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高中数学必修3人教A导学案3.1.3 概率的基本性质


§ 3.1.3 概率的基本性质
学习目标 (1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立 事件的概念; (2)概率的几个基本性质: 1)必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然

事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B). (3)正确理解和事件与交事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 重点难点 重点: 并事件、 交事件、 互斥事件和对立事件的概念, 以及互斥事件的加法公式. 难点: 并事件、交事件、互斥事件和对立事件的区别与联系. 学法指导 通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养类比与归纳的数 学思想。 知识链接 1. 集合之间包含与相等关系、集合的交、并、补运算 问题探究 【提出问题】 1.两个集合之间存在着包含与相等的关系, 集 合可以进行交、并、补运算,你还记得子集、 等集、 交集、 并集和补集的含义及其符号表示 吗?

2. 我们可以把一次试验可能出现的结果看成 一个集合(如连续抛掷两枚硬币) ,那么必然 事件对应全集, 随机事件对应子集, 不可能事 件对应空集,从而可以类比集合的关系与运 算, 分析事件之间的关系与运算, 使我们对概 率有进一步的理解和认识. 【探究新知】 (一) :事件的关系与运算 在掷骰子试验中, 我们用集合形式定义如下事 件: C1={出现 1 点} ,C2={出现 2 点} , C3={出现 3 点} ,C4={出现 4 点} ,
1

C5={出现 5 点} ,C6={出现 6 点} , D1={出现的点数不大于 1} , D2={出现的点数大于 4} , D3={出现的点数小于 6} , E={出现的点数小于 7} , F={出现的点数大于 6} , G={出现的点数为偶数} , H={出现的点数为奇数} ,等 等. 思考 1:上述事件中,是必然事 件的有 ,是随机事件 的有 , 是不可能事件的有 .

思考 2:如果事件 C1 发生,则 一定有 发生。在集合 中,集合 C1 与这些集合之间的

关系怎样描述?

事件的含义怎样理解?
例如: 在掷骰子试验中, G ? H 为不 可能事件, G ? H 为必然事件,所 以 G 与 H 互为对立事件.

思考 3:一般地,对于事件 A 与事件 B,如果事 件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时 称 。 (或称 ),记作 (或___ _ ).与集合类比,不可能事件记 作___ .可知, ___ 都包含不可 能事件. 思考 4: 分析事件 C1 与事件 D1 之间的包含关 系,按集合观点,这两个事件之间的关系应怎 样描述? 思考 5:一般地,当两个事件 A、B 满足___ ___ ___ ___ ___ ,称事件 A 与事件 B 相等? 思考 6:如果事件 C5 发生或 C6 发生,就意味 着哪个事件发生?反之成立吗?

思考 11:若事件 A 与事件 B 相 互对立,那么事件 A 与事件 B 互斥吗?反之,若事件 A 与事 件 B 互斥, 那么事件 A 与事件 B 相互对立吗?

【探究新知】 (二) :概率的几 个基本性质 性质一:概率的取值范围是 ___ ,必然事件、不可能事 件 的 概 率 分 别 是 . 思考 1: 如果事件 A 与事件 B 互斥,则事件 A∪B 发生的频数 与事件 A、B 发生的频数有什么 关 系 ? f n ( A ? B) 与 f n ( A) 、
f n ( B) 有什么关系?进一步得

思考 7: 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或 事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的 并事件(或 ),记作 (或 ). 思考 8:类似地,当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生时,事件 C 发生,则称事件 C 为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) ,记作 C=A∩B (或 AB). 如: 在上述掷骰子试验中, ? ___=___. 思考 9:两个集合的交可能为空集,两个事件 的交事件也可能为不可能事件, A∩B=Ф , 即 此时,称事件 A 与事件 B 互斥,那么在一次 试验中,事件 A 与事件 B 互斥的含义怎样理 解?在上述事件中能找出这样的例子吗?

到 P(A∪B)与 P(A)、P(B)有什 么关系?由此可得 性质二:概率的加法公式

性质三:如果事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 A∪B 为___ 事 件 , 那 么 P(A ∪ B)= ___ 则 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) =1.
P(B) ? P( A) ?

思考 10: A∩B 为不可能事件, 若 A∪B 为必然 事件,则称事件 A 与事件 B 互为对立事件, 那么在一次试验中, 事件 A 与事件 B 互为对立
2

; .

例 1: 在掷骰子试验中,G 和 H 互为对立事件,因此

P(G) ? 1 ? P( H ).

思考 2: 如果事件 A 与事件 B 互斥, 那么 P( A) ? P( B) ___ 1.(填大小关系)

(1) 至少 2 人排队等候的概 率是多少? (2) 至少 3 人排队等候的概 率是多少?

思考 3: 对于任意两个事件 A、B, P(A∪B) 一定比 P(A)或 P(B)大吗? P(A∩B)一 定比 P(A)或 P(B)小吗?

【例题讲评】 例 1 某射手进行一次射击,试判断下列事件 哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环.

例 4 一箱新产品中有正品 4 件, 次品 3 件,从中任取 2 件产品, 给出事件:
(1) 恰有一件次品与恰有两件次品 (2)至少有一件次品与全是次品 (3) 至少有一件正品与至少有一件 次品 (4)至少有一件次品与全是正品.

例 2 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随 机抽取一张,那么取到红心(事件 A)的概率 1 1 是 ,取到方片(事件 B)的概率是 ,问: 4 4 (l)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少?

判断以上各事件哪些是互斥事 件,哪些是对立事件,哪些既 不是互斥事件也不是对立事 件 .

例 3 经统计, 在某高中食堂某些窗口等候打 饭的人数及相应概率如下: 排队 0 1 2 3 4 5 人 人数 及 5 人以 上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
3

目标检测 1、从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字中任两 个数,分别有下列事件: ①恰有一个是奇数或恰有一个是偶数; ②至少有一个是奇数和两个都是奇数; ③至少有一个是奇数和两个数都是偶数; ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 其 中 为 互 斥 事 件 的 是 ( ) A. ① B.②④ C.③ D.①③ 2、甲、乙两人下棋,两个人下成和棋的概率 1 1 为 ,乙获胜的概率为 ,则乙输的概率为 3 2 ( ) 5 1 1 1 A. B. C. D. 6 3 2 6 3、从装有 2 个红球和 2 个白球的中袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A. 至少有 1 个白球, 都是白球. B.至少有 1 个白球, 至少有 1 个红球. C. 恰有 1 个白球, 恰有 2 个白球. D.至少有 1 个白球,都是红球. 4、抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数,事件 B 为出现 2 点,已知 P 1 1 (A)= ,P(B)= ,则出现奇数点或 2 2 6 点的概率是__ . 5、某射手在一次射击训练中,射中 10 环、9 环、 环、 环的概率分别为 0.21, 8 7 0.23, 0.25, 0.28,则该射手在一次射击中,射中 10 环或 9 环 的 概 率 是 __ ;少于 7 环的概率是 __ . 6、一批产品共有 100 件,其中 5 件是次品,95 件是合格品,从这批产品中任意抽 5 件,现给 以下四个事件:A.恰有 1 件次品;B.至少有 2 件次品; C.至少有 1 件次品; D.至多有 1 件次 品;并给出以下结论:①A+B=C;②B+D 是必 然事件;③A+C=B;④A+D=C;其中正确的结论 为 (写出序号即可). 7、某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、 飞机去的概率分别是 0.3、 0.2、 0.1、 0.4,求:
4

⑴他乘火车或乘飞机去的概 率; ⑵他不乘轮船去的概率; ⑶如果他去的概率为 0.5,请问 他有可能是乘何种交通工具去 的?

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