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最武汉艺术生文化课华英艺考名师课堂:基本初等函数1


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基本初等函数 I 题组一
一、选择题 1. 宁 夏 银 川 一 中 2011 届 高 三 第 五 次 月 考 试 题 全 解 全 析 理 ) (
y ? ( s in x ? c o s x ) ? 1 是
2

>(



A.最小正周期为 2 π 的偶函数 B.最小正周期为 2 π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 【答案】D 【分析】对给出的三角函数式进行变换,然后根据三角函数的性质进行判断。 【解析】 y ? (s in x ? c o s x ) ? 1 ? 2 s in x c o s x ? s in 2 x ,所以函数 y ? ( s in x ? c o s x ) ? 1 是最小正 周期为 ? 的奇函数。 【考点】基本初等函数Ⅱ。 【点评】本题考查三角函数的性质,但要借助三角恒等变换,在大多数三角函数性质的试题中往往 要以三角恒等变换为工具,把三角函数式化为一个角的一个三角函数,再根据基本的三角函数的性 质对所给的三角函数的性质作出结论。
2 2

2. (吉林省东北师大附中 2011 届高三上学期第三次模底考试理) 定义两种运算: ? b ? a
a ? b ? (a ? b)
2

a

2

?b

2



,则 f ? x ? ?

2? x 2 ? ?x ? 2?

是( )函数. A.奇函数 C.既奇又偶函数 答案 A.

( B.偶函数 D.非奇非偶函数



3. 宁 夏 银 川 一 中 2011 届 高 三 第 五 次 月 考 试 题 全 解 全 析 理 ) ( 把函数 y ? sin( ? x ? ? )( ? ? 0 , | ? |? ? ) 的图象向左平移 到原来的 2 倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为 y A. ? ? 2, ? ? C. ?
? 1 2 ,? ? ? 6
? sin x

个单位,再将图像上所有点的横坐标伸长 ,则 (
? 3 ? 12



?
6
? 6

B. ? D. ?

? 2, ? ? ? ? 1 2 ,? ?

【答案】B 【分析】根据变换的结果,逆行变换后即可得到 y ? s in x 经过变换后的函数解析式,通过比较即可 确定 ? , ? 的值。 【解析】把 y ? s in x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的 把这个函数图象向右平移 函数比较得 ? ? 2 , ? ? ?
?
6 1 2

倍得到的函数解析式是 y ? s in 2 x ,再
?
6 ) ? s in ( 2 x ?

,得到的函数图象的解析式是 y ? s in 2 ( x ? 。 第- 1 -页 共 5 页

?
3

) ,与已知

?
3

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【考点】基本初等函数Ⅱ。 【点评】本题考查三角函数图象的变换,试题设计成逆向考查的方式是比较有新义的。本题也可以 根据比较系数的方法求解,根据已知的变换方法,经过两次变换后函数 y ? s in ( ? x ? ? ) ,即被变换 成 y ? s in ( ? x ? ? ?
?
6 ? ? ) ,比较系数也可以得到问题的答案。

4. (山东省莱阳市 2011 届高三上学期期末数学模拟理) 若函数 f ( x ) ? s in 2 x ? 2 s in x ? s in 2 x ( x ? R ) ,则 f ( x ) 是(
2



A.最小正周期为 ? 的偶函数 B. 最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 2 ? 的偶函数
?

D. 最小正周期为 2 的奇函数 答案:D. 5. 宁 夏 银 川 一 中 2011 届 高 三 第 五 次 月 考 试 题 全 解 全 析 理 ) ( 设 f ( x ) ? x ? x , x ? R ,当 0 ? ? ?
3

?
2

时, f ( m sin ? ) ? f (1 ? m ) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范 ( )

围是 A. (0,1) B. ( ?? , 0 ) C. ( ?? , )
2 1

D. ( ?? ,1 )

【答案】D 【分析】函数 f ( x ) 是奇函数且是单调递增的函数, 根据这个函数的性质把不等式转化成一个具体的 不等式。根据这个不等式恒成立, 【 解 析 】 根 据 函 数 的 性 质 , 不 等 式 f ( m s in ? ) ? f (1 ? m ) ? 0 , 即 f ( m s i n? )? f (m ? 1, 即 )
m ?1 m ?1 ? ? ? 上恒成立。当 m ? 0 时,即 s in ? ? 恒成立,只要 0 ? 即可,解 m s i n? ? m ? 1在 0 , ? ? 2 ? m m ?

得 0 ? m ? 1 ;当 m ? 0 时,不等式恒成立;当 m ? 0 时,只要 s in ? ?
0 ? ? 1 ,这个不等式恒成立,此时 m ? 0 。综上可知: m ? 1 。

m ?1 m

,只要 1 ?

m ?1 m

,只要

【考点】基本初等函数Ⅰ。 【点评】本题考查函数性质和不等式的综合运用,这里函数性质是隐含在函数解析式中的,其目的 是考查考生是否有灵活使用函数性质简捷地解决问题的思想意识。在不等式的恒成立问题中要善于 使用分类参数的方法解决问题,本题的解析是分类了函数,把参数放到一个表达式中,也可以直接 使用分离参数的方法求解,即 m sin ? ? m ? 1 可以化为 (1 ? s in ? ) m ? 1 ,当 ? ?
? ? ?
2

?
2

时, m ? R ;当

时, m ?

1 1 ? s in ?

? f (? ) ,只要 m ? f (? ) m i n 即可,即只要 m ? 1 即可。综合两种情况得到

m ? 1。 6. (四川广安二中 2011 届高三数学一诊复习题综合测试题三) 已知函数 f ( x ) ? A s i n (? x ? ? ) ( A ? 0 ,? ? 0 ) 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点为 M ( 2 , 2 ), 与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N (5 , 0 ), 则函数 f ( x ) 的解析式为

第- 2 -页 共 5 页

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A. 2 s in ( C. 2 s in ( 答案 A.

?
6

x?
x?

?
6

)

B. 2 s in ( D. 2 s in (

?
3

x?
x?

?
6

)

?
6

?
6

)

?
3

?
6

)

7. (重庆市南开中学高 2011 级高三 1 月月考文)把函数 y ? s in x ( x ? R ) 的图象上所有的点向左平 称移动
?
3

个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ) B. y ? s in (
x 2 ?

1 2

倍(纵坐标不变) ,得

到的图象所表示的函数是( A. y ? s in ( 2 x ?
?
3 ), x ? R

?
6

), x ? R

x yx??? 23 2? sin(),
C. y ? s in ( 2 x ? 答案 C.
?
3 ), x ? R

R

D.

8. (浙江省诸暨中学 2011 届高三 12 月月考试题文) 已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 2 a x ? a 在区间 ? ? ? ,1 ? 上
f

有最小值,则函数 A 有两个零点 答案 C.

?x?
x

在区间 ? 1, ? ? ? 上 B 有一个零点 C.无零点 D.无法确定
? ? lo g 3 ( x ? 1) ?3
x?6

9. (重庆市南开中学高 2011 级高三 1 月月考文)设 f ( x ) ? ?
?1 ?1

( x ? 6)

?1

( x ? 6)

的反函数为

f

( x ), 若 f

(?

8 9

) ? n, 则 f (n ? 4) =

( A.2 答案 B. B.—2 C.1 D.—1
1 x f ( x ) ? lo g 2 x ? ( 1 2 ) ,③ f ( x ) ? c o s ( x ? 2 ) ? c o s x ,
x



10. (北京市西城区 2011 届高三第一学期期末考试理)对于函数① f ( x ) ? 4 x ?

? 5 ,②

判断如下两个命题的真假: 命题甲: f ( x ) 在区间 (1 , 2 ) 上是增函数; 命题乙: f ( x ) 在区间 ( 0 , ? ? ) 上恰有两个零点 x 1 , x 2 ,且 x 1 x 2 ? 1 . 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是 (A)① (B)② (C)①③ 第- 3 -页 共 5 页 (D)①②

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答案 D.
y ? 1? x
2

11. (山东省莱阳市 2011 届高三上学期期末数学模拟理)函数 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 答案:B. 12. (重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考文) 若函数
A
f

x? 4 ? x?3

是(



D. 既是奇函数又是偶函数

? x ? 的反函数

f

?1

?x?

?1? x

2

?x

? 0?

,则
C

f

?2?

?


D



.1 答案 B.

B

. ?1

.1 或 ? 1

.5

13.(广东六校 2011 届高三 12 月联考文) 下列函数中,既是偶函数又在 ? 0 , ? ? ? 上单调递增的是 A. y ? x 答案 D. 二、简答题 14. (浙江省诸暨中学 2011 届高三 12 月月考试题文) (本小题满分 14 分)已知:函数
f (x) ? 2 ( s in x ? c o s x ) .
3

B. y ? co s x

C. y ? tan x

D. y ? ln x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象过点 ( ? , ) ,
5 6

?
4

?? ?

3? 4
2 2

.求 f (

?
4

? ? ) 的值.
2 2

答案 (1) (1) f ( x ) ?

2 ( s in x ? c o s x ) ? 2 ( s in x ?

? cos x ?

) ? 2 s in ( x ?

?
4

) ---3 分

∴函数的最小正周期为 2 ? ,值域为 { y | ? 2 ? y ? 2} 。 (2)解:依题意得: 2 s in ( ? ? ∵
?
4 ?? ? 3? 4 .

?
4

) ?

6 5

, s in ( ? ?

?
4

) ?

3 5

,

∴0 ? ? ?
2

?
4

?

?
2

,
3 2 4 1? ( ) ? 5 5

∴ c o s (? ?
f (

?
4

) = 1 ? s in ( ? ?

?
4

) ?

?
4

? ? ) = 2 s in [( ? ?

?
4

)?

?
4

]

∵ s in [( ? ?
?
4

?
4

)?

?
4

] ? s in ( ? ?

?
4

) cos

?
4

? c o s (? ?

?
4

) s in

?
4



2 2

(

3 5

?

4 5

) ?

7

2

10

∴f(

??)=

7 5

2

第- 4 -页 共 5 页

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