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高三数学,一轮复习,人教A版(文), 函数、导数,及其应用 (13) , 课件

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考向一 利用导数研究函数的极值[自主练透型] [例 1] 已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. a [解析] 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-x. 2 (1)当 a=2 时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1-x(x>0), 因而 f(1)=1,f′(1)=-1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x -1),即 x+y-2=0. a x-a (2)由 f′(x)=1-x= x ,x>0 知: ①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数, 函数 f(x)无极值; ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a- aln a,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大 值. ——[悟· 技法]—— 求函数 f(x)极值的步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)解方程 f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; (4)列表检验 f′(x)在 f′(x)=0 的根 x0 左右两侧值的符号, 如果左正右负,那么 f(x)在 x0 处取极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0 处取极小值. ——[通· 一类]—— 1. 设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x), 若函数 y=f′(x) 1 的图象关于直线 x=-2对称,且 f′(1)=0. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 解析:(1)因为 f(x)=2x3+ax2+bx+1, 故 f′(x)=6x2+2ax+b, a2 a 2 从而 f′(x)=6(x+6) +b- 6 , a 即 y=f′(x)关于直线 x=-6对称. 1 a 从而由题设条件知-6=-2,即 a=3. 又由于 f′(1)=0,即 6+2a+b=0, 得 b=-12. (2)由(1)知 f(x)=2x3+3x2-12x+1, 所以 f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2), 令 f′(x)=0,即 6(x-1)(x+2)=0,解得 x=-2 或 x=1. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 即 f(x)在(-∞,-2)上单调递增; 当 x∈(-2,1)时,f′(x)<0, 即 f(x)在(-2,1)上单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 即 f(x)在(1,+∞)上单调递增. 从而函数 f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=21, 在 x=1 处取得极小值 f(1)=-6. 考向二 利用导数研究函数的最值 [例 2] (2017· 湖北省七市(州)联考)设 n∈N*,a,b∈R,函 aln x 数 f(x)= xn +b,已知曲线 y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为 y= x-1. (1)求 a,b; (2)求 f(x)的最大值. a?1-nln x? [解析] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= . n+1 x ∴f′(1)=a,又切线斜率为 1,故 a=1. 由曲线 y=f(x)过点(1,

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