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福建省厦门市2015届高三上学期期末质检检测数学理试题含解析

时间:2015-02-25


福建省厦门市高三上学期质检检测数学理
【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察,覆盖面广, 注重数学思想方法的简单应用,试题有新意,符合课改和教改方向,能有效地测评学生,有 利于学生自我评价,有利于指导学生的学习,既重视双基能力培养,侧重学生自主探究能力, 分析问题和解决问题的能力,突出应用,同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。 【题

文】一、选择题 【题文】1、 设集合A ? x ? x ? 2 ? 0 ,B ? ?x y ?

?

?

? ?

1 ? ?,则A ? B ? ( 3- x ?

) .

A.?x x ? ?2?
【知识点】集合运算.

B.?x x ? 3?
A1

C. x x ? ?2或x ? 3

?

?

D.?x ? 2 ? x ? 3?

【答案】 【解析】D 解析:∵A={x|x>-2},B={x|x<3},∴A∩B={x|-2<x<3},故选 D. 【思路点拨】化简两已知集合,再求它们的交集. 【题文】2、已知命题 p:?x 0 ? R,sinx 0 ?

A.?x0 ? R, sin x0 ? C.?x ? R, sin x ? 1 2

1 2

1 ,则 ?p是 ( 2 1 B.?x0 ? R, sin x0 ? 2 1 D.?x ? R, sin x ? 2
A3

) .

【知识点】含量词的命题的否定.

【答案】 【解析】D 解析:根据特称命题的否定方法得选项 D 正确,故选 D. 【思路点拨】根据特称命题的否定方法确定结论.

(m, 1 ), b ? m 2 , 2 ,若存在? ? R, 使得a ? ? b ? 0,则m ? 【 题 文 】 3 、 已知向量a ?
( ) . A.0 B.2 C.0 或 2 【知识点】向量的坐标运算. F2

?

?

D.0 或-2

【答案】 【解析】C 解析:根据题意得: m ,1 + l m , 2 = m + l m ,1 + 2l

(

)

(

2

) (

2

) = (0, 0)

ì ? m + l m2 = 0 ? 即í 解得 m=0 或 2,故选 C. ? 1 + 2l = 0 ? ? ?
【思路点拨】利用向量的坐标运算得,关于 l , m 的方程组求解. 【 题 文 】 4 、 曲线y ? 3x 与直线x ? 1 ,x ? 2及x轴所围成的封闭图形的 面积等于
2

( A.1

) . B.3

C.7

D.8

-1-

【知识点】定积分的应用. B13 【答案】 【解析】C 解析:所求=

ò

2

1

2 3x 2dx = x 3 |1 = 7 ,故选 C.

【思路点拨】根据定积分的几何意义求解. 【题文】5、 函数y ? 2cos2 ?

?x ? ? ? ? - 1?x ? R ?的图像的一条对称轴经 过点( ?2 3?
? ? ? C.? ? ,0 ? ? 3 ?
?? ? D.? ,0 ? ?3 ?

) .

? ? ? A.? ? ,0 ? ? 6 ?

?? ? B.? ,0 ? ?6 ?

【知识点】二倍角公式;函数 y = A cos wx + j

(

) 的性质.

C4

C6

【答案】 【解析】D 解析:已知函数为 y = cos ? ? ?x +

骣 ? 桫

2p ÷ ÷,经检验在 A、B、C、D 四个选项 ÷ 3÷

中,只有选项 D 中横坐标使已知函数取得最值,故选 D. 【思路点拨】弦函数的对称轴是使函数取得最值的 x 值.

?表示平面,下列说法正 确的是 【题文】6、已知l , m表示两条不同的直线,
( ) .

A.若l ^ a , m P a , 则l ^ m
C.若l m, m ? ? , 则l ?

B .若l ^ m , m 蘜a , 则l

a

D.若l ? , m ? , 则l m

【知识点】线面位置关系的判定与性质. G4 G5 【答案】 【解析】A 解析:对于选项 A:设过直线 m 的平面交平面 a 于 n,因为 m P a , 所以 m∥n, 又 l ^ a ,所以 l ^ n ,所以 l ^ m ,故选 A. 【思路点拨】根据线面位置关系的判定与性质得选项 A 正确. 【题文】7、等差数列 ?an ? 中, a3 和 a9 是关于方程 x ?16x ? c ? 0 ? c ? 64? 的两根,则该数
2

列的前 11 项和 S11 (

) .

A.58 B.88 C.143 D.176 【知识点】等差数列及其前 n 项和. D2

【答案】 【解析】B 解析:因为 a3 + a9 =16,所以 S 11 = 故选 B. 【思路点拨】利用等差数列的性质求解.

(a

3

+ a9 ) 11 2

=

16 ? 11 = 88 , 2

-2-

【题文】 8. 在直角坐标系中,函数 f ( x ) ? sin x ?

1 的图像可能是( x

) .

【知识点】函数的图像与性质. B8 【答案】 【解析】A 解析:因为 f(x)是奇函数,所以排除选项 C、D.又 f ? (x ) = cos x +

1 在 x2

x∈ ? ?0,

骣 ? 桫

p÷ ÷大于零恒成立,所以 f(x)在 ÷ 2÷

骣 p÷ ? 0, ÷ ? ÷上是增函数,故选 A. ? 桫 2÷

【思路点拨】利用函数的奇偶性、单调性确定结论. 【题文】9.椭圆 E:

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F,直线 y ? x ? m 与椭圆 E 交于 A,B 两点。若 a2 3
).

△FAB 周长的最大值是 8,则 m 的值等于 (

A.0

B. 1
H5

C.

3

D. 2

【知识点】椭圆的定义及性质.

【答案】 【解析】B 解析:设椭圆的左焦点 F ?,则△FAB 周长

= A F + BF + A B ? A F

BF + A F ⅱ + BF = 4a = 8 ,所以 a=2,当直线 AB 过焦点

F ?(-1,0)时,△FAB 周长取得最大值,所以 0=-1+m,所以 m=1.故选 B.
【思路点拨】利用椭圆的定义和三角形的性质求得结论.

-3-

【题文】10.设函数 fn (x ) = x 则 ( ).

x3 x5 x 2n - 1 + - ... + (- 1)n - 1 ,(x 挝 [0,1], n 3! 5! (2n - 1)!

N *) ,

A. f 2 ( x) ? sin x ? f3 ( x) C. sin x ? f 2 ( x) ? f3 ( x)

B. f3 ( x) ? sin x ? f 2 ( x) D. f 2 ( x) ? f3 ( x) ? sin x

【知识点】导数的应用;比较大小. B12

【答案】 【解析】A 解析:因为 f2 (x ) = x -

x3 x3 x5 ,x∈[0,1], , f 3 (x ) = x + 6 6 120


0, 1 上的减函数, 所以 f2(x ) ? f3(x ) . 设 h (x ) = f2 x - sin x ,利用导数判定 h(x)是 轾 犏
得 h(x) ? h(0)=0 蓿 f2(x )

()

0, 1 sin x ;设 g(x ) = f3(x ) - sin x ,利用导数判定 g(x)是 轾 犏 臌

上的增函数,得 g(x) ? g(0)=0 蕹 f3(x )

sin x ,故选 A.

【思路点拨】利用导数比较函数的大小关系. 【题文】二、填空题:本大题 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。把答案填在答题卡相应位置。 【题文】 (一)必做题:共四题,每小题 4 分,满分 16 分。 【题文】11.已知 sin ? ? 2 cos ? , 则 tan( ? ? 【知识点】三角函数的求值. C7 【答案】 【解析】-3 解析:由 sin a = 2 cos a ? t an a

?
4

)=

.

2 ,所以

t an(a +

p t an a + 1 2 + 1 )= = = - 3 4 1 - t an a 1- 2

【思路点拨】利用同角三角函数关系,两角和的正切公式求解. 12.【题文】三棱柱的三视图如图所示,则该棱柱的体积等于 .

【知识点】三视图的应用. G2

-4-

【答案】 【解析】3 解析:由三视图可知,此三棱柱是直三棱柱,其高为 3,底面是底边长 2, 底边上的高为 1 的等腰三角形,所以该棱柱的体积等于 创2

1 2

1? 3

3.

【思路点拨】由三视图得此三棱柱是直三棱柱,且三棱柱的高和底面等腰三角形的底边长及 高的值,从而求得此三棱柱的体积.

x2 y2 【题文】 13.已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 的渐近线与 圆 E : ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 9 相 a b
切,则双曲线 C 的离心率等于 .

【知识点】双曲线的性质;直线与圆位置关系;点到直线的距离. H4 H2 H6 【答案】 【解析】

5 解析:由圆心 E(5,0)到直线 bx - ay = 0 距离等于 3 得: 4

5b a 2 + b2

= 3 ? 9a 2

16b2 = 16 c 2 - a 2 ,即 25a 2 = 16c 2 ? e

(

)

c 5 = a 4

【思路点拨】由点到这些的距离公式得关于 a,b 的方程,进而求得离心率. 【题文】14.已知数列 {an } 中, a1 ? 3, an?1 ? an ? 3bn (b>0)n ? N * , ① b=1 时,

S7 =12;

②存在 ? ? R ,数列 {an - l bn } 成等比数列; ③当 b ? (1,

) 时,数列 {a2 n } 是递增数列;

④当 b ? (0,1) 时数列 {an } 是递增数列 以上命题为真命题的是 【知识点】数列问题. D1 .(写出所有真命题对应的序号) 。

【答案】 【解析】①②③ 解析:①当 b=1 时, {an } 为:3,0,3,0,3,0,3,0,L ,所以 S7 =12 成立;②若数列 {an - l bn } 成等比数列,则 an + 1 - l b
n+1

= - an - l bn ,即

(

)

an + 1 + an = 3bn = l (b + 1) b n (b>0)n
数列 {an - l bn } 成等比数列;③当 b ? (1,

N * ,l =

3 ,所以存在 ? ? R , b+ 1
n- 1

) 时,由②得 an - l bn = (a1 - l b)(- 1)
n- 1

? an

骣 3 (- 1) n- 1 3 ÷ 3bn ? ÷ 1 + = ?3 ( ) ÷ ? b+ 1 b+ 1 桫 b + 1÷
-5-

+

- 3 3b2n 3bn + ,所以 a2n = b+ 1 b+ 1 b+ 1

所以当 b ? (1, 递增数列不成立.

) 时,数列 {a2 n } 是递增数列成立;④由③可知当 b ? (0,1) 时,数列 {an } 是

【思路点拨】逐一分析各命题得每个命题的真假. 【题文】(二)选做题:本题设有三个选考题,请考生任选两题作答,并在答题卡的相应位置 填写答案,如果多做,则按所做的前两题记分,满分 8 分。 【题文】 15 ( 1 ) (选修 4-2 :矩阵与变换)已知矩阵 A ? ? x+y= .

? x? ? 2 ?1? ?1 ? 0 ? ? , 且A ? ? ? ? ? ,则 ?1 1 ? ? 3? ? y ?

【知识点】逆变换与逆矩阵;二阶矩阵. N2 【答案】 【解析】3 解析: Q A ∵矩阵 A = ? ? ?1
- 1

( ) = ( ), \ A ( ) = ( ) ,
0 3 x y x y 0 3

骣 祆 镲 2x - y = 0 x= 1 ?2 - 1÷ ÷ 揶 ,∴ 镲 眄 ÷ ÷ 镲 x+y= 3 y= 2 ? 桫 1÷ 镲 铑

x+ y= 3

【思路点拨】将矩阵与向量积得运算转化为逆矩阵与向量积得运算,再利用矩阵与向量积得 运算法则,得到相关方程组,解方程组得到本题结论. 【题文】(2)(选修 4-4: 坐标系与参数方程)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系,若直线 L 的极坐标方程为 ? cos? ? 1 ,圆 C 的参数方程为;

? x ? 2 ? 2 cos? (?为参数) ,则圆心 C 到直线 L 的距离等于 ? ? y ? 2 sin ?
【知识点】参数方程与极坐标. N3

.

【答案】 【解析】1 解析:直线 L 的直角坐标方程为 x=1,圆心 C(2,0) ,所以圆心 C 到直线 L 的距离等于 1. 【思路点拨】写出直线 L 的直角坐标方程及圆心 C 的直角坐标,从而在直角坐标系下求解. 【题文】(3)(选修 4-5:不等式选讲)已知 x, y ? R 且x ? 2 y ? 2, 则 x ?1 ? 2y ?1 的最
*

大值等于

.

【知识点】柯西不等式的应用. N4 【答案】 【解析】 2 2 ∴由柯西不等式得 解析: Q x, y ? R *且x

2y = 2 ,
x 1 + 1? 2y 1

(

x + 1+

2y + 1

) (

2

= 1?

)

2

-6-

? 12


(

2 轾 12 犏 x + 1 + 犏 臌

)(

) (
1

2y + 1
8, x

)

2

= 2 ? (x

2y + 2) = 2 ? (2

2) = 8

(

x

1

2y

)

2

1

2y

1

2 2,

当且仅当 x + 1 =

2y + 1 = 1 时取等号.

【思路点拨】由条件利用柯西不等式得

(

x + 1+

2y + 1

) = (1 ?

2

x

1 + 1?

2y

1

)

2

? 12

(

2 轾 12 犏 x + 1 + 犏 臌

)(

) (

2y + 1

)

2

由此求得最大值.

【题文】三、解答题:本大题共 5 小题,共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 【题文】16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ?

?

? 1? ) 的图像经过点 ? 0, ? , 且相邻两条对称轴的距 2 ? 2?

离为

? . 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式及其单调递增区间;

B C (2) 在 ?A
求 a 的值.

中, 若 f ( ) ? cos A ? a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,

A 2

1 b?c ? 3, , 且 bc ? 1 , 2

【知识点】三角函数的对称性、周期性与单调性;两角和与差的正弦公式;余弦定理. C4 B3 B4 C5 C8

【答案】 【解析】 (1) f ( x) ? sin(2 x ?

?

6 ,

)

递增区间为 犏 kp -

轾 犏 臌

p p ,kp + ,k 3 6

Z ;

(2)

1 ? ? ? 1? (1)由 f(x)的图像过点 ? 0, ? 得 sin ? = ,又 0 ? ? ? ,∴ ? ? .由 6 . 解析: 2 2 6 ? 2?

? 2? ?? ?? ? 2, 知 f(x)的周期 T=π ,则 2 ? ? ? ? ? ∴ f ( x) ? sin(2 x ? ) ,令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z ,得 6 2 6 2
相邻两条对称轴间的距离为

kp -

p #x 3

kp +

p ,k 6

轾 p p Z , \ f (x ) 的递增区间为 犏 kp - ,kp + ,k 犏 3 6 臌

Z

-7-

(2)由 f ( ) - cos A =

A 2

1 p 1 ,可得 sin(A+ )-cosA = , 2 2 6



p 1 3 1 1 3 1 1 sin A + cos A - cos A = 得 sin A - cos A = ,即 sin(A- )= , 2 6 2 2 2 2 2 2
p p 5p p p < A< = ? A ,\ A 6 6 6 6 6 p 3

Q 0 < A < p, \ -

又 bc=1,b+c=3,据余弦定理可得 a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A = (b + c)2 - 3bc = 6

\ a=

6
? ? 1? 2?
1 ? ? ,又 0 ? ? ? ,∴ ? ? . 2 2 6

【思路点拨】 (1)由 f(x)的图像过点 ? 0, ? 得 sin ? =

由相邻两条对称轴间的距离为 ∴ f ( x) ? sin(2 x ?

?
6
A 2

? 2? ?? ?? ? 2, 知 f(x)的周期 T=π ,则 2 ?

) ,由正弦函数的单调增区间求函数 f(x)的单调增区间; (2)由(1)的

结论及已知条件 f ( ) ? cos A ?

p 1 求得 A = ,再由 bc=1,b+c=3 及余弦定理求得 a 值. 2 3

【题文】 17. (本小题满分 12 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 2 ,对角线交于点 O ,

DE ? 平面ABCD .(1)求证: AC ? BE



0 (2)若 ?ADC ? 120 , DE ? 2 , BE 上一点 F 满足 OF // DE ,求直线 AF 与平面 BCE 所

成角的正弦值 .

【知识点】空间线面位置关系;空间坐标系;空间向量的应用.
-8-

G4 G5 G10 G11

【答案】 【解析】(1)证明:见解析; (2)

21 . 7

解析:(1)∵DE⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, ∴DE⊥AC. ∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, 又 DE I BD=D,∴AC⊥平面 BDE, ∵BE ? 平面 BDE,∴AC⊥BE (2)∵DE⊥平面 ABCD,OF∥DE,∴OF⊥平面 ABCD,以 O 为原点 OA,OB,OF 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示:

则A

(

3, 0, 0 , B (0,1, 0),C (-

)

3, 0, 0), E (0, - 1, 2), F(0, 0,1) , uuu r 3, - 1, 0 , BF = (0, - 1,1)

uuu r AF = -

(

uuu r 3, 0,1 , BC = -

)

(

)

u r uuu r ì ? u r n ? BC ? u r uuu r 设平面 BCE 的法向量为 n = (x , y , z ) ,则 镲 眄 镲 n ?BF 镲 ? ?

ì ? ? - 3x - y = 0 ? -y+ z= 0 0 ? ? 0

u r 取 n = 1, -

(

3, -

uuu r u r uuu r u r A F ?n 2 3 A F , n = uuu = 3 ,则 cos狁 r u r = 2 ? 7 A F ×n

)

21 7

设直线 AF 和平面 BCE 所成的角为 q ,则 sin q = cos狁 A F, n =

uuu r u r

21 . 7

【思路点拨】 (1)证 AC⊥平面 BDE 即可; (2)建立空间直角坐标系,利用空间向量的坐标求 解. 【题文】18. (本小题满分 12 分) 如图,梯形 OABC 中, OA ? OC ? 2 AB ? 1, OC // AB , ?AOC ? 设 OM ? ? OA, ON ? ? OC (? ? 0, ? ? 0), OG ? (1)当 ? ?

?
3



1 (OM ? ON ) . 2

1 1 , ? ? 时,点 O, G , B 是否共线,请说明理由; 2 4
-9-

(2)若 ?OMN 的面积为

3 ,求 OG 的最小值. 16

【知识点】平面向量基本定理;模与数量积的运算. F2 F3

【答案】 【解析】(1)共线,理由:见解析; (2)

3 . 4

解析: (1)当 l =

uuu r uuu r uuu r uuu r 1 uuu r 1 1 , m = 时,OB = OA + A B = OA + OC 2 4 2

uuu r 1 uuur uuu r r 1 uuu r uuu r 1 uuu r 1骣 1 uuu 1骣 鼢 , OG = OM + ON = 珑 = OA + OC 珑OA + OC 鼢 鼢 鼢 4桫 2 2珑 2 4 2 桫

(

)

uuu r uuu r uuu r uuu r \ OB P OG ∴OB = 4OG , ,∴O,G,B 三点共线.
(2) S VOMN =

r 1 uuur uuu p OM ? ON sin 2 3

1 3 3 ,∴ l m = l m= 4 4 16

uuu r r r uuu r 1 uuur uuu 1 uuu OG = OM + ON = l OA + m OC 2 2

(

) (

)

uuu r 2 1 骣 uuu r2 uuu r2 1骣 p 2 2 ÷ ? ÷ OG = ? l OA + m OC + 2 l m = l 2 + m2 + 2l m cos ÷ ÷ ? ? ÷ ÷ 4? 4? 3÷ 桫 桫
= 1 2 3l m l + m2 + l m ? 4 4

(

)

3 1 ,当且仅当 l = m = 时取等号, 16 2

∴ OG 的最小值是

3 . 4
uuu r uuu r
uuu r uuu r

【思路点拨】(1)把向量OB , OG 都用OA , OC ,再看OB ,OG 是否共线,从而判断点 O, G , B

uuu r uuu r

- 10 -

是否共线; (2)由 ?OMN 的面积为

1 3 得l m = , 16 4

再由OG =

uuu r

r r uuu r 1 uuur uuu 1 uuu OM + ON = l OA + m OC 得 2 2

(

) (

)

uuu r2 1 3l m OG = l 2 + m2 + l m ? 4 4

(

)

3 1 ,当且仅当 l = m = 时取等号, 16 2

∴ OG 的最小值是

3 . 4

90? (单位:克) 【题文】19.某营养学家建议:高中生每天的蛋白质摄入量控制在 ?60, ,脂肪
, 27?(单位:克).某学校食堂提供的伙食以食物 A 和食物 B 为主,1 千克 的摄入量控制在 ?18
食物 A 含蛋白质 60 克,含脂肪 9 克,售价 20 元;1 千克食物 B 含蛋白质 30 克,含脂肪 27 克, 售价 15 元. (1)如果某学生只吃食物 A,他的伙食是否符合营养学家的建议,并说明理由; (2)为了花费最低且符合营养学家的建议,学生需要每天同时食用食物 A 和食物 B 各多少 千克? 【知识点】二元一次不等式(组)的区域表示;线性规划问题. E5 【答案】 【解析】 (1)不符合营养学家的建议,理由:见解析; (2)学生每天吃 0.8 千克食物 A,0.4 千克食物 B. 解析:(1)如果学生只吃食物 A ,则

当蛋白质摄入量在[60,90](单位:克)时,则食物 A 的重量在[1,1.5] (单位:千克),其 相应的脂肪摄入量在[9,13.5](单位:克),不符合营养学家的建议; 当脂肪摄入量在[18,27](单位:克)时,则食物 A 的重量在[2,3] (单位:千克),其相应 的蛋白质摄入量在[120,180](单位:克),不符合营养学家的建议; (2)设学生每天吃 x 千克食物 A ,y 千克食物 B ,

祆 镲 60 ? 60x 30y #90 镲 镲 镲 则有 眄 18 ? 9x 27y ^27 镲 镲 x 吵0, y 0 镲 镲 铑
ì ? 4 2÷ ? 2x + y = 2 解得 M 骣 ? 由í , ÷ ? ? ? ÷ x + 3 y = 2 5 5÷ 桫 ? ?

2 2x + y 3 2 ? x 3y 3 x 吵0, y 0

作出其相应的可行域,如图阴影部分所示,每天的伙食费为 z=20x+15y

作直线 l0 : 20x + 15y = 0 ,平移 l 0 过点 M 时,z 有最小值且 z min = 20 ?

4 5

15 ?

2 5

22

- 11 -

所以学生每天吃 0.8 千克食物 A,0.4 千克食物 B,既能符合营养学家的标准又花费最少.

【思路点拨】(1)分两种情况讨论:①当每天的蛋白质摄入量符合要求时,看脂肪的摄入量是 否符合要求,②当每天脂肪的摄入量符合要求时,看蛋白质的摄入量是否符合要求; (2)利用线性规划的知识求解. 【题文】20.已知抛物线 E:y ? 4 x ,点 F ?a,0? ,直线 l : x ? ?a?a ? 0? .
2

(1) P 为直线 l 上的点,R 是线段 PF 与 y 轴的交点, 且点 Q 满足 RQ ? FP , PQ ? l , 当a ?1 时,试问点 Q 是否在抛物线 E 上,并说明理由 (2)过点 F 的直线交抛物线 E 于 A, B 两点,直线 OA, OB 分别与直线 l 交于 M , N 两点

?O为坐标原点? ,求证:以 MN 为直径的圆恒过定点,并求出定点坐标.

【知识点】抛物线的定义和几何性质;直线的方程;圆的方程;直线与抛物线的位置关系. H7 H1 H3 H8

【答案】 【解析】(1) Q 点在抛物线 E 上,理由:见解析; (2)证明:见解析,以 MN 为直径 的圆恒过定点 2 a - a, 0 , - 2 a - a, 0

(

)(

).

解析: (1)由已知 a=1 得 F(1,0)为焦点, l :x= -1 为准线, 因为 O 点为 FC 得中点且 OR∥PC,所以 R 为线段 PF 中点, 又因为 EQ⊥PF,所以 RQ 为 PF 得垂直平分线,可知 PQ=QF.
- 12 -

根据抛物线定义得 Q 点在抛物线 E: y 2 = 4x 上. 如图所示.

(2)由图形的对称性可知定点在 x 轴上,设定点坐标 K(m,0), 直线 AB 的方程为 x=ty+a(t≠0),代入 y 2 = 4x 得 y 2 - 4tx - 4a = 0 .
2 y1 2 y2

设 A(

4

, y1 ), B(

4

, y 2 ) 由韦达定理得 y1 + y2 = 4t , y1y2 = - 4a

又求得 K OA =

4 4 4 4 .故直线 OA 的方程: y = , K OB = x ,直线 OB 方程: y = x y1 y2 y1 y2

得到 M (- a,

- 4a - 4a ), N (- a, ) . 由于圆恒过定点 K(m,0),根据圆的性质可知 y1 y2

∠MKN=90°,即 KM ?KN

uuu u r uuu r

uuuu r r - 4a uuu - 4a ), KN = (- a - m , ) 0 , 又 KM = (- a - m , y1 y2

所以 - a - m

(

)

2

+

16a 2 = 0? y1y 2

(a

m ) - 4a = 0 ,所以 m = ? 2 a

2

a.

故以 MN 为直径的圆恒过定点 2 a - a, 0 , - 2 a - a, 0

(

)(

)

【思路点拨】(1)根据抛物线的定义判断结论; (2)设出直线 AB 的方程 x=ty+a,代入抛物线 方程得 y 2 - 4tx - 4a = 0 ,设 A( 1 , y1 ), B( 2 , y 2 ) 由韦达定理得 4 4 ,

y2

y2

y1 + y2 = 4t , y1y2 = - 4a
2

,利用直线 OA,OB 的方程求得 M,N 的坐标,写出以线段 MN 为直
2

(x + a ) + (y 径的圆的方程:
()

- 4ty - 4a = 0 ,此方程所过的与 t 无关的点是

)

(2 a - a, 0), (- 2 a - a, 0) ,故以 MN 为直径的圆恒过定点.
【题文】21.设函数 f x = ax - ln x - 1 n 纬N , n (I)若 a = 2, n = 2 ,求函数 f ?x ? 的极值; (II)若函数 f ?x ? 存在两个零点 x1 , x2 ,
n

(

*

2, a > 1

)

- 13 -

2

⑴求 a 的取值范围;

⑵求证: x1 x2 ? e n

?2

(e 为自然对数的底数) E7

【知识点】导数的应用;方程的解;不等式的证明. B12

【答案】 【解析】 (I)函数 f(x)的极小值

1 (II) (1) (ln 2 - 1) ,无极大值; 2
1 2x 2 - 1 , = x x

解析: (I)依题意得:x∈(0,+∞) ,f ? (x ) = 2x -

令f? (x ) > 0 得 x >

骣 2÷ 2 2 ? ÷ ,令 f ? ,则函数 f(x)在 ? 上单调递减, (x ) < 0 得 0 < x < 0, ÷ ? ÷ ? 2 2 2 ÷ ? 桫

在? ?

骣2 ? ,+ ? ?2 桫

÷ ÷ 上单调递增. ÷ ÷ ÷

∴f(

2 1 ) = (ln 2 - 1)为函数 f(x)的极小值;无极大值. 2 2
n- 1

(x ) = nx (II) (1)由 f ?

-

1 n =0 ? nx x

1 = 0 ,∴ x 0 =

n

1 ,∵ n ? 2 , n

∴函数 f(x)在 0, x 0 上单调递减,在 x 0 , + ∴ f x0 =

(

)

(

) 上单调递增,

( )

1 1 1 - ln n - 1 = (1 + ln n - n ) n n n
2) ,∵ g ?(x ) =

令 g x = ln x - x + 1(x

()

1 - 1 x

0 ,∴ g (x ) ? g (2)

ln 2 - 1 < 0

∴ ln n - n + 1 < 0 ,即 f x 0 < 0 ∵ x0 =

( )

n

1 < 1 < 2, \ f (2) > f (1) = 0 ; n
n

又∵ x 0 =

骣 1 1 1 1鼢 骣 1 鼢 > > ,\ f 珑 = 珑 鼢 珑 n n ne ne 鼢 桫 ne 桫

2

骣 1 1 - ln - 1= ne ne 桫

2

+ ln n > 0

根据零点存在性定理可知:f(x)在 0, x 0 和 x 0 , +

(

) (

) 各有一个零点.

(2)不妨设 x1 > x 2 , x 1, x 2 ? 0,

(

) ,依题意得:

n n n n ①-②得: x 1 - x2 = ln x 1 - ln x 2 ,①+②得: x 1 + x2 = ln(x 1x 2 ) + 2

- 14 -

∴ ln(x 1x 2 ) + 2 =

(ln x

1

n n - ln x 2 ) x 1 + x2 n n x1 - x2

(

),
2,
2 , n

设t =

x1 x2

> 1, \ ln(x 1x 2 ) = (ln t ) ?
2 -2

tn + 1 tn - 1

欲证 x 1x 2 > e n

,只要证: ln(x 1x 2 ) >

tn + 1 2 - 2 ,即证: (ln t ) ? n n t - 1
1) ,

即证: ln t >

2 tn - 1 2 tn - 1 ,设 g(t)= ln t ? (t n tn + 1 n tn + 1

1 2 2nt n - 1 Q g? (t ) = ? t n tn + 1 2

(

)

(t t (t

n

- 1

n

) + 1)

2

2

> 0

∴g(t)在(1,+∞)上递增,∴g(t)>g(1)=0,

2 tn - 1 ∴ ln t > , n tn + 1

tn + 1 ∴ (ln t ) ? n t - 1

2 , n

∴ x 1x 2 > e

2 -2 n

.

【思路点拨】 (I)先求导函数为零的根,再判断根两边导函数值的符号,从而确定函数的极 值情况; (II) (1)利用导数推得结论. (2)不妨设 x1 > x 2 , x 1, x 2 ? 0,

(

) ,依题意得:

n n ①-②得: x 1 - x2 = ln x 1 - ln x 2 , n n x1 + x2 = ln(x 1x 2 ) + 2

① +②得:

,∴ ln(x 1x 2 ) + 2 =

(ln x

1

n n - ln x 2 ) x 1 + x2

(

x - x

n 1

n 2

),

设t =

x1 x2

> 1, \ ln(x 1x 2 ) = (ln t ) ?
2 -2

tn + 1 tn - 1

2 ,下面考虑分析法:
2 , n

欲证 x 1x 2 > e n

,只要证: ln(x 1x 2 ) >

tn + 1 2 - 2 ,即证: (ln t ) ? n n t - 1
1) ,

即证: ln t >

2 tn - 1 2 tn - 1 ,设 g(t)= ln t ? (t n tn + 1 n tn + 1

1 2 2nt n - 1 Q g? (t ) = ? t n tn + 1 2

(

)

(t t (t

n

- 1

n

) + 1)

2

2

> 0 ∴g(t)在(1,+∞)上递增,∴g(t)>g(1)=0,

∴ ln t >

tn + 1 2 tn - 1 ln t ? ,∴ ( ) tn - 1 n tn + 1

2 -2 2 ,∴ x 1x 2 > e n . n

- 15 -


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