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《金版新学案》高一数学


1.2.2 函数的表示法(第2课时 分段函数及映射)

函数的表示方法为解析法 、 图象法 、列表法 .

1.分段函数的概念

不同区间 在定义域内___________上,有不同 的 解析式 的函数通常 叫做分段函数.
2.映射 对应关系,对于集合A中 设A、B是两个集合,如果按照某种

/>的 任意 一个元素,在集合B中都有 唯一 的元素和它对应,那么
这样的对应叫做集合A到集合B的映射,记作: f:A→B .

1.分段函数是一个函数还是几个函数?其定义域、值域各
是什么? 【提示】 分段函数是一个函数而非几个函数,其定义域是

各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
2.函数是映射吗? 【提示】 对比函数定义与映射定义可知,函数是特殊的映

射,是从非空数集到非空数集的映射.

?x+2,x≤-1 ? 2 已知函数 f(x)=?x ,-1<x<2 ,求 f(f(f(-3))) ?2x,x≥2 ?
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息: ①函数 f(x)是分段函数; ②本例是求值问题. 解答本题需确定 f(f(-3))的范围,为此又需 确定 f(-3)的范围,然后根据所在定义域代入相 应解析式逐步求解.

【解析】 ∵-3≤-1,∴f(-3)=-3+2=-1 ∴f(f(-3))=f(-1)=1,

∵-1<1<2,
∴f(f(f(-3)))=f(1)=1.

(1)分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相
应的解析式求得. (2)像本题中含有多层“f”的问题,要按照“由里到外”的顺序,

层层处理.

1.本例中, 若函数解析式不变, 增加条件“f(x) =3”,求 x 的值. 【解析】 若 x≤-1,由 x+2=3,得 x= 1>-1,舍去; 若-1<x<2, x2=3, x=± 3, 由 得 由于- 3 <-1,舍去; x=- 3,故 x= 3; 3 若 x≥2,则 2x=3,得 x=2<2,舍去. 综上知 x= 3.

|x|-x 已知函数 f(x)=1+ (-2<x≤2). 2 (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域. 【思路点拨】 讨论 x 的取值范围?化简 f(x) 的解析式?把 f(x)表示为分段函数形式?画出 f(x) 的图象?求 f(x)的值域

x-x 【解析】 (1)当 0≤x≤2 时,f(x)=1+ 2 =1, -x-x 当-2<x<0 时,f(x)=1+ 2 =1-x.
?1 ∴f(x)=? ?1-x

(0≤x≤2) (-2<x<0)

(2)函数 f(x)的图象如图所示,

(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).

对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值
的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作 出函数图象.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一

样,因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.

2.写出下列函数的解析式并作出函数图象: (1)设函数y=f(x),当x<0时,f(x)=0;当x≥0时,f(x)=2; (2)设函数y=f(x),当x≤-1时,f(x)=x+1;当-1<x<1时,f(x)

=0;当x≥1时,f(x)=x-1.

?0,x<0 【解析】 (1)f(x)=? .图象如图(1)所示. ?2,x≥0

判断下列对应是不是从A到B的映射: (1)A=N,B=N*,f:x→|x-2|; (2)A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},f:x→y=1/2x; (3)A={x|x≥3,x∈N},B={a|a≥0,a∈Z}, f:x→a=x2-2x+4; 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息: ①判断对应是否为映射; ②用解析式给出了三个对应关系. 解答本题可先由映射定义出发,观察A中任何一个元素在B中 是否都有唯一元素与之对应.

【解析】 (1)集合 A=N 中元素 2 在对应关系 f: x→|x-2|下为 0,而 0?N*,即 A 中元素 2 在对应 关系下 B 中没有元素与之对应,故不是映射. 1 (2)A 中元素 6 在对应关系 f:x→y=2x 下为 3.而 3?B,故不是映射. (3)对 A={x|x≥3,x∈N}中的任意元素,总 有整数 x2-2x+4=(x-1)2+3∈B 与之对应.∴ 是 A 到 B 的映射.

要判断对应f:A→B是否是A到B的映射,必须做到两点:① 明确集合A、B中的元素;②根据映射定义判断A中每个元素是否 在B中能找到唯一确定的对应元素.

3.判断下列对应是不是从A到B的映射:
(1)A=N,B=N,f:x?|x-2|; (2)A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤3},f:x?y=1/2x;

(3)A={x|x≥3,x∈N},B={a|a≥4,a∈Z},f:x?a=x2-2x+4.

【解析】 (1)集合A中的任意元素在对应关系f:x?|x-2|下, B中都有元素与之对应, 故是从A到B的映射. (2)根据映射的定义,是从A到B的映射. (3)集合A中的元素1在集合B中没有元素与之对应,故不是从A 到B的映射.

1.正确认识分段函数 (1)分段函数是一个函数而非几个函数,只不过在定义域的不 同子集内解析式不一样. (2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各 段“值域”的并集. (3)分段函数的图象应分段来作,特别注意各段的自变量取区 间端点处时函数的取值情况,以决定这些点的实虚情况.

2.正确理解映射概念 (1)映射f:A?B是由非空集合A、B以及A到B的对应关系f所确 定的. (2)映射定义中的两个集合A、B是非空的,可以是数集,也可 以是点集或其他集合,A、B是有先后次序的,A到B的映射与B到A 的映射一般是截然不同的,即f具有方向性. (3)在映射中,集合A的“任一元素”,在集合B中都有“唯一 ”的对应元素,不会出现一对多的情况.只能是“多对一”或“一 对一”形式.

下列命题: (1)函数是定义域到值域的映射; (2)f(x)= x-3+ 2-x是函数的解析式; (3)函数 y=3x(x∈N)的图象是一条直线; (4)函数 f(x)=x 与 g(x)= x2是同一函数. 其中正确命题的序号是________. 【错解】 (1)、(2)、(3)、(4)

【错因】 第(2)个命题忽视了定义域,因为 y= x-3+ 2-x的定义域为 ?,所以它不是解 析式;第(3)个命题中的函数的定义域为 N,其图 象由点构成;第(4)个命题,由于 g(x)= x2=|x|, 所以两函数的对应法则不同,不是同一函数. 【正解】 (1)

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