nbhkdz.com冰点文库

【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形 3二倍角的三角函数 第1课时二倍角公式及其应用

时间:2016-05-07


§3 第 1 课时

二倍角的三角函数 二倍角公式及其应用

,

)

1.问题导航 (1)倍角公式对任意角都成立吗? (2)能否由 S2α ,C2α 推出 T2α ? (3)已知角 α 的某个三角函数值,能唯一确定角 2α 的三角函数值吗? 2.例题导读 P124 例 1,例 2.通过此两例学习,

学会正用倍角公式求值. 试一试:教材 P125 练习 1T2、T3 你会吗? P125 例 3.解答本例应注意,在三角形的背景下研究问题,会 带来一些隐含条件,如 0<A<π ,A+B+C=π 等. 试一试:教材 P125 练习 1T4 你会吗? P125 例 4.通过此例学习,学会利用二倍角公式解决平面图形 的面积最值问题. 试一试:教材 P129 习题 3-3 B 组 T5 你会吗?

1.二倍角公式 名称 二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式

简记符号 S2α C2α

公式 sin 2α =2sin_α cos_α cos 2α =cos α -sin α 2 =1-2sin α 2 =2cos α -1 2tan α tan 2α = 2 1-tan α
2 2

适用范围

α ∈R

二倍角的正切公式

T2α

π α ≠ +kπ ,α ≠ 2 π kπ + , 4 2 其中 k∈Z

2.倍角公式的变形 2 2 (1)因为 sin α +cos α =1,所以公式 C2α 可以变形为 2 2 cos 2α =1-2sin α =2cos α -1;① 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 或 cos α = ,sin α = .② 2 2 其中公式①称为升幂公式,②称为降幂公式. (2)常用的两个变形: 2 2 2 (sin α +cos α ) =sin α +2sin α cos α +cos α =1+sin 2α , 2 2 2 (sin α -cos α ) =sin α -2sin α cos α +cos α =1-sin 2α .

1

1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( ) (2)存在角 α ,使得 sin 2α =2sin α 成立.( ) (3)对于任意的角 α ,cos 2α =2cos α 都不成立.( ) 解析:(1)错误.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式, π π 要求 α ≠ +kπ (k∈Z)且α ≠ +kπ (k∈Z),故此说法错误. 2 4 (2)正确.当 α =kπ (k∈Z)时,sin 2α =2sin α . 1- 3 (3)错误.当 cos α = 时,cos 2α =2cos α . 2 答案:(1)× (2)√ (3)× sin 110°sin 20° 2. 的值为( ) 2 2 cos 155°-sin 155° 1 1 A.- B. 2 2 C. 3 2 D.- 3 2

cos 20°sin 20° 解析:选 B.原式= 2 2 cos 25°-sin 25° 1 1 sin 40° sin 40° 2 2 1 = = = . cos 50° sin 40° 2 tan 15° 3. =________. 2 1-tan 15° 1 2tan 15° 1 解析:原式= × = tan 2 2 1-tan 15° 2 答案: 3 6 30°= 3 . 6

5 4 4 ,则 cos α -sin α =________. 5 4 4 2 2 2 2 解析:cos α -sin α =(cos α +sin α )(cos α -sin α ) ? 5?2 3 2 2 2 =cos α -sin α =1-2sin α =1-2×? ? = . ?5? 5 3 答案: 5 4.若 sin α =

对倍角公式的三点说明 (1)前提:所含各三角函数有意义. (2)联系:公式 S2α ,C2α ,T2α 是在公式 Sα +β ,Cα +β ,Tα +β 中,分别令 β =α 时,得到 的一组公式,即倍角公式是和角公式的特例. (3)倍角公式中的“倍角”的相对性:对于两个角的比值等于 2 的情况都成立,如 6α 3α 是 3α 的 2 倍,3α 是 的 2 倍.这就是说, “倍”是相对而言的,是描述两个数量之间的 2 关系的.

2

化简求值 求下列各式的值: π 2π (1)cos cos ; 5 5 1 2π (2) -cos ; 2 8 π 1 (3)tan - . 12 π tan 12 (链接教材 P128 习题 3-3 A 组 T1) π π 2π 2sin cos cos 5 5 5 [解] (1)原式= π 2sin 5 2π 2π 4π sin cos sin 5 5 5 = = π π 2sin 4sin 5 5 π sin 5 1 = = . π 4 4sin 5 2π 2π 1-2cos 2cos -1 8 8 (2)原式= =- 2 2 1 π 2 =- cos =- . 2 4 4 π 2 2π tan -1 1-tan 12 12 (3)原式= =-2· π π tan 2tan 12 12 1 -2 =-2× = =-2 3. π 3 tan 6 3 方法归纳 解答本类题的关键是抓住公式的特征,如角的关系、次数的关系等.分析题设和结论中 所具有的与公式相似的结构特征,并联想相应的公式,从而找到解题的切入点,正确运用公 式,同时活用、逆用公式,把所给角的三角函数值转化为可求值的特殊角的三角函数值.

3

cos 10°+ 3sin 10° 1.(1)计算: =________. 1-cos 80° (2)求下列各式的值: π 5 ①cos cos π ; 12 12 2π ②2cos -1; 12 2tan 150° ③ . 2 1-tan 150° (3)求 sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值. 3 ?1 ? 2? cos 10°+ sin 10°? 2 ?2 ? 解:(1)原式= 2 2sin 40° 2sin 40° = = 2.故填 2. 2sin 40° π π 1 π π (2)①原式=cos sin = ×2cos sin 12 12 2 12 12 1 π = sin 2 6 1 = . 4 π 3 ? π? ②原式=cos?2× ?=cos = . 12 6 2 ? ? ③原式=tan 300°=tan(360°-60°) =-tan 60° =- 3. (3)原式=sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° 4 2 sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48° = 4 2 cos 6° 3 2 sin 12°cos 12°cos 24°cos 48° = 16cos 6° 2 2 sin 24°cos 24°cos 48° = 16cos 6° 2sin 48°cos 48° = 16cos 6° sin 96° cos 6° = = 16cos 6° 16cos 6° 1 = . 16

给值求值

?π ? sin α = 5, (1)已知 α ∈? ,π ?, 则 sin 2α =________, cos 2α =________, 5 ?2 ? tan 2α =________.

4

?π ? ?π ? 1 ?π ? (2)已知 sin? +α ?sin? -α ?= ,且 α ∈? ,π ?,求 tan 4α 的值. ?4 ? ?4 ? 6 ?2 ? (链接教材 P124 例 1,例 2) 5 ?π ? [解] (1)因为 α ∈? ,π ?,sin α = , 5 ?2 ?
2 5 所以 cos α =- , 5 所以 sin 2α =2sin α cos α =2× cos 2α =1-2sin α =1-2×?
2

5 ? 2 5? 4 ×?- =- , ? 5 ? 5 5 ?

sin 2α 4 4 3 4 ? 5? 2 3 ? = ,tan 2α =cos 2α =-3.故填-5,5,-3. ?5? 5 ?π ?π ?? ?π ? ?π ? (2)因为 sin? -α ?=sin? -? +α ??=cos? +α ?, 4 4 2 ? ? ?4 ? ? ? ? ? ?π ? ?π ? 1 则已知条件可化为 sin? +α ?cos? +α ?= , 4 4 ? ? ? ? 6 1 ? ?π ?? 1 ?π ? 1 即 sin?2? +α ??= ,所以 sin? +2α ?= , 2 ? ?4 ?? 6 ?2 ? 3 π 1 ? ? 所以 cos 2α = .因为 α ∈? ,π ?,所以 2α ∈(π ,2π ), 3 ?2 ? 2 2 2 从而 sin 2α =- 1-cos 2α =- , 3 sin 2α 所以 tan 2α = =-2 2, cos 2α 2tan 2α 4 2 4 2 故 tan 4α = =- = . 2 2 1-tan 2α 7 1-(-2 2) 把本例(1)中的条件“sin α = 5 5 ”改为“sin α +cos α = ” , 5 5

求 sin 2α ,cos 2α ,tan 2α 的值. 5 解:因为 sin α +cos α = , 5 1 2 所以(sin α +cos α ) = , 5 1 4 即 1+2sin α cos α = ,sin 2α =2sin α cos α =- . 5 5 π 因为 α ∈( ,π ),所以 cos α <0,所以 sin α -cos α >0, 2 3 5 , 5 2 2 所以 cos 2α =cos α -sin α =(cos α +sin α )(cos α -sin α ) 5 ? 3 5? 3 = ×?- ?=-5, 5 ? 5 ? sin 2α 4 所以 tan 2α = = . cos 2α 3 方法归纳 (1)从角的关系寻找突破口.这类三角函数求值问题常有两种解题途径:一是对题设条 件变形,将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢;另一种是对结论变形,将 结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论. 所以 sin α -cos α = (sin α -cos α ) = 1-sin 2α =
2

5

(2)另外,注意几种诱导公式的应用,如: ?π ? ? ?π ?? ①sin 2x=cos? -2x?=cos?2? -x?? ?2 ? ? ?4 ?? ? ? 2?π 2?π =2cos ? -x?-1=1-2sin ? -x?; ?4 ? ?4 ? ?π ? ? ?π ?? ②cos 2x=sin? -2x?=sin?2? -x?? ?2 ? ? ?4 ?? ?π ? ?π ? =2sin? -x?cos? -x?; ?4 ? ?4 ? ?π ? ? ?π ?? ③cos 2x=sin? +2x?=sin?2? +x?? ?2 ? ? ?4 ?? ?π ? ?π ? =2sin? +x?cos? +x?. 4 4 ? ? ? ?

2.(1)已知 sin? A. 7 9

?π +α ?=1,则 cos?2π -2α ?的值等于( ? 3 ? 3 ? ?6 ? ? ?
B. 1 3 1 3

)

7 C.- 9

D.-

3 2 ?π ? (2)已知 cos α =- ,sin β = ,α 是第三象限角,β ∈? ,π ?. 2 4 3 ? ? ①求 sin 2α 的值;②求 cos(2α +β )的值. ?π ? 解:(1)选 C.因为 cos? -α ? ?3 ? ?π ?π ?? =sin? -? -α ?? ?? ?2 ?3 ?π ? 1 =sin? +α ?= , ?6 ? 3 ?2π ? 所以 cos? -2α ? 3 ? ? π ? 2? =2cos ? -α ?-1 ?3 ? 2 7 ?1? =2×? ? -1=- . 3 9 ? ? 3 (2)①因为 α 是第三象限角,cos α =- , 4 所以 sin α =- 1-cos α =-
2

7 , 4

所以 sin 2α =2sin α cos α =2×?- 2 ?π ? ②因为 β ∈? ,π ?,sin β = , 3 ?2 ? 5 , 3 9 1 2 cos 2α =2cos α -1=2× -1= , 16 8 所以 cos β =- 1-sin β =-
2

? ?

7? ? 3? 3 7 ?×?- ?= 8 . 4 ? ? 4?

6

所以 cos(2α +β )=cos 2α cos β -sin 2α sin β 1 ? 5+6 7 5? 3 7 2 = ×?- ?- × =- . 8 ? 3? 8 3 24

二倍角公式在实际中的应用

焊接工王师傅遇到了一个难题:如图所示,有一块扇形钢板,半径为 1 米,圆心 π 角 θ = ,施工要求按图中所画的那样,在钢板 OPQ 上裁下一块平行四边形钢板 ABOC,要 3 求使裁下的钢板面积最大. 试问王师傅如何确定 A 的位置, 才能使裁下的钢板符合要求?最 大面积为多少?

(链接教材 P125 例 4) [解] 连接 OA,设∠AOP=α ,过 A 作 AH⊥OP,垂足为 H,在 Rt△AOH AH 3 中,OH=cos α ,AH=sin α ,所以 BH= = sin α ,所以 OB= tan 60° 3

OH-BH=cos α -
=?cos α -

3 sin α , 设平行四边形 ABOC 的面积为 S, 则 S=OB·AH 3

3 1 3 3 ? 2 sin α ?·sin α =sin α cos α - sin α = sin 2α - (1-cos 2α ) 3 2 6 3 ? 1 3 3 1? 3 3 1 ? = sin 2α + cos 2α - = ? sin 2α + cos 2α ?- 2 6 6 6 2 2 ? 3? π? 3 ? sin?2α + ?- . 6 6 ? ? 3 π π π 5 由于 0<α < ,所以 <2α + < π , 3 6 6 6 = 1 π π π 1 3 3 当 2α + = ,即 α = 时,Smax= - = , 6 2 6 6 6 3 ︵ 3 所以当 A 是PQ的中点时,所裁钢板的面积最大,最大面积为 平方米. 6 方法归纳 解决此类实际问题, 应首先确定主变量角 α 以及相关的常量与变量, 建立关于角 α 的 三角函数式,再利用和(差)角公式或二倍角公式求解.对于求三角函数最值的问题,一般利 用三角函数的有界性来解决.

? ?

3.如图,在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 θ ,由 B 点到 E 点的方向前进 30 m 至点 C 处,测得顶端 A 的仰角为 2θ ,再沿刚才的方向继续前进 10 3 m 到 D 点,测得 顶点 A 的仰角为 4θ ,求 θ 的大小和建筑物 AE 的高.

7

解:因为∠ACD=θ +∠BAC, 所以∠BAC=θ ,所以 AC=BC=30 m. 又因为∠ADE=2θ +∠CAD,所以∠CAD=2θ , 所以 AD=CD=10 3 m. 在 Rt△ADE 中,AE=AD·sin 4θ =10 3sin 4θ , 在 Rt△ACE 中,AE=AC·sin 2θ =30sin 2θ , 所以 10 3sin 4θ =30sin 2θ , 即 20 3sin 2θ cos 2θ =30sin 2θ ,所以 cos 2θ = π π π 又因为 2θ ∈(0, ),所以 2θ = ,所以 θ = . 2 6 12 π 所以 AE=30sin =15(m). 6 π 所以 θ = ,建筑物 AE 的高为 15 m. 12 3 . 2

关于三角函数性质的综合问题 π? ? (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=4cos ω x·sin?ω x+ ?(ω >0)的最小正周期 4? ? 为π . (1)求 ω 的值;

规范解答

? π? (2)讨论 f(x)在区间?0, ?上的单调性. 2? ? π? ? [解] (1)f(x)=4cos ω x·sin?ω x+ ? 4? ?
=2 2sin ω x·cos ω x+2 2cos ω x = 2(sin 2ω x+cos 2ω x)+ 2 π? ? =2sin?2ω x+ ?+ 2. 4 分 4? ? 因为 f(x)的最小正周期为π ,且 ω >0, 2π 从而有 =π ,故 ω =1.6 分 2ω π? ? (2)由(1)知,f(x)=2sin?2x+ ?+ 2. 4? ? π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 7 分 2 4 4 4 π π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)是递增的;9 分 4 4 2 8 π π 5π π π 当 <2x+ ≤ ,即 <x≤ 时,f(x)是递减的.11 分 2 4 4 8 2 ? π? ?π π ? 综上可知,f(x)在区间?0, ?上是递增的,在区间? , ?上是递减的.12 分 8 ? ? ?8 2? [规范与警示] (1)对于倍角公式、两角和与差的三角公式、辅助角公式,不仅要熟练 正用,还要逆用,变形应用.如本例中两个关键步骤:即 处由 2(sin 2ω x+cos 2ω x)
2

8

π? ? + 2到 2sin?2ω x+ ?+ 2的变化.在 4? ?

π 处,对 2x+ 的范围进行判断. 4

? π? (2)在判定函数单调性和求单调区间时,应在给定区间内求解,如本例中?0, ?. 2? ?
π 5π 1.sin cos 的值等于( 12 12 1 3 A.- + 2 4 1 3 C.- - 2 4

) 1 3 B. - 2 4

D. +

1 2

3 4

π 3 1-cos 1- 6 2 π 5 π π 5π π π 1 3 ? ? 2 解析:选 B.sin cos =sin sin? - ?=sin = = = - . 12 12 12 ? 2 12 ? 12 2 2 2 4 2.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( ) 5 3 A. B. 18 4 3 7 D. 2 8 解析:选 D. 由题设易知,等腰三角形的腰长是底边长的 2 倍,如图所示,在△ABC 中,AB =AC,D 为 BC 边的中点,设∠BAD=θ , 1 因为 AB=4BD,所以 sin θ = , 4 2 ?1? 7 2 故 cos ∠BAC=cos 2θ =1-2sin θ =1-2×? ? = . ?4? 8 4 3.已知 α 是第二象限的角,tan(π +2α )=- ,则 tan α =________. 3 4 4 解析:由 tan(π +2α )=- ,得 tan 2α =- , 3 3 2tan α 4 所以 =- . 2 1-tan α 3 1 因为 α 是第二象限的角,所以 tan α <0,所以 tan α =- . 2 1 答案:- 2 sin B 4.锐角三角形 ABC 中,若 B=2A,则 的取值范围是________. sin A π 解析:因为 B 为锐角,所以 0<A< . 4 又 C 为锐角,且 C=π -B-A=π -3A, π 所以 0<π -3A< . 2 π 所以- <3A-π <0. 2 π π π 所以 <3A<π , <A< . 2 6 4 C.

9

所以 2<2cos A< 3. sin B sin 2A 所以 = =2cos A∈( 2, 3). sin A sin A 答案:( 2, 3)

,

[学生用书单独成册])

[A.基础达标] 1 1.已知 cos α = ,则 cos(π -2α )的值等于( ) 3 7 7 A.- B. 9 9 2 2 C. D.- 3 3 2 解析:选 B.cos(π -2α )=-cos 2α =-2cos α +1 2 7 ?1? =-2×? ? +1= ,故选 B. 9 ?3? 2.在△ABC 中,若 sin Bsin C=cos ,则△ABC 是( ) 2 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 1+cos A 解析:选 B.由 sin Bsin C= 2 ? 2sin Bsin C=1-cos(B+C) ? 2sin Bsin C=1-cos Bcos C+sin Bsin C ? cos Bcos C+sin Bsin C=1 ? cos(B-C)=1,又-180°<B-C<180°,所以 B-C=0°? B=C? △ABC 是等腰三角 形. sin 2α -cos 2α 3.若 tan α =2,则 的值是( ) 2 1+cos α 7 3 A. B. 6 2 1 1 C. D.- 6 6 2 2 2sin α cos α -cos α +sin α 解析:选 A.原式= 2 2 sin α +2cos α 2 2 2tan α -1+tan α 2×2-1+2 7 = = = . 2 2 tan α +2 2 +2 6 1 4.tan 67°30′- 的值为( ) tan 67°30′ A.1 C.2 解析:选 C.tan 67°30′- = tan 67°30′-1 tan 67°30′
10
2 2

A

B. 2 D.4
1 tan 67°30′

-2 -2 = =2. 2tan 67°30′ tan 135° 2 1-tan 67°30′ π 5.已知 0<α <β < ,sin α +cos α =m,sin β +cos β =n,则( ) 4 A.m<n B.m>n C.mn<1 D.mn>1 2 2 解析:选 A.m =(sin α +cos α ) =1+sin 2α , π n2=(sin β +cos β )2=1+sin 2β ,因为 0<α <β < , 4 π π ? ? 所以 0<2α <2β < ,因为 y=sin x 在?0, ?上为增函数,所以 sin 2α <sin 2β ,即 2? 2 ? m2<n2,又 m>0,n>0, 所以 m<n,故选 A. sin 2α cos α -sin α 6.化简: =________. cos 2α 2 sin 2α cos α -sin α 2sin α cos α -sin α 解析: = 2 cos 2α 2cos α -1 2 sin α (2cos α -1) = =sin α . 2 2cos α -1 答案:sin α ? π? 7.已知 tan x=2,则 tan 2?x- ?=________. 4? ? 2tan x 4 解析:因为 tan x=2,所以 tan 2x= 2 =- . 1-tan x 3 π? ? sin ?2x- ? 2? π π ? ? ? ? ? tan 2?x- ?=tan?2x- ?= 4? 2? π? ? ? ? cos?2x- ? 2? ? -cos 2x 1 3 = =- = . sin 2x tan 2x 4 3 答案: 4 1 2 8.函数 y= sin 2x+sin x,x∈R 的值域是________. 2 1 1 1-cos 2x 2 解析:y= sin 2x+sin x= sin 2x+ 2 2 2 π? 1 1 1 1 2 ? = sin 2x- cos 2x+ = sin?2x- ?+ , 4? 2 2 2 2 2 ? = 2 1 2 1? + , + ?. 2 2 2 2? 2 1 2 1? ? 答案:?- + , + ? 2 2 2 2? ? 3 ? π? 2 9.已知函数 f(x)=cos x·sin?x+ ?- 3cos x+ ,x∈R. 3? 4 ? (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4? 所以函数的值域为?-

? ?

11

3 3 ?1 ? 2 解:(1)f(x)=cos x? sin x+ cos x?- 3cos x+ 4 2 ?2 ? 1 3 3 2 = sin 2x- cos x+ 4 2 4 1 3 1+cos 2x 3 = sin 2x- × + 4 2 2 4 π? 1 3 1 ? = sin 2x- cos 2x= sin?2x- ?, 3? 4 4 2 ? 故 f(x)的最小正周期为π . ? π π? (2)因为 x∈?- , ?, ? 4 4? π ? 5π π ? 所以 2x- ∈?- , ?, 6? 3 ? 6 π? ? 1? ? ? 1 1? 所以 sin?2x- ?∈?-1, ?,所以 f(x)∈?- , ?, 3 2 ? ? ? ? ? 2 4? 1 1 ? π π? 函数 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? 4 4? 10. 如图, 有一块以点 O 为圆心的半圆形空地, 要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD 开辟为绿地,使其一边 AD 落在半圆的直径上,另两点 B,C 落在半圆的圆周上.已知半圆的 半径长为 20 m,如何选择关于点 O 对称的点 A,D 的位置,可以使矩形 ABCD 的面积最大?

解:

连接 OB,设∠AOB=θ ,则 AB=OBsin θ =20sin θ ,OA=OBcos θ =20cos θ ,且 π θ ∈(0, ). 2 因为 A,D 关于点 O 对称, 所以 AD=2OA=40cos θ . 设矩形 ABCD 的面积为 S,则 S=AD·AB=40cos θ ·20sin θ ? π? =400sin 2θ .因为 θ ∈?0, ?, 2? ? π 2 所以当 sin 2θ =1,即 θ = 时,Smax=400(m ). 4 此时 AO=DO=10 2(m). 2 故当 A、D 距离圆心 O 为 10 2 m 时,矩形 ABCD 的面积最大,其最大面积是 400 m . [B.能力提升] x x 6 ? 5π π ? 2x 1. 已知不等式 3 2sin cos + 6cos - -m≤0 对于任意的 x∈?- , ?恒成立, 6? 4 4 4 2 ? 6 则实数 m 的取值范围是( ) A.m≥ 3 B.m≤ 3 C.m≤- 3 D.- 3≤m≤ 3

12

x x 6 2x 解析:选 A.3 2sin cos + 6cos - 4 4 4 2
3 2 x 6 x ?x π ? sin + cos = 6sin? + ?. 2 2 2 2 ?2 6 ? x π ? π π? ? 5π π ? 因为 x∈?- , ?,所以 + ∈?- , ?, 6? 2 6 ? 4 4? ? 6 x π ? ? 所以 6sin? + ?∈[- 3, 3], ?2 6 ? = 由题意可知 m≥ 3. 2.已知 α ∈R,sin α +2cos α = A. 4 3 10 ,则 tan 2α =( 2 3 B. 4 4 D.- 3 )

3 C.- 4

5 2 2 2 解析: 选 C.把条件中的式子两边平方, 得 sin α +4sin α cos α +4cos α = , 即 3cos 2 2 3 3cos α +4sin α cos α 3 3+4tan α 3 2 α +4sin α cos α = ,所以 = ,所以 = ,即 3tan 2 2 2 2 cos α +sin α 2 1+tan α 2 1 α -8tan α -3=0,解得 tan α =3 或 tan α =- , 3 2tan α 3 所以 tan 2α = =- . 2 1-tan α 4 1 ? ?x+1=0 的一个根是 2+ 3, 2 3. 已知方程 x -?tan α + 则 sin 2α =________. ? tan α ? ? 解析:由题意可知 ?sin α +cos α ?(2+ 3)+1=0, 2 (2+ 3) -? ? ?cos α sin α ? 2 2 sin α +cos α 即 8+4 3- (2+ 3)=0, sin α cos α 1 所以(2+ 3) =4(2+ 3), 1 sin 2α 2 1 所以 sin 2α = . 2 1 答案: 2 1 cos 2α ? π? 4.已知 sin α = +cos α ,且 α ∈?0, ?,则 的值为__________. 2? 2 π? ? ? sin?α - ? 4? ? 1 1 解析:由 sin α = +cos α 得 sin α -cos α = , 2 2 2 1 所以(sin α -cos α ) =1-2sin α cos α = , 4 3 所以 2sin α cos α = . 4

13

cos 2α cos α -sin α 所以 = π? 2 ? sin?α - ? 4 ? 2 (sin α -cos α ?

2

2

)

=- 2(sin α +cos α ), 2 7 而(sin α +cos α ) =1+2sin α cos α = , 4 π 7 又因为 0<α < ,所以 sin α +cos α = , 2 2 所以原式=- 答案:- 14 2 14 . 2

5. 已知向量 a=(cos ω x-sin ω x, sin ω x), b=(-cos ω x-sin ω x, 2 3cos ω x),设函数 f(x)=a·b+λ (x∈R)的图像关于直线 x=π 对称,其中 ω ,λ 为常数,且

?1 ? ω ∈? ,1?. ?2 ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; 3π ?π ? (2)若 y=f(x)的图像经过点? ,0?,求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围. 5 ?4 ?
解:(1)f(x)=a·b+λ =sin ω x-cos ω x+2 3sin ω xcos ω x+λ = 3sin 2ω x -cos 2ω x+λ π? ? =2sin?2ω x- ?+λ , 6? ? 且直线 x=π 是 f(x)的图像的一条对称轴, π π 所以 2ω π - =kπ + (k∈Z), 6 2 k 1 所以 ω = + (k∈Z). 2 3 5 ?1 ? 又因为ω ∈? ,1?,所以 ω = , 2 6 ? ? 6π 所以 f(x)的最小正周期为 . 5 ?π ? (2)y=f(x)的图像经过点? ,0?, ?4 ? π ? ? 所以 f? ?=0, ?4? π ? 5 π π? 即 λ =-2sin?2× × - ?=-2sin =- 2, 4 ? 6 4 6? 5 π ? ? ? 3π ? 则 f(x)=2sin? x- ?- 2,又 x∈?0, ?, 6? 5 ? ?3 ? π 5 π 5 π ? ? ? 3π ? 则 x- ∈?- , ?,所以函数 f(x)在区间?0, ?上的取值范围为[-1- 2,2 6 ? 5 ? 3 6 ? 6 ? - 2]. 6.(选做题)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: 2 2 ①sin 13°+cos 17°-sin 13°cos 17°; 2 2 ②sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°; 2 2 ③sin 18°+cos 12°-sin 18°cos 12°; 2 2 ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos 48°;
14
2 2

⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos 55°. (1)请根据②式求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)计算如下: 1 3 2 2 sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°=1- sin 30°= . 2 4 3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α )= . 4 证明如下: 2 2 2 法一:sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α )=sin α +(cos 30°cos α + 3 2 3 2 2 sin 30°sin α ) -sin α (cos 30°cos α +sin 30°· sin α )=sin α + cos α + sin 4 2 1 2 3 1 2 3 3 2 3 2 α cos α + sin α - sin α cos α - sin α = sin α + cos α = . 4 2 2 4 4 4 1-cos 2α + 2 1+cos(60°-2α ) 1 1 1 1 -sin α (cos 30°cos α +sin 30°sin α )= - cos 2α + + 2 2 2 2 2 法 二 : sin α + cos (30 ° - α ) - sin α cos(30 ° - α ) =
2 2

2

2

(cos 60°cos 2α +sin 60°sin 2α )- 2α +

3 1 1 1 1 1 2 sin α cos α - sin α = - cos 2α + + cos 2 2 2 2 2 4

3 3 1 3 sin 2α - sin 2α - (1-cos 2α )= . 4 4 4 4

15


...三角恒等变形 3二倍角的三角函数 第2课时半角公式及...

【优化方案】2016高中数学 三角恒等变形 3二倍角的三角函数 第2课时半角公式及其应用 训练案知能提升_数学_高中教育_教育专区。第二章 三角恒等变形 3 二倍角的...

...】2016-2017学年高中数学 第三章 三角恒等变形 3.3 ...

【优化指导】2016-2017学年高中数学 第三章 三角恒等变形 3.3 二倍角的三角函数练习 北师大版必修4_数学_高中教育_教育专区。§3 1.若 tan α =3,则的值...

2015-2016学年高中数学 第3章 3二倍角的三角函数课时作...

2015-2016学年高中数学 第3章 3二倍角的三角函数课时作业 北师大版必修4_...3 D. 4 ) [答案] D [解析] 本题考查了三角的恒等变形以及倍半角公式. ...

2015-2016学年高中数学 第3章 三角恒等变形基础知识检...

2015-2016学年高中数学 第3章 三角恒等变形基础知识检测 北师大版必修4_数学_...5 [答案] π 2 [解析] 本题考查了倍角公式及三角函数的性质. π 1-cos...

2016_2017学年高中数学第3章三角恒等变换3.2二倍角的三...

2016_2017学年高中数学第3章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数学案_数学_高中...【金版学案】2016-2017苏... 暂无评价 6页 2下载券 【优化指导】2016-2017...

...版高中数学必修4检测:第3章3.2二倍角的三角函数 Wor...

【金版学案】2016-2017苏教版高中数学必修4检测:第3章3.2二倍角的三角函数 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。数学学习资料 第3章 3.2 三角恒等变换 二...

必修4第三章三角恒等变形 (专题复习用)

第三章三角恒等变形 (专题复习用)_数学_高中教育_...第 2 课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式 掌握二...2 π .已知函数 f(x)=4sinxcos(x+ )+ 3. ...

...2016学年高中数学 3.2二倍角的三角函数练习(含解析)...

【金版学案】2015-2016学年高中数学 3.2二倍角的三角函数练习(含解析)苏教...3 6 6 二倍角公式的逆用、变形应用 1.特别是对二倍角的余弦公式,其变形...

第三章 三角恒等变形

第三章 三角恒等变形_四年级数学_数学_小学教育_教育...【探究新知】 1.思考:如何用任意角α与β 的正弦...两角和与差的正切函数(1 课时) 洋浦实验中学 赵...

第三章 三角恒等变形

第三章 三角恒等变形 3.1 两角和与差的三角函数(...【探究新知】 1.思考:如何用任意角α 与β 的...3 3.1.3 两角和与差的正切函数(1 课时) 一、教学...

相关文档