S奇=6d=30,∴d=5.

变式训练3

(1)等差数列{an}中,S10=120,在这10项

S奇 11 中, = ,求公差d. S偶 13 (2)含2n+1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的 和之比为( 2n+1 A. n n-1 C. n ) n+1 B. n n+1 D. 2n

?S奇+S偶=120, ? 解析:(1)?S奇 11 ?S偶=13, ? ∴S偶-S奇=5d. ∴65-55=5d.∴10=5d. ∴d=2.

? ?S奇=55, ?? ? ?S偶=65,

(2)方法1:∵S奇=a1+a3+?+a2n+1 ?n+1??a1+a2n+1? = , 2 n?a2+a2n? S偶=a2+a4+?+a2n= , 2 又∵a1+a2n+1=a2+a2n, S奇 n+1 ∴ = ,选B. n S偶

方法2:∵项数为奇数, S奇 项数+1 2n+1+1 2n+2 n+1 ∴ = = = = ,选B. 2n n S偶 项数-1 2n+1-1

答案:(1)2 (2)B

例3、在等差数列{an }中,前n项和为Sn, S2008 S 2006 且a1 ? ?2007, ? ? 2,求S2007 2008 2006

例4、在等差数列{an }中,前n项和为Sn, 2S 且a1 ? 1, an ? , 2Sn ? 1 1 ( 1)证明数列{ }是等差数列。 Sn (2)并求S n
2 n

等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也在等差数列, 公差为 n2d 性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), S奇 an ? 此时有:S偶-S奇= nd ,

S偶

an?1

性质4:(1)若项数为奇数2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an (an为中间项),

此时有:S偶-S奇= an ,

S奇 S偶

Sn 性质5: { } 为等差数列. n

n ? n?1

第六课

等差数列{an}前n项和的性质的应用 例3.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .

例、在等差数列{an }中,前n项和 3 2 205 Sn ? ? n ? n, 求数列{ an }的前n项和Tn 2 2
练习
1、在等差数列{an }中,a1 =21,d=-4, 求 a1 + a2 +…+ an

等差数列{an}前n项和的性质 例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明 理由. a1+2d=12 解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0

24 ? ? d ? ?3 7

13a1+13×6d<0

1 (2) ∵ Sn ? na1 ? n( n ? 1)d 2 1 ? n(12 ? 2d ) ? n( n ? 1)d 2

2 d 24 ? d ? ?3 ∴Sn有最大值. 由(1)知 ? 7 5 12 13 13 由上得 6 ? ? 即6 ? n ? ? 2 d 2 2
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.

d 2 5d ? n ? (12 ? )n 2 2 5 12 ∴Sn图象的对称轴为 n ? ?

作业
求集合 M ? {m m ? 2n ? 1, n ? N , m ? 60}
?

的元素个数,并求这些元素的和.

作业
1、已知等差数列25,21,19, …的前n项和为Sn,求使 得Sn最大的序号n的值.

2:已知在等差数列{an}中,a10=23, a25=-22 ,Sn为其前n项和.
(1)问该数列从第几项开始为负? (2)求S10 (3)求使 Sn<0的最小的正整数n.

(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值

1.根据等差数列前n项和,求通项公式.

n?1 ? a1 an ? ? ? S n ? S n ?1 n ? 2
2、结合二次函数图象和性质求 的最值.

d 2 d S n ? n ? (a1 ? )n 2 2

3.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也在等差数列, 公差为 n2d 性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= - (m+p) 性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0 性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), S奇 an ? 此时有:S偶-S奇= nd ,

S偶

an?1

性质4:(1)若项数为奇数2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an (an为中间项),

此时有:S偶-S奇= an ,

S奇 S偶

Sn 性质5: { } 为等差数列. n

n ? n?1

两等差数列前n项和与通项的关系

性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且 a n S 2 n ?1 ? 前n项的和分别为Sn和Tn,则 bn T2 n ?1

第七课

㈡【说明】

①推导等差数列的前n项和公式的 方法叫 倒序相加法 ;

②等差数列的前n项和公式类同 于 梯形的面积公式 ; 2+bn S = an ③{an}为等差数列? n ,这 是一个关于 n 的没有 常数项 的 “ 二次函数 ” ( 注意 a 还可以是 0)

题型一

等差数列前n项和性质的应用

【例1】 (1)设等差数列的前n项和为Sn,已知前6项和为 36,Sn=324,最后6项的和为180(n>6),求数列的项 数n.



(1)由题意可知 a1+a2+?+a6=36①

an+an-1+an-2+?+an-5=180② ①+②得 (a1+an)+(a2+an-1)+?+(a6+an-5)=6(a1+an)=216. n?a1+an? ∴a1+an=36.又 Sn= =324, 2 ∴18n=324. ∴n=18.

练习
(2)若一个等差数列前 3 项和为 34,后 3 项和为 146, 且所有项的和为 390,求这个数列项数.
解: ? a1 ? a2 ? a3 ? 34, 又an ? an?1 ? an?2 ? 146 ,

而a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2
两式相加得 : 3(a1 ? an ) ? 180 , a1 ? an ? 60

n( a 1 ? a n ) 由S n ? ? 390 , 得n ? 13 2

倒序法求和
倒序相加法:将数列的顺序倒过来排列,与原数列两式 相加,若有公因式可提,并且剩余项的和易于求得,这 样的数列可用倒序相加法求和。

倒序法求和
例1.若 f ( x) ?
1 2 ? 2
x

,则 f (?5) ? f (?4) ? ? ? f (5) ? f (6)

的值为
【解析】∵ f ( x) ?

3 2
1 2x ? 2
x


1

1 2 2 f ( 1 ? x ) ? ? ? ∴ 2 ? 2x 21? x ? 2 2 ? 2 ? 2 x
1? 1 2 2 ? 2 2x ? 2 ?2x

?2x

∴ f ( x) ? f (1 ? x) ?

题型三

裂项相消法求数列的和

【例3】 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的 前n项和为Sn. (1)求an及Sn. 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an -1 [思路探索](1)设出首项和公差,根据已知条件构造方程 组可求出首项和公差,进而求出an及Sn;(2)由(1)求出bn的 通项公式,再根据通项公式的特点选择求和的方法. 解(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为a3=7,a5+a7=26,所以有
? ?a1+2d=7, ? ? ?2a1+10d=26,

解得 a1=3,d=2.

所以 an=3+2(n-1)=2n+1; n?n-1? Sn=3n+ ×2=n2+2n. 2 (2)由(1)知 an=2n+1,所以 1 ? 1 1 1 1 1? ?1 ? - bn= 2 = = · = ? an -1 ?2n+1?2-1 4 n?n+1? 4? ?n n+1? 1 1 1 1 1 ? 1? ? 所以 Tn= ?1-2+2-3+?+n-n+1? ? 4? ? 1 ? 1? n ? ? = ?1-n+1?= . 4? 4 ? n + 1 ? ? n 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= . 4?n+1?

裂项相消法求和是数列求和的一种常用方法, 它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两项), 并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余 各项都能前后相抵消,进而可求出数列的前n项和.常用 到的裂项公式有如下形式: 1 ? 1 1? ?1 ? (1) = ?n- ; ? n + k k n?n+k? ? ?
1 1 (2) = ( n+k- n). n+k+ n k

【变式3】 已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,a3=6, S3=12. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)求 + +?+ . S1 S2 Sn ? ?a3=a1+2d=6, 解 (1)∵? ∴a1=2,d=2, ? S = 3 a + 3 d = 12 , ? 3 1
∴an=2+(n-1)×2=2n. n?n-1? (2)由(1)知 Sn=2n+ ×2=n(n+1). 2
? 1? ?1 1? 1 1 1 1 1 1 ∴ + +?+ = + +?+ = ?1- ? +? - ? S1 S2 Sn 1×2 2×3 n?n+1? ? 2? ?2 3? ?1 1 ? 1 n ? ? - +?+?n =1- = . n+1? n+1 n+1 ? ?

题型四

等差数列的综合应用
? Sn? Sn,点?n, n ?(n∈N*)均在函 ? ?

【例 4】 设数列{an}的前 n 项和为 数 y=3x-2 的图象上.

(1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn anan+1
m < 对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m. 20 ? Sn? 审 题 指 导 把点?n, n ?代入y=3x-2 ? Sn=3n2-2n ? ? ?
得an ? 得bn ? 得Tn .

Sn [规范解答] (1)依题意得, n =3n-2,即 Sn=3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)] =6n-5; 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1=6×1-5 适合, 所以 an=6n-5(n∈N*).(5 分) 3 3 (2)由(1)得 bn= = anan+1 ?6n-5?[6?n+1?-5]
1 ? 1? ? 1 = ?6n-5-6n+1? ?,(7 分) 2? ?

1?? 1? ?1 1 ? 故 Tn=b1+b2+?+bn= ??1-7?+?7-13?+?+ 2?? ? ? ?
? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? ?? 1? ? - 1 - = ?6n-5 6n+1?? 2? ?.(10 6 n + 1 ? ?? ? ?

分)

1 ? 1? ? ? m 1 - 因此,使得 ? 6n+1?< (n∈N*)成立的 m 必须满 2? ? 20 1 m 足 ≤ ,即 m≥10,故满足要求的最小整数 m 为 2 20 10.(12 分)

【题后反思】

? Sn? 点?n, n ?(n∈N*)在函数 ? ?

y=3x-2 的图象

上,就给出了 Sn 与 n 的关系式,再由 Sn 求 an 即可;利 用裂项相消法求和是常见的题型,要熟练掌握.特别地, 一项裂成两项时,注意恒等变形,必要时添加系数.

裂项法求和
所谓”裂项法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的 两 项彼此相消,就可以化简后求和.

一些常用的裂项公式:

1 1 1 (1) ? ? n?n ? 1? n n ? 1

1 1 1 1 (2) ? ( ? ) (2n ? 1)?2n ? 1? 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 ? n ?1 ? n (3) ? ( ? ) (4) n ?1 ? n n ( n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 [例2]求Sn ? ? ? ??? 的值. 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? ?? n
1 1 1 2 解: ? 2( ? ) ? 设a n ? n n?1 1 ? 2 ? ? ? n n( n ? 1)
2 2 2 2 ? Sn ? ? ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 ( n ? 1) ? n n ? ( n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 2 2 3 n?1 n n n?1

1 2 ? S n ? 2(1 ? ) ? 2? n?1 n?1

利用数列周期性求和
有的数列是周期数列,把握了数列的周期则可顺利求和.关 键之处是寻找周期。 例3:在数列

?a n ? 中, a

1

? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an? 2 ? an?1 ? an

求S

2002

解:由 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an? 2 ? an?1 ? an 可得
a 4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2,

a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2,

……

利用数列周期性求和
a6 k ?1 ? 1, a6 k ? 2 ? 3, a6 k ?3 ? 2, a6 k ? 4 ? ?1, a6 k ?5 ? ?3, a6 k ?6 ? ?2

而 a6 k ?1 ? a6 k ? 2 ? a6 k ?3 ? a6 k ? 4 ? a6 k ?5 ? a6 k ?6 ? 0 ∴S
2002

? (a

1

? a2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6 k ?1 ? a6 k ? 2 ? ? ? ? ? a6 k ?6 )

? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002

? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002

? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 5

其它方法求和

例4:求和 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (?1) (2n ? 1)
n

解:设 S n ? ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (?1) n (2n ? 1)
当n为偶数时,设n=2k,则

合 并 求 和 法

S 2 k ? ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? [?(4k ? 3)] ? (4k ? 1)
? (?1 ? 3) ? (?5 ? 7) ? ? ? [?(4k ? 3) ? (4k ? 1)]

? 2k
而且S 2k ?1 ? S 2 k ? a2 k ? 2k ? (4k ? 1) ? ?2k ? 1 ? ?(2k ? 1)
? S n ? (?1) n n

裂项法求和
1 1 1 1 ? ? ?? 练习:求和 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 10 (3n ? 2)(3n ? 1)

1 1 1 1 ? ( 提示: ? ) (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1


1 1 1 ? ??? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2)(3n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 3 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? 3 3n ? 1 3n ? 1

练习3 : 求S n ?
解:设an ?

1 1? 2
1

?

1 2? 3

? ??? ?

1 n ? n?1

的值.

n ? n?1 1 1 1 1 Sn ? ? ? ??? ? ? 1? 2 2? 3 n?1 ? n n ? n?1

? n?1 ? n

? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? n ? 1 ) ? ( n ? 1 ? n )

? n?1 ?1

1 适用于求cn ? ,或cn ? an ? an?1

1 an ? an?1

(其中数列 {an }为等差数列)的数列 {cn }的前n项和。
1 1 1 1 ? ( ? ), an ? an?1 d an an?1 1 a n ? a n?1 1 ? ( an?1 ? an ) d

cn ? cn ?

作业:
1: 等差数列{an}的前n项和Sn满足 S5=95, S8=200,求Sn。

2: 若数列{an}的前n项和Sn满足 Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。 3、设等差数列{an}的前n项和为Sn, 已知a3=12, S12>0, S13<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, … , S12中哪个值最大,

95 ? 25a ? 5b ? 1、 设Sn=an2+bn, 则有:? 。 ? 200 ? 64a ? 8b
?a ? 2 解之得: , ∴Sn=3n2+n。 ? ?b ? 9

2、是。

? a1 ? S 1 ? 简单提示:利用公式: ? a n ? S n ? S n ?1

( n ? 1) ( n ? 2)

3、(1)

24 ? ? d ?, ?3 (2)S6最大。 7

作业

P46 A组 5T, B组 2T,4T


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