nbhkdz.com冰点文库

经济数学基础复习题及参考答案


中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案
经济数学基础(专科)
一、填空题: 1.设集合 A ? {1, 2,3, 4}, B ? {1,3,5}, 则A ? B ? ________, A ? B ? _______. 2. 3 1.02 的近似值是________________.
2 3.设 A ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0}, B

? {x x ? 2 ? 0}, 则A ? B ? ________ .

4.若 f ( x) ? 2x2 ?1, 则f ( x ?1) ? ________________. 5. 已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ,则 f (x) ? _____________. x x

6.函数 y ? 2sin 3x的反函数是 ______________. 7.函数 y ? 8. lim
n??

2x ?1 的定义域是 ______________ . 3x ? 2

?

n2 ? n ? n ? ____________. 1/2
x

?

? k? 9. lim ?1 ? ? ? e , 则k ? ____________ . 1/2 x ?? ? x?
10. 函数f ( x) ? e x ?1在x ? ?时极限为 ___________ . 11. d d d
1

? ? ? f ( x)dx ? __________________.
f ( x)

12.已知 y ? e

, 则y' ' ? ___________________________.

(2 ? ?x)2 ? 4 ? ________________ . 13. lim ?x ?0 ?x
14. 函数f ( x)在x0处可导,则f ( x)在x0处的左、右导数_______________. 15. 函数f ( x) ? x +8在x ? 0处的导数______________. 16.

对函数f ( x) ? px 2 ? qx ? r , 在区间? a, b? 上应用拉格朗日中值定理时,所求 的拉格朗日中值定理结论中的? ? ___________ .
ln(1 ? e x ) ? _______________ . x ??? x

17. lim

1 3 1 2 x ? x ? x, 在 ___________ 处取得极大值,在 _________ 处取 18. 9 3 得极小值,点 __________ 是拐点. 函数y ?
1

19.设随机变量 X 的分布密度函数为 f ( x ) ,则 Y ? X 的分布密度为___________________.
3

20.

1 1 dx ? d ______, dx ? ____ d (1 ? 2ln x ). x x

2 2 21. cos x sin xdx ? sin xd ____ ? __________.

?

?

22.

d cos x 2 dx ? ________________ . dx ?

23.

? 2 ? 3x dx ? ______ ? 2 ? 3x d (2 ? 3x) ? _________ .
? ?

1

1

?2 x ?2 x 24. xe dx ? __ xde ? _________ .

25. 设f ( x) ?

?

x

0

(t ? 1)3 (t ? 2)dt , 则f '(0) ? ______ .

26. 设f ( x) ? ?

2 ? x, x ? 0 , 则? f ( x)dx ? ______ . ?1 ?0, x ? 0

27. 如果f ( x)在[a, b]上连续,则在[a, b]上至少存在一点? ,使 28.设 A ? ? ? , ? ?

?

b

a

f ( x)dx ? _______ .

? 2? ?1?

? ? 1? B ? ? ? ,则 ( BAT ) 2 ? ?3? ? ?



?0 ? x1 ? 2 x 2 ? x3 ?? x ? x ? x ? 3 x ? 0 2 3 4 ? 1 29.已知齐次线性方程组 ? 有非零解,则 k ? ?0 ? ? x1 ? 2 x 2 ? kx3 ? x ? 5x ? x ? 2 x ? 0 2 3 4 ? 1
2 3 ? ? ?1 2 ? 1 3 ?2 x ? , 若秩(A)=2,则x ? _______ . 30. 设A ? ? ? ? 2 5 ?4 ?7 ? ? ?
31.



设?1,? 2,? 3是方程组A3?4 X ? b3?1的三个解向量,其中?1 ? [1,0,, 2,0]

? 2+? 3 ? [2, ,,秩r ( A) ? 3, 则AX ? b的一般解 ? _______________ . 311] ,
0 ? x ?1 1 ? x ? 2 ,则 a ? _____________. 其它

? x ? 32.设随机变量 X 的分布密度函数为 f ( x ) ? ? a ? x ? 0 ?
33.设 f ( x) ?

1? 3 x ,要使 f ( x ) 在 x ? 1 处连续,则应补充定义 f (1) ? ______________. 1? x
1 x , g ( x) ? , 则f [ f ( x)] ? _______ , g[ f ( x)] ? ______________ 。 x ?1 x ?1
2

34.已知 f ( x) ?

35.若 lim
x ?2

x 2 ? 3x ? a ? b ,则 b ? _________ , a ? ______ 。 2? x

二、选择题: 1. f ( x)与g ( x)不表示同一函数的是 [ ]

A.f ( x) ? x 与g ( x) ? x 2 ?x x ? 0 B.f ( x) ? x 与g ( x) ? ? 0 ?0 1? x 1 ? x2 C .f ( x) ? 与g ( x) ? 1? x (1 ? x) 2 D.f ( x) ? arcsin x与g ( x) ?

?
2

? arccos x

2. 设函数f ( x) ? x2 ,?( x) ? 2x , 则f

??( x)? ?
2

[

]

A. x 2

2

B、x 2 x

C、x x

D、2 x 2
[ ]

3. 下列函数既是奇函数又是减函数的是

A、f ( x) ? ? x,(?1 ? x ? 1)
C、f ( x) ? sin x, (?

B、f ( x) ? ? x 3

2

? ?

, ) 2 2

D、f ( x) ? x3
[ ]

4. 函数y=cos2x的最小正周期是

A、2?
5.下列极限存在的有

B、 2
1 x

?

C、?

D、? 4
[ ]

A、 e lim
x? 0

B、 lim
x? 0

1 2 ?1
x

C、 sin lim
x ?0

1 x

D、 lim
x ??

x( x ? 1) x2
[ ]

6. lim
x?0

tan 2 x ? x
B、 1

A、 0

1 C、 2

D、 2

7. 若 lim
x ?3

x2 ? 2 x ? k ? 4, 则k ? x ?3
B、 3 C、 1 D、 1 ?

[

]

A、 3 ?

8. 函数y ? f ( x)在x ? a点连续是f ( x)在x ? a点有极限的
3

[

]

A、必要条件

B、充要条件

C、充分条件

D、无关条件
[ ]

9. 函数y ? f ( x)在x0点连续是f ( x)在x0点可导的

A、必要条件

B、充要条件

C、充分条件
x?0

D、无关条件
[ ]

10. 设y ? x( x ?1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4)( x ? 5), y '

?

A、0

B、-5

C、-5!

D、-15
[ ]

11. 下列函数中,在区间 ?11] [ ,上满足罗尔定理条件的是

1 A、 x

B、 x

C、1-x2

D、x ? 1
[ ]

12. 如果函数g ( x)与f ( x)在区间 a, b)内各点的导数都相等,则这两函数在区间 a, b)内 ( (

A、相等

B、不相等

C、均为常数

D、仅相差一个常数
[ ]

13. 若f ( x)的一个原函数为 cos x, 则 f '( x)dx ?

?

A、 x ? c cos
14.

B、-sinx+c

C、sinx+c

D、-cosx+c
[ ]

? f '( x)dx ?
A、f ( x) ? c B、F(x)+c C、f ( x) D、f '( x)+c

15. 如果f ( x)在[a, b]上连续,积分上限的函数

?

x

a

f (t )dt ( x ?[a, b])是
D、f ( x)的所有 原函数

[

]

A、常数

B、函数f ( x)

C、f ( x)的一个原函数

16. 在空间直角坐标系中,M (1,0, 2)和N(0,3,-2)之间的距离d=

[

]

A、10

B、 26

C、 24

D、8
[ ]

17. u ? xyz, 则du ?

A、yzdx

B、yzdx ? xzdy ? xydz

C、xzdy

D、xydz
[ ]

18. 下列矩阵中,必为方阵的是

A、零矩阵

B、可逆矩阵

C、转置矩阵

D、线性方程组的系数矩阵
[ ]

19. 设非齐次线性方程组AX=b有唯一解,A为m ? n矩阵,则必有

A、m=n

B、R(A)=m

C、R(A)=n

D、R(A)<n
[ ]

20.将一枚均匀的硬币投掷 2 次,则正面可能出现的次数为

A、0

B、1

C、 2

D、 或2 0,1,
4

21.任选一个小于 10 的正整数,它恰好是 3 的整数倍的概率是

[

]

3 A、 10

2 B、 9

4 C、 9

1 D、 3
[ ]

22.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0, 4] ,则函数 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 的定义域是 A. [0, 4] B. [1,3] C. (0, 4) D. [?1,5]

23.偶函数的定义域一定是 A.包含原点 C.以上均不一定对 24.函数 f ( x) ? A. (??, 0)

[ B.关于 Y 轴对称 D. (??, ??) [ D. (2, ??) [ B.低阶无穷小量 D.等价无穷小量
x ? x0 x ? x0

]

1 在区间( )上有界。 x( x ? 1)
B. (0,1)
2

]

C. (1, 2)

25.当 x ? 0 时, x ln(1 ? x) 是 sin x 的 A.高阶无穷小量 C.同阶但非等价无穷小量

]

26.若对任意的 x ,总有 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,且 lim[ g ( x) ? ? ( x)] ? 0 ,则 lim f ( x ) A.存在且等于零 C.一定存在 B.存在但不一定为零 D.不一定存在

[

]

0 b 27.行列式 0 0
A. abcdef 三、计算题: 1. lim
x ?1

a 0 c 0 0 d 0 0

0 0 ? e f
C. abdf D. cdf

[

]

B. ?abdf

x2 ? 2 x ? 3 x2 ? x ? 2

2. lim

cos x ? cos a x ?a x?a
sin x

3. y ? x 4. y ?

4

( x ? 1)( x ? 2) (3 ? x)(4 ? x)

5. 若f ( x)存在二阶导数,求函数y ? f (ln x)的二阶导数。

5

6. 设f (u, v)有二阶连续偏导数, z ? f ( x ? y, xy ), 求

?2 z ?x 2

? x?2? 7. lim ? ? x ?? x ? 1 ? ?

x

? x ? 1, x ? 0 ? 8.讨论函数 f ( x) ? ?2 x ? 1, 0 ? x ? 1 在x ? 0及x ? 1处的连续性 。 ? x 2 ? 1, x ? 1 ?
9. lim
x ?0

? ?1 ? cos t ? dt
x 0

x 2 sin x 1 dx (a ? 0). 10. ? x 2 ? a 2 1 dx 11. ? 7 x( x ? 2)
12. 13.

?

1 2 0

arcsin xdx

?

1

0

x 1 ? x 2 dx

2 ?4 2 1 14. D ? 1 7 ?3 ?2

2 4 4 1

0 1 2 1

? ?1
15. 求?的三次方程D ?

2

?2 4 ? 0的根 ? ?4

2 ?2

? ?4
4

16.已知二次曲线 y ? a0 ? a1x ? a2 x2 过 3 个点

pi ( xi , yi ),(i ? 0,1, 2)其中x0 , x1, x2互异,试求方程的系数a0 , a1, a2
17. A ? ?

?1 1? ? 1 ?1? ? , B ? ??1 1 ? , 则AB, BA分别是? ??1 ?1? ? ?
0 0 1? ? x1 ? ?x ? ? 3 0 0? , X ? ? 2 ? , 求方程组AX ? 2 X 的解。 ? x3 ? 0 2 0? ? ? ? 0 0 1? ? x4 ?

?3 ?0 设A ? ? 18. ?0 ? ?1
19. 设A ? ?

? 2 ?3? ,求A2 . 1 4? ? ?
6

? 1 0 ?1? ? 1 ?2 3 ? ? 2 1 4 ? ,B= ? ?1 3 0 ? ,求A2 ? 3 AB 20. 设A ? ? ? ? ? ? ?3 2 5 ? ? 0 5 2? ? ? ? ?
21. 解矩阵方程AX ? B, 其中A ? ?

? 2 5? ?4 ?6? ? 可逆,B ? ?2 1 ? . ?1 3? ? ?

22.在数学系学生中任选一名学生,设事件 A=“选出的学生是男生” ,B=“选出的学生是三年级的学生” , C=“选出的学生是篮球队的” 。 (1)叙述事件 ABC 的含义。 (2)在什么条件下 ABC ? C 成立? (3)什么时候关系 C ? B 成立? 23. 若A ? B,A ? C,且(A)=0.9,P(B ? C P )=0.8,求P(A-BC)。 24. 设(B)=0.3,P(A ? B)=0.6,求P(A B P ). 25.100 件产品中有 10 件次品,现在从中取出 5 件进行检验,求所取的 5 件产品中至多有 1 件次品的概率。 26.从 1~100 这 100 个整数中,任取一数,已知取出的数不大于 50,求它是 2 或 3 的倍数的概率。 27. y ? 2e x ? 3cos x ? 28.

x3

( x ? 1) 2 ? 3 x dx

1 2 -2 3 -1 -2 4 -2 29.计算行列式 D ? 0 1 2 -1 2 3 -3 10
30.某人选购了两支股票,据专家预测,在未来的一段时间内,第一支股票能赚钱的概率为

2 ,第二支股 3

票能赚钱的概率为 概率。

3 3 ,两支股票都能赚钱的概率为 。求此人购买的这两支股票中,至少有一支能赚钱的 4 5

3x 2 ? 1 31.求 lim 2 x ??1 x ? 2 x ? 1
32. lim
x ?3

x2 ? x ? 6 x 2 ? x ? 12

33. lim(
n ??

1 n ?1
2
sin x 0

?

1 n ?2
2

???

1 n ?n
2

)

? 34. lim
x ?0

arcsin tdt

x sin x
7

35. lim (sin 3 x) ?
x ?0

3x

36. 设f ( x)有一个原函数

? sin x , 求?? xf '( x)dx x 2

? x2 , x ? 1 37. f ( x ) ? ? ,为使 f ( x ) 在 x ? 1 处可导,应如何选择常数 a 和 b ? ? ax ? b, x ? 1
38.设 X ? U ? ,?) ,求 E(X),D(X)。 (

? 0, x ? 0 ?x ? X 的分布函数为 F ( x) ? ? , 0 ? x ? 4 ,求 E ( X ) 。 39.已知随机变量 ?4 ? 1, x ? 4 ?
40.随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ? ?

? A cos x ? 0

? 2 ? x ? 2
x ?

求(1)系数 A。 (2)分布函数 F ( X ) ; (3) X 落在区间 (0,

?
4

) 内的概率。

41.一批零件共 100 个,次品率为 10%,接连两次从这批零件中任取一个零件,第一次取出的零件不再放回 去,求第二次才取得正品的概率。 42.设某种动物由出生算起活 20 岁以上的概率为 0.8,活 25 岁以上的概率为 0.4 ,如果现在有一个 20 岁 的这种动物,问它能活到 25 岁以上的概率是多少? 43.从 0,1,2,3 这四个数字中任取 3 个进行排列,求“取得的 3 个数字排成的数是 3 位数且是偶数”的 概率。

?(5 ? ? ) x1 ? 2 x2 ? 2 x3 ? 0 ? 44.问 ? 为何值时,其次线性方程组 ? 2 x1 ? (6 ? ? ) x2 ? 0 有非零解。 ? 2 x ? (4 ? ? ) x ? 0 1 3 ? ? 2 0 0? ? ? ?1 45.设矩阵 A ? ? 0 4 0 ? ,求 A 。 ?0 0 1? ? ?
46.设 A ? ?

?3 4? ? 1 3? ? ?2 1 ? ?, B ? ? ?,C ? ? ? ,则 A ? BC ; 3A ? B ?1 2? ? 2 1? ? 3 2?
2 x
x

47. lim(1 ? )
x ??

48. lim
x?0

tan x x

8

49. lim
x ?0

1 ? cos x x2 1 x

50. lim x ? sin
x ??

51. lim
x ?2

x2 ? 5x ? 6 x2 ? 4 x ? 4
4x ?1 x ? 2x ?1
2

52. lim
x ?1

x 2 ? 7 x ? 12 53. lim 2 x?4 x ? 5 x ? 4
54. lim(4 x ? 3 x ? 2)
3 x ?1

3x 2 ? 6 x ? 7 55. lim x?2 4x ? 9
56. lim(
x ?1

x 2 ? ) 1 ? x 1 ? x2

57. lim(1 ? )
x ??

1 x

x

58. lim(1 ? )
x ??

2 x

5x

59.求下列函数的导数 (1) y ? sin 2 x ? ln x (2) y ? x4 ? 3 x ? 2cos x ? ln x ? 5 (3) y ? (2 x2 ? 7)10 (4) y ?

x sin x 1 ? cos x
5

(5) y ? sin x (6) y ? a 2 ? x 2 (7) y ? ln( x ? x 2 ? a 2 ) (8) y ? ln sin( x ? 1)
2

9

(9) y ? cot

2

x ?1 3
? 1 x

(10) y ? e2 x ? e

60.设年贴现率为 8%,按连续复利贴现,现投资多少万元,30 年末可得 1000 万元?

? x2 ?1 ? 61.设函数 f ( x ) ? ? x ?2? x ?

x?0 0 ? x ? 1 ,求 lim f ( x), lim f ( x) x ?1
x ??? x ?1

62.设函数 y ? 3x 2 ? 1 , (1)用导数的定义求 f '(1) 。 (2)求导函数 f '( x) ,并求 f '(2) 。

p2 63.已知需求函数 Q ? 12 ? ,求边际需求和 Q '(8) 4
64.已知某商品的收益函数 R (Q ) ? 20Q ? Q ,成本函数
2

1 5

1 C (Q) ? 100 ? ? Q 2 , 求当Q=20 时的边际收益、边际成本和边际利润。 4
65.求函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 5 的极值。 66.求函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? 1 的极值。 67.设某产品的成本函数为 C(Q) ? 0.5Q2 ? 20Q ? 3200(元) 。 求当产量为多少时, 该产品的平均成本最小, 并求最小平均成本。
2 x 68. (1 ? x ? cos x ? e ) dx

?

69. ( ? sin x ?

?

1 x

x3 ? a x )dx

x2 dx 70. ? 1 ? x2 x3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 1 dx 71. ? x2
?x 72. e dx

?

73.

? x ? 2 dx
?
?
2 0

1

74.

x cos xdx

10

75.

?
?

e

1

x ln xdx
e x cos xdx

?

76.

2 0

77.求抛物线 y ? 2 ? x2和直线y ? 2x ? 2 所围成的平面图形的面积。 78.求抛物线 y 2 ? 2 x和直线y ? x ? 4 所围成的平面图形的面积。 79. A ? ?

? 45 40 50? ?45 44 48? ? , B ? ?52 60 65? ?46 51 50? ? ?
(3) A ? B

(1)求两矩阵的和。 (2) 2 A ? 3B

? 4 ?5 1 ? ?2 5 4? ? 对矩阵进行初等行变换 80.设矩阵 A ? ? ? ?1 3 2 ? ? ? ? 6 8 ?4 ?
(1)交换 A 的第 2 行与第 4 行 (2)用数 3 乘 A 的第 2 行 (3)将 A 的第 2 行的(-3)倍加到第 4 行

?2 3? ? ? T 81.设 A ? ?1 2 ,求 A ? ? ? 4 ?2 ? ? ?
82.对市场上的某种产品抽查两次,设 A 表示第一次抽到合格品,B 表示第二次抽到合格品。现给出事件 (2)说明哪两个事件是对立的。 A ? B, AB, AB, AB, A ? B :(1)说明上述各事件的意义; 83.某写字楼装有 6 个同类型的供水设备,调查表明,在任意时刻每个设备被使用的概率为 0.1,问:在同 一时间 (1)恰有两个设备使用的概率是多少: (2)至少有 4 个设备被使用的概率是多少?(3)至少 有一个设备被使用的概率是多少?

11

参考答案
一、选择题: 1.B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C 11.C 12.D 13.B 14.A 15.C 16.B 17.B

18.B 19.C 20.D 21.D 22.B 23.B24.D 25.C 26.D 27.B 二、填空题: 1.

2,4, , ?1,3,5??13?
? ?

2. (1.0067)

3. (-?, 1]

4. 2 x ? 4 x ? 1
2

5. x ? 2
2

6.

1 arcsin 2 x 3

7. ? ??, ? ? ?

2? ?2 ? , ?? ? 3? ?3 ?

8.1/2

9.1/2

10. 1 11.

f ( x)dx

12、 f ( x ) [ f ' ( x)]2 ? f ' ' ( x) e

?

?

13.

4

14. 存 在 且 相 等

15. 不 存 在

16. a+b/2

17.1

18. x ? ?1, x ? 3, (1, ?

11 ) 9

19.

2 ? 1 3 ? ( y) ? ( y ) y 3 , y ? 0 3

20.

2 x , ?1/ 2

21.

1 sin x, sin 3 x ? c 3
25.2 26.3 27.

22.

cos x2

23.

1 1 ? , ? ln 2 ? 3x ? c 3 3

24. ?

1 1 ?2 x 1 , ? e (x ? ) ? c 2 2 2

f (? )(b ? a)

28.

?? 2 ? 1? ?6 3? ? ?
32. 2 33、

29. 1

30. -32/9

31. k (? 2+? 3 ? 2?1) ? ?1 ? k[0, ?1,1,1]T ? ?1,2,0,0? (k为任意常数)

1 x ?1 1 34、 ; 35、 (?1, 2) 3 x?2 x?2

三、计算题:
2 x 2 ? 2 x ? 3 lim( x ? 2 x ? 3) lim( x ? 1)( x ? 3) lim( x ? 3) 4 x ?1 1. lim 2 ? ? x?1 ? x?1 ? x ?1 x ? x ? 2 lim( x 2 ? x ? 2) lim( x ? 1)( x ? 2) lim( x ? 2) 3 x ?1 x ?1 x ?1

x?a x?a ?2sin sin cos x ? cos a 2 2 解 : lim ? lim x ?a 2. x ?a x?a x?a x?a sin 2 *sin x ? a ? ? sin a ? lim ? x?a x?a 2 2
3. 法1 y ' ? ( xsin x ) ' ? (esin x ln x ) ' ? esin x ln x (sin x ln x) ' ? xsin x (cos x ln x ? sin x ) :

x

法2:将y ' ? ( xsin x ) ' 两端取对数, y ? sin x ln x, 两边对x求导数 ln 1 sin x sin x y ' ? cos x ln x ? ? y ' ? y(cos x ln x ? ) y x x
12

4.

解:函数两端取对数得 lny= 1 ?(ln( x ? 1) ? ln( x ? 2) ? ln(3 ? x) ? ln(4 ? x))? 4 1 1? 1 1 1 1 ? 上式两端求导: y ' ? ? ? ? (?1) ? (?1) ? y 4 ? x ?1 x ? 2 3 ? x 4? x ? ? 1? 1 1 1 1 ? ? x ?1 ? x ? 2 ? 3 ? x ? 4 ? x ? 4? ? 1 ? 1 1 1 1 ? y? ? ? ? 4 ? x ?1 x ? 2 3 ? x 4 ? x ? ?

? y' ?

5.

解:y ' ? f '(ln x)(ln x) ' ?

f '(ln x) x f ''(ln x) *(ln x) '* x ? f '(ln x) *1 ? f '(ln x) ? y '' ? ? ?' ? x2 ? x ? f ''(ln x) ? f '(ln x) ? x2

解:令u ? x ? y, v ? xy, 则z ? f (u , v )于是 ?z ?f ?u ?f ?v ? ? ? f '1 ? yf '2 ?x ?u ?x ?v ?x ?f '2 ?f '1 ?u ?f '1 ?v ?f ' ?u ?f '2 ?v ? 2 z ?f '1 ?y ? ? ? y( 2 ? ) 6. 2 ? ?x ?x ?x ?u ?x ?v ?x ?u ?x ?v ?x ? f ''11 ? yf ''12 ? yf ''21 ? y 2 f ''22 ? f ''11 ? 2 yf ''12 ? y 2 f ''22
x ?1 *3?1 3

3 ? ? x?2? ? lim ? ? ? lim ?1 ? ? x ?? x ? 1 ? ? x?? ? x ? 1 ?
x

7.

x ?1 ? ? 3 ?3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? lim ?1 ? ? ? *lim ?1 ? ??e x ?? ? x ?? ? x ? 1 ? ? x ?1 ? ? ?

3

在x ? 0处,f (0) ? 0 ? 1 ? ?1,lim f ( x)存在且 lim f ( x) ? f (0),则f ( x)在x ? 0处连续。
8.
x ?0 x ?0

在x ? 1处f (1) ? 2,但 lim f ( x)不存在,则f ( x)在x ? 1处不连续。
x ?1

lim 9.
x ?0

?0 ?1 ? cos t ? dt
x

x sin x

2

? lim
x ?0

? ? ?1 ? cos t ? dt ? ' ?
x 0

?1 ? cos t ?

x 0 cos x

?x

2

sin x ? '

lim 2 x sin x ? x
x ?0

2

?

1 ? cos x sin x 1 ? lim ? 2 2 2 x sin x ? x cos x x?0 2sin x ? 2 x cos x ? 2 x cos x ? x cos x 6
13

? x( x

7

1 dx ? 2)

10. 令x ?

1 1 1 t ? 1? ? dx ? ? 2 dt , ? dx ? ? * ? ? 2 ? dt 7 7 t t x( x ? 2) ? t ? ?1? ? ? ?2 ?t ? t6 1 1 1 ? ?? dt ? ? ln 1 ? 2t 7 ? C ? ? ln 2 ? x 7 ? ln x ? C 7 1 ? 2t 14 14 2

?

1 2 0

arcsin xdx ? x arcsin x

1 2

? ? 2 xd arcsin x
0

1

0

11. ?

1 1 ? 1 ? 1 1 * ??2 x dx ? ? ? 2 ?1 ? x 2 ? d ?1 ? x 2 ? 2 6 0 12 2 0 1 ? x2 1 1 ? 1 ? 3 2 2 ? ? * 2* ?1 ? x ? 2 ? ? ?1 12 2 12 2 0

12.

令x ? sin t, dx ? a sec t tan tdt t ? ? 0, ? ? ? ? ? 2? a sec t ? tan t ? sec tdt 1 ? ln(sec t ? tan t ) ? C ? x2 ? a2 dx ? ? a tan t dt ?
? ln x x2 ? a2 ? ? C. a a

?
13.

1

0

x 1 ? x 2 dx

令x ? sin t , 则dx ? cos tdt , 且当x ? 0时,t ? 0; x ? 1 ? t ?

?
2

?

1

0

x 1 ? x 2 dx ? ? 2 sin t cos 2 t *cos tdt ? ? 2 sin t cos 2 tdt
0 0

?

?

? ??

?

2 0

1 1 cos td cos t ? ? cos3 t 2 ? 3 3 0
2

?

14

2 D?
14.

?4 2 0

0

0

2 0

? 2 1 4 1 3列(-1)+1列,3列?2+2列 ?2 9 4 1 = 1 7 4 2 ?3 15 4 2 ?3 ?2 1 1 ?4 0 1 1

=2 ? ? ?1?
15

3? 3

?2 9 1 2 9 ?3 15 2 =2 =2 ? ? 30 ? 45 ?= ? 30 5 15 ?4 0 1


D的第3列加到第2列,提出第2列的公因子?,在将第2行乘(-1)加到第3行,然后对第2列展开

? ? 1 0 ?2 ? ? 1 0 ?2 ? ? 1 0 ?2 D= 2 ? 4 ?? 2 1 4 ?? 2 1 4 ? ? ?? ? ? 1?? ? ? 8 ? ? 8? ? ? 2 (? ? 9) ? 0 ? ? ?2 ? ? ? 4 ?2 1 ? ? 4 ?2 0 ? ? 8
? ? ? 9, 0, 0

? a0 ? a1 x0 ? a2 x0 2 ? y0 ? 2 16.解 将 3 个点的坐标分别代入二次曲线方程,得到非齐次线性方程组 ? a0 ? a1 x1 ? a2 x1 ? y1 ?a ? a x ? a x 2 ? y 2 2 2 ? 0 1 2
这个关于 a0 , a1 , a2 的方程组的系数行列式 D 是范德蒙行列式,即

1 x0 D ? 1 x1 1 x2 y0
其中 D0 ? y1

x0 2 x12 ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 )( x2 ? x1 ) ? 0 根据克来姆法则,它有唯一解 a j ? Dj / D( j ? 0,1,2) , x2 2 x0 x1 x2 x0 2 x
2 1 2 2

1 y0 y1 1 y2

x0 2 x
2 1 2 2

1 x0 1 x2

y0 y1 y2

x , D1 ? 1

x , D2 ? 1 x1

y2
17. AB ? ?

?0 0? ?2 2? ? , BA ? ? ?2 ?2? ?0 0? ? ?

解:由AX ? 2 X 得(A-2E)X=0.对齐次线性方程组的系数矩阵(A-2E) 1 作初等行变换:-1 ?(1)+(4),再作(4) ?(3),- ? (3) 2 ?1 0 0 1 ? ?1 0 0 1 ? ? 0 1 0 0 ? ? 0 1 0 0 ? ?1 0 0 1 ? ??? ? ? ?0 1 0 0 ? , 18. ? A ? 2 E ? ? ? ? ?0 0 0 0 ? ?0 0 0 ?2 ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 1? ? ? ?1 0 0 ?1? ?0 0 0 0 ? ? x1 ? x4 ? 0 ? 同解方程组为 ? x2 ? 0 ? 得x4 ? x2 ? x1 ? 0. 自由未知量为x3 ? x ?0 ? 4 任取x3 ? k (k为任意常数), 得一般解X= ?0,0,k,0? ? k ?0,0,1,0 ?
T T

15

19. A2 ? ?

?2 ?3? ?2 ?3? ?1 ?18? ?? ??? ? ?1 4 ? ?1 4 ? ?6 13 ?
0 ?1? ? 1 0 ?1? ? ? ? 3 ? 2 1 4 ?? 1 4? ? ?? ? ?3 2 5 ? ? 2 5? ? ? ?? ?3? ? ? 1 0 ?1? ? ?2 0 2 ? ? ? ? ? 2 1 4 ? ? ?4 ?2 ?8 ? 12 ? ? ? ?? ? 15 ? ? ? ?3 2 5 ? ? 6 ?4 ?10 ? ?? ? ?? ?

? 1 0 ?1? ? ? 1 ? A ? 3 AB ? A (A-3B)= ? 2 1 4 ? ? ? 2 ? ? ? ? ?3 2 5 ? ? ? ?3 ? ? ?? ? 1 0 ?1? ? ? 1 0 ?1? ?3 0 ? 2 1 4 ? ?? 2 1 4 ? ? ? 6 3 20. ? ? ? ?? ? ? ? ?3 2 5 ? ? ? ?3 2 5 ? ? ?9 6 ? ? ?? ? ?
2

12 ? ? ?8 4 ?16 ?18 ?44 ? ?? ? ? 28 ?24 ?72 ? ? ?
? 2 5? ? 4 ?6 ? 解矩阵方程AX ? B, 其中A ? ? ? 可逆,B ? ? 2 1 ? . ? 1 3? ? ? -1 -1 -1 21. 因A可逆,在矩阵方程的两端左乘A , 得(A A )X=A B ? X ? A -1 B ? 3 ?5? ? 3 ?5? ? 4 ?6? ? 2 ?23? -1 A -1 ? ? ? ? X ? A B ? ? ?1 2 ? ? 2 1 ? ? ? 0 8 ? ? ?1 2 ? ? ?? ? ? ?
22. (2) 由于ABC ? C,故ABC=C的条件是:当且仅当C ? ABC,也就是说篮球队队员都是三年级的学生。
(3) 当篮球队员全是三年级学生时,C是B的子集,即结论成立。 (1)ABC的含义是“选出的学生是三年级的男生,他不是篮球队的”。

由A ? B,A ? C,知A ? BC ? P(A-BC) P ? (A)-P(BC) P 23. B ? C ? BC,P(B ? C)=(BC)=1-P(BC) 且(A)=0.9,P(B ? C)=0.8 ? P(A-BC)=0.9-0.2=0.7. P
24

P(A ? B) P ? (A)+P(B)-P(AB), AB ? A, P ? ? (A)-P(AB) =P(A ? B) P(B)又由A B ? A ? AB ? P(A B) P A ? AB)=0.6-0.3=0.3 ? ?(
设A ? “所取的5件产品中至多有一件为次品” B= C= ? C

?

25.

5 1 4 C C 90 10 90 故P(A)=P(B)+P(C)= ? ? 0.9231 5 5 C C 100 100

16

设A ? “所取的数不大于50 B=
26. C=

所取的数是2的倍数” 所取的数是3的倍数”,故所求概率为P(BA C ) ?

1 P(A)= , P ? C A)=P(B A)+P(C A)-P(BC A) ? (B 2 P (AB) P (AC) P (ABC) 25 16 3 = ? ? ?( 2 + ? 8)= P (A) P (A) P (A) 100 100 50

? 3? y ' ? 2(e x ) '? 3 ? cos x ? '? ? x 2 ? ' ? ? 27. 3 ? 2e x ? 3sin x ? x 2

( x ? 1)2 x2 ? 2x ? 1 dx=? dx 1 ? 3x x3 28. 2 1 ? ? ? 5 3 8 6 5 3 2 ? ? ? x 3 ? 2 x 3 ? x 3 ?dx ? x 3 ? x 3 ? x 3 ? c 8 5 2 ? ?
1 2 -2 3 -1 -2 4 -2 0 2
? 4???3? ? 2???3? ?2???1?

D?
29.

1 3 2 2 3

2 -3 3 ?1 1 3

= -1 ?4???1??? ?2? 0 10
? 4???3??? ? ?
3? ? ? 2?

1 0

2 0 1

-2 2 2 1

3 1 ?1 4

0 ?1 3 ? 2 ? =-3 2

1 2 -2 = 0 1 0 0 0 0



30、解 设 A={第一支股票能赚钱},B={第二支股票能赚钱},则{两支股票都能赚钱}= AB,{至少有一支股票能赚钱}=A+B.依题设,本题是求 P( A ? B) .
2 3 3 因为 P ( A) ? , P( B) ? , P( AB) ? 3 4 5

由概率加法公式得 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 即至少有一支股票能赚钱的概率为 0.8167%。

49 ? 0.8167 60

17

lim(3x 2 ? 1) 3x 2 ? 1 2 1 x ??1 31、 lim 2 ? ? ? 2 x ??1 x ? 2 x ? 1 lim( x ? 2 x ? 1) 4 2
x ??1

lim( x 2 ? x ? 6) x2 ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) 5 32、 lim 2 ? x?3 2 ? lim ? x ?3 x ? x ? 12 lim( x ? x ? 12) x?3 ( x ? 3)( x ? 4) 7
x ?3

) n ?1 n ?2 n ?n 1 1 1 ? ? ? (i ? 1, 2,..., n) 2 2 n ?n n ?i n2 ? 1 n 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? 2 2 2 2 2 n ?n n ?1 n ?2 n ?n n ?n n 1 33、 lim ? lim ?1 2 n ?? n ?? 1 n ?n 1? n n 1 lim ? lim ?1 n ?? n 2 ? 1 n?? 1 ? 1 n2 1 1 1 应用夹逼原理 ? lim( ? ?? ? )=1 2 2 2 n ?? n ?1 n ?2 n ?n
n ?? 2 2 2

lim(

1

?

1

?? ?

1

arcsin sin x ? cos x x ? cos x ? lim x ?0 x ?0 x cos x ? sin x x sin x x cos x ? sin x 34、 x ?0 cos x ? x sin x 1 ? lim ? x ?0 cos x ? x sin x ? cos x 2
0

? lim

sin x

arcsin tdt

? lim

35、

x ? 0?

lim (sin 3 x)3 x ? lim e3 x ln sin 3 x ? lim e ? ?
x ?0 x ?0 3cos3 x lim sin 3 x x?0? ? 1 3 x2

ln sin 3 x 1 3x

?e

x?0?

lim

ln sin 3 x 1 3x

?e

? e0 ? 1

解:由题设,有 sin x x cos x ? sin x f ( x) ? ( )' ? , 于是 x x2
36、

?? xf '( x)dx ? ??
2

?

?

2

? ? xdf ( x) ? xf ( x) ? ? ?? f ( x)dx
2
2

x cos x ? sin x sin x 4 ? ?? ? ? ?1 x x ? 2 2

?

?

18

37.解: f ( x ) 在 x ? 1 可导,其必要条件是 f ( x ) 在 x ? 1 处连续,即要 f (1 ? 0) ? f (1 ? 0) ? f (1) ,而

f (1 ? 0) ? lim(ax ? b) ? a ? b ,又 f (1) ? 1 ,? a ? b ? 1 ?
x ?1

为使 f ( x ) 在 x ? 1 可导,要求 f ?' (1) ? f ?' (1) 而

f ( x) ? f (1) x2 ?1 ? lim ?2 x ?1 x ?1? x ? 1 x ?1 ? a ? 2, b ? ?1 f ( x) ? f (1) (ax ? b) ? 1 ' f ? (1) ? lim ? lim ?a x ?1? x ?1? x ?1 x ?1 f ?' (1) ? lim ?

? 1 , a? x?b ? 38、解: X 的概率密度为 f ( x) ? ? b ? a 其他 ? 0, ?
而 E( X ) ?

?

??

??

xf ( x)dx ? ? xf ( x)dx ?
a

b

a?b 2
2

故所求方差为 D( X ) ? E ( X ) ? ? E ( X )? ?
2

?

b

a

2 1 ? a ? b ? (b ? a) x dx ? ? ? ? b?a 12 ? 2 ? 2

?1 ? ,0 ? x ? 4 39、解:随机变量 X 的分布密度为 E ( X ) f ( x) ? F '( x) ? ? 4 ? 0, 其他 ?
故 E ( X )=

?

+?

-?

xf ( x)dx ? ?

4

0

1 x2 4 x ? dx ? ?2 4 8 0

19

? (1)1 ? ?

??

??

f ( x) dx ? ?

?

?
2

?

?

A cos xdx ? 2 A ? A ?

2

1 2

x? ?1 ? cos x, 2 ? f ( x) ? ? 2 ? 0, x ? ? ? 2 (2) ? F ( x) ? ?
x

?

f ( x)dx, 当x ? ? 时,f ( x) ? 0, F ( x) ? 0 ?? 2 x x 1 ? ? 1 1 当 ? ? x ? 时,F ( x) ? ? f ( x)dx = ? ? cos xdx = sin x ? ?? ? 2 2 2 2 2 2 当

?

?
2

? x时,F ( x) ? ?

x

??

f ( x)dx = ? 2? x??

1 cos xdx =1 ? 2 2

?

?

0 ? 2 ?1 1 ? ? ? ? F ( x) ? ? sin x ? , ? x ? ? 2 2 2 ?2 40、解: 1 ? ? ? ?x 2

?? ? 1 ? 1 1 2 ? (3) P ?0 ? x ? ? ? F ( ) ? F (0) ? ( sin ? ) ? ? 4? 4 2 4 2 2 4 ?
41、解:按题意,即第一次取出的零件是次品(设为事件 A) ,第二次取出的零件是正品(设为事件 B) , 易知

P( A) ?

10 90 10 90 1 , P( B A) ? ? P( AB) ? P( A) P( B A) ? ? ? 100 99 100 99 11

42、解:设 A 表示“能活 20 岁以上”的事件;B 表示“能活 25 岁以上”的事件,按题意,

P( A) ? 0.8,由于B ? A, 所以AB ? B, 因此P( AB) ? P( B) ? 0.4 P( AB) 0.4 1 按条件概率的定义:P( B A) ? ? ? P( A) 0.8 2
43、解:事件 A 表示“排成的数是 3 位数且是偶数” ;事件 A0 表示“排成的数是末位为 0 的 3 位数” A ; 1 表 示 “ 排 成 的 数 是 末 位 为 2 的 3 位 数 ”; 由 于 3 位 数 的 首 位 数 不 能 为 零 , 所 以

P( A0 ) ?

3 ? 2 ?1 2 ? 2 ?1 ; P( A1 ) ? ; 4 ? 3? 2 4 ? 3? 2 5 12

显然, A0,A1 互斥。 ? P( A) ? P( A0 +A1 ) ? P( A0 ) ? P ( A1 ) ?

20

5??
44、解:方程组的系数行列式为: A ?

2 6?? 0

2 0 ? (5 ? ? )(6 ? ? )(4 ? ? ) 4??

2 2

若方程组有非零解,则它的系数行列式 A =0,从而有 ?1 ? 2, ?2 ? 5, ?3 ? 8 ,其次线性方程组有非零解。 45、 设存在三阶矩阵 A?1 ? (bij ) , 解: 使得 AA ? A A ? E , 则有 2b11 ? 1 , b22 ? 1, b33 ? 1, 以及当 i ? j 4
?1 ?1

?1 ?2 ? ?1 时, bij ? 0 ,故 A ? ? 0 ? ? ?0 ? ?
?3 A ? BC ? ? ?1 46、 ?3 3A ? B ? 3? ?1

0 1 4 0

? 0? ? 0? ? ? 1? ? ?
3 ?? ?2 1 ? ? 3 4 ? ? 7 7 ? ?10 11? ?? ??? ??? ??? ? 1 ?? 3 2 ? ? 1 2 ? ? ?1 4 ? ? 0 6 ? 3 ? ? 9 12 ? ? 1 3 ? ?10 15 ? ??? ??? ??? ? 1? ? 3 6 ? ? 2 1? ? 5 7 ?

4? ?1 ??? 2? ? 2 4? ?1 ??? 2? ? 2

47、

x 2 x 2 2 ?2 lim(1 ? ) ? lim(1 ? ) ? e2 x ?? x ?? x x

48、

sin x sin x lim tan x x ?0 x ?1 lim ? lim cos x ? x ?0 x ?0 x x lim cos x
x ?0

sin x 1 ? cos x lim ? lim x ?0 x ?0 x2 2sin 2 2sin 2 x2
2

x 2

49、

x x? ? sin ? 2 ? 1 lim ? 2 ? lim ? ? x ?0 x 2 2 x ?0 ? x ? 4( ) 2 ? 2 ? x x sin sin 1 2 lim 2 ? lim 2 x ?0 x x ?0 x 2 2 1 1 ? ? 1? 1 ? 2 2

21

1 sin 1 x ?1 50、 lim x ? sin ? lim x ?? x ?? 1 x x
x2 ? 5x ? 6 ( x ? 2)( x ? 3) ? lim x ?2 x 2 ? 4 x ? 4 x ?2 ( x ? 2) 2 51、 x ?3 ? lim ?0 x ?2 x ? 2 lim
52、 lim
x ?1

4x ?1 0 ? ?0 x ? 2x ?1 5
2

lim
53、

x 2 ? 7 x ? 12 ( x ? 3)( x ? 4) ? lim x ?4 x 2 ? 5 x ? 4 x ? 4 ( x ? 1)( x ? 4) x ?3 1 ? lim ? x ?4 x ? 1 3
x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

54、

lim(4 x3 ? 3x ? 2) ? lim 4 x3 ? lim3x ? lim 2 ? 4?3? 2 ? 3
x?2

? lim(3 x 2 ? 6 x ? 7) ? 7

55、 lim(4 x ? 9) ? 17
x?2 2 3x 2 ? 6 x ? 7 lim(3 x ? 6 x ? 7) 7 ? lim ? x ?2 ? x?2 4x ? 9 lim(4 x ? 9) 17 x?2

x 2 x(1 ? x) ? 2 lim( ? ) ? lim 2 x ?1 1 ? x x ?1 1? x 1 ? x2 x2 ? x ? 2 ?(1 ? x)( x ? 2) ? lim 56、 ? lim 2 x ?1 x ?1 (1 ? x )(1 ? x ) 1? x ?( x ? 2) 3 ? lim ?? x ?1 1? x 2
1 1 57、 lim(1 ? ) x ? lim(1 ? ) ? ( ? x ) ? e?1 x ?? x ?? x ?x

58、

2 5x 2 5 x2?2 lim(1 ? ) ? lim(1 ? ) ? e10 x ?? x ?? x x

22

y ' ? (sin 2 x ? ln x) ' ? 2(sin x cos x ln x) '
59(1) 、

? 2 ? (sin x) 'cos x ln x ? sin x(cos x) 'ln x ? sin x cos x(ln x) '? 1 ? 2(cos 2 x ln x ? sin 2 x ln x ? sin x cos x) x sin 2 x ? 2 cos 2 x ln x ? x
y ' ? (x 4 ? 3 x ? 2 c o ? xs x l?n 5) '

(2) 、

? ( x 4 ) ? 3(x ?) ' ( 2xc ? s x ' ? ( l n ) ' ( 5 ) ' ' o ) 1 1 ? 4 x3 ? ? 2sin x ? 3 2 x 3 x
0 y ' ? ((2 x 2 ? 7) 1 ) '

(3) 、

? 10(2 x 2 ? 7) 9(2 x 2 7) ' ? ? 10(2 x 2 ? 7)9 ? 4 x ? 40 x ? (2 x 2 ? 7)9

x sin x y'? ( )' 1 ? cos x ( x sin x) '(1 ? cos x) ? x sin x(1 ? cos x) ' ? (1 ? cos x) 2 (4) 、 (sin x ? x cos x)(1 ? cos x) ? x sin x ? ( ? sin x) ? (1 ? cos x) 2 x ? sin x ? 1 ? cos x

y ' ? (sin 5 x) '
(5) ? 5sin 4 x(sin x) ' 、

? 5cos x sin 4 x
y ' ? ( a2 ? x2 ) '

(6) ? 、

1 ? 1 2 (a ? x 2 ) 2 (a 2 ? x 2 ) ' 2 x ?? 2 a ? x2

23

y ' ? ln( x ? x 2 ? a 2 ) ' 1 ? ( x ? x2 ? a2 ) ' 2 2 x? x ?a

(7) 、

? ?

1 x ? x2 ? a2 1 x2 ? a2

?

x ? x2 ? a2 x2 ? a2

y ' ? (ln sin( x 2 ? 1)) ' 1 cos( x 2 ? 1) ? 2 x (8) ? 、 2 sin( x ? 1) ? 2 x cot( x 2 ? 1)
2 x ?1 y' ? ( c o t )' 3 x ?1 1 2 x? 1 ?2 cot ?( c s c ? ) 3 3 3 2 x? 1 2 x? 1 ?? cot csc 3 3 3

(9) 、

y ' ? (e 2 x ? e x ) '
1 ? 1 (10) ? e 2 x (2 x) '? e x (? ) ' 、 x 1 1 ? ? 2e 2 x ? 2 e x x

?

1

60.解 已知 A20 ? 1000 万元, r ? 8% , t ? 20 ,求现在值 A0 。

A0 ? A20e ?0.06*20 ? 1000*0.3012万元 ? 301.2万元
61.解 lim f ( x) ? lim ( x ? 1) ? ??
2 x ??? x ???
x ??1

lim f ( x) ? lim x ? ?1, lim f ( x) ? lim (2 ? x) ? 1
x ??1 x ??1 x ??1

根据极限存在的条件 lim f ( x ) ? lim f ( x)
x ??1 x ??1

所以 lim f ( x ) 的极限不存在。
x ?1

62.解: (1) 在 x ? 1 处,当自变量有改变量 ?x 时,函数相应的改变量

?y ? f (1 ? ?x) ? f (1) ? 3(1 ? ?x)2 ?1 ? (3*12 ?1) ? 6?x ? 3?x2
于是,由导数的定义 f '(1) ? lim

?x ?0

f (1 ? ?x) ? f (1) ? lim (6 ? 3?x) ? 6 ?x ?0 ?x
24

(2)对任意点 x ,当自变量的改变量为 ?x ,因变量相应的改变量

?y ? 3( x ? ?x)2 ?1 ? (3x2 ?1) ? 6?x ? 3?x2 ,于是导函数
f '( x) ? lim ?y 3( x ? ?x)2 ? 1 ? (3x 2 ? 1) ? lim ? lim (6 x ? 3?x) ? 6 x ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?0 ?x
x ?2

由上式 f '(2) ? 6x

? 12

63、 解 Q '( p ) ? ?

p 8 即为边际需求; Q '(8) ? ? ? ?4 2 2
2Q 1 9Q , 边际成本C'(Q)= Q, 边际利润L '(Q) ? R '(Q) ? C '(Q) ? 20 ? 5 2 10

64、解 边际收益R'(Q)=20-

所以, Q ? 20 时的边际收益、边际利润、边际成本分别为:
R'(20)=202 ? 20 1 9 ? 20 ? 12, C'(20)= ? 20 ? 10, L '(20) ? R '(20) ? C '(20) ? 20 ? ? 2 65 、 解 5 2 10





f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 5











(??, ??)







f '( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 1)( x ? 3), 令f '( x) ? 0 ,得到驻点 x ? ?1和x ? 3 。函数 f ( x) 在 x ? ?1 的
左侧为单调递增,右侧为单调递减。所以在该点处取得极大值 f (?1) ? 10 , f ( x) 在 x ? 3 的左 侧为单调递减,右侧为单调递增。所以该函数在该点处取得极小值 f (3) ? ?22 。 66、 解 由 f ( x) 的导数 f '( x) ? 3x2 ? 2x ?1 ? ( x ?1)(3x ? 1) 得 驻 点 x?
?1 f ' ' ( ? ? )? 3

?1 , x ?1 。 根 据 3

f ( x) 的 二 阶 导 数

f ''( x) ? 6 x ? 2 , 有

f4

? 0 ?, 。所以(f (1 ) ) x ? ' ' x 在 4

?1 ?1 32 0 取得极大值 f ( ) ? ,在 x ? 1 处取得极小 3 3 27

值 f (1) ? 0 。 67、 解 该产品的平均成本函数为
C (Q) ? C(Q) 3200 3200 ? 0.5Q ? 20 ? , 令C (Q)的导数C '(Q) ? 0.5 ? 2 ? 0 。 Q Q Q 6400 ?0 Q3
3200 ? 100(元) 。 80

求得唯一驻点 Q ? 80 ,再由 C (Q)的二阶导数C ''(Q) ?

可知 C (Q) 在 Q ? 80 取得极小值 C (80) ? 0.5*80 ? 20 ?

25

因此当产量为 80 单位时,该产品的平均成本最小,最小平均成本为 100 元/单位。

68、

? (1 ? x ? cos x ? e )dx ? ? 1dx ? ? x dx ? ? cos xdx ? ? e dx
2 x 2 x

1 ? x ? x3 ? sin x ? e x ? c 3
n ?(x ? s i x? 1 x 3 ? a x dx )

69、

3 1 ? ? dx ? ? s i n ? ? x 2 dx ? ? a x dx xdx x 1 x 2 5 ? ln x ? cos x ? a ? x2 ? c ln a 5

70、

x2 x2 ? 1 ?1 ? 1 ? x2 dx ? ? 1 ? x2 dx 1 1 ? ? (1 ? )dx ? ? dx ? ? dx 2 1? x 1 ? x2 ? x ? arctan x ? c
x3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 1 dx ? x2 4 1 ? ? ( x ? 2 ? ? 2 )dx x x 1 1 ? ? xdx ? 2? dx ? 4? dx ? ? 2 dx x x 1 1 ? x 2 ? 2 x ? 4 ln x ? ? c 2 x

71、

72、

?e

?x

dx ? ? ? e ? x d (? x )

? ?e ? x ? c

73、

? x ? 2 dx ? ? x ? 2 d ( x ? 2)
? ln x ? 2 ? c

1

1

?
74、

?

2 0

x cos xdx ? ? 2 xd (sin x)
0

?

?

? x sin x

2

0 ?

? ? 2 sin xdx
0

?

?
2

?

? cos x

2

?

?
2

?1

0

26

?
75、

e

1

e 1 x ln xdx ? ? ln xd ( x 2 ) 1 2

e e1 1 2 1 ? x ln x ? ? x 2 ? dx 1 2 2 x 1

? ?

1 2 x2 e e ? 2 4 1 1 2 (e ? 1) 4
?
x

?

?

2 0

e cos xdx ? ? 2 e x d (sin x)
0

?

? e sin x
x

2

0
? ?

? ? 2 e x sin xdx
0

?

76、

? e 2 ? ? 2 e x d (cos x )
0

? e ? e cos x
2 x

?

?
2

? ? 2 e x cos xdx
0

?

0

?

1 ? (e 2 ? 1) 2

? y ? 2 ? x2 77、解 先求出抛物线和直线的交点。解方程组 ? 得交点为 (0, 2), (?2, ?2) ? y ? 2x ? 2
积分变量 在 ? 2与0 之间,抛物线 y=2-x2 位于直线 y ? 2 x ? 2 上方,所围成图形的面积 A 为 A ? ? (2-x2 -(2 x ? 2))dx ? ? (-x2 - 2 x)dx ?
-2 -2 0 0

4 3

?y ? x ? 4 ? 。直线 78、解 先求抛物线和直线的交点。解方程组 ? 2 ,得交点 (8, 4), (2, 2) ? y ? 2x
y ? x ? 4 位于抛物线 y 2 ? 2x 的右方,取 y 为积分变量,积分区间为[-2,4],则所求的面

积 A 为 A ? ? (y ? 4?
?2

4

1 2 y2 y3 4 y )dy ? ( ? 4 y ? ) ? 18 2 2 6 ?2

?45 ? 45 40 ? 44 50 ? 48? ? 90 84 98 ? 79、 、解 (1) A ? B ? ? ??? ? ?46 ? 52 51 ? 60 50 ? 65? ?108 111 115?

27

? 45 2 A ? 3B ? 2 ? ? 46 (2) ?3 ? 45 3 ? 44 ?? ?3 ? 52 3 ? 60 ? 45 A? B ? ? ? 46 (3) ? 45 ? 45 ?? ? 46 ? 52

40 50 ? ? 45 ? ? 3 ?52 51 50 ? ? 3 ? 48? ? 2 ? 45 ? 3 ? 65 ? ? 2 ? 46 ? ?

44 48? 60 65? ? 2 ? 40 2 ? 50 ? ? 225 212 244 ? ? 2 ? 51 2 ? 50 ? ? 248 282 295 ? ? ? ?

40 50 ? ? 45 44 48? ? 51 50 ? ?52 60 65? ? ? ? 40 ? 44 50 ? 48? ? 0 ?4 2 ? ? 51 ? 60 50 ? 65 ? ? ?6 ?9 ?15? ? ? ?

? 4 ?5 1 ? ? 4 ?5 ?2 5 4? ? r 2? r 4 ? ? ??? ? 6 8 80、 解 (1) A ? ? ? ?1 3 2 ? ? ?1 3 ? ? ? ? 6 8 ?4 ? ?2 5 ? 4 ?5 1 ? ? 4 ?5 1 ? ?2 5 4? ? ? 3r 2 ? ? ??? ? 6 15 12 ? (2) A ? ? ?1 3 2 ? ? ?1 3 2 ? ? ? ? ? ? 6 8 ?4 ? ? 6 8 ?4 ? ? 4 ?5 1 ? ? 4 ?5 1 ? ?2 5 4? ? 4 ? ?3 r 2 ? r 4 ? ???? ? 2 5 ? (3) A ? ? ? ? ?1 3 2 ? ? ?1 3 2 ? ? ? ? ? ? 6 8 ?4 ? ? 0 ?7 ?16 ?
?2 ?1 4 ? 81、解 AT ? ? ? ?3 2 ?2?
82、

1? ?4 ? ? 2? ? 4?

解 (1) A ? B 表示在两次抽查中至少一次抽到合格品,即第一次抽到合格品或第二次抽到合 格品,或两次都抽到合格品;
AB

表示两次都抽到合格品; AB 表示第一次未抽到合格品而第二次抽到合格品;

AB 表示两次都未抽到合格品; A ? B 表示两次中至少一次未抽到合格品。

(2)? A ? B ? AB, 而 A ? B是AB 的对立事件,故 A ? B与AB 是对立事件;又 AB=A ? B ,而

AB是AB 的对立事件,故 AB与A ? B 是对立事件。
83、解 由于任意时刻每个供水设备要么被使用,要么不被使用,每个设备被使用的概率都为

28

0.1,不被使用的概率都为 0.9,且改写字楼装有 6 个同类型的供水设备,因此该问题可看作 6 重伯努利试验。若以 x 表示这 6 个同类型的供水设备中在同一时刻被使用的个数,依题设,
k x ? B(6, 0.1) ,即 P( x ? k ) ? C6 0.1k 0.96?k , k ? 0,1, 2,3, 4,5,6 2 (1) 恰好有 2 个设备被使用的概率为 P( x ? 2) ? C6 0.120.96?2 ? 0.0984

P( x ? 4) ? P( x ? 4) ? P( x ? 5) ? P( x ? 6)
4 5 6 (2) 至少有 4 个设备被使用的概率是 ? C6 0.14 0.96?4 ? C6 0.150.96?5 ? C6 0.16 0.96?6

? 0.001215 ? 0.000054 ? 0.000001 ? 0.0013
(3) )至少有一个设备被使用的概率是 P( x ? 1) ? 1 ? P( x ? 0) ? 1 ? (0.9)6 ? 0.4686

29


经济数学基础复习题及答案

经济数学基础复习题及答案_经济学_高等教育_教育专区。2011期末经济数学重点复习资料...参考解答 一、单项选择题 1. D 10.B 二、填空题 1.?5, 2 ) [ 6. ...

经济数学基础试题及答案

经济数学基础试题及答案_理学_高等教育_教育专区。经济数学基础(05)春模拟试题及参考答案一、单项选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.下列各函数对中, ( )中...

经济数学基础复习题及答案

中南大学现代远程教育课程考试(专科) 中南大学现代远程教育课程考试(专科)复习题及参考答案 经济数学基础一、填空题: 填空题: 1.函数 f ( x) = 2.已知 f (...

2015年最新(超全)经济数学基础试卷与答案

2015年最新(超全)经济数学基础试卷答案_财会/金融考试_资格考试/认证_教育专区...推理型题分析与总结78份文档 一起来学广场舞 广场舞活动方案 社区广场舞策划方案...

2014年1月经济数学基础试卷及答案

2014年1月经济数学基础试卷及答案_经济学_高等教育_教育专区。电大经济数学基础 ...经济数学基础复习题及答... 30页 免费 经济数学基础试题及答案 6页 免费 ...

经济数学基础综合练习及参考答案

经济数学基础综合练习及参考答案 第二部分 积分学 一、单项选择题 1.在切线斜率为 2x 的积分曲线族中,通过点(1, 4)的曲线为( ). 2 2 B.y = x + 4 ...

经济数学基础试卷及答案

经济数学基础 》A 卷试题答案 2014 年 1 月一、填空题(每题 3 分,共 15 分)(1) 、[-1,+∞)(2) 、cosx-xsinx (3) 、 0 (4) 、7(5) 、3...

电大经济数学基础15年1月试题及答案

电大经济数学基础15年1月试题及答案_经济学_高等教育_教育专区。电大经济数学基础 2015 年 1 月试题及答案一、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1、下列函...

经济数学基础试题及答案

经济数学基础复习题及答案 20页 8财富值 经济数学基础试题及答案1 4页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行...