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第二部分 专题五 第三讲 第二课时 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题

时间:2013-03-18


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圆锥曲线中的定点、定值与最值问题

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圆锥曲线中的定点问题
[例1] x2 y2 如图,椭圆E:a2+b2=1(a>b>0)

1 的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=2.过F1 的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8. (1)求椭圆E的方程; (2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且 与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M, 使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不 存在,说明理由.

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[思路点拨]

(1)由椭圆的定义求出a,b的值即可确定标

准方程;
(2)首先由题意探求出M的位置应在x轴上,然后假设存 在,并利用MP⊥MQ解决.
[规范解答] (1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8,

即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, 又因为|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 所以4a=8,a=2. 1 c 1 又因为e=2,即a=2,所以c=1,

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所以b= a2-c2= 3. x2 y2 故椭圆E的方程是 4 + 3 =1. ?y=kx+m, ? 2 2 (2)法一:由?x y ? 4 + 3 =1, ? 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0), 所以m≠0且Δ=0, 即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,

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化简得4k2-m2+3=0.(*) 4km 4k 3 此时x0=- 2 =- m ,y0=kx0+m=m, 4k +3
? 4k 3? 所以P?- m ,m?. ? ? ?x=4, ? 由? ?y=kx+m, ?

得Q(4,4k+m).

假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M 必在x轴上.
? ???? ???? MQ 设M(x1,0),则 MP · =0对满足(*)式的m,k恒成立.

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? ???? ? 4k 3 ? ???? 因为 MP =?- m -x1,m?, MQ =(4-x1,4k+m),
? ?

? ???? ???? 16k 4kx1 12k 2 MQ 由 MP · =0,得- m + m -4x1+x1+ m +3=0,

k 2 整理,得(4x1-4)m+x1-4x1+3=0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立,
?4x1-4=0, ? 所以? 2 ?x1-4x1+3=0, ?

解得x1=1.

故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.

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法二:同(2)法一假设前内容. 假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M 必在x轴上. 取k=0,m= 3,此时P(0, 3),Q(4, 3), 以PQ为直径的圆为(x-2)2+(y- 3)2=4, 交x轴于点M1(1,0),M2(3,0);
? 3? 1 取k=-2,m=2,此时P?1,2?,Q(4,0), ? ? ? 5?2 ? 3?2 45 以PQ为直径的圆为?x-2? +?y-4? =16, ? ? ? ?

交x轴于点M3(1,0),M4(4,0).

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所以若符合条件的点M存在,则M的坐标必为(1,0). 以下证明M(1,0)就是满足条件的点:
???? ? ???? ? 4k 3? 因为M的坐标为(1,0),所以 MP = ?- m -1,m? , MQ =
? ?

? ???? ???? 12k 12k MQ (3,4k+m),从而 MP · =- m -3+ m +3=0,

???? ???? ? 故恒有 MP ⊥ MQ ,即存在定点M(1,0),使得以PQ为直径
的圆恒过点M.

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(1)求解直线和曲线过定点问题的基本思路是:把直线或曲 线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然

是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的
系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这 个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式: y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程

的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).

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x2 y2 2 1.已知椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率e= 2 ,左、右焦点分 别为F1、F2,点P(2, 3),点F2在线段PF1的中垂线上. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与 F2N的倾斜角分别为α,β,且α+β=π,试问直线l是否过定 点?若过,求该定点的坐标.

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2 c 2 解:(1)由椭圆C的离心率e= 2 ,得a= 2 , 其中c= a2-b2, 椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0). 又∵点F2在线段PF1的中垂线上, ∴|F1F2|=|PF2|,∴(2c)2=( 3)2+(2-c)2, 解得c=1,∴a2=2,b2=1. x2 2 ∴椭圆的方程为 2 +y =1.

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(2)由题意直线 MN 的方程为 y=kx+m, x2 2 ? ? +y =1, 由? 2 消去 y 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0. ?y=kx+m ? 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 2m2-2 kx1+m 4km 则 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 ,且 kF M= , 2 2k +1 2k +1 x1-1 kx2+m kF N= , 2 x2-1 由已知 α+β=π 得 kF M+kF N=0,
1 2

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kx1+m kx2+m 即 + =0. x1-1 x2-1 化简,得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0, 2m2-2 4km?m-k? 所以2k· 2 - -2m=0, 2k +1 2k2+1 整理得m=-2k. 故直线MN的方程为y=k(x-2), 因此直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0).

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圆锥曲线中的定值问题
[例2] (2012· 江苏高考)如图,在平面直角

x2 y2 坐标系xOy中,椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)
? 和?e, ? ?

3? ? 都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率. 2? ?

(1)求椭圆的方程; (2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线 BF2平行,AF2与BF1交于点P,

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6 ①若AF1-BF2= 2 ,求直线AF1的斜率; ②求证:PF1+PF2是定值. [思路点拨] a,b的值; (2)由(1)可知F1、F2的坐标,设出直线AF1与BF2的方程,然后 利用弦长公式可求|AF1|与|BF2|,从而可求AF1的斜率;分别用AF1 和BF2表示PF1与PF2,即可证明PF1+PF2为定值. (1)将点(1,e)和
? ? ?e, ?

3? ? 代入椭圆方程即可求得 2? ?

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[规范解答]

c (1)由题设知a =b +c ,e=a.
2 2 2

1 c2 由点(1,e)在椭圆上,得a2+a2b2=1, 解得b2=1.于是c2=a2-1,
? 又因为点?e, ? ?

e2 3 3? ? 在椭圆上,所以a2+4b2=1, 2? ?

a2-1 3 即 a4 +4=1,解得a2=2. x2 2 因此,所求椭圆的方程是 2 +y =1.

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(2)由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),又因为直线AF1与BF2平行,所 以可设直线AF1的方程为x+1=my,直线BF2的方程为x-1=my. 设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0. x2 2 ? 1 ? +y1=1, 由? 2 得(m2+2)y2-2my1-1=0, 1 ?x1+1=my1, ? m+ 2m2+2 解得y1= , m2+2 故AF1= = ?x1+1?2+?y1-0?2 m2+1 .①

2?m2+1?+m ?my1?2+y2= 1 m2+2

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2?m2+1?-m m2+1 同理,BF2= .② 2 m +2 2m m2+1 ⅰ.由①②得AF1-BF2= , m2+2 2m m2+1 6 解 = 2 ,得m2=2,注意到m>0,故m= 2. m2+2 1 2 所以直线AF1的斜率为m= 2 . PB BF2 ⅱ.证明:因为直线AF1与BF2平行,所以PF =AF , 1 1

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PB+PF1 BF2+AF1 于是 PF = AF , 1 1 AF1 故PF1= BF . AF1+BF2 1 由B点在椭圆上知BF1+BF2=2 2, AF1 从而PF1= (2 2-BF2). AF1+BF2 BF2 同理PF2= (2 2-AF1). AF1+BF2

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AF1 BF2 因此,PF1+PF2= (2 2-BF2)+ AF1+BF2 AF1+BF2 2AF1· 2 BF (2 2-AF1)=2 2- . AF1+BF2 2 2?m2+1? 又由①②知AF1+BF2= , 2 m +2 m2+1 2 3 2 AF1· 2= 2 BF ,所以PF1+PF2=2 2- 2 = 2 . m +2 因此,PF1+PF2是定值.

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(1)解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、 图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表

达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,
而始终是一个确定的值. (2)求定值问题常见的方法有两种: ①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; ②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,

从而得到定值. 返回

2.已知抛物线C:x2=2py(p>0),O为坐标原点,F为抛物线的焦 点,直线y=x与抛物线C相交于不同的两点O、N,且|ON|= 4 2. (1)求抛物线C的方程; (2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A,B,交x轴于点 ???? ???? ???? ? ???? M,且 MA=a AF , MB =b BF ,对任意的直线l,a+b是 否为定值?若是,求出a+b的值;否则,说明理由.

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?y=x, ? 解:(1)联立方程? 2 ?x =2py, ?

得x2-2px=0,故O(0,0),

N(2p,2p),所以|ON|= 4p2+4p2=2 2p. 由2 2p=4 2得p=2,∴抛物线C的方程为x2=4y. (2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零,设其方程为
? 1 ? y=kx+1,则直线l与x轴交点为M?-k,0?, ? ?

记点A(x1,y1),B(x2,y2),

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?y=kx+1, ? 由? 2 ?x =4y, ?

得x2-4kx-4=0,

所以Δ=(4k)2-(-16)=16(k2+1)>0, 故x1+x2=4k,x1·2=-4. x

???? ???? ? ? 1 由 MA=a AF ,得?x1+k,y1?=a(-x1,1-y1),
? ?

kx1+1 kx2+1 y1 所以a= =- kx ,同理可得b=- kx , 1-y1 1 2
?kx1+1 kx2+1? ? x2+x1? ? ? ? ? 则a+b=-? + kx ?=-?2+ kx x ?=-1, ? kx1 ? 2 ? 1 2?

所以对任意的直线l,a+b为定值-1.

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圆锥曲线中的最值问题
[例3] 如图,在直角坐标系xOy中,点

? 1? P?1,2?到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距 ? ?

5 离为4.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的 两动点,且线段AB被直线OM平分. (1)求p,t的值; (2)求△ABP面积的最大值.

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[思路点拨]

? 1? (1)利用点M(t,1)在曲线上及点P ?1,2? 到准线的距 ? ?

5 离为4求p与t的值; (2)利用弦长公式求|AB|,利用点到直线的距离公式求△ABP的 高,即可表示△ABP的面积.
[规范解答] 1 ? ?p= , 2 得? ?t=1. ? ?2pt=1, ? (1)由题意知? p 5 ?1+2=4, ?

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(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m), 当直线AB斜率不存时,不符合题意设直线AB的斜率为k(k≠0).
?y2=x1, ? 1 由? 2 ?y2=x2, ?

得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, 故k· 2m=1, 1 所以直线AB的方程为y-m=2m(x-m). 即x-2my+2m2-m=0.

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?x-2my+2m2-m=0, ? 由? 2 ?y =x, ?

消去x,整理得y2-2my+2m2-m=0, 所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·2=2m2-m.从而|AB|= y 1 1+k2· 1-y2|= 1+4m2· 4m-4m2. |y |1-2m+2m2| 设点P到直线AB的距离为d,则d= , 2 1+4m 设△ABP的面积为S,

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1 则S=2|AB|· d=|1-2(m-m2)|· m-m2. 由Δ=4m-4m2>0,得0<m<1. 1 令u= m-m2,0<u≤2,则S(u)=u-2u3, S′(u)=1-6u2. 6 ? 1? 由S′(u)=0,得u= 6 ∈?0,2?, ? ?
? 所以S(u)max=S? ? ?

6 6? ? = . 6? 9 ?

6 故△ABP面积的最大值为 9 .

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解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目 标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、

范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不
等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变 量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量 可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问 题的实际情况灵活处理.

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x2 y2 3. 如图,椭圆M:a2+b2=1(a>b>0)的离心率 3 为 2 ,直线x=± a和y=± b所围成的矩形 ABCD的面积为8. (1)求椭圆M的标准方程; (2)设直线l:y=x+m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P, |PQ| Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求 |ST| 的最大值及 取得最大值时m的值.

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?a2=b2+c2, ? ?c 3 解:(1)设椭圆M的半焦距为c,由题意知? = , ?a 2 ?4ab=8, ? 解得a=2,b=1. x2 2 因此椭圆M的标准方程为 4 +y =1. ?x ? +y2=1, (2)由? 4 整理得 ?y=x+m, ? 5x2+8mx+4m2-4=0,
2

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由Δ=64m2-80(m2-1)=80-16m2>0,得- 5<m< 5. 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 4?m2-1? 8m 则x1+x2=- 5 ,x1x2= , 5 所以|PQ|= = ?x1-x2?2+?y1-y2?2

2[?x1+x2?2-4x1x2]

4 =5 2?5-m2? (- 5<m< 5). 线段CD的方程为y=1(-2≤x≤2), 线段AD的方程为x=-2(-1≤y≤1).

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①不妨设点S在AD边上,T在CD边上, 可知1≤m< 5,S(-2,m-2),D(-2,1). 所以|ST|= 2|SD|= 2 [1-(m-2)]= 2(3-m), |PQ| 4 因此 |ST| =5 5-m2 , ?3-m?2

令t=3-m(1≤m< 5), 则m=3-t,t∈(3- 5,2], |PQ| 4 所以 |ST| =5 4 5 5-?3-t?2 4 =5 t2 4 6 -t2+ t -1=

?1 3?2 5 -4? t -4? +4, ? ?

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1 ?1 3+ 5? ? 由于 t∈(3- 5,2],所以 t ∈? , , ?2 4 ? ? ? 1 3 4 |PQ| 2 5 因此当 t =4即 t=3时, |ST| 取得最大值 5 , 5 此时 m=3. ②不妨设点 S 在 AB 边上,T 在 CD 边上, 此时-1≤m≤1,
2 |PQ| 2 5-m 因此|ST|= 2|AD|=2 2,此时 |ST| = , 5

|PQ| 2 5 所以当 m=0 时, |ST| 取得最大值 5 .

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③不妨设点 S 在 AB 边上, 在 BC 边上, 5<m≤-1, T - |PQ| 2 5 由椭圆和矩形的对称性知 的最大值为 , |ST| 5 5 此时 m=- . 3 5 |PQ| 2 5 综上所述,m=± 或 m=0 时, 取得最大值 . 3 |ST| 5

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1.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变 的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量 积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受 变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定

值.化解这类问题的关键就是引进变化的参数表示直线方
程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换 等寻找不受参数影响的量.

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2.圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但 总体上主要有两种方法:一是利用几何方法,即通过利用曲线 的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;

二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示
为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式 方法等进行求解. 常见的几何方法有: (1)直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到

直线的垂线段的长度;
(2)圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|+R,最 小值为|PC|-R(R为圆C半径);

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(3)过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过P点的直径,
最短的弦为过P点且与经过P点直径垂直的弦; (4)圆锥曲线上本身存在最值问题,如①椭圆上两点间最 大距离为2a(长轴长);②双曲线上两点间最小距离为2a(实轴 长);③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a-c,a+c], a-c与a+c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离; ④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近.

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常用的代数方法有:

(1)利用二次函数求最值;
(2)通过三角换元,利用正、余弦函数的有界性求最值;

(3)利用基本不等式求最值;
(4)利用导数法求最值;

(5)利用函数单调性求最值.

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