Part1 常用的等价无穷小
当x ? 0时,
? x ? 0?
1 ? cos x 1 2 x 2
? x ? 0?
? x ? 0? ? x ? 0? a x ? 1 x ? ln a ? x ? 0?
e ?1 x
x
?
?1 ? x ?
?1 ? ? x
? x ? 0?
) ? x ? 0? (? ? 1 n
～
Part2 求导公式与运算法则小结
1. 基本求导公式
(C )? ? 0 (sin x)? ? cos x (tan x)? ? sec 2 x (sec x)? ? sec x tan x (a x )? ? a x ln a
1 (log a x)? ? x ln a 1
? ?1 ( x ? )? ? ? x (cos x)? ? ? sin x (cot x)? ? ? csc 2 x (csc x)? ? ? csc x cot x ( e x )? ? e x
1 (ln x)? ? x
2
1? x 1 (arctan x)? ? 1 ? x2
(arcsin x)? ?
1 ? x2 1 (arc cot x)? ? ? 1 ? x2
(arccos x)? ? ?
1
2. 函数的和，差，积，商的求导法则
(u ? v)? ? u? ? v? (u v)? ? u?v ? u v?
3. 反函数求导法则
(C u )? ? C u ? ( C为常数 )? u ? u ?v ? u v (v ? 0) ? ?? 2 v v
函数的导数等于它的反函数的导数的倒数
dy 1 ? dx dx
d y
4. 复合函数求导法则
y=f (u),u ? ? ( x)复合成函数y ? f [? ( x)]
dy dy d u ? ? dx d u dx
dy ? f ?( u) ? ? ?( x ). 或 dx
5. 隐函数求导方法: 两边同时对x求导 6. 对数求导法则： 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求导.
Part3 不定积分公式小结
(1) (2)
(3)
dx (4) ? ? arctan x ? C 或 ? arccot x ? C 2 1? x dx (5) ? ? arcsin x ? C 或 ? arc cos x ? C 1 ? x2 (6) ? cos xdx ? sin x ? C
? k dx ? k x ? C ( k ? 1 x ? ?1 ? C ? x dx ? ? ?1 dx ? x ? ln x ? C
为常数)
( ? ? ?1)
? 0 dx ? C
(7 )
? sin xdx ? ? cos x ? C
dx 2 (8) ? ? sec xdx ? tan x ? C 2 ? cos x dx (9) ? 2 ? ? csc 2 xdx ? ? cot x ? C sin x sin x (10) ? sec x tan xdx ? ? dx ? sec x ? C 2 cos x
cos x (11) ? csc x cot xdx ? ? 2 dx ? ? csc x ? C sin x
(12)
x x e d x ? e ?C ?
x a ?C (13) ? a x dx ? ln a
(14)
?
1 dx ? 2 x ? C x
1 1 (15) ? 2 dx ? ? ? C x x
? tan xdx ? ? ln | cos x | ?C
? sec xdx
? ln | sec x ? tan x | ?C
? cot xdx
? csc xdx
? ln | sin x | ?C
? ln | csc x ? cot x | ?C
1 1 ? ax ? bdx ? a ln ax ? b ? C
1 1 x?a ? ( x ? a)( x ? b) dx ? a ? b ln x ? b ? C
dx 1 x ? a 2 ? x 2 ? a arctan a ? C
?
?
?
dx 1 x?a ? ln | | ?C 2 2 x ?a 2a x?a
dx a2 ? x2
dx x2 ? a2
x ? arcsin ? C ( a ? 0) a
?
dx x2 ? a2
? ln | x ? x ? a | ?C
2 2
? ln | x ? x2 ? a2 | ?C
Part4 不定积分算法小结
1. 凑微分法(第一类换元法)
? f [? ( x )]? ?( x )d x ? ? f [? ( x )] d? ( x ) ? ? f (u)d u u ? ? ( x )
2. 第二类换元法
(1) 根式代换 (2) 三角代换
t ? n ax ? b
a ?x ,
2 2
x ? a sect x ? a sin t a2 ? x2 ? a cos t a2 ? x2 ? a sec t x2 ? a2 ? a tan t 1 (3) 倒数代换 t ? x 3. 分部积分法 (对反幂三指)
a ?x , x ? a tan t
2 2
x ?a ,
2 2
凑微分
d (ax ? b) ? adx d ( x n ) ? nx n ?1dx 1 1 d ( ) ? ? 2 dx x x 1 d x? dx 2 x
d (sin x) ? cos xdx d (cos x) ? ? sin xdx
d (tan x) ? sec2 xdx d (sec x) ? sec x tan xdx
1 d (ln x ) ? dx x d (e x ) ? e x dx
d (arcsin x) ?
1
1 ? x2 1 d (arctan x) ? dx 2 1? x
dx