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公式集锦

时间:2015-01-03


Part1 常用的等价无穷小

当x ? 0时,

? x ? 0?
1 ? cos x 1 2 x 2

? x ? 0?

? x ? 0? ? x ? 0? a x ? 1 x ? ln a ? x ? 0?
e ?1 x
x
?

?

1 ? x ?

?1 ? ? x

? x ? 0?
) ? x ? 0? (? ? 1 n



Part2 求导公式与运算法则小结

1. 基本求导公式

(C )? ? 0 (sin x)? ? cos x (tan x)? ? sec 2 x (sec x)? ? sec x tan x (a x )? ? a x ln a
1 (log a x)? ? x ln a 1

? ?1 ( x ? )? ? ? x (cos x)? ? ? sin x (cot x)? ? ? csc 2 x (csc x)? ? ? csc x cot x ( e x )? ? e x

1 (ln x)? ? x
2

1? x 1 (arctan x)? ? 1 ? x2

(arcsin x)? ?

1 ? x2 1 (arc cot x)? ? ? 1 ? x2

(arccos x)? ? ?

1

2. 函数的和,差,积,商的求导法则
(u ? v)? ? u? ? v? (u v)? ? u?v ? u v?
3. 反函数求导法则

(C u )? ? C u ? ( C为常数 )? u ? u ?v ? u v (v ? 0) ? ?? 2 v v

函数的导数等于它的反函数的导数的倒数

dy 1 ? dx dx

d y

4. 复合函数求导法则

y=f (u),u ? ? ( x)复合成函数y ? f [? ( x)]
dy dy d u ? ? dx d u dx
dy ? f ?( u) ? ? ?( x ). 或 dx

5. 隐函数求导方法: 两边同时对x求导 6. 对数求导法则: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求导.

Part3 不定积分公式小结

(1) (2)
(3)

dx (4) ? ? arctan x ? C 或 ? arccot x ? C 2 1? x dx (5) ? ? arcsin x ? C 或 ? arc cos x ? C 1 ? x2 (6) ? cos xdx ? sin x ? C

? k dx ? k x ? C ( k ? 1 x ? ?1 ? C ? x dx ? ? ?1 dx ? x ? ln x ? C

为常数)

( ? ? ?1)

? 0 dx ? C

(7 )

? sin xdx ? ? cos x ? C

dx 2 (8) ? ? sec xdx ? tan x ? C 2 ? cos x dx (9) ? 2 ? ? csc 2 xdx ? ? cot x ? C sin x sin x (10) ? sec x tan xdx ? ? dx ? sec x ? C 2 cos x

cos x (11) ? csc x cot xdx ? ? 2 dx ? ? csc x ? C sin x
(12)
x x e d x ? e ?C ?

x a ?C (13) ? a x dx ? ln a

(14)

?

1 dx ? 2 x ? C x

1 1 (15) ? 2 dx ? ? ? C x x

? tan xdx ? ? ln | cos x | ?C
? sec xdx
? ln | sec x ? tan x | ?C

? cot xdx
? csc xdx

? ln | sin x | ?C
? ln | csc x ? cot x | ?C

1 1 ? ax ? bdx ? a ln ax ? b ? C
1 1 x?a ? ( x ? a)( x ? b) dx ? a ? b ln x ? b ? C
dx 1 x ? a 2 ? x 2 ? a arctan a ? C

?
?
?

dx 1 x?a ? ln | | ?C 2 2 x ?a 2a x?a
dx a2 ? x2
dx x2 ? a2
x ? arcsin ? C ( a ? 0) a

?

dx x2 ? a2

? ln | x ? x ? a | ?C
2 2

? ln | x ? x2 ? a2 | ?C

Part4 不定积分算法小结

1. 凑微分法(第一类换元法)

? f [? ( x )]? ?( x )d x ? ? f [? ( x )] d? ( x ) ? ? f (u)d u u ? ? ( x )
2. 第二类换元法
(1) 根式代换 (2) 三角代换

t ? n ax ? b
a ?x ,
2 2

x ? a sect x ? a sin t a2 ? x2 ? a cos t a2 ? x2 ? a sec t x2 ? a2 ? a tan t 1 (3) 倒数代换 t ? x 3. 分部积分法 (对反幂三指)

a ?x , x ? a tan t
2 2

x ?a ,
2 2

凑微分
d (ax ? b) ? adx d ( x n ) ? nx n ?1dx 1 1 d ( ) ? ? 2 dx x x 1 d x? dx 2 x
d (sin x) ? cos xdx d (cos x) ? ? sin xdx

d (tan x) ? sec2 xdx d (sec x) ? sec x tan xdx

1 d (ln x ) ? dx x d (e x ) ? e x dx

d (arcsin x) ?

1

1 ? x2 1 d (arctan x) ? dx 2 1? x

dx


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