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【数学】《高考》:第四章 三角函数及三角恒等变换 第二节 三角函数的图像和性质及三角恒等变换


第四章 第二节

三角函数及三角恒等变换

三角函数的图象和性质及三角恒等变换 第一部分 六年高考荟萃

2013 年高考题
一、选择题 1 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 (理) 试题 (含答案) ) 将函数

y ? sin(2 x ? ? )

? ? 的图象沿 x 轴向左平移 8 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 的一个可能取值为
3? 4

(A)

? (B) 4

?
(C)0 (D)

?
4

答案:B 将函数 y=sin(2x + ? )的图像沿 x 轴向左平移

?

y ? sin[2( x ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) ,因为此时函数为偶函数,所以 8 4 4 ?? ?

?

?

? 个单位,得到函数 8

?

2

? k? , k ? Z ,即 ? ?

?

4

? k? , k ? Z ,所以选 B.

2 .(2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知函

数 f ? x ? =cos x sin 2x ,下列结论中错误的是 (A) y ? f ? x ? 的图像关于 ?? ,0? 中心对称 (B) y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? (C) f ? x ? 的最大值为

?
2

对称

3 2

(D) f ? x ? 既奇函数,又是周期函数

答案:C 对于 A 选项,因为 f(2π﹣x)+f(x)=cos(2π﹣x)sin2(2π﹣x)+cosxsin2x=﹣ cosxsin2x+cosxsin2x=0,故 y=f(x)的图象关于(π*0)中心对称,A 正确; 对于 B 选项,因为 f(π﹣x)=cos(π﹣x)sin2(π﹣x)=cosxsin2x=f(x) ,故 y=f(x)的 图象关于 x= 不对称,故 B 正确;
2 2 3

对于 C 选项,f(x)=cosxsin2x=2sinxcos x=2sinx(1﹣sin x)=2sinx﹣2sin x,令 t=sinx∈[﹣ 1,1],则 y=2t﹣2t ,t∈[﹣1,1],则 y′ =2﹣6t ,令 y′ >0 解得
3 2

,故 y=2t

﹣2t ,在[ =,故函数的最大值为

3

]上增,在[ ,故 C 错误;

]与[

]上减,又 y(﹣1)=0,y(



对于 D 选项,因为 f(﹣x)+f(x)=+cosxsin2x+cosxsin2x=0,故是奇函数,又 f(x+2π) =cos(2π+x)sin2(2π+x)=cosxsin2x,故 2π 是函数的周期,所以函数即是奇函数,又是周 期函数,故 D 正确。 综上知,错误的结论只有 C,故选 C
3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 (理) 试题 (含答案) ) 函数 y ? x cos x ? sin x

的图象大致为

答案: D 函数 y=xcosx + sinx 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除 B, C.当 x ? ? 时,

f (? ) ? ?? ? 0 ,排除 A,选 D.
4 .(2013 年高考四川卷(理))函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图

象如图所示,则 ? , ? 的值分别是(

)

(A) 2, ?

?
3

(B) 2, ?

?
6

(C) 4, ?

?
6

(D) 4,

? 3

答案:A 因为在同一周期内,函数在 x= 所以函数的周期 T 满足 = 由此可得 T= ﹣ 时取得最大值,x= = , 时取得最小值,

=π*解得 ω=2,

得函数表达式为 f(x)=2sin(2x+φ)

又因为当 x= 所以 2sin(2? 因为

时取得最大值 2, +φ)=2,可得 +φ= +2kπ(k∈Z) 选:A

,所以取 k=0,得 φ=﹣



5. (2013 年高考湖北卷 (理) ) 将函数 y

? 3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ?
)

个长度单位后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A.

?
12

B.

?
6

C.

?
3

D.

5? 6

答案:B 本 题 考 查 三 角 函 数 的 图 象 与 平 移 以 及 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 。 y= 3 cosx+sinx ? 2 cos( x ?

?

) ,将函数 y ? 2 cos( x ? ) 的图像向左平移 m(m>0)个单位 6 6

?

长度后,得到 y ? 2 cos(x ? m ?

?

m?

?
6

6

),此时关于 y 轴对称,则 m ?

?

? k? , k ? Z ,所以当 k ? 0 时,m 的最小值是

? ,选 B. 6

6

? k? , k ? Z ,所以

二、填空题 6.(2013 年高考上海卷(理))已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c,若

3a 2 ? 2ab ? 3b2 ? 3c 2 ? 0 ,则角 C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)
答案: C ? ? ? arccos

1 3

7. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )

函数 y ? 3 sin( 2 x ? 答案: ?

?
4

) 的最小正周期为___________.

T=

2? =? 2

8. (2013 年高考江西卷 (理) ) 函数 y ? sin 2x ? 2

3sin 2 x 的最小正周期为 T 为_________.

答案: ? 本题考查三角函数的化简,以及三角函数的图象和性质。 1? c o s x2 2 y?s i n x 2? 2 3 sx i? n x s? in 2 ? 2 3 ? x ?s i n 2 x ? 3 c o s 2 2 ? 2? ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ,所以周期 T ? ?? . 3 2

3

三、解答题

9.(2013 年高考陕西卷(理))已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数

1 2

f ( x) ? a· b.

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?
b = cos x ? 3 sin x ? 解:(Ⅰ) f ( x) ? a·

1 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . 2 2 2 6

最小正周期 T ?

2? ?? . 2

所以 f ( x) ? sin( 2 x ? (Ⅱ)

?
6

), 最小正周期为 ? .

? ? ? 5? ? 5? 当x ? [0, ]时, (2 x ? ) ? [- , ],由标准函数 y ? sin x在[- , ]上的图像知, . 2 6 6 6 6 6
f ( x) ? sin( 2 x ?

?

? ? 1 ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2

1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1, ? . 2 ? 2?
10 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 含 答 案 ) ) 已 知 函数

?? ? f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ?
(Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; ? ?? (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

11 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ( WORD 版 ) ) 设 向 量

a?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(I)若 a ? b .求x的值;

(II)设函数 f ? x ? ? a b, 求f ? x ?的最大值.

12.(2013 年高考上海卷(理))(6 分+8 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ;

(1)若 y ? f ( x) 在 [ ?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 6

y ? g ( x) 的图像,区间 [a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 30 个零

点,在所有满足上述条件的 [ a, b] 中,求 b ? a 的最小值. (1)因为 ? ? 0 ,根据题意有

? ? ? ? ??? ? 3 ? 4 2 ?0?? ? ? 4 ? 2? ? ? ? ? 2 ? 3
(2) f ( x) ? 2sin(2 x) , g ( x) ? 2sin(2( x ?

)) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 3 ? 1 ? 7 g ( x) ? 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? x ? k? ? 或 x ? k? ? ? , k ? Z , 3 2 3 12 ? 2? 即 g ( x) 的零点相离间隔依次为 和 , 3 3 2? ? 43? ? 15 ? ? 故若 y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点,则 b ? a 的最小值为 14 ? . 3 3 3
13 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版)) 已知函数

?

?

?? ? 的最小正周期为 ? . f ( x) ? 4 cos? x ? sin? ? x ? ? ? ( ? 0) 4? ?
(Ⅰ)求? 的值; 解 (Ⅰ) (Ⅱ)讨论 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上的单调性. :

? 2 2 cos ?x(sin ?x ? cos ?x) ? 2 (sin 2?x ? cos 2?x ? 1) ? 2 sin( 2?x ?
? 2? ? ? ? ? ? ? 1 .所以 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 , ? ? 1 2? 4

?
4

)? 2

(Ⅱ) 当x ? [0,

?

2

]时, (2 x ?
?
8

?

所以 y ? f ( x)在[0,

]上单调递增;在 [ , ]上单调递减 . 8 2

) ? [ , ? ? ],令 2 x ? ? 解得 x ? ; 4 4 4 4 2 8 ? ?

?

?

?

?

?

14 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版)) 已知函数

f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的周期为 ? ,图像的一个对称中心为 ( , 0) ,将函数 4 f ( x) 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移
个单位长度后得到函数 g ( x) 的图像. (1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式; (2) 是否存在 x0 ? (

?

?

2

? ?

, ) , 使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列 ? 若存 6 4

在,请确定 x0 的个数;若不存在,说明理由.

(3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点. 解:(Ⅰ)由函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的周期为 ? , ? ? 0 ,得 ? ? 2 又曲线 y ? f ( x) 的一个对称中心为 ( 故 f ( ) ? sin(2 ?

?
4

, 0) , ? ? (0, ? )
,所以 f ( x) ? cos 2 x

?

?
4

4

? ? ) ? 0 ,得 ? ?

?
2

将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y ? cos x 的图 象,再将 y ? cos x 的图象向右平移 (Ⅱ)当 x ? (

?
2

个单位长度后得到函数 g ( x) ? sin x

? ?

1 2 1 , 0 ? cos 2 x ? , ) 时, ? sin x ? 2 2 6 4 2

所以 sin x ? cos 2 x ? sin x cos 2 x 问题转化为方程 2 cos 2 x ? sin x ? sin x cos 2 x 在 ( 设 G ( x) ? sin x ? sin x cos 2 x ? 2 cos 2 x , x ? (

? ?

? ?

, ) 内是否有解 6 4

, ) 6 4

则 G ?( x) ? cos x ? cos x cos 2 x ? 2sin 2 x(2 ? sin x) 因为 x ? (

? ?

, ) ,所以 G?( x) ? 0 , G ( x) 在 ( , ) 内单调递增 6 4 6 4

? ?

又 G( ) ? ?

?

6

? 2 1 ?0 ? 0 , G( ) ? 4 2 4
? ?
, ) 内存在唯一零点 x0 , 6 4

且函数 G ( x) 的图象连续不断,故可知函数 G ( x) 在 ( 即存在唯一的 x0 ? (

? ?

, ) 满足题意 6 4

(Ⅲ)依题意, F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ,令 F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? 0 当 sin x ? 0 ,即 x ? k? (k ? Z ) 时, cos 2 x ? 1 ,从而 x ? k? (k ? Z ) 不是方程 F ( x) ? 0 的解, 所以方程 F ( x) ? 0 等价于关于 x 的方程 a ? ? 现研究 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 时方程解的情况 令 h( x ) ? ?

cos 2 x , x ? k? ( k ? Z ) sin x

cos 2 x , x ? (0, ? ) U (? , 2? ) sin x

则问题转化为研究直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 的交点情况

h?( x) ?

cos x(2sin 2 x ? 1) ? 3? ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? 2 sin x 2 2

当 x 变化时, h( x) 和 h?( x) 变化情况如下表

x
h?( x)

(0, ) 2 ?
Z

?

? 2 0

( ,? ) 2 ?
]

?

(? ,

3? ) 2

?
]

3? 2 0
?1

(

3? , 2? ) 2 ?

h( x )

Z

当 x ? 0 且 x 趋近于 0 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? 2? 且 x 趋近于 2? 时, h( x) 趋向于 ?? 故当 a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有无交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点; 当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内无交点; 当 ?1 ? a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交 点 由函数 h( x) 的周期性,可知当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内总有偶数 个交点,从而不存在正整数 n ,使得直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个交 点 ; 当 a ? ?1 时 , 直 线 y ? a 与 曲 线 y ? h( x) 在 (0, ? ) U (? , 2? ) 内 有 3 个 交 点 , 由 周 期 性, 2013 ? 3 ? 671 ,所以 n ? 671? 2 ? 1342 综上,当 a ? ?1 , n ? 1342 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点
15. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )

本小题满分 14 分.已知 a =(cos ?,sin ?), b ? (cos ?,sin ?) , 0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ;(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

解:(1)∵ | a ? b |? 又

2

∴ | a ? b |2 ? 2

即 a?b

? ?

2

? a ? 2ab ? b ? 2 ,

2

2

2 2 2 2 2 2 ∵ a ?| a | ? cos ? ? sin ? ? 1 , b ?| b | ? cos ? ? sin ? ? 1 ∴ 2 ? 2ab ? 2 ∴

2

2

ab ? 0 ∴ a ? b
(2)∵ a ? b ? (cos? ? cos? , sin ? ? sin ? ) ? (0,1) ∴ ?

?cos? ? cos ? ? 0 即 ?sin ? ? sin ? ? 1

?cos? ? ? cos ? ? ?sin ? ? 1 ? sin ?
两边分别平方再相加得: 1 ? 2 ? 2 sin ? ∴? ? ∴ sin ? ?

1 2

∴ sin ? ?

1 2

∵0 ? ? ?? ??

5 1 ?,? ? ? 6 6

16 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版)) 已知函数

? ? ? f ( x ) ? 2 cos? x ? ? , x ? R . ? 12 ?
(Ⅰ) 求 f ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

(Ⅱ) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

(Ⅰ) f ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 ; 4 ? 6? ? 6 12 ? ? 4?
? ?

(Ⅱ) f ? 2? ?

??

? ? ? ?? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ?

因为 cos ? ?

3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? , 5 5 ? 2 ? 24 7 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? 25 25

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 所以 f ? 2? ?

? ?

7 ? 24 ? 17 ?? ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? . 25 ? 25 ? 25 3?

17. (2013 年高考湖南卷(理))已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

? x ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 . 6 3 2

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

3 3 .求 g (? ) 的值; 5

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合.

解: (I) f ( x) ?

3 1 1 3 3 3 . sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? 3 sin x ? f (? ) ? 3 sin ? ? 2 2 2 2 5

3 ? 4 ? 1 ? sin ? ? , ? ? (0, ) ? cos ? ? , 且g (? ) ? 2 sin 2 ? 1 ? cos ? ? 5 2 5 2 5
(II) f ( x) ? g ( x) ? 3 sin x ? 1 ? cos x ?

3 1 ? 1 sin x ? cos x ? sin(x ? ) ? 2 2 6 2

? x?

?
6

? [2k? ?

?
6

,2k? ?

5? 2? ] ? x ? [2k? ,2k? ? ], k ? Z 6 3

18.(2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有 2 个小题,第一小题满分 4 分,第

二小题满分 9 分. 在平面直角坐标系 xOy 中 , 点 A 在 y 轴正半轴上 , 点 P n 在 x 轴上 , 其横坐标为 xn , 且 {xn } 是首项为 1、公比为 2 的等比数列,记 ?P n AP n ?1 ? ?n , n ? N .
?

(1)若 ?3 ? arctan

1 ,求点 A 的坐标; 3

(2)若点 A 的坐标为 (0, 8 2) ,求 ?n 的最大值及相应 n 的值. y A

0

P1 P2 P3

P4

x

[解](1)

(2)

t ) ,根据题意, xn ? 2n?1 .由 ?3 ? arctan [解](1)设 A(0,

1 1 ,知 tan ? 3 ? , 3 3

x4 x3 ? t t ? t ( x4 ? x3 ) ? 4t , 而 tan ?3 ? tan(?OAP4 ? ?OAP ) ? 3 2 2 x x 1 ? 4 ? 3 t ? x4 ? x3 t ? 32 t t 4t 1 ? ,解得 t ? 4 或 t ? 8 . 所以 2 t ? 32 3
4) 或 (0, 8) . 故点 A 的坐标为 (0,

2n?1 (2)由题意,点 P . , 0) , tan ?OAPn ? n 的坐标为 (2 8 2
n ?1

2n 2n ?1 ? 2n ?1 1 2 ? tan ? n ? tan(?OAPn ?1 ? ?OAPn ) ? 8 2 n 8 n ? . ?1 2 n ?1 2 2 2 16 2 2n 1? ? 8 2? ? 8 2 8 2 8 2 2n 8 2

因为

16 2 2n 1 2 , ? ? 2 2 ,所以 tan ?n ? ? n 2 4 8 2 2 2 16 2 2n ,即 n ? 4 时等号成立. ? 2n 8 2

当且仅当

易知 0 ? ? n ?

?

, y ? tan x 在 (0, ) 上为增函数, 2 2

?

因此,当 n ? 4 时, ?n 最大,其最大值为 arctan

2 . 4

2012 年高考题 一、选择题
2 1.【2012 高考重庆理 5】设 tan ? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 tan(? ? ? ) 的

值为 (A)-3 【答案】A

(B)-1

(C)1

(D)3

? ? t a n? ? 3 , 【解析】因为 t an ? , t a n? 是 方 程 x2 ? 3x ? 2 ? 0的 两 个 根 , 所 以 t a n
tan? tan? ? 2 ,所以 tan( ? ? ?) ?
tan? ? tan ? 3 ? ? ?3 ,选 A. 1 ? tan? tan ? 1 ? 2

2.【2012 高考浙江理 4】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

【答案】A 【解析】把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) 得:y1=cosx+1,向左平移 1 个单位长度得:y2=cos(x+1)+1,再向下平移 1 个单位长度得:

? ? 1 ,得:y3=0;观察即得答案. 2 ? ? 3. 【2012 高考新课标理 9】 已知 ? ? 0 , 函数 f ( x) ? sin(? x ? ) 在 ( , ? ) 上单调递减.则 ?
y3=cos(x+1).令 x=0,得:y3>0;x=

4

2

的取值范围是(



1 5 ( A) [ , ] 2 4
【答案】A

1 3 (B) [ , ] 2 4

1 (C ) (0, ] 2

( D) (0, 2]

?x ? 【解析】法 1 :函数 f ( x ) ? sin(
f ( x) ? sin( ?x ?

?
4

) 的导数为 f ' ( x) ? ? cos(?x ?

?
4

) ,要使函数

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则有 f ' ( x) ? ? cos( ?x ? ) ? 0 恒成立, 4 2 4 ? ? 3? ? 5? ? 2k? ? ?x ? ? ? 2k? , 即 ? 2k? ? ?x ? ? 2k? , 所 以 则 2 4 2 4 4 ? 2k? ? 2k? ? 5? ? ? ?x? ? ,k ? Z ,当 k ? 0 时, ?x? ,又 ? x ? ? ,所以 4? ? 4? ? 4? 4? 2 ? ? 5? 1 5 1 5 ? , ? ? ,解得 ? ? , ? ? ,即 ? ? ? ,选 A. 有 4? 2 4? 2 4 2 4 法 2:选 A ? 5? 9? ? ? 2 ? (? x ? ) ? [ , ] 不合题意 排除 ( D) 4 4 4 ? 3? 5? ? ? 1 ? (? x ? ) ? [ , ] 合题意 排除 ( B)(C ) 4 4 4 ? ? ? ? ? ? 3? ] 另: ? (? ? ) ? ? ? ? ? 2 , (? x ? ) ? [ ? ? , ?? ? ] ? [ , 2 4 2 4 4 2 2 ? ? ? ? 3? 1 5 ? ?? ? 得: ? ? ? , ?? ? ? 2 4 2 4 2 2 4 4.【2012 高考四川理 4】如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连 接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? ( )
A、

?

?

?

3 10 10 5 10

B、

10 10 5 15

C、

D、

【答案】B 【解析】 EB ? EA ? AB ? 2 ,

EC ? EB2 ? BC 2 ? 4 ?1 ? 5 ,
?EDC ? ?EDA ? ?ADC ?
由正弦定理得

?
4

?

?
2

?

3? , 4

sin ?CED DC 1 5 ? ? ? , sin ?EDC CE 5 5

所以 sin ?CED ?

5 5 3? 10 gsin ?EDC ? gsin ? . 5 5 4 10
2 2 2

[点评]注意恒等式 sin2α+cos2α=1 的使用,需要用 α 的的范围决定其正余弦值的正负情况.

c , 5.【2012 高考陕西理 9】在 ?ABC 中*角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,若 a ? b ? 2
则 cos C 的最小值为( A. ) C.

3 2

B.

2 2

1 2

D. ?

1 2

【答案】C.

a 2 ? b2 ? c2 【解析】由余弦定理知 cosC ? ? 2ab
故选C.

1 a 2 ? b 2 ? (a 2 ? b 2 ) a 2 ? b 2 2ab 1 2 ? ? ? , 2ab 4ab 4ab 2
3 7

6.【2012 高考山东理 7】若 ? ? ? , ? , sin 2? = 8 ?4 2? (A)

?? ? ?

,则 sin ? ?

3 5

(B)

4 5

(C)

7 4

(D)

3 4

【答案】D 【 解 析 】 法 1 : 因 为 ? ?[

, ] , 所 以 2? ? [ , ? ] , cos 2? ? 0 , 所 以 4 2 2 1 1 9 2 cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? , 又 c o s 2? ? 1 ? 2 s i n ? ? ? , 所 以 sin 2 ? ? , 8 8 16 3 sin ? ? ,选 D. 4

? ?

?

法 2:由 ? ? ? , ? 及 sin 2? = 8 ?4 2?

?? ? ?

3 7

可得

sin ? ? cos? ? 1 ? sin 2? ? 1 ?
?? ? ?

3 7 16 ? 6 7 9?6 7 ?7 7 3 ? ? ? ? , 8 16 16 4 4
3 7

而当 ? ? ? , ? 时 sin ? ? cos ? *结合选项即可得 sin ? ? , cos? ? .答案应选 D。 4 4 ?4 2? 7.【2012 高考辽宁理 7】已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π),则 tan ? = (A) ? 1 【答案】A (B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

【解析一】

sin ? ? cos ? ? 2,? 2 sin(? ? ) ? 2,? sin(? ? ) ? 1 4 4 3? ? ? (0,? ),?? ? ,? tan ? ? ?1 ,故选 A 4

?

?

【解析二】

sin ? ? cos? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1,
3? 3? ,?? ? ,? tan ? ? ?1 ,故选 A 2 4

? ? (0, ? ),? 2? ? (0, 2? ),? 2? ?

【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和 运算求解能力,难度适中。 8.【2012 高考江西理 4】若 tan ? + A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

1 =4,则 sin2 ? = tan ? 1 D. 2

【答案】D 【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及酮角的三角函数的基本关系式。 【解析】由 tan ? ?

sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ? 1 1 ? 4 得, ? ? ? 4 ,即 ? 4, 1 tan ? cos? sin ? sin ? cos? sin 2? 2

所以 sin 2? ?

1 ,选 D. 2

【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式 tan ? ?

sin ? 转化;另外, cos ?

sin 2 ? ? cos 2 ? 在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦
的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切*即弦化切*达到求解正切值的目的. 体现考纲中 要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 9.【2012 高考湖南理 6】函数 f(x)=sinx-cos(x+

? )的值域为 6
D.[-

A. [ -2 ,2] 【答案】B

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

3 , 2

3 ] 2

【解析】f(x)=sinx-cos(x+

? 3 1 ? cos x ? sin x ? 3 sin( x ? ) , ) ? sin x ? 6 2 2 6

sin( x ? ) ? ? ?1,1? ,? f ( x) 值域为[- 3 , 3 ]. 6
【点评】利用三角恒等变换把 f ( x ) 化成 A sin(? x ? ? ) 的形式,利用 sin(? x ? ? ) ???1,1? , 求得 f ( x ) 的值域.

?

10.【2012 高考上海理 16】在 ?ABC 中*若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案】C
2 2 2

【解析】根据正弦定理可知由 sin A ? sin B ? sin C , 可知 a ? b ? c ,在三角形中
2 2 2 2 2 2

cosC ?

a2 ? b2 ? c2 ? 0 ,所以 C 为钝角,三角形为钝角三角形,选 C. 2ab

【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选 择定理, 如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理, 如果出现角度的余弦值就选择余弦定理. 本题属于中档题. 11.【2012 高考天津理 2】设 ? ? R, 则“ ? ? 0 ”是“ f ( x) ? cos(x ? ? )(x ? R) 为偶函数” 的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分与不必要条件 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定. 【 解 析 】 函 数 f ( x) ? co s( x ? ? ) 若 为 偶 函 数 , 则 有 ? ? k? , k ? Z , 所 以 “ ? ? 0 ” 是 “ f ( x) ? cos(x ? ? ) 为偶函数”的充分不必要条件,选 A. 12.【2012 高考天津理 6】在 ?ABC 中*内角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 8b=5c, C=2B,则 cosC= (A)

7 25 7 25

(B) ?

(C) ?

7 25 24 (D) 25

【答案】A 【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化 与计算等能力. 【 解 析 】 因 为 C ? 2B , 所 以 s i n C ?si n 2B ( ) ? 2s i n Bc o B s ,根据正弦定理有

c b c sin C 8 s iC n 1 8 4 ? ? ? s? ? ? ? , 所 以 , 所 以 c oB 。 又 sin C sin B b sin B 5 2s i B n 2 5 5 16 7 ,选 A. c oCs ? c o 2 sB( ) ? 2 c o2 s B ? 1 ,所以 cos C ? 2 cos 2 B ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 25 25
13.【2012 高考全国卷理 7】已知α 为第二象限角, sin ? ? cos? ?

3 ,则 cos2α = 3

(A) -

5 3

(B) -

5 9

(C)

5 9

(D)

5 3

【答案】A 【命题意图】 本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用。 首先利 用平方法得到二倍角的正弦值, 然后然后利用二倍角的余弦公式, 将所求的转化为单角的正 弦值和余弦值的问题。 【 解 析 】 因 为 sin ? ? cos? ?

1 3 所 以 两 边 平 方 得 1 ? 2 sin ? cos ? ? , 所 以 3 3

2 sin ? cos ? ? ?

2 ? 0 , 因 为 已 知 α 为 第 二 象 限 角 , 所 以 sin ? ? 0, cos? ? 0 , 3

sin ? ? cos? ? 1 ? 2 sin ? cos? ? 1 ?

2 ? 3

5 ? 3

15 3







c 2? o? c s2 ?o? s 2 s ?i ? ( n ?c? s ? o )i

15 3 5 ,选 A. ? ?? s? (n? s c? )i= ? o n s 3 3 3

二、填空题
14.【2012 高考湖南理 15】函数 f(x)=sin ( ? x ? ? )的导函数 y ? f ?( x) 的部分图像如图 4 所示,其中,P 为图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低点. (1)若 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 ),则 ? ? 2

;

( 2 )若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ ABC 内的概率 为 .

【答案】(1)3;(2)

? 4

【解析】(1) y ? f ?( x) ? ? cos(? x ? ? ) ,当 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 )时 2

? cos

?
6

?

3 3 ,?? ? 3 ; 2

(2)由图知 AC ? 设 曲 线 段

T ? ? ? ? ,S 2 2 ?
x

2?

ABC

?

1 ? AC ? ? ? ,设 A, B 的横坐标分别为 a , b . 2 2
S


ABC 与
b a

轴 所 围 成 的 区 域 的 面 积 为

S?

?

b

a

f ?( x)dx ? f ( x)

? sin(? a ? ? ) ? sin(?b ? ? ) ? 2 ,由几何概型知该点在△ ABC

内的概率为 P ?

S

ABC

S

? ? 2 ? . 2 4

?

【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点 P 在图像上求 ? , (2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积*代入公式即得. 15. 【 2012 高考湖北理 11 】设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若
(a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则角 C ?



【答案】

2? 3

考点分析:考察余弦定理的运用.

由(a +b-c)(a+b-c)=ab,得到a 2 ? b2 ? c 2 =-ab
【解析】

a 2 ? b2 ? c 2 -ab 1 2 根据余弦定理 cos C ? = ? ? , 故?C ? ? 2ab 2ab 2 3
1 ,则 b=_______。 4

16.【2012 高考北京理 11】在△ABC 中,若 a =2,b+c=7,cosB= ? 【答案】4 【 解 析 】 在 △ ABC 中 , 利 用 余 弦 定 理 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 4 ? (c ? b)(c ? b) ?? ? 2ac 4 4c

?c ? 3 4 ? 7 (c ? b ) ? ? ,化简得: 8c ? 7b ? 4 ? 0 ,与题目条件 b ? c ? 7 联立,可解得 ?b ? 4 . 4c ?a ? 2 ?
17.【2012 高考安徽理 15】设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确的 是 _____
2 ①若 ab ? c ;则 C ?

?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

3 3 3 ③若 a ? b ? c ;则 C ?

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

2 2 2 2 2 ⑤若 (a ? b )c ? 2a b ;则 C ?

?
3

【答案】①②③

【命题立意】本题解三角形的知识,主要涉及余弦定理与基本不等式的运算。 【解析】正确的是 _____ ① ab ? c ? cos C ?
2

a 2 ? b2 ? c 2 2ab ? ab 1 ? ? ? ?C ? 2ab 2ab 2 3 a 2 ? b2 ? c 2 4(a 2 ? b2 ) ? (a ? b)2 1 ? ? ? ?C ? 2ab 8ab 2 3

② a ? b ? 2c ? cos C ? ③当 C ?

?
2

时, c2 ? a 2 ? b2 ? c3 ? a 2c ? b2c ? a3 ? b3 与 a3 ? b3 ? c3 矛盾

④取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a ? b)c ? 2ab 得: C ?

?
2

⑤取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 得: C ?

?
3

18.【2012 高考福建理 13】已知△ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余 弦值为_________. 【答案】 ?

2 . 4

【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识,难度适中. 【解析】设最小边长为 a ,则另两边为 2a,2a . 所以最大角余弦 cos? ?

a 2 ? 2a 2 ? 4a 2 2 ?? 4 2a ? 2a
3 , 5

19.【2012 高考重庆理 13】设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ?

cos B ?

5 ,b ? 3则c ? 13

【答案】

14 5 3 5 12 4 n? , cos B ? , 所 以 s iA , sin B ? , 5 13 13 5

s? 【 解 析 】 因 为 c oA
sin C ? sin( A ? B) ?

3 c b c 4 5 12 3 56 ? ? ? ? ? ? , 根据正弦定理 得 ,解 sin B sin C 12 56 5 13 13 5 65 13 65

得c ?

14 . 5

20.【2012 高考上海理 4】若 n ? (?2,1) 是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小 为 (结果用反三角函数值表示)。 【答案】 arctan 2

【解析】设倾斜角为 ? ,由题意可知,直线的一个方向向量为(1,2),则 tan ? ? 2 , ∴ ? = arctan 2 。 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示. 直线的倾斜角的取值情况一定要注意,属于低档题,难度较小. 21. 【 2012 高 考 全 国 卷 理 14 】 当 函 数 x=___________. 【答案】 x ? 取得最大值时,

5? 6

【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值 域的问题。首先化为单一三 角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点。 【 解 析 】 函 数 为 y ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin( x ?

?
3

) , 当 0 ? x ? 2? 时 ,

?

?
3

? x?

?
3

?

以x ?

5? . 6

5? ? ? 5? ,由三角函数图象可知,当 x ? ? ,即 x ? 时取得最大值,所 3 3 2 6

? ?? 4 ? 22.【2012 高考江苏 11】(5 分)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 6? 5 12 ?
▲ . 【答案】

17 2。 50

【考点】酮角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? <

?
2

,∴

?
6

<? ?

?
6

<

?
2

?

?

2? 。 6 3 =

?? 4 ?? 3 ? ? ∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? 。∴ 6 5 6? 5 ? ? ? ?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2 = 。 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ? ?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? 。 3 ? 25 ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 3 4 3? 4 3? 4 ? ?

=

24 2 7 2 17 ? = 2。 25 2 25 2 50

三、解答题

23.【2012 高考新课标理 17】(本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .

【答案】(1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
24.【2012 高考湖北理 17】(本小题满分 12 分)
sx ? 已 知 向 量 a ? ( c o? s? in x ,? sx in ) ? (? cos ? x ? sin ? x, 2 3 cos ? x) , 设 函 数 , b

1 f ( x) ? a ? b ? ? ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? π 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( , 1) . 2
(Ⅰ )求函数 f ( x) 的最小正周期;

3π π (Ⅱ )若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( ,0) ,求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的取值范围. 5 4
【答案】(Ⅰ )因为 f ( x) ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? ?

π ? ? cos 2? x ? 3sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? . 6 π 由直线 x ? π 是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 sin(2? π ? ) ? ?1 , 6 π π k 1 所以 2? π ? ? kπ ? (k ? Z) ,即 ? ? ? (k ? Z) . 6 2 2 3 5 1 又 ? ? ( , 1) , k ? Z ,所以 k ? 1 ,故 ? ? . 6 2 6π 所以 f ( x) 的最小正周期是 . 5 π π (Ⅱ )由 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,得 f ( ) ? 0 , 4 4 5 π π π 即 ? ? ?2sin( ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 . 6 2 6 4 5 π 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 , 3 6 3π π 5 π 5π 由 0 ? x ? ,有 ? ? x ? ? , 5 6 3 6 6

1 5 π 5 π 所以 ? ? sin( x ? ) ? 1 ,得 ?1 ? 2 ? 2sin( x ? ) ? 2 ?2 ? 2 , 2 3 6 3 6 3π 故函数 f ( x) 在 [0, ] 上的取值范围为 [?1 ? 2, 2 ? 2] . 5
25.【2012 高考安徽理 16】)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 。 2 4

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; ( II ) 设 函 数 g ( x) 对 任 意 x ? R , 有 g ( x?

?

) ? g ( x) , 且 当 x ? [0, ] 时 , 2 2

?

g ( x) ?

1 ? f ( x) ,求函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式。 2

【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段 函数解析式等基础知识,考查分类讨论思想和运算求解能力。 【解析】 f ( x) ?

2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 4 2 2 2

?

1 1 ? sin 2 x , 2 2
(I)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (2)当 x ? [0, 当 x ? [?

?
2

2? ?? 2

] 时, g ( x) ?

? ? ? 1 ? 1 , 0] 时, ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 1 当 x ? [?? , ? ) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2 2 2
?

1 1 ? f ( x) ? sin 2 x 2 2

? ? 1 ? sin 2 x ( ? ? x ? 0) ? ? 2 2 得函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为 g ( x) ? ? 。 1 ? ? sin 2 x( ?? ? x ? ) ? ? 2 2
26.【2012 高考四川理 18】(本小题满分 12 分)
2 函数 f ( x) ? 6 cos

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为图

象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形。 (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值。 3 3 5

【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、酮角三角函数的关系、两角和差公式,倍角 公式等基础知识,考查基本运算能力,以及数形结合思想,化归与转化思想.

[解析](Ⅰ )由已知可得: f ( x) ? 6 cos

2

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0)

=3cosωx+ 3 sin ?x ? 2 3 sin(?x ? 又由于正三角形 ABC 的高为 2 3 ,则 BC=4 所以,函数 f ( x)的周期 T ? 4 ? 2 ? 8,即

?
3

)

2?

?

? 8,得 ? ?

?
4

所以,函数 f ( x)的值域为 [?2 3,2 3] 。……………………6 分 (Ⅱ )因为 f ( x0 ) ?

8 3 )有 ,由 (Ⅰ 5 ?

f ( x0 ) ? 2 3sin (
由 x0 ? (?

?x0
4

?
3

)?

?x ? 4 8 3 ( 0 ? )? , 即s i n 4 3 5 5

?x 10 2 ? ? ? , ),得( 0 ? ) ? (? , ) 3 3 4 3 2 2

所以, 即cos(

?x0
4

故 f ( x0 ? 1) ? 2

?2 ?2

? 4 3 ? ) ? 1 ? ( )2 ? 3 5 5 ?x ? ? ?x ? ? 3sin ( 0 ? ? ) ? 2 3sin[( 0 ? ) ? ] 4 4 3 4 3 4 ?x ? ?x ? ? ? 3[sin( 0 ? ) cos ? cos( 0 ? ) sin 4 3 4 4 3 4 4 2 3 2 3( ? ? ? ) 5 2 5 2

?

7 6 ………………………………………………………12 分 5

27.【2012 高考陕西理 16】(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 间的距离为

?

? , 2

6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

【解析】(Ⅰ)∵函数 f ? x ? 的最大值是 3,∴ A ? 1 ? 3 ,即 A ? 2 。

? ,∴最小正周期 T ? ? ,∴ ? ? 2 。 2 ? 故函数 f ? x ? 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 。 6 ? ? ? 1 (Ⅱ)∵ f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 ,即 sin(? ? ) ? , 2 6 6 2
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为

∵0 ?? ?

?
2

,∴ ?

?
6

?? ?

?
6

?

?
3

,∴ ? ?

?
6

?

?
6

,故 ? ?

?
3



28.【2012 高考广东理 16】(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 cos( ?x ? (1)求ω 的值; (2)设 ? , ? ? [0,

?

6

) ,(其中ω >0,x∈R)的最小正周期为 10π .

?

5 6 5 16 ] , f (5? ? ? ) ? ? , f (5? ? ? ) ? ,求 cos(α +β )的值. 2 3 5 6 17

【答案】本题考查三角函数求值,三角恒等变换,利用诱导公式化简三角函数式与两角和的 余弦公式求值,难度较低。 【解析】(1) T ?

2?

(2) f (5? ?

5? 6 ? 3 3 4 ) ? ? ? cos(? ? ) ? ? ? sin ? ? , cos ? ? 3 5 2 5 5 5 5? 16 8 15 f (5? ? ) ? ? cos ? ? ,sin ? ? 6 17 17 17 4 8 3 15 13 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? 5 17 5 17 85

?

? 10? ? ? ?

1 5

29.【2012 高考山东理 17】(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x, 为 6. (Ⅰ)求 A ;

A cos 2 x)( A ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的最大值 3

? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原 12 1 5? ] 上的值域. 来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 [0, 2 24 解:(Ⅰ) f ( x ) ? m ? n ? 3 A sin x cos x ? A cos 2 x 2 3 ? A( sin 2 x ? 1 cos 2 x) 2 2 ? ? A sin(2 x ? ) ? 因为 A ? 0 ,
(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 由题意知 A ? 6 . (Ⅱ)由(I) f ( x) ? 6sin(2x ? ? ) 将 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? 个单位后得到

?

y ? 6sin[2( x ? ? ) ? ? ] ? 6sin(2 x ? ? ) 的图象; ?? ? ?
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 1 倍,纵坐标不变,得到

??

2

y ? 6sin(4x ? ? ) 的图象. ?
因此

g ( x) ? 6sin(4x ? ? ) , ?
因为

x ?[0 , 5? ] , ??
所以

4x ? ? ?[? , 7? ] , ? ? ?
所以

sin(4x ? ? ) ?[? 1 , 1] , ? 2
所以 g ( x) 在 [0 , 5? ] 上的值域为 [?3 , 6] .

??

30.【2012 高考北京理 15】(本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递减区间。

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

解(1): sin x ? 0 ? x ? k? (k ? Z ) 得:函数 f ( x ) 的定义域为 {x x ? k? , k ? Z}

f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x ? (sin x ? cos x) ? 2 cos x sin x

? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 2? ?? ; 得: f ( x) 的最小正周期为 T ? 2
(2)函数 y ? sin x 的单调递增区间为 [2k? ?

?

, 2k? ? ](k ? Z ) 2 2 ? ? ? ? 3? 则 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? ? k? ? ? x ? k? ? 2 4 2 8 8 ? 3? ](k ? Z ) 得: f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ), ( k? , k? ? 8 8

?

?

31.【2012 高考重庆理 18】(本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分) 设 f ( x) ? 4 cos( ?x ?

?

6

) sin ?x ? cos( 2?x ? x) ,其中 ? ? 0.

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的值域 (Ⅱ)若 y ? f ( x) 在区间 ??

? 3x ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值. , ? 2 2? ?

解:(1) f ? x ? ? 4 ?

? 3 ? 1 ? 2 cos ? x ? 2 sin ? x ? ? sin ? x ? cos 2? x ? ?

? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1
因 ?1 ? sin 2? x ? 1 ,所以函数 y ? f ? x ? 的值域为 ?1 ? 3,1 ? 3 ?

?

?

x 在 每 个 闭 区 间 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上 为 增 函 数 , 故 ( 2 ) 因 y ?s i n 2 2? ?

?

?

??

? k? ? k? ? ? , ? f ? x ? ? 3 sin 2? x ? 1 ?? ? 0? 在每个闭区间 ? ? ? k ? Z ? 上为增函数。 ? ? 4? ? 4? ? ?
依题意知 ? ?

? 3? ? ? ? k? ? k? ? ? 对某个 k ? Z 成立,此时必有 k ? 0 ,于是 , ? ? , ? ? 2 2? ? ? ? ? 4? ? 4? ? ?

? ? 3? ? ? ? ? 1 1 ? 2 4? ,解得 ? ? ,故 ? 的最大值为 。 ? 6 6 ?? ? ? ? ? 2 4?
32.【2012 高考浙江理 18】(本小题满分 14 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别
2 为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB= 5 cosC. 3

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积. 【答案】 本题主要考查三角恒等变换, 正弦定理, 余弦定理及三角形面积求法等知识点。
2 5 (Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ? , 3 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA =
2 5 cosC+ sinC. 3 3

整理得:tanC= 5 . (Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= 又由正弦定理知: 故 c ? 3 . (1)
5 . 6

a c , ? sin A sin C

对角 A 运用余弦定理:cosA= 解(1) (2)得: b ? 3 or b= ∴ ? ABC 的面积为:S=

b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . (2) 2bc 3

3 (舍去). 3

5 . 2

33.【2012 高考辽宁理 17】(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中*角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列概念、正余弦定理应用,是容易题. 【解析】(1)由已知 2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B =

?

3

, cos B =
2

1 2

??6 分

2 (2)解法一: b =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin B =

3 4

1 a 2 +c 2 -b2 a 2 +c 2 -ac = cos B = = ,由此得 a 2 +c 2 -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac ? 3 sin A sin C = 所以 A=B =C = , ?? 3 4
解法二: b =ac ,
2

12 分 【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列 的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的 关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果。 34.【2012 高考江西理 17】(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中*角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c。已知 A ? (1)求证: B ? C ? (2)若 a ?

?

?
2

, b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a 4 4 4

?

?

2 ,求△ ABC 的面积。

解:(1)证明:由 b sin(

?
4

? C ) ? c sin(

?
4

? B) ? a 及正弦定理得:

sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A , 4 4
即 sin B(

?

?

2 2 2 2 2 sin C ? sin C ) ? sin C ( sin B ? sin B) ? 2 2 2 2 2
3? 4

整理得: sin B cos C ? cos B sin C ? 1 ,所以 sin( B ? C ) ? 1 ,又 0 ? B, C ? 所以 B ? C ?

?
2

(2) 由(1)及 B ? C ?

3? 5? ? ? , C ? ,又 A ? , a ? 2 可得 B ? 4 8 8 4 a sin B 5? a sin C ? ? 2sin ,c ? ? 2sin , 所以 b ? sin A 8 sin A 8

所以三角形 ABC 的面积 ?

1 5? ? ? ? 2 ? 1 bc sin A ? 2 sin sin ? 2 sin cos ? sin ? 2 8 8 8 8 2 4 2

【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的 应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解 边长*角度,周长*面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式, 辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等. 来年需要注意第二种题型的考查. 35.【2012 高考全国卷理 17】(本小题满分 10 分) 三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A-C)+cosB=1,a=2c, 求 c. 【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关系,一个角 的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好。 【解析】由 A ? B ? C ? ? ? B ? ? ? ( A ? C ) , 由正弦定理及 a ? 2c 可得 sin A ? 2sin C 所以 cos( A ? C ) ? cos B ? cos( A ? C ) ? cos(? ? ( A ? C )) ? cos( A ? C ) ? cos( A ? C )

? cos A cos C ? sin A sin C ? cos A cos C ? sin A sin C ? 2sin A sin C
故由 cos( A ? C ) ? cos B ? 1 与 sin A ? 2sin C 可得 2sin A sin C ? 1 ? 4sin C ? 1
2

而 C 为三角形的内角且 a ? 2c ? c ,故 0 ? C ?

?
2

,所以 sin C ?

1 ? ,故 C ? 。 2 6

【点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形 的内角和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的问题。试题整体上比 较稳定,思路也比较容易想,先将三角函数关系式化简后,得到 A, C 角关系,然后结合

a ? 2c ,得到两角的二元一次方程组,自然很容易得到角 C 的值。
36.【2012 高考天津理 15】(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?

3

) ? sin( 2 x ?

?

3

) ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R.

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [ ? 【 解 析

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4
】 (

f (x)= sin (2 x +

?
3

)+sin(2 x ?

?
3

)+2cos 2 x ? 1 ? 2sin 2 x cos

?
3

1



? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 4

?

2? ?? 2 ? ? ? ? 3? 2 ? (2) ? ? x ? ? ? ? 2 x ? ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? ?1 ? f ( x) ? 2 4 4 4 4 4 2 4
函数 f (x) 的最小正周期为 T ?

4 f (x m ) i? n ? 1

当 2x ?

?

?

?

2

(x ?

?

8

) 时 , f (x m ) a? x

2, 当 2 x ?

?

4

??

?

(x ? ? ) 时 , 4 4

?

【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 y =A sin (? x +? ) 的数学模型,再根据此 三角模型的图像与性质进行解题即可. 37.【2012 高考江苏 15】(14 分)在 ?ABC 中*已知 AB AC ? 3BA BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

【 答 案 】 解 : ( 1 ) ∵ AB AC ? 3BA BC , ∴ AB AC cos A=3BA BC cos B , 即
A Cc o s A = 3 BC co B s 。

由正弦定理,得

AC BC ,∴ sin B cos A=3sin A cos B 。 = sin B sin A sin B sin A 即 =3 cos B cos A

又 ∵ 0 < A ? B < ? , ∴ cos A > 0,cos B > 0 。 ∴
tan B ? 3tan A 。

? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 ? ? ? 5 5 5 ? ?

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1 , tan A= ? 。 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

?
4



【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。 【解析】(1)先将 AB AC ? 3BA BC 表示成数量积,再根据正弦定理和酮角三角函数关 系式证明。

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ? ?? ? ? A ? B?? ? ,从 5 而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。
(2)由 cos C ?

2011 年高考题

一、选择题

? ?? ?? ? ? 0, ? ? ? , ? 1.(山东理 6)若函数 f ( x) ? sin ? x (ω>0)在区间 ? 3 ? 上单调递增,在区间 ? 3 2 ? 上单
调递减,则 ω=

A.3 【答案】C

B.2

3 C. 2

2 D. 3

y?
2.(山东理 9)函数

x ? 2 sin x 2 的图象大致是

【答案】C

? 3.(全国大纲理 5)设函数 f ( x) ? cos ? x(?>0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3 个单位长
度后,所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于

1 A. 3
【答案】C

B. 3

C. 6

D. 9

4.(湖北理 3)已知函数 f ( x) ? 3sin x ? cos x, x ? R ,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围为

? ? ? ? x | k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? 3 ? A. ?
{ x | k? ?
C. 【答案】B

? ? ? ? x | 2k? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 3 ? B. ?
{ x | 2 k? ?
D.

?
6

? x ? k? ?

5? , k ? Z} 6

?
6

? x ? 2 k? ?

5? , k ? Z} 6

5.(全国新课标理 11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) 周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) 则

(? ? 0,| ? |?

?

) 2 的最小正

(A) y ? f ( x) 在

(0, ) 2 单调递减

?

? 3? ( , ) y ? f ( x ) (B) 在 4 4 单调递减

(0, ) 2 单调递增 (C) y ? f ( x) 在
【答案】A

?

? 3? ( , ) (D) y ? f ( x) 在 4 4 单调递增

f ( x) ? f ( ) ? f ( x ) ? sin(2 x ? ? ) 6 对 x? R恒 6.(安徽理 9)已知函数 ,其中 为实数,若
f ( ) ? f (? ) 2 ,则 f ( x ) 的单调递增区间是

?

?

成立,且

? ?? ? ?k? ? , k? ? ? (k ? Z ) 3 6? (A) ?

?? ? ? k? , k ? ? ? ( k ? Z ) 2? (B) ?
? ? ? ? k? ? , k ? ? ( k ? Z ) 2 ? (D) ?

? 2? ? ? ?k? ? , k? ? ? (k ? Z ) 6 3 ? ? (C)
【答案】C 二、填空题

y ? sin( ? x) cos( ? x) 2 6 7.(上海理 8)函数 的最大值为

?

?



2? 3 【答案】 4
8. (辽宁理 16) 已知函数 f ( x) =Atan ( ? x+ ? ) (

? ? 0, | ? |?

?
2) ,

y= f ( x) 的部分图像如下图,则

f(

?
24

)?



【答案】 3 三、解答题 9.(江苏 9)函数 f ( x) ? A sin(wx ? ? ), ( A, w, ? 是常数, A ? 0, w ? 0) 的部分图象如图所

示,则 f(0)=

6 【答案】 2

10(北京理 15)

f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 6 已知函数 。
(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期:

?

? ? ?? ?? , ? (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? 6 4 ? 上的最大值和最小值。
f ( x) ? 4 cos x sin( x ?
解:(Ⅰ)因为

?
6

) ?1

? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1
? 3 sin 2x ? cos2x
? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

所以 f ( x) 的最小正周期为 ?

?
(Ⅱ)因为

?
6

?x?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? . 3

2x ?
于是,当

?
6

?

?
2

, 即x ?

?
6 时, f ( x) 取得最大值 2;

2x ?


?
6

??

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 6 6 取得最小值—1.

?

11.(福建理 16)

13 已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= 3 。
(I)求数列{an}的通项公式; (II)若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? p ? ? ) 在

x?

?
6 处取得最大值,且最大值

为 a3,求函数 f(x)的解析式。 本小题主要考查等比数列、 三角函数等基础知识, 考查运算求解能力, 考查函数与方程思想, 满分 13 分。

13 a1 (1 ? 33 ) 13 q ? 3, S3 ? 得 ? , 3 1? 3 3 解:(I)由
1 a1 ? . 3 解得 1 an ? ? 3n ?1 ? 3n ? 2. 3 所以
(II)由(I)可知

an ? 3n?2 , 所以a3 ? 3.

因为函数 f ( x ) 的最大值为 3,所以 A=3。

x?
因为当

?
6 时 f ( x) 取得最大值,

sin(2 ?
所以

?
6

? ? ) ? 1.

0 ? ? ? ? , 故? ?


?
6

.

f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 6 所以函数 f ( x ) 的解析式为
12.(广东理 16)

?

1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ), x ? R. 3 6 已知函数 f(
(1)求

5? ) 4 的值;

? 10 6 ? ?? ? , ? ? ?0, ? , f (3a ? ) ? , f (3 ? ? 2 ?) ? , 2 13 5 求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2? (2)设
f(
解:(1)

5? 1 5 ? ) ? 2sin( ? ? ? ) 4 3 4 6

? ?2sin

?
4

? 2


10 ?? ?1 ? ?? ?? ? ? f ? 3? ? ? ? 2sin ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2sin ? , 13 2? 2? 6? ? ?3 ? (2)
6 ?? ?? ?1 ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin ? ? (3? ? 2? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? , 5 6? 2? ?3 ?
? sin ? ? 5 3 , cos ? ? , 13 5
2 2

12 ?5? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? , 13 ? 13 ? 4 ?3? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?
故 13.(湖北理 16)
2

3 12 5 4 56 ? ? ? ? . 5 13 13 5 65

1 a ? 1.b ? 2.cos C ? . 4 设 ?ABC 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c,已知
(Ⅰ)求 ?ABC 的周长 (Ⅱ)求

cos ? A ? C ?

的值

本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识, 同时考查基本运算能力。 (满 分 10 分)

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
解:(Ⅰ)

1 ?4 4

? c ? 2. ? ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.

1 1 15 cos C ? ,? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 4 (Ⅱ)
15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? c 2 8
a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角,

? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

15 2 7 ) ? . 8 8
7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 8 16

? cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?
14.(四川理 17)

7 3 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ), x ? R 4 4 已知函数
(1)求 f ( x ) 的最小正周期和最小值;

cos( ? ? a) ?
(2)已知

4 4 ? , cos( ? ? ? ) ? ? , (0 ? ? ? ? ? ) 2 5 5 2 ,求证: [ f (? )] ? 2 ? 0

7? 7? 3? 3? ? cos x sin ? cos x cos ? sin x sin 4 4 4 4 ? 2 sin x ? 2 cos x f ( x) ? sin x cos ? 2sin( x ? ) 4 解析:

?

?T ? 2? , f ( x)max ? 2
cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 4 5 4 5 (1) (2)

cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? cos ? cos ? ? 0
(2)

0 ?? ? ? ?

?
2

? cos ? ? 0 ? ? ?

?
2

? f (? ) ? 2 ? ( f (? ))2 ? 2 ? 0
15.(天津理 15)

f ( x) ? tan(2 x ? ), 4 已知函数
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域与最小正周期;

?

(II)设

? ?? ? ? ? 0, ? 4 ?

f ( ) ? 2 cos 2? , ? ,若 2 求 ? 的大小.

?

本小题主要考查两角和的正弦、 余弦、 正切公式, 同角三角函数的基本关系, 二倍角的正弦、 余弦公式,正切函数的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 13 分.

2x ?
(I)解:由

?
4

?

?
2

? k? , k ? Z


x?


?
8

?

k? ,k ?Z 2 . {x ? R | x ?

?
8

所以 f ( x ) 的定义域为

?

k? , k ? Z} 2

? . f ( x) 的最小正周期为 2
a f ( ) ? 2 cos 2a, (II)解:由 2 tan(a ? ) ? 2 cos 2a, 4 得

?

sin(a ? ) 4 ? 2(cos 2 a ? sin 2 a), ? cos(a ? ) 4
sin a ? cos a ? 2(cos a ? sin a)(cos a ? sin a). 整理得 cos a ? sin a a ? (0, ) 4 ,所以 sin a ? cos a ? 0. 因为 (cos a ? sin a ) 2 ?
因此

?

?

1 1 , 即sin 2a ? . 2 2

a ? (0, ) 2a ? (0, ) 4 ,得 2 . 由 2a ?
所以

?

?

?
6

, 即a ?

?
12

.

16.(重庆理 16)

?? ? ? ?? f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos 2 ? ? x ? f ? ? ? ? f ? 0? ?2 ? 满足 ? 3 ? 设 a?R , ,求函数

? 11? [ , ] f ( x) 在 4 24 上的最大值和最小值.

解: f ( x) ? a sin x cos x ? cos x ? sin x
2 2

?

a sin 2 x ? cos 2 x. 2

? 3 a 1 f (? ) ? f (0)得 ? ? ? ? ?1, 解得a ? 2 3. 3 2 2 2 由
f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?
因此

?
6

).

x ? [ , ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 4 3 6 3 2 当 为增函数,

? ?

?

? ?

? 11? ? ? 3? x ?[ , ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 3 24 6 2 4 当 为减函数,

? 11? ? f ( x)在[ , ]上的最大值为f ( ) ? 2. 4 4 3 所以
? 11? f ( ) ? 3, f ( ) ? 2, 4 24 又因为
? 11? 11? f ( x )在[ , ] f( ) ? 2. 4 24 上的最小值为 24 故

2010 年高考题
一、选择题 1. ( 2010 全 国 卷 2 理 ) ( 7 ) 为 了 得 到 函 数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像,只需把函数

y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图像

? 个长度单位 4 ? (C)向左平移 个长度单位 2
(A)向左平移 【答案】B

? 个长度单位 4 ? (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移

【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.

x? 【解析】 y ? sin(2

?
6

) sin 2( x ? =

) , y ? sin(2 x ? ) = ? sin 2( x ? ) , 所 以 将 12 3 6

?

?

?

y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图像向右平移

? ? 个长度单位得到 y ? sin(2 x ? ) 的图像,故选 B. 3 4

2.(2010 陕西文)3.函数 f (x)=2sinxcosx 是 (A)最小正周期为 2π 的奇函数 (C)最小正周期为π 的奇函数 【答案】C 解析:本题考查三角函数的性质 (B)最小正周期为 2π 的偶函数 (D)最小正周期为π 的偶函数

f (x)=2sinxcosx=sin2x,周期为π 的奇函数

3.(2010 辽宁文)(6)设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? 与原图像重合,则 ? 的最小值是 (A)

?
3

) ? 2 的图像向右平移

4? 个单位后 3

2 3

(B)

4 3
2?

(C)

3 2

(D) 3

【答案】 C 解析:选 C.由已知,周期 T ?

?

?

4? 3 ,?? ? . 3 2

4.(2010 辽宁理)(5)设 ? >0,函数 y=sin( ? x+ 图像重合,则 ? 的最小值是 (A) 【答案】C

? 4? )+2 的图像向右平移 个单位后与原 3 3

2 3

(B)

4 3

(C)

3 2

(D)3

【命题立意】 本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性, 考查了同学们对知 识灵活掌握的程度。

? 4? )+2 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 后 为 3 3 4? ? ? 4?? 4?? 3k y ? sin[? ( x ? ) ? ] ? 2 ? sin(? x ? ? ) ? 2 ,所以有 =2k ? ,即 ? ? , 3 3 3 3 2 3 3k 3 又因为 ? ? 0 ,所以 k≥1,故 ? ? ≥ ,所以选 C 2 2 ? ? 5.(2010 重庆文)(6)下列函数中,周期为 ? ,且在 [ , ] 上为减函数的是 4 2 ? ? (A) y ? sin(2 x ? ) (B) y ? cos(2 x ? ) 2 2
【 解 析 】 将 y=sin(

? x+

(C) y ? sin( x ? 【答案】 A

?
2

)

(D) y ? cos( x ?

?
2

)

解析:C、D 中函数周期为 2 ? ,所以错误 当 x ?[

? ?

? ? ? 3? ? , ] 时, 2 x ? ? ?? , ? ,函数 y ? sin(2 x ? ) 为减函数 4 2 2 2 ? 2 ?
而函数 y ? cos(2 x ?

?
2

) 为增函数,所以选 A

6.(2010 重庆理) (6)已知函数 y ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ? 象如题(6)图所示,则 A.

?
2

) 的部分图

? ? =1 ? =
D.

?= ? 6

? ? =2 ? = -

6

B.

? =1
6

? =- ? 6

C.

? =2

解 析 : ? T ? ? ?? ? 2

由 五 点 作 图 法 知

2?

?
3

?? ?

?
2

,? = -

? 6

7.(2010 山东文)(10)观察 ( x2 )' ? 2 x , ( x 4 )' ? 4 x3 , (cos x)' ? ? sin x ,由归纳推理可 得:若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x) 为 f ( x ) 的导函数,则 g (? x) = (A) f ( x ) 【答案】D 8.(2010 四川理)(6)将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 (B) ? f ( x) (C) g ( x) (D) ? g ( x)

? 个单位长度, 10

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是 (A) y ? sin(2 x ?

?
10

) )

(B) y ? sin(2 x ?

?
5

)

(C) y ? sin( x ?

) 20 ? 解析:将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度,所得函数图象的解 10 10

1 2

?

(D) y ? sin( x ?

1 2

?

析式为 y=sin(x-

? ) 10

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是

1 ? y ? sin( x ? ) . 2 10
【答案】C

9.(2010 天津文)(8)

? ? 5? ? 为了得到这个 右图是函数y ? Asin (? x +?)(x ? R)在区间 ?- , ? 上的图象, ? 6 6 ?
函数的图象,只要将 y ? sin x(x ? R) 的图象上所有的点

(A)向左平移 原来的

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到 3 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长 3

1 倍,纵坐标不变 2

(B) 向左平移

到原来的 2 倍,纵坐标不变

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6 ? (D) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6
(C) 向左平移 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识,属于中等题。

? , 6 ? ? ? 0) 可得 ? 的一个值为 , 故图像中函数的一个表达式是 y=sin(2x+ ), 即 y=sin2(x+ ), 3 3 6 ? 所以只需将 y=sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移 个单位长度,再把所得各点的横 6 1 坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变。 2 【温馨提示】根据图像求函数的表达式时,一般先求周期、振幅,最后求 ? 。三角函数图像
由图像可知函数的周期为 ? , 振幅为 1, 所以函数的表达式可以是 y=sin(2x+ ? ).代入 (进行平移变换时注意提取 x 的系数,进行周期变换时,需要将 x 的系数变为原来的 10.(2010 福建文)

1

?

11.(2010 四川文)(7)将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

? 个单位长度, 10

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是 (A) y ? sin(2 x ?

?
10

) )

(B) y ? sin(2 x ?

?
5

)

(C) y ? sin( x ? 【答案】C

1 2

?

10

(D) y ? sin( x ?

1 2

?
20

)

解析:将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 析式为 y=sin(x-

? ) 10

? 个单位长度,所得函数图象的解 10

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所

得图像的函数解析式是 y ? sin( x ?

1 2

?
10

).

12.(2010 湖北文)2.函数 f(x)= A.

? 2

x ? 3 sin( ? ), x ? R 的最小正周期为 2 4
C.2 ? D.4 ?

B.x

【答案】D 【解析】由 T=|
2? |=4π ,故 D 正确. 1 2

13.(2010 福建理)1. 计算sin43 cos13 -sin13 cos 43 的值等于(



A.

1 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

【答案】A 【解析】原式= sin (43 -13 )= sin 30 =

1 ,故选 A。 2

【命题意图】 本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数, 考查基础

知识,属保分题。 二、填空题 1.(2010 浙江理)(11)函数 f ( x) ? sin(2 x ? __________________ . 解析: f ?x ? ?

?
4

) ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期是

2 ? ?? sin? 2 x ? ? ? 2 故最小正周期为π ,本题主要考察了三角恒等变换及 2 4? ?

相关公式,属中档题 2.(2010 浙江文)(12)函数 f ( x) ? sin (2 x ?
2

?
4

) 的最小正周期是



答案

? 2

3.(2010 福建文)16.观察下列等式: ① cos2a=2 cos a -1; ② cos4a=8 cos a - 8 cos a + 1; ③ cos6a=32 cos a - 48 cos a + 18 cos a - 1; ④ cos8a=128 cos a - 256 cos a + 160 cos a - 32 cos a + 1; ⑤ cos10a= m cos a - 1280 cos a + 1120 cos a + n cos a + p cos a - 1. 可以推测,m – n + p = 【答案】962
1 3 5 7 【解析】因为 2 ? 2 , 8 ? 2 , 32 ? 2 , 128 ? 2 , 所以 m ? 2 ? 512 ;观察可得 n ? ?400 ,
9 10 6 4 2 4 2 2

8

6

4

2

8

6

4

2



p ? 50 ,所以 m – n + p =962。
【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识,考查同学们的推理能力等。 4.(2010 山东理)

5.(2010 福建理)14.已知函数 f(x)=3sin(? x的对称轴完全相同。若 x ? [0, 【答案】 [- ,3] 【解析】由题意知,? ? 2 ,因为 x ? [0,

?
6

)(? >0) 和 g(x)=2cos (2x+? )+1 的图象


?
2

] ,则 f(x) 的取值范围是

3 2

?
2

] ,所以 2x-

?
6

? [-

? 5?
6 , 6

] ,由三角函数图象知:

f(x) 的最小值为 3sin (-

?

3 ? 3 )=- ,最大值为 3sin =3 ,所以 f(x) 的取值范围是 [- ,3] 。 6 2 2 2

6.(2010 江苏卷)10、定义在区间 ? 0 ,

? ?

??

? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交 2?

点为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为 ____________。 解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值, 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx= 三、解答题 1.(2010 湖南文)16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x
2

2 2 。线段 P1P2 的长为 3 3

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期。 (II) 求函数 f ( x ) 的最大值及 f ( x ) 取最大值时 x 的集合。

2.(2010 浙江理)(18)(本题满分 l4 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c, 已知 cos 2C ? ?

1 4

(I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。 (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin C= ?
2

1 ,及 0<C<π 4

所以 sinC=

10 . 4
a c ? ,得 sin A sin C

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 c=4 由 cos2C=2cos C-1= ?
2

1 ,J 及 0<C<π 得 4

cosC=±

6 4
2 2 2

由余弦定理 c =a +b -2abcosC,得 b ± 6 b-12=0
2

解得 所以

b= 6 或 2 6 b= 6 c=4 或 b= 6 c=4

3.(2010 江西理)17.(本小题满分 12 分)

?? ? ?? ? f ? x ? ? ?1 ? cot x ? sin 2 x ? m sin ? x ? ? sin ? x ? ? 4? ? 4 ?。 ? 已知函数

? ? 3? ? ? , ? f ? x? (1) 当 m=0 时,求 在区间 ? 8 4 ? 上的取值范围;
(2) 当 tan a ? 2 时,

f ?a? ?

3 5 ,求 m 的值。

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三 角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等 题. 解: (1) 当 m=0 时, f ( x) ? (1 ?

cos x 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ) sin 2 x ? sin 2 x ? sin x cos x ? sin x 2

1 ? ? 3? ? 2 ? [ 2 sin(2 x ? ) ? 1] ,由已知 x ? [ , ] ,得 2 x ? ?[? ,1] 2 4 8 4 4 2
从而得: f ( x ) 的值域为 [0, (2) f ( x) ? (1 ?

1? 2 ] 2

cos x ? ? )sin 2 x ? m sin( x ? )sin( x ? ) sin x 4 4 1 1 化简得: f ( x) ? [sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x] ? 2 2 2sin a cos a 2 tan a 4 3 ? ? , cos 2a ? , 当 tan ? ? 2 ,得: sin 2a ? 2 2 2 sin a ? cos a 1 ? tan a 5 5
代入上式,m=-2. 4.(2010 浙江文)(18)(本题满分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足 S ? (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4

5.(2010 北京文)(15)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x (Ⅰ)求 f ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值 解:(Ⅰ) f ( ) ? 2 cos

?

3

2? ? 3 1 ? sin 2 = ?1 ? ? ? 3 3 4 4
2 2

(Ⅱ) f ( x) ? 2(2cos x ?1) ? (1 ? cos x)

? 3cos2 x ?1, x ? R
因为 cos x ?? ?1,1? ,所以,当 cos x ? ?1 时 f ( x ) 取最大值 2;当 cos x ? 0 时,

f ( x) 去最小值-1。
6.(2010 北京理)(15)(本小题共 13 分) 已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。
2

(Ⅰ)求 f ? ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。 解:(I) f ( ) ? 2 cos

?

3

2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4 cos ? ?1 ? ? ? 3 3 3 4 4
2 2

(II) f ( x) ? 2(2cos x ?1) ? (1 ? cos x) ? 4cos x = 3cos x ? 4cos x ? 1
2

= 3(cos x ? ) ?
2

2 3

7 ,x?R 3

因为 cos x ? [?1,1] ,

o s x? 所以, 当 cos x ? ?1 时, f ( x ) 取最大值 6; 当c
7.(2010 广东理)16、(本小题满分 14 分)

2 7 时, f ( x ) 取最小值 ? 3 3

已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0, x ? (??, ??),0 ? ? ? ? 在 x ? (1) 求 f ( x ) 的最小正周期; (2) 求 f ( x ) 的解析式; (3) 若 f (

?
12

时取得最大值 4.

2 ? 12 α + )= ,求 sinα . 3 12 5

sin(2? ?

?
2

)?

3 3 3 1 5 2 2 , cos 2? ? , 1 ? 2sin ? ? , sin ? ? , sin ? ? ? . 5 5 5 5 5

8.(2010 广东文)

9.(2010 湖北文)16.(本小题满分 12 分) 已经函数 f ( x) ?

cos 2 x ? sin 2 x 1 1 , g ( x) ? sin 2 x ? . 2 2 4

(Ⅰ)函数 f ( x ) 的图象可由函数 g ( x) 的图象经过怎样变化得出? (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最小值,并求使用 h( x) 取得最小值的 x 的集合。

10.(2010 湖南理)16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值; (II)求函数 f ( x ) 的零点的集合。

2009 年高考题
一、选择题 1.(2009 年广东卷文)函数 y ? 2 cos ( x ?
2

?
4

) ? 1是

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为 答案 A 解析 因为 y ? 2cos ( x ?
2

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

?

2? ?? ? ?? , ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? 2 4 2? ?

所以选 A. 2.(2009 全国卷Ⅰ理)如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 ? 3 ?

| ? | 的最小值为(
A .

) B.

? 6

? 4

C.

? 3

D.

? 2

答案 C 解析: 函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2?

4? 4? ? ? ? ? k? ?? ? k? ? 2 ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 C 3 3 3

3.(2009 全国卷Ⅰ理)若 答案 -8 解析:令 tan x ? t ,

?

4

?x?

?

2

,则函数 y ? tan 2x tan3 x 的最大值为



?
4

?x?

?
2

?t ? 1,

? y ? tan 2 x tan 3 x ?

2 tan 4 x 2t 4 2 2 2 ? ? ? ? ? ?8 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ? tan x 1 ? t ? ( 2? ) ? ? t4 t2 t 2 4 4

4..(2009 浙江理)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ...

)

答案 D 解析 对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? .

2? , a

a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合要

5..(2009 浙江文)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是( ...



【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题,但考查的知识点因含有参数而丰富,结 合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度. 答案 D 解析 对于振幅大于 1 时, 三角函数的周期为 T ? 它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? . 6.(2009 山东卷理)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 图象的函数解析式是( A. y ? cos 2 x 答案 B 解析 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 ).
2

2? , a

而 D 不符合要求, a ? 1,?T ? 2? ,

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得 4

B. y ? 2cos x

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? 2sin x
2

y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 2

?

? ? 个单位,得到函数 y ? sin 2( x ? ) 即 4 4

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 B.
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 7.(2009 山东卷文)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 图象的函数解析式是( A. y ? 2cos x
2

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得 4

). B. y ? 2sin x
2

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? cos 2 x

答案 A

解析 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 2

?

? ? 个单位,得到函数 y ? sin 2( x ? ) 即 4 4

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 A.
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 8.(2009 安徽卷理)已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 A. [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 C. [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 答案 C 解析 f ( x) ? 2sin(? x ? 由 2 k? ? B. [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 D. [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

?
6

) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 ,

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

得, k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? z ,故选 C

9..(2009 安徽卷文)设函数 导数 A. 答案 D 解析 f ?(1) ? sin ? ? x2 ? 3 cos ? ? x
x ?1

,其中

,则

的取值范围是 B. C. D.

? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? ) 3

?

? ? ?0,

? ? 2 ? ? 5 ? ? ? ? ? sin(? ? ) ? ? ,1? ? f ?(1) ? ? ? 2, 2 ? ,选 D 3 ? 2 ? ? 12 ?

10.(2009 江西卷文)函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 A. 2? 答案:A B.

3? 2

C. ?

D.

? 2

解析 由 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x ? cos x ? 3 sin x ? 2sin( x ?

?
6

) 可得最小正周期为

2? ,故选 A.
11.(2009 江西卷理)若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? B. 2 C. 3 ? 1 D. 3 ? 2

?
2

,则 f ( x ) 的最大值为

A.1 答案:B

解析 因为 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x = cos x ? 3 sin x = 2 cos( x ? 当x?

?
3

)

?
3

是,函数取得最大值为 2. 故选 B

12.(2009 湖北卷理)函数 y ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析

式为 y ? f ( x), 当 y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于

A.( ?

?
6

, ?2)

B.( ?

?
6

, 2)

C.( , ?2) 6

?

D.( , 2) 6

?

答案 B 解析 直接用代入法检验比较简单.或者设 a ? ( x?, y?) ,根据定义

v

y ? y? ? cos[2( x ? x?) ? ] ? 2 ,根据 y 是奇函数,对应求出 x? , y? 6
13.(2009 全国卷Ⅱ理)若将函数 y ? tan ? ? x ?

?

? ?

??

? ? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 6 个单位长度 4?

后,与函数 y ? tan ? ? x ? A.

? ?

??

? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6?
B.

1 6

1 4
?

C.

1 3

D.

1 2

解析: y ? tan ? ? x ?

? ?

??

向右平移 个单位 ? ? ?? ? 6 ? y ? tan[? ( x ? ) ? ] ? tan ? ? x ? ? ? ?????? 4? 6 4 6? ?

?


?
4

?

?
6

? ? k? ?

? ? 0 ??min

1 ? ? ? 6k ? ( k ? Z ) , 6 2 1 ? .故选 D 2

?

答案 D 14..(2009 福建卷理)函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是 ( )

A.-1 答案 B 解析

B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

∵ f ( x) ?

1 1 sin 2 x ∴ f ( x) min ? ? .故选 B 2 2

15.(2009 辽宁卷理)已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 3

f (0) =(
A. ?

) B.

2 3

2 3

C.-

1 2

D.

1 2

2π 解析 由图象可得最小正周期为 3 2π 2π π 7π 于是 f(0)=f( ),注意到 与 关于 对称 3 3 2 12

2 2π π 所以 f( )=-f( )= 3 2 3
答案 B 16. (2009 全国卷Ⅰ文) 如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( 的最小值为 A.

4? , 0) 中心对称, 那么 ? 3

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【解析】本小题考查三角函数的图象性质,基础题。 解: 函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2?

4? ? 13? ? ? ? ? k? ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 A 3 2 6 6

? / / 17. (2009 湖北卷文) 函数 y ? cos(2 x ? ) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F , F 的解析式 y=f(x), 6
当 y=f(x)为奇函数时,向量 a 可以等于

? A. ( ,?2) 6

? B. ( ,2) 6

C. (?

?
6

,?2)

D. (?

?
6

,2)

答案 D 解析 由平面向量平行规律可知,仅当 a ? ( ?

?
6

, 2) 时,

F ? : f ( x ) ? cos[2( x ?

?
6

)?

?
6

] ? 2 = ? sin 2 x 为奇函数,故选 D.

18.(2009 湖南卷理)将函数 y=sinx 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后,得到函数 y=sin ( x ? A.

?
6

) 的图象,则 ? 等于
B.

(D) C.

? 6

5? 6

7? 6

D.

11? 6

答案 D 解析 由函数 y ? sin x 向左平移 ? 的单位得到 y ? sin( x ? ? ) 的图象,由条件知函数

y ? sin( x ? ? ) 可化为函数 y ? sin( x ? ) ,易知比较各答案,只有 6 11? ? y ? sin( x ? ) ? sin( x ? ) ,所以选 D 项 6 6
19.(2009 天津卷理)已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

?

4

)( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为

了得到函数 g ( x) ? cos? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象

? 个单位长度 8 ? C 向左平移 个单位长度 4
A 向左平移 解析:由题知 ? ? 2 ,所以

? 个单位长度 8 ? D 向右平移 个单位长度 4
B 向右平移

【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换,基础题。

f ( x ) ? sin( 2x ?
答案 A 二、填空题

?

) ? cos[ ? ( 2 x ? )] ? cos(2 x ? ) ? cos 2( x ? ) ,故选择 A 4 2 4 4 8

?

?

?

?

20. (2009 江苏卷) 函数 y ? A sin(? x ? ? )( A, ? , ? 为常数,A ? 0, ? ? 0 ) 在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = 答案 3 解析 考查三角函数的周期知识 .

3 2 T ? ? , T ? ? ,所以 ? ? 3 , 2 3

21(2009 宁夏海南卷理)已知函数 y=sin( ? x+ ? )( ? >0, - ? ? ? < ? )的图像如图所 示,则

? =________________

答案:

9? 10

T?
解析:由图可知,

5? 4 ?4 ? ,?? ? , 把 ? 2? ,1? 代入y=sin ? x ? ? ? 有: 2 5 ?5 ?

9? ?8 ? 1=sin ? ? ? ? ? ,?? ? 10 ?5 ?

22.(2009 宁夏海南卷文)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则

? 7? ? f? ?? ? 12 ?



答案

0

解析 由图象知最小正周期 T= =0,即 2 sin(3 ?

2 5? ? 2? 2? ? ? )= ( = ,故 ? =3,又 x= 时,f(x) 3 4 4 3 ? 4

?
4

? ? )=0,可得 ? ?

?
4

,所以, f ?

? 7? ? 12

7? ? ? ? ? 2 sin( 3 ? 12 ? 4 ) =0 ?

23.(2009 湖南卷理)若 x∈(0, 答案 2 2

? ? )则 2tanx+tan( -x)的最小值为 2 2

解析 由 x ? (0,

? 1 ) ,知 tan ? ? 0, tan( ? ? ) ? cot ? ? ? 0, 所以 2 2 tan ? ? 1 2 tan ? ? tan( ? ? ) ? 2 tan ? ? ? 2 2, 当且仅当 tan ? 2 时取等号,即最小值是 2 tan ?
?

2 2
24.(2009 年上海卷理)函数 y ? 2cos2 x ? sin 2x 的最小值是_____________________ . 答案 1 ? 2 解析 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4 ?x ? kx 成立,则实数 k 的取值范围是 时 ,不等式 sin 25.(2009 年上海卷理)当 0 ? x ? 1 2
_______________. 答案 k≤1 解析 作出 y1 ? sin

?

?x
2

与 y 2 ? kx 的图象,要使不等式 sin

?x
2

? kx 成立,由图可知须 k≤1

26.(2009 年上海 的等差数列 ?an ? 满足 a n ? ? ?

卷理) 已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27

? ? ?? , ? ,且公差 d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 , ? 2 2?

则当 k =____________是, f (ak ) ? 0 . 答案 14 解析 函数 f ( x) ? sin x ? tan x 在 ( ?

? ?

, ) 是增函数,显然又为奇函数,函数图象关于原 2 2

点对称,因为 a1 ? a27 ? a2 ? a26 ? ? ? ? ? 2a14 , 所以 f (a1 ) ? f (a27 ) ? f (a2 ) ? f (a26 ) ? ??? ? f (a14 ) ? 0 ,所以当 k ? 14 时, f (ak ) ? 0 . 27.(2009 上海卷文)函数 f ( x) ? 2cos x ? sin 2 x 的最小值是
2



答案 解析

1? 2
f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为:1 ? 2 4

?

28.(2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示, 则? =

4π 解析 由图象可得最小正周期为 3 2 π 4π ∴T= = ω 3 答案 ? ω=

3 2

3 2

三、解答题 29.(2009 全国卷Ⅰ理)在 ?ABC 中*内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知

a 2 ? c 2 ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧是
2 2

二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin A cos C ? 3cos A sin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在
已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一:在 ?ABC 中

sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ?3 c, 化简并整理得: 2(a2 ? c2 ) ? b2 .又由已知 有: a 2ab 2bc
a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 。
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2 ?????????????① 又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4cos A sin C
由正弦定理得 sin B ?

b sin C ,故 b ? 4c cos A ?????????② c

由①,②解得 b ? 4 。

评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提 高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明确不再考的 知识和方法了解就行,不必强化训练。 30.(2009 北京文)(本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

解析 本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的 最值等基础知识,主要考查基本运算能力. 解(Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x , ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x ) 在区间 ? ?

3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

31.(2009 北京理)(本小题共 13 分) 在 ?ABC 中*角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 解析 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础 知识,主要考查基本运算能力. 解(Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ? ∴C ?

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

?
3

, cos A ?

2? 3 ? A,sin A ? , 3 5

4 , 5

∴ sin C ? sin ?

3 1 3? 4 3 ? 2? ? . ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 ? 3 ? 2
3 3? 4 3 ,sin C ? , 5 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ?

, b ? 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理, 3 b sin A 6 ? . ∴a ? sin B 5
∴△ABC 的面积 S ?

又∵ B ?

?

1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 ab sin C ? ? ? 3 ? ? 2 2 5 10 50

32.(2009 江苏卷) 设向量 a ? (4cos ?,sin ?), b ? (sin ?,4cos ?), c ?(cos ?, ? 4sin ?) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角 的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

33.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) (2) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

? 2 )+sin x. 3

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

解: (1) f(x)=cos(2x+

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? ? ? sin 2 x 3 3 3 2 2 2
1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sin C ?

所以函数 f(x)的最大值为

(2) f ( ) =

c 2

1 1 3 ? sin C =- , 4 2 2

3 , 2

因为 C 为锐角,

所以

C?

?
3

,

又因为在 ? ABC 中,

cosB=

1 , 3

所以

sin B ?

2 3, 3

所以

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 2 2? 3 . 2? ? ? ? 3 2 3 2 6

【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的 性质以及三角形中的三角关系. 34.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2 sin x cos (1)
2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

求 ? .的值; 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ?

(2) 角 C..

2, f ( A) ?

3 ,求 2

解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 ,因为

0 ? ? ? ? ,所以 ? ?
(2)因为 f ( A) ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 6 2 2
a b b sin A 1 2 ? ? 2? ? ,也就是 sin B ? , sin A sin B a 2 2

a ? 1, b ? 2, 所以由正弦定理,得
因为 b ? a ,所以 B ?

3? . 4 4 ? ? ? 7? 3? ? 3? ? ? . 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 4 6 4 12 4 6 4 12

?

或B ?

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数 的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 35.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、 c, cos( A ? C ) ? cos B ?

3 2 , b ? ac ,求 B. 2

解析: 本题考查三角函数化简及解三角形的能力, 关键是注意角的范围对角的三角函数值的

制约,并利用正弦定理得到 sinB= cos(A ? C)+cosB=

3 ? (负值舍掉),从而求出 B= 。 2 3

解:由

3 及 B=π ? (A+C) 2

cos(A ? C) ? cos(A+C)=

3 , 2 3 , 2

cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= sinAsinC=
2

3 . 4

又由 b =ac 及正弦定理得

sin 2 B ? sin A sin C,
故 sin B ?
2

3 , 4


sin B ?
于是 B= 又由

3 2

sin B ? ?

3 (舍去), 2

π 2 π 或 B= . 3 3

b 2 ? ac 知 b ? a 或 b ? c
π 。 3

所以

B=

36.(2009 江西卷文)(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ? (1)求 C ; (2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c . 解:(1)由 (1 ? 3)c ? 2b

?
6

, (1 ? 3)c ? 2b .



b 1 3 sin B ? ? ? c 2 2 sin C

sin(? ?
则有

?

6 sin C

? C)

?

sin

得 cot C ? 1 即 C ? (2) 由 CB ? CA ? 1 ? 3

?
4

5? 5? cos C ? cos sin C 1 3 1 3 6 6 ? ? = cot C ? 2 2 2 2 sin C

.

推出 ab cos C ? 1 ? 3 ;而 C ?

?
4

,

即得

2 ab ? 1 ? 3 , 2
?a ? 2 ? ? 解得 ?b ? 1 ? 3 ?c ? 2 ? ?

? 2 ab ? 1 ? 3 ? ? 2 ? 则有 ?(1 ? 3)c ? 2b ? a c ? ? ? ? sin A sin C

37.(2009 江西卷理)△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

tan C ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

(1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c . 解:(1) 因为 tan C ?

sin A ? sin B sin C sin A ? sin B ? ,即 , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B

所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . 即 2C ? A ? B , 得 C ? 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立).

?
3

,所以. B ? A ?

又因为 sin( B ? A) ? cos C ? 得A?

?
4

,B ?

5? 12

1 ? 5? ,则 B ? A ? ,或 B ? A ? (舍去) 2 6 6

2? 3

(2) S?ABC ?

1 6? 2 ac sin B ? ac ? 3 ? 3 , 2 8
a c ? , 2 3 2 2



a c ? , 即 sin A sin C

得 a ? 2 2, c ? 2 3. 38.(2009 全国卷Ⅱ理)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,

cos( A ? C ) ? cos B ?

3 2 , b ? ac ,求 B 。 2

o ( s 分析: 由c

A)? C c o s?

B?

3 3 , 易想到先将 B ? ? ? ( A ? C ) 代入 cos( A ? C ) ? cos B ? 2 2
3 3 然后利用两角和与差的余弦公式展开得 sin A sin C ? ; 2。 4
2

得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ?

又由 b ? ac ,利用正弦定理进行边角互化,得 sin B ? sin A sin C ,进而得 sin B ?
2

3 . 2

2? 2? 。大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当 B ? 时,由 3 3 3 1 3 cos B ? ? cos( A ? C ) ? ? ,进而得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? ? 2 ? 1 ,矛盾,应舍去。 2 2 2 ? 2 也可利用若 b ? ac 则 b ? a或b ? c 从而舍去 B ? 。不过这种方法学生不易想到。 3
故B ?

?



评析:本小题考生得分易,但得满分难。 39.(2009 陕西卷理)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 点中*相邻两个交点之间的距离为

?
2

)的图象与 x 轴的交

? 2? , ?2) . ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2 ? ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;(Ⅱ)当 x ? [ , ] ,求 f ( x ) 的值域. 12 2 2? , ?2) 得 A=2. 解(1)由最低点为 M ( 3 ? T ? 2? 2? ? ?2 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , ? ? T ? 2 2 2 2? 2? 4? , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 故 3 2 6 ? ? ? 又 ? ? (0, ),?? ? , 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? ? 2 x ? ?[ , ] (2) x ? [ , ],      12 2 6 3 6 ? ? ? ? 7? 当 2 x ? = ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 2;当 2 x ? ? 6 2 6 6 6 ? 即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值-1,故 f ( x ) 的值域为[-1,2] 2
40. (2009 湖北卷文) 在锐角△ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边, 且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小:

(Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

解(1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

Q sin A ? 0,? sin C ?

3 2

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?
(2)解法 1: Q c ?

?
3

7, C ?

?
3

. 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? ,即ab ? 6        ① 2 3 2
由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ②

由②变形得 (a+b)2 ? 25, 故a ? b ? 5 解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?a 2 ? b2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b2=13   ?? ? ?ab ? 6 ?ab ? 6
消去 b 并整理得 a ? 13a ? 36 ? 0 解得 a ? 4或a ? 9
4 2 2 2

所以 ?

?a ? 2 ?a ? 3 故a?b ? 5 或? ?b ? 3 ?b ? 2
2

41.(2009 湖南卷理)在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,C 的 大小. 解:设 BC ? a, AC ? b, AB ? c

由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以 cos A ? 又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

3 2

?
6
2

2 2 由 3 AB ? AC ? 3BC 得 bc ? 3a ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin A ?

3 4

所以 sin C ? sin(

1 3 3 5? 3 , sin C ? ( cos C ? ,因此 sin C ) ? ? C) ? 2 2 4 6 4

? 2sin C ? cos C ? 2 3sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? ) ? 0 3 ? 5? ? ? 4? 由 A= 知 0 ? C ? ,所以 ? , 2C ? ? ,从而 6 3 3 3 6 ? ? ? 2? 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? ,故 3 3 6 3 ? 2? ? ? ? 2? A? ,B ? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 6 3 6 6 6 3
42.(2009 福建卷文).c.o.m (I)若 cos 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |?

?
2

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求 3

函数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应 的函数是偶函数。 解法一: (I) 即 cos( 由 cos

?
4

cos ? ? sin

?
4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?
2

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4

,?? ?

?

4

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意, 又T ?

?
4

)

2?

T ? ? 2 3 ,

?

故函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

?? ? g ( x) ? sin ?3( x ? m) ? ? 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ?
即m ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

从而,最小正实数 m ? 解法二:

? 12

(I)同解法一 (Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意, 又T ?

?
4

)

2?

T ? ? 2 3

?

,故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3 x ?

?
4

)

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x) ? sin ?3( x ? m) ?

? ?

??
4? ?

g ( x) 是偶函数当且仅当 g (? x) ? g ( x) 对 x ? R 恒成立
亦即 sin( ?3 x ? 3m ?

?

) ? sin(3 x ? 3m ? ) 对 x ? R 恒成立。 4 4

?

? sin(?3x) cos(3m ? ) ? cos(?3x)sin(3m ? ) 4 4 ? sin 3x cos(3m ? ) ? cos 3 x sin(3m ? ) 4 4
即 2sin 3 x cos(3m ?

?

?

?

?

?

? cos(3m ? ) ? 0 4
故 3m ?

?

4

) ? 0 对 x ? R 恒成立。

?

?m ?

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

从而,最小正实数 m ?

? 12

43.(2009 重庆卷理)(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分.) 设函数 f ( x) ? sin(

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 4 6 8

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值. 解:(Ⅰ) f ( x ) = sin

4 3

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x

=

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2?

? 4

=8

(Ⅱ)解法一: 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ (2 ? x) ? ] 4 3
= 3 sin[

?

?

?

2

?

?

x? ) 4 3 3 ? ? ? 2? 4 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 4 3 4 3 3 3
= 3 cos(

?

x? ] 4 3

?

?

? 3 gm a ? 3 c o s? x 3 2
解法二: 因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 x = 1 对称,故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值 由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin( 当

4 3

2 3

?

4 3

2 ? ? ? ? ? x ? 2 时, ? ? ? ? 3 6 4 3 6 4 因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 3

x? ) 4 3

?

2 3

gmax ? 3 sin

?
6

?

3 2
2? . 3

. 44.(2009 重庆卷文)(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分.) 设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos
2 2

? x(? ? 0) 的最小正周期为

(Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移

? 个单位长度得到,求 2

y ? g ( x) 的单调增区间.
解:(Ⅰ)

f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2? x ?1 ? 2cos 2? x
? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4 2? 2? 3 ? 依题意得 ,故 ? 的最小正周期为 . 2? 3 2
(Ⅱ)依题意得: g ( x) ? 由 2 k? ?

?

? ?? 5? ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3x ? ) ? 2 2 4? 4 ?

5? ? ≤ 2 k? ? (k ? Z ) 2 4 2 2 ? 2 7? (k ? Z ) \ 解得 k? ? ≤ x ≤ k? ? 3 4 3 12 2 ? 2 7? ] (k ? Z ) 故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ? , k? ? 3 4 3 12 ≤ 3x ?
45.(2009 上海卷文)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小 题满分 8 分 . 已知Δ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m ? (a, b) ,

?

n?( s i B n
(1) (2)

, , s A ip n ? () b ? 2, a ? 2) .

若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C =

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

证明:(1) Q m // n,? a sin A ? b sin B, 即a?

u v v

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R

? ?ABC 为等腰三角形
解(2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

u v u v

? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab
2 2 2

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ? 1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 山东)函数 y ? ln cos x( ?

?

? x ? ) 的图象是 2 2

?





答案:A 解析 本题考查复合函数的图象。

?? ? ? y ? ln cos x ? ? ? x ? ? 是偶函数,可排除 B,D; 由 cos x ? 1 ? ln cos x ? 0 排除 C,选 A 2? ? 2
2.(海南、宁夏理科卷)已知函数 y ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0) )在区间 ?0, 2?? 的图像如下:那 么 ? =( A.1 答案:B 解析 由图象知函数的周期 T ? ? ,所以 ? ? ) B.2 C. y

1 2

D.

1 3 2? ?2 T

1 O 1



x

2 3、(2008 广东)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin x, x ? R ,则 f ( x ) 是(



A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数 答案:D

? 的奇函数 2 ? D、最小正周期为 的偶函数 2
B、最小正周期为

解析 f ( x) ? (1 ? cos 2 x) sin x ? 2 cos x sin x ?
2 2 2

1 2 1 ? cos 4 x sin 2 x ? 2 4


4.(2008 海南、宁夏文科卷)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为(

A. -3,1

B. -2,2

C. -3,

3 2
2

D. -2,

3 2

解析 ∵ f ? x ? ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? ?2 ? sin x ? ∴当 sin x ? 答案:C 5.(2007 福建)已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? 象( )

? ?

1? 3 ? ? 2? 2

1 3 时, f max ? x ? ? ,当 sin x ? ?1 时, f min ? x ? ? ?3 ;故选C; 2 2

? ?

?? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图 ??

A.关于点 ? , 0 ? 对称

?? ?? ?? ??

? ? ? ?

B.关于直线 x ?

? 对称 ? ? 对称 ?

C.关于点 ? , 0 ? 对称 答案 A 6.(2007 广东)若函数 f ( x) ? sin x ?
2

D.关于直线 x ?

1 ( x ? R ) ,则 f ( x) 是( 2



A.最小正周期为

π 的奇函数 2

B.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数

C.最小正周期为 2 π 的偶函数 答案 D

7.(2007 海南、宁夏)函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?



答案 A 8.(2007 浙江)若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 , ? ? 期是 ? ,且 f (0) ? 3 ,则( )

? )的最小正周 2

1 ? ,? ? 2 6 ? C. ? ? 2,? ? 6
A. ? ? 答案 D 二、填空题

1 ? ,? ? 2 3 ? D. ? ? 2,? ? 3
B. ? ?

12.(2008 江苏卷) f ( x) ? cos( wx ? 答案:10

?
6

) 的最小正周期为

? ,其中 w ? 0 ,则 w ? 5

解析 本小题考查三角函数的周期公式。 T ?

2? ? ? ? w ? 10 w 5

13.(广东理科卷)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x ) 的最小正周期 是 答案: ? 解析 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ?
2



T?

2? ?? 。 2

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ,所以函数的最小正周期 2 2

14.(2007 安徽)函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象为 C ,如下结论中正确的是__________ 3?

(写出所有正确结论的编号 ). .. ①图象 C 关于直线 x ? ②图象 C 关于点 ?

11 π 对称; 12

? 2π ? , 0 ? 对称; ? 3 ? ? π 5π ? , ? 内是增函数; ? 12 12 ?
π 个单位长度可以得到图象 C 3

③函数 f ( x ) 在区间 ? ?

④由 y ? 3sin 2 x 的图角向右平移 答案 ①②③

15.(2007 四川)下面有五个命题: ①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 ? .
4 4

②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=

k? , k ? Z }. 2

③在同一坐标系中*函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ? ⑤函数 y ? sin( x ?

? ? )的图象向右平移 得到 y ? 3 sin 2 x的图象 . 3 6

? )在〔0,?〕上是减函数 . 2

其中真命题的序号是 答案 ① ④

三、解答题 16.(2008 山东)已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函 数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)求 f(

π . 2

π )的值; 8 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到 6

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间. 解(Ⅰ)f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )

= 2?

? 3 ? 1 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )? 2 ? 2 ?
π ) 6

=2sin( ?x ? ? -

因为 f(x)为偶函数, 所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,

π π )=sin( ?x ? ? - ). 6 6 π π π π 即-sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - )=sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - ), 6 6 6 6 π π 整理得 sin ?x cos( ? - )=0.因为 ? >0,且 x∈R,所以 cos( ? - )=0. 6 6 π π π 又因为 0< ? <π ,故 ? - = .所以 f(x)=2sin( ?x + )=2cos ?x . 6 2 2 2? ? ? 2 ? ,所以 ?  =2 由题意得 ? 2
因此 sin(- ?x ? ? 故 f(x)=2cos2x. 因为 f ( ) ? 2 cos

?

?
4

? ? 个单位后,得到 f ( x ? ) 的图象,再将所得图象横坐标 6 6 ? ? 伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f ( ? ) 的图象. 4 6
(Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移个 所以 g ( x) ? f ( 当 2 k? ?

8

? 2.

?

? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2cos ?2( ? ) ? ? 2cos f ( ? ). 4 6 2 3 ? 4 6 ?

? 2k? ? ? (k∈Z), 3 2? 8? 即 4kπ +≤ ≤x≤4kπ + (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3 2 ?
因此 g(x)的单调递减区间为 ?4k? ?

?

?

? ?

2? 8? ? ,4k? ? ? 3 3?

(k∈Z)

0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1, 17.(2008 广东)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,
其图像经过点 M ? , ? .

?π 1? ? 3 2?

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

解(1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,将点 M ( 而 0 ? ? ? ? ,?

? 1

5 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 5 13 2

?

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2

3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65
18.(2007 湖北)已知函数 f ( x) ? cos ? x ?
2

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. 解:(I)由题设知 f ( x) ?

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6
π ? kπ , 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ?

π ( k ? Z ). 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin( kπ ? ) . 2 2 6
即 2 x0 ? kπ ? 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ?

1 ? π? 1 3 sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4
1 π 1 5 sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4

(II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1? π ?? 1 ? 1 ? cos ? 2 x ? ?? ? 1 ? sin 2 x ? 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? cos2 x ? sin 2 x ? ? ?? 2 2? ? 6? 2 ? 2 2? ? 2 ?

1 ? π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 ? 3? 2

当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12

函数 h( x) ?

1 ? π? 3 sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2 ? ? 5π π? ,kπ ? ? ( k ? Z ). 12 12 ?

故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ?

第二部分

四年联考汇编

2013-2014 年联考题
一、选择题 1、(绵阳市南山中学 2014 届高三上学期 12 月月考)要得到函数 y ? 3 cos x 的图象,只需 将函数 y ? 3 sin( 2 x ?

) 的图象上所有点的( ) 6 2? 1 A. 横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),所得图象再向左平移 个单位长度. 3 2 1 ? B. 横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),所得图象再向右平移 个单位长度. 2 6 2? C. 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象再向左平移 个单位长度. 3
D. 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象再向右平移 答案:C
2、(雅安中学 2014 届高三上学期 12 月月考)已知

?

? 个单位长度. 6

sin x ? cos x ? 3 ,则 tan x 的值是 sin x ? cos x
D. -2

A. 3 答案:C

B . —3

C. 2

3、(成都七中 2014 届高三上期中考试)已知 tan(? ? ? ) ? A.

1 4

B.

1 2

1 sin ? ? cos ? ,则 =( 2 2sin ? ? cos ? 1 1 C. ? D. ? 4 2



答案:C 4、(绵阳市高中 2014 届高三 11 月第一次诊断性考试)已知函数 其中

k>0,若当自变量 x 在任何两个整数间(包括整数本身)变化 时,至少含有 2 个周期,则 最小的正整数 k 为 A、50 B、51 C、12 D、13 答案:B 5、 (成都石室中学 2014 届高三上学期期中) 函数 y ? sin x sin(

?
2

? x) 的最小正周期是 (



A.

π 2

B.

?

C. 2π

D. 4π

答案:B 6、(成都市 2014 届高三上学期摸底)若 tan ? ? 3, 则 A. -1 答案:B B.

2 cos ? 的值为 sin ? ? cos ?
D.2

1 2

C.l

7、(树德中学高 2014 届高三上学期期中)已知 cos 2? ? A. 答案:D

3 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? 的值为 2
D. ?

2 3

B. ?

2 3

C.

3 2

3 2
?

8、(泸州市 2014 届高三第一次教学质量诊断)将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?

? ? ? ) 的图象 2 2 向右平移 ? (? ? 0) 个单位长度后得到函数 g ( x) 的图象,若 f ( x) 、 g ( x) 的图象都经过点

?

P(0,

3 ) ,则 ? 的值可以是 2 5? 5? A. B. 3 6

C.

? 2

D.

? 6

答案:B 9、(乐山市第一中学 2014 届高三 10 月月考)已知函数

f ? x ? =cos x sin 2x, 下列结论中正确的是 (
A、 y ? f ? x ?的图像关于?? ,0?中心对称 C、 f ? x ?的最大值为

) B、 y ? f ? x ?的图像关于x ?

?
2

对称

3 2

D、

f ? x ?既是奇函数,又是周期函数
答案:C 10、(德阳中学 2014 届高三“零诊”考试) 把函数 y ? sin(5 x ? 为原来的

?
2

) 的图象向右平移

? 个单位,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短 4
)

1 ,所得的函数解析式为( 2 3? ) A. y ? sin(10 x ? 4 7? ) C. y ? sin(10 x ? 4
答案:C

7? ) 2 3? ) D. y ? sin(10 x ? 2
B. y ? sin(10 x ?

x ? 11、 (乐山市第一中学 2014 届高三 10 月月考)为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像, 3 6

只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的点( (A)向左平移 (B)向右平移 (C)向左平移 (D)向右平移 答案:C



? ? ?

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 6
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

?
6

12、(泸州市 2014 届高三第一次教学质量诊断)函数 f ( x) ? (1 ?

1 ) sin x 的图象大致为 x2

A. B. C. D. 答案:A 13、(绵阳市高中 2014 届高三 11 月第一次诊断性考试)下列不等式中*正确的是 A、sin1°>cos1 B、sin1>cos1° C、sin1<sin2 D、sin2<sin3 答案:C 14、(什邡中学高中 2014 届高三上学期第二次月考)将函数 f ( x) ? sin x 图象上所有点的 横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移

? 个单位长度,得到函数 y ? g ( x) 的图象,则 6

y ? g ( x) 图象的解析式是(
A. g ( x) ? sin(2 x ?

) B. g ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) )

?
3

) )

C. g ( x) ? sin( x ?

1 2

?
12

D. g ( x) ? sin( x ?

1 2

?
6

答案:X 15、(资阳市2014届高三上学期第一次诊断性考试)
?ABC 中*若 sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? sin B sin C ? 0 ,则 A ?

(A) (C)

2? 3

(B) (D)

5? 6

? 3

? 6

答案:A 16、(资阳市 2014 届高三上学期第一次诊断性考试)若把函数 y ? sin ? x ( ? ? 0 )的图象 向左平移

? 个单位后与函数 y ? cos?x 的图象重合,则 ? 的值可能是 3

(A) (C) 答案:C

1 3
3 2

(B) (D)

1 2 2 3

17、(雅安中学 2014 届高三上学期 12 月月考)在 Δ ABC 中*角 A,B,C 所对的边的长分别为

a, b, c ,若 a sin A ? b sin B ? c sin C ,则 Δ ABC 的形状是
A.锐角三角 答案:C 18 、( 绵阳 市高 中 2014 届高 三 11 月 第一 次诊 断性 考试 )已 知 ? , ? 都 是锐 角, 且 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形

cos ? ?
A、2

5 4 ,sin(? ? ? ) ? ,则 tan ? 为 5 5
B、-

2 11

C、-

2 或2 11

D、

2 或-2 11

答案:A 二、填空题 1、(成都七中 2014 届高三上期中考试)已知 ? ? R , sin(? ? ? ) ? sin(

3? 7 ? ? ) ? ,则 2 5

tan ? =
答案:



4 3 或 3 4

2、(成都七中 2014 届高三上期中考试)Δ ABC 中*B=120?,AC=3,AB= 3 ,则Δ ABC 的面积为 答案: .

3 3 4

3、(成都七中 2014 届高三上期中考试)在平面直角坐标系中*已知角 ? 的顶点在坐标原 点,始边在 x 轴的非负半轴上,终边经过点 P (3t , ?4t ) (其中t ? 0) ,则 cos ? ? 答案: ?

3 5

4 、 ( 德 阳 中 学 2014 届 高 三 “ 零 诊 ” 考 试 ) 已 知

cos ?(? 2? ) sin ?( ?

?
4

??

)

2 ,则 2

c o? s ?s i n ??_______

答案: ?

1 2

5、 (乐山市第一中学 2014 届高三 10 月月考) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?),( A, ?, ? 是常数,

A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示,则 f ( 0 ) ?
答案:

6 2

6、(乐山市第一中学 2014 届高三 10 月月考)设 ? 为锐角,

? ?? 4 ? 若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 6? 5 12 ?
答案:



17 2 50

π 1 7、(什邡中学高中 2014 届高三上学期第二次月考)设 θ 为第二象限角,若 tan(θ+ )= , 4 2 则 sinθ+cosθ= 答案: ? .

10 5
?
) ? ? ? ___________. 4

8、 (资阳市 2014 届高三上学期第一次诊断性考试)在平面直角坐标系中*角α 的顶点与原 点重合, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 若角α 终边经过点 P(2, 4) , 则n ( a t 答案:-3 三、解答题, 1、(绵阳市南山中学 2014 届高三上学期 12 月月考) 已知函数 f ( x) ? (I)若 x ? [

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R . 2 2

5 3 ? , ? ] ,求函数 f ( x) 的最大值和最小值,并写出相应的 x 的值; 24 4

(II)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,满足 c ? 3 , f (C ) ? 0 且

sin B ? 2sin A ,求 a 、 b 的值.

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 …….............3 分 2 2 2 6 ? ? ? 4? ? 令 t ? 2x ? , t ? ? , 6 ?4 3 ? ? ? f ?t ? ? sin t ? 1。 ? ? ? 当 t ? 即 x ? 时, f ?x?max ? 0 2 3 4? 3? 3 ? 1; 当t ? 即x ? 时, f ?x ?min ? ? ……6 分 3 4 2
解(Ⅰ) f ( x ) ?

(Ⅱ) f (C ) ? sin(2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ?

?
6

) ?1 ? 0,

……............7 分

0 ? C ? ? , 0 ? 2C ? 2? ,所以 ?
所以 2C ?

?
6

? 2C ?

?
6

?

11? , 6

?

3 6 2 sin B ? 2sin A 因为 ,所以由正弦定理得 b ? 2a
由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?

?

,C ?

?

…….....................................................................9 分 ……..................................10 分 ……...........11 分

?
3

,即 c 2 ? a 2 ? b2 ? ab ? 3

由①②解得: a ? 1 , b ? 2 ……..........................................................12 分 2、(成都七中 2014 届高三上期中考试) Δ ABC 中* 3 sin B ? sin( 2 A ? B ) , 4 tan (1)求证: A ? B ?

?
4

A A ? 1 ? tan 2 . 2 2

;

(2)若 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a ? 2 ,求 c 和Δ ABC 的面积.

A A A 2 ? 1 ???.2 分 (1)证明:由 4 tan ? 1 ? tan 2 ,得 tan A ? A 2 2 2 1 ? tan 2 2 2 tan
由 3 sin B ? sin( 2 A ? B ) ,得 3 sin?? A ? B ? ? A? ? sin?? A ? B ? ? A? , ∴ 3 sin ? A ? B ? cos A ? 3 cos? A ? B ?sin A ? sin ? A ? B ? cos A ? cos? A ? B ?sin A , ∴ 2 sin ? A ? B ? cos A ? 4 cos? A ? B ?sin A , ∴ tan ? A ? B ? ? 2 tan A ? 1 , ∴ A? B ?

?
4

???????6 分

(2)解:由(1)得 C ? 由正弦定理得 c ? 由 tan ? A ? B ? ? ∴ S ?ABC ?

5 3? 1 ,由 tan A ? ,得 sin A ? . 5 4 2
a sin C ? 10 , sin A

10 tan A ? tan B 1 ??10 分 ? 1 得 tan B ? ,从而 sin B ? 10 1 ? tan A tan B 3

1 ac sin B ? 1 ??????..12 分 2

3、(成都高新区 2014 届高三 10 月统一检测) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , x ? R . 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,满足 c ?

3 , f (C ) ? 0 且

sin B ? 2sin A ,求 a 、 b 的值.
解 (Ⅰ) f ( x ) ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ??3 分 2 2 2 6

则 f ( x ) 的最小值是 ?2 , 最小正周期是 T ? (Ⅱ) f (C ) ? sin(2C ?

2? ?? ; 2

??6 分

?
6

) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ?

?
6

)?1 ? 0,

??7 分

0 ? C ? ? , 0 ? 2C ? 2? ,所以 ?
所以 2C ?

?
6

? 2C ?

?
6

?

11? , 6

? ? ? ? ,C ? 6 2 3

??9 分 ??10 分 ??11 分

因为 sin B ? 2sin A ,所以由正弦定理得 b ? 2a 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?
3

,即 c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? 3 ??12 分

由①②解得: a ? 1 , b ? 2 4、(成都石室中学 2014 届高三上学期期中)

已知 ?ABC 中*角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且有 ( 2a ? c)cos B ? b cos C 。 (1)求角 B 的大小; (2)设向量 m = (cos 2 A ? 1, cos A), n = (1, ? ) ,且 m ? n ,求 tan(

8 5

? ? A) 的值。 4

( 2a ? c)cos B ? b cos C ?( 2 sin A ? sin C)cos B ? sin B cos C ? 2 sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin(B ? C) ? sin A
sin A ? 0 ? cos B ?
(2) m ? n ? cos 2 A ? 1 ?

? 2 ??B ? 4 2
8 cos A ? 0 5

??????6 分

4 ? (cos A) 2 ? cos A ? 0 5
? cos A ? 0或者 cos A ? 4 5

当cos A ? 0时, m ? 0, 舍(不舍 扣 2 分)
4 ? 当 cos A ? 时, tan( ? A) ? 7 ??????12 分 5 4
5、(树德中学高 2014 届高三上学期期中) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? (1) 求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 设函数 g ( x) ? ?4 f ? ? 求 g ( x) 的单调区间.

?
2

)的图象如图所示.

? ? ? ? x ? ? 1 ,且 lg ? g ( x)? ? 0 , ? 4 ?

【解析】 (1)由图象可知 A ? 1 , 以 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,

T 7? ? ? 2? ? ? ? , T ? ? ,即 ? ? ,所以 ? ? 2 ,所 4 12 3 4 ?
………………2 分

f(

7? 7? 7? ? ) ? sin(2 ? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? ?1 ,即 sin( ? ? ) ? 1 , 12 12 6 6

所以

?

6

?? ?

?

又? ?

?
2

2

? 2k? , k ? Z ,即 ? ?

?

,所以 ? ?

?
3

3

? 2k? , k ? Z , ………………3 分

,所以 f ( x ) ? sin(2 x ?

?
3

);

………………4 分

(2)由(1)得, f ( x ) ? sin(2 x ?

?
3

) ,所以

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? g ( x) ? ?4 f ? ? ? x ? ? 1 ? ?4sin ?2 ? ? ? x ? ? ? ? 1 ? ?4sin ? ?2 x ? ? ? ? 1 2 3? ? 4 ? ? 3? ? ? ? 4 ?? ?? ? ? ………………6 分 ? ?4sin ? ?2 x ? ? ? 1 ? 4sin ? 2 x ? ? ? 1 . 6? 6? ? ? ?? ?? 1 ? ? 又由 lg ? g ( x)? ? 0 ,得 g ( x) ? 1 , ∴4sin ? 2 x ? ? ? 1 ? 1 ,∴ sin ? 2 x ? ? ? , 6? 6? 2 ? ? ? ? 5? ? 2 k? ? 2 x ? ? ? 2 k? , k ? Z ∴ ………………8 分 6 6 6 ? ? ? 其中当 ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z 时,g(x)单调递增,即 6 6 2 ? ? ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ,∴g(x)的单调增区间为 ? k? , ? k? ? , k ? Z ………10 分 6 6 ? ? ? ? 5? ? 2k? , k ? Z 时,g(x)单调递减, 又∵ 当 ? 2k? ? 2 x ? ? 2 6 6 ? ? ? ?? ? 即 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ;∴g ( x) 的单调减区间为 ? ? k? , ? k? ? , k ? Z .…12 6 3 3 ?6 ?
分 综上所述, g(x)的单调增区间为 ? k? ,

? ?

?

? ? k? ? , k ? Z ; 6 ?

g ( x)















? ?? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z . ? 3 ?6 ?

………………13 分

6、(成都外国语学校 2014 届高三 11 月月考) 已知函数 f ( x) ? cos 2 ( x ? ) ? sin 2 x .( 1 )求 f (

π 6

π )的 12

值; (2)若对于任意的 x ? [0, ] ,都有 f ( x) ? c ,求实 数 c 的取值范围.

π 2

则 c 的取值范围为 [

3 , ??) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 2

┄12 分 7、(达州市普通高中 2014 届高三第一次诊断检测) 如图所示,图象为函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 的部分图象如图所示 (1)求 f ( x) 的解析式. (2)已知 g ( x) ? 3 f ( x ?

?
2

, x ? R)

?
4

) ? f ( x), 且 tan ? ? 3, 求 g ( x) 的值。

解 :(1) 由 图 像 知 A ? 1 ,

2 ? (? ) ? ? ? 0 得 ? ? ∴ f ( x ) ? sin(2 x ? ) 6 3 3
(2)∵ f ( x ) ? sin(2 x ?

?

?

T ? ? ? ? ? (? ) ? ,∴ T ? ? 2 3 6 2

∴ ??

?

2? ?2 又 T

????????6 分

?

) ∴ g ( x) ? 3 sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) 3 4 3 3

?

?

?

? 3 sin(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) 6 3 ? 3(sin 2 x cos

?

?

?

? cos 2 x sin ) ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin 6 6 3 3

?

?

?

= 2 sin 2 x ?????????????????10 分 ∵ tan ? ? 3 ∴ g (? ) ? 2sin 2? ? 3 ……………..12 分 8、(德阳中学 2014 届高三“零诊”考试) 已知函数 f ( x) ?

1 3 sin wx cos wx ? cos 2wx , w ? 0, x ? R 2

且函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? (1)求 w 的值和函数 f ( x ) 的单调增区间;(2)在 ?ABC 中* 角 A、B、C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,又 f ( 求边长 a 的值.

A ? 4 ? ) ? , b ? 2 , ?ABC 的面积等于 3 , 2 3 5

解:(1)因为 f ( x) ? sin( 2 wx ? 由 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,得

?
6

)

???2 分 ???3 分

w ?1

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

k ? z 即 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

k?z

???5 分

所以*函数的增区间为 ? k? ? (2)

? ?

?
6

, k? ?

??
3? ?

k?z

???6 分

4 3 A ? ? 0, ? ? ? cos A ? , sin A ? 5 5 1 3 S ? bc sin A ? 3, b ? 2, sin A ? ? c ? 5 ???10 分 2 5 f(
2 2 2

A ? 4 ? )? 2 3 5

???8 分

由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 13 ? a ? 13 9、(乐山市第一中学 2014 届高三 10 月月考) 已知函数 f ( x) ?

???12 分

3 ?x 1 sin ? x ? sin 2 ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . 2 2 2

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的单调递增区间;

(Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的取值范围. 解:(Ⅰ) f ( x) ?

? 2

3 1 ? cos ? x 1 sin ? x ? ? 2 2 2

?

? 3 1 sin ? x ? cos ? x ? sin(? x ? ) 6 2 2

因为 f ( x ) 最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 所以 f ( x) ? sin(2 x ? 由 2k ? ?

? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? , k ? Z ,得 k ? ? ? x ? k ? ? . 2 6 2 3 6 ? ? 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为[ k ? ? , k ? ? ], k ? Z 3 6 ? ? ? 7? ], (Ⅱ)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , 2 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6 ? 1 所以函数 f ( x ) 在 [0, ] 上的取值范围是[ ? ,1 ] 2 2
10、(乐山市第一中学 2014 届高三 10 月月考)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m),如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h =4m,仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使

? ). 6

? 与 ? 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为
125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大?

解: ( 1 )由

H H H ? tan ? 得 AD ? ,同理: AB ? , AD tan ? tan ?

BD ?

h 。 tan ?
∵ AD - AB=DB , 故 得

H H h ? ? tan ? tan ? tan ?









H?

h tan ? 4 ?1.24 ? ? 124 。因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

H H h H?h , tan ? ? ? ? , d AD DB d H H?h ? tan ? ? tan ? hd h d d tan(? ? ? ) ? ? ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H(H ? h) d ? H(H ? h) d d d H ( H ? h) d? ? 2 H ( H ? h) ∵ , ( 当 且 仅 当 d
(2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

d ? H (H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时,取等号),∴当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。
∵0 ? ? ?? ? 故所求的 d 是 55 5 m。 11、(泸州市 2014 届高三第一次教学质量诊断) 在 △ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,设 S 为 △ ABC 的面积,满足
4S ? 3(a2 ? b2 ? c2 ) .

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,∴当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

(Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 1 ?
tan A 2c ,且 AB BC ? ?8 ,求 c 的值. ? tan B b

1 解:(Ⅰ ) S ? ab sin C ,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab cos C . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2

因为 4S ? 3(a2 ? b2 ? c2 ) ,
1 所以 4 ? ab sin C ? 2 3ab cos C ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2

所以 tan C ? 3 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 因为 0 ? C ? ? , 所以 C ? (Ⅱ )由 1 ?
π ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3

tan A 2c 得: ? tan B b cos A sin B ? sin A cos B 2c , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? cos A sin B b sin C 2c 即 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? ,· cos A sin B b 1 又由正弦定理得 cos A ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 ∴A ? 60 ,

∴ △ ABC 是等边三角形, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ∴AB BC ? c ? c ? cos120 ? ?8 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 所以 c ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

12、(绵阳市高中 2014 届高三 11 月第一次诊断性考试) 已知函数 (I)求函数 f(x)的定义域及最大值; (II)求使 f(x)≥0 成立的 x 的取值集合。 解:(Ⅰ ) cosx≠0 知 x≠kπ,k∈ Z, 即函数 f (x)的定义域为{x|x∈ R,且 x≠kπ,k∈ Z}.………………………3 分 又∵ f ( x) ?

2 sin x cos x(sin x ? cos x) 1 ? cos 2x ? 2 sin2 x ? 2 sin x cos x ? 2 ? ? sin 2x cos x 2 ? 1 ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) , 4

?

∴ f ( x)max ? 1 ? 2 . ……………………………………………………………8 分

π 4 π 9π 3π 解得 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,k∈ Z, 4 4 4 π 整理得 kπ ? ≤x≤ kπ ? π ,k∈ Z. 4
{x| kπ ?

(II)由题意得 1 ? 2 sin(2 x ? ) ≥0,即 sin(2 x ? ) ≤

π 4

2 , 2

结合 x≠kπ,k∈ Z 知满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合为

π ≤x< kπ ? π ,k∈ Z}.………………………………………………12 分 4

13、(绵阳市高中 2014 届高三 11 月第一次诊断性考试) 安通驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路 OASBCD,道路的平面图如图所示(单 位:km),已知曲线 ASB 为函数 象,且最高点为 S(1,2)*折线段 AOD 为固定线路,其中 AO= 3 ,OD=4,折线段 BCD 为可变线路, 但为保证驾驶安全*限定∠BCD=120°。 (I)求 的值; 的图

(II)应如何设计,才能使折线段道路 BCD 最长?

解:(I)由已知 A=2,

且有 2 sin(? ? 0 ? ? ) ? 3 ,即 sin? ? 由| ? |<

3 , 2

?
2

得? ?

?
3



又∵ 最高点为(1,2), ∴ 2 sin(? ?

?
3 ?

) ? 2,解得 ? ?

?
6



∴ y ? 2 sin( x ? ) .…………………………………………………………6 分 6 3 (II)∵B 点的横坐标为 3,代入函数解析式得 yB ? 2sin( ? 3 ? ) =1, ∴ BD ? 12 ? (4 ? 3)2 ? 2 .…………………………………………………8 分 在△ BCD 中*设∠ CBD=θ,则∠ BDC=180? -120? -θ=60? -θ. 由正弦定理有 ∴ CD ?
BD CD BC ? ? , sin120? sin? sin(60? ? ? )

?

π 6

π 3

2 6 2 6 sin? , BC ? sin(60? ? ? ) , 3 3 2 6 [sin? ? sin(60? ? ? )] 3

…………………………………9 分

∴ BC ? CD ?

?
?

2 6 3 1 [sin ? ? cos ? ? sin? ] 3 2 2
2 6 ? sin(? ? ) . 3 3

∴ 当且仅当 ? ?

?
6

时,折线段 BCD 最长,最长为

2 6 千米.…………12 分 3

14、(什邡中学高中 2014 届高三上学期第二次月考)

已知函数 f ( x) ? 3sin ? x cos ? x ? cos2 ? x 的周期为 2? ,其中 ? ? 0 . (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的单调递增区间; B、 C 所对边的长分别为 a、 c ? 2, (Ⅱ) 在 ?ABC 中* 设内角 A 、 b、 c, 若a ? 3, 3 f(A)= ,求 b 的值. 2

15、(资阳市 2014 届高三上学期第一次诊断性考试) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? )cos x ? sin xcos x ? 3sin 2 x ( x ? R ). 3 (Ⅰ )求 f ( x) 在 [0, ? ] 内的单调递增区间; (Ⅱ )在 ?ABC 中*B 为锐角,且 f ( B) ? 3 , AC ? 4 3 ,D 是 BC 边上一点, AB ? AD , 试求 AD ? DC 的最大值.
1 3 cos x) cos x ? sin x cos x ? 3 sin 2 x 【解】(Ⅰ ) f ( x) ? 2( sin x ? 2 2

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? 2sin x cos x ? 3(cos2 x ? sin 2 x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) . · 3 ? ? ? ? 5? 由 ? ? 2k? ? 2x ? ? ? 2k? ,得 ? ? k? ? x ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? k? ( k ? Z ). · 2 3 2 12 12 ? 5? 5? 取 k ? 0 ,得 ? ? x ? ,又 x ? [0, ? ] ,则 x ?[0, ] ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 12 12 12 11? 17? 11? 取 k ? 1 ,得 ,又 x ? [0, ? ] ,则 x ?[ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ?x? ,? ] .· 12 12 12 5? 11? ∴ f ( x) 在 [0,? ] 上的单调递增区间是 [0, ] , [ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ,? ] . · 12 12 ? 3 ? ? ? 2? (Ⅱ )由 f (B) ? 3 得 sin(2 B ? ) ? .又 0 ? B ? ,则 ? ? 2B ? ? ,从而 3 2 2 3 3 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 3 3 由 AB ? AD 知 ?ABD 是正三角形, AB ? AD ? BD ,∴AD ? DC ? BD ? DC ? BC , 在 ?ABC 中*由正弦定理,得

?

2B ?

?

?

?

,∴B ?

?

4 3 sin

?
3

?

BC ,即 BC ? 8sin ?BAC . sin ?BAC

3 ? 2? ∵D 是 BC 边上一点,∴ ? ?BAC ? ,∴ ? sin ?BAC ? 1 ,知 4 3 ? BC ? 8 . 2 3 3

当 ?BAC ? 分

?
2

,C ?

?
6

时, AD ? CD 取得最大值 8. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12

【另】在 ?ACD 中*由正弦定理,得

AD DC 4 3 ,∴AD ? 8sin C , ? ? ? sin C sin( ? C ) sin 2? 3 3 3 1 ? ? cos C ? sin C ) CD ? 8sin( ? C ) ,则 AD ? DC ? 8sin C ? 8sin( ? C) ? 8(sin C ? 2 2 3 3 3 1 ? 2? ? ? ? 2? ? 8( cos C ? sin C ) ? 8sin(C ? ) .∵?ADC ? ,∴0 ? C ? , ? C ? ? , 2 2 3 3 3 3 3 3
[

当C ? 分
[

?

3

?

?

2

,即 C ?

?

6

时, AD ? DC 取得最大值 8. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12

2012-2013 年联考题 (一)
1【云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试理】在△ABC 中的内角 A、B、C 所 对的边分别为 a,b,c,若 b ? 2c cos A, c ? 2b cos A, 则△ABC 的形状为 A.直角三角形 C.等边三角形 【答案】C B.锐角三角形 D.等腰直角三角形

【 解 析 】 由 正 弦 定 理 得 sin B ? 2sin C cos A,sin C ? 2sin B cos A, , 即

s iA n? ( C ? )

2 C s i A n ?

c oA s

? C s i n,即 Ac oA C s ccos oA s sin C s ? i0 n, sin cos C ?

所以 sin( A ? C ) ? 0, A ? C ,同理可得 A ? B ,所以三角形为等边三角形,选 C. 2. 【 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 理 】 函 数

y ? cos(2 x ?

?

6

)在区间[?

?

2

, ? ] 的简图是

【答案】B 【解析】 将 y ? cos 2 x 的图象向左平移 的图象,选 B.

? ? ? 个单位得到函数 y ? cos 2( x ? ) ? cos(2 x ? ) 12 12 6

3.【云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试理】化简

4sin 2 ( ? ? ) tan( ? ? ) 4 4
则 A. sin 2? 【答案】A B. cos 2? C. sin ? D. cos ?

?

sin 4?

?

4sin 2 ( ? ? ) tan( ? ? ) ? 4 cos 2 ( ? ? ) tan( ? ? ) ? 4 cos( ? ? ) sin( ? ? ) 4 4 4 4 4 4 【解析】 ? 2sin( ? 2? ) ? 2 cos 2? 2

?

?

?

?

?

?

?







4sin 2 ( ? ? ) tan( ? ? ) 4 4

?

sin 4?

?

?

sin 4? 2sin 2? cos 2? ? ? sin 2? 2cos 2? 2cos 2?
,选 A.

4.【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】函数 y ? 2 sin( 函数的区间是( A. [0, ) B. [

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增

?
3

]

?
12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

D. [

5? , ?] 6

【答案】C

? 2 x) ? ?2sin(2 x ? ) , 由 6 6 ? ? 3 ? ? 5? ? 2k? ? ?2 x ? ? ? ? 2k,解得, k ? k? ?Zx ? ? k? , k ? Z ,即函数的增区 2 6 2 3 6 ? 5? ? 5? ? k? ]k ? Z ,所以当 k ? 0 时,增区间为 [ , ] ,选 C. 间为 [ ? k? , 3 6 3 6
【 解 析 】 因 为 5. 【 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 理 】 已 知 函 数 )

y ? 2sin(

?

?

f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? π) 的图象如图所示,则 ? 等于(

A.

1 3

B. 1

C.

2 3

D. 2

【答案】C

【解析】由图象可知 选 C.

T 15? 3? 12? 2? 2 ? ? ? ? 3? ,所以 ? ? , ,所以 T ? 3? ,又 T ? 2 8 8 8 ? 3
a A cos 2 b B cos 2 c C cos 2

6.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】在 ?ABC 中*若

?

?



则 ?ABC 的形状是( A.等腰三角形 【答案】B

) B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

【 解 析 】 由 正 弦 定 理 可 知 sin A ? cos

A B C ,sin B ? cos ,sin C ? cos , 由 2 2 2 A A A A A 1 sin A ? 2sin cos ? cos ,因为 cos ? 0 ,所以 sin ? ,因为 0 ? A ? ? ,所以 2 2 2 2 2 2

0?

A ? A ? ? ? ? ? ,所以 ? ,即 A ? .同理可得 B ? , C ? ,所以三角形为等边三角形, 2 6 3 3 3 2 2

选 B. 7.【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】函数 y ? 的最大值为 A. ( B. )

3 ? ? sin (x ? ) ? cos( ? x) 2 2 6

13 4

13 4

C.

13 2

D. 13

【答案】C 【解析】

y?

3 ? ? 3 3 1 sin( x ? ) ? cos( ? x) ? cos x ? cos x ? sin x 2 2 6 2 2 2

1 1 1 13 13 = 3 cos x ? sin x ,所以函数的最大值为 ( 3)2 ? ( )2 ? 3 ? ? ,选 C. ? 2 2 4 4 2
8.【 云 南 师 大 附 中 2013届 高 三 高 考 适 应 性 月 考 卷 ( 三 ) 理 科 】 对于函数

f ( x) ?

1 1 (sin x ? cos x) ? | cos x ? sin x | ,下列说法正确的是( 2 2



A.该函数的值域是 ??1,1? B.当且仅当 2k? ? x ? 2k? ? C.当且仅当 x ? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 时, f ( x) ? 0

?
2

(k ? Z ) 时,该函数取最大值1

D.该函数是以 ? 为最小正周期的周期函数 【答案】B

? sin x<cos x , ?sin x , 2? 【解析】 f ( x) ? ? 由图象知,函数值域为 ??1, ? ,A 错;当且仅当 sin x≥cos x , 2 ? ?cos x , ?
2 π , C 错;最小正周期为 2 π ,D 错. x ? 2kπ ? (k ? Z) 时,该函数取得最大值 2 4

9.【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a= 3 ,b= 2 ,且 1+2cos(B+C)=0,则 BC 边上的高等于 A、 3 -1 【答案】D 【解析】由 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,得 1 ? 2 cos A ? 0, cos A ? B、 3 +1

C、

3-1 2

D、

3+1 2
1 ? ,所以 A ? 。有正弦定理 2 3



3 2 a b ? 2 ? ? , 即 , 因为 b ? a , 所以 B ? A , 即B ? 。 ? sin B ,得 sin B ? sin sin A sin B 4 2 3

由余弦定理得 a 2 ? b2 ? c2 ?2 bccos A 得 3 ? 2 ? c 2 ? 2c ,即 c 2 ? 2c ? 1 ? 0 ,解得

c?

2? 6 2 1? 3 2? 6 ,所以 BC 边上的高为 h ? c sin B ? ,选 D. ? ? 2 2 2 2

10.【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】把函数 y = sin x(x ? R) 的图象上所有的 点向左平行移动

? 1 个单位长度, 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标 2 3

不变),得到的图象所表示的函数是 A、 y = sin (2 x-

?
3

),x ? R ),x ? R

C、 y = sin (2 x + 【答案】C

?
3

x ? + ),x ? R 2 6 2? ),x ? R D、 y = sin (2 x + 3
B、 y = sin (

【解析】把函数 y = sin x(x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 ? 个单位长度,得到函数

3

y ? sin( x ?

?
3

) ,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变),得到函 2

数 y ? sin(2 x ?

?
3

) ,所以选 C.

11.【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】 把函数 y ? sin(2 x ? 象向右平移

?
4

) 的图

? 个单位,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,则所得图象对应 8
3? ? ) B. y=sin(4x+ ) 8 8
D. y=sinx

的函数解析式是 A. y=sin(4x+ C. y=sin4x 【答案】C

? 【 解 析 】 把 函 数 y ? s i n (x2

?
4

)图象向右平移 的

y ? sin[2( x ? ) ? ) ? sin 2 x ,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,则所得 8 4
图象对应的函数解析式是 y ? sin[2(2 x)] ? sin 4 x ,选 C. 12. 【天津市天津一 中 2013 届高 三上学期一月考 理】在 ? ABC 中 ,A,B,C 为内角 , 且

?

?

? 个单位,得到函数 8

sin A cos A ? sin B cos B ,则?ABC 是
A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 【答案】D 【解析】由 sin A cos A ? sin B cos B 得 sin 2 A ? sin 2B ? sin(? ? 2B) ,所以 2 A ? 2 B 或 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

2 A ? ? ? 2 B ,即 A ? B 或 A ? B ?

?
2

,所以三角形为等腰或直角三角形,选 D.
3

13.【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】函数 f(x)=sin2x-4sin xcosx(x∈R)的 最小正周期为 A.

? 8

B.

? 4

C.

? 2

D.π

【答案】C 【解析】 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin 2 x sin x ? sin 2 x(1 ? 2sin x) ? sin 2 x cos 2 x ?
2 2

以函数的周期为 T ?

2?

?

?

2? ? ? ,选 C. 4 2

1 sin 4 x ,所 2

14. 【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】 设函数 y ? sin( x ?

?
3

) (x∈R),则 f(x)

A.在区间[-π , ?

?

2 ? ? C.在区间[ , ]上是增函数 8 4
【答案】B 【解析】当

]上是减函数

B.在区间 [ D.在区间 [

? 5?
3 , 6

2? 7? , ] 上是增函数 3 6 ] 上是减函数

2? 7? 2? ? ? 7? ? ? 3? ?x? ? ? x? ? ? ,即 ? ? x ? ? 时, ,此时函数 3 6 3 3 3 6 3 3 2

y ? sin( x ?

?

2? 7? ? ) 单调递减,所以 y ? sin( x ? ) 在区间 [ , ] 上是增函数,选 B. 3 3 6 3

15.【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理)】 tan ? 和 tan?

?? ? ? ? ? 是方程 ?4 ?

x 2 ? px ? q ? 0 的两根,则 p、q 之间的关系是
A. p ? q ? 1 ? 0 【答案】D B. p ? q ? 1 ? 0 C. p ? q ? 1 ? 0 D. p ? q ? 1 ? 0

( 【解析】根据根与系数之间的关系可得 tan

?

? ?) ? tan ? = ? p, tan ( ? ?) tan ? =q ,所 4 4

?

tan( ? ? ) ? tan ? ? ?p ?p 4 ? ? 1 ,所以 p ? q ? 1 ? 0 , 以 tan( ? ? ? ? ) ? ,即 tan ? ? 4 1 ? q 4 1 ? q 1 ? tan( ? ? ) tan ? 4

?

?

选 D. 16. 【 山 东 省 烟 台 市 莱 州 一 中 2013 届 高 三 10 月 月 考 ( 理 ) 】 已 知

3 5 cos ? ? , cos ?? ? ? ? ? ? , ? 、 ? 都是锐角,则 cos? = 5 13 63 33 33 63 A. ? B. ? C. D. 65 65 65 65
【答案】C 【 解 析 】 因 为 ?, ? 是 锐 角 , 所 以 0 ? ? ? ? ? ? , 又 c o s ?? ? ? ? ? ?

?
2


5 ? 0, 所 以 13

? ? ? ? ? ? ,所以 sin ?? ? ? ? ?

12 4 , sin ? ? . 13 5 5 3 12 4 33 ? ? ? ? , 13 5 13 5 65

cos ? ? cos(? ? ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ? ? ?
选 C.

17.【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理)】如果函数 y ? 3 cos?2 x ? ? ? 的

图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 ? 的最小值为 ? 3 ?
B.

A.

? 6

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【答案】A 【解析】函数关于点 (

4? 4? 8? , 0) 对称,则有 3cos(2 ? ? ? ) ? 0 ,即 cos( ?? ) ? 0 ,所以 3 3 3 2? 2? ? ? cos( ??) ? 0, ? ? ? ? 2 k? , k ? Z , 即 即 ? ? ? ? 2 k? , k ? Z , 所以当 k ? 0 时, 3 3 2 6

? ?

? ,此时 ? 最小,选 A. 6

18.【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理)】函数 f ?x ? ? A sin ??x ? ? ? ? b 的

? 等于 图象如下,则 S ? f ?0? ? f ?1? ? ? ? ? ? f ?2011
A.0 B.503 C.1006 D.2012 【答案】D 【解析】 由图象可知, 函数的最大值为 A ? b ? 函数的周期 T ? 4 , 即T ? 时, f ? 0 ? ? 周 期

3 1 1 , 最小值为 ? A ? b ? , 解得 A ? , b ? 1 , 2 2 2
, 所以 f ? x ? ?

2?

?

?4, 所以 ? ?

?
2

1 ?? ? 当x ?0 sin ? x ? ? ? ? 1 , 2 ?2 ?

1 1 ? sin ? ? 1 ? 1,所以 sin ? ? 0 ,所以 ? ? 0 ,即 f ? x ? ? sin x ? 1 .在一个 2 2 2


f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? 4







S ? f ? 0? ? f ?1? ????? f ? 2011? ? 503?[ f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3)] ? 503 ? 4 ? 2012 ,
选 D. 19. 【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理)】已知 sin ? ?

2 ,则 3

cos? 3 ??2 ? ? 等于
A. ?

5 3

B.

1 9

C. ?

1 9

D.

5 3

【答案】C 【解析】

cos ?3? ? 2? ? ? cos ?? ? 2? ? ? ? cos2? ? ?(1 ? 2sin 2 ? )
4 1 ?? 9 9 ,选 C.

? ?1 ? 2sin 2 ? ? ?1 ? 2 ?

20. 【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理) 】 函数 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? ( 其中? > 0, ? <

? ) 的图象如图所示, 为了得到 g ? x ? ? sin ? x 的图象, 可以将 f ? x ? 的 2

图象

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移 【答案】A

? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移

T 7? ? ? 2? ? ? ? T? ?? ? 【解析】由图象知 4 12 3 4 ,所以周期 T ? ? ,又 ,所以 ? ? 2 ,所



f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ?

f(
,又

7? 7? 7? ) ? sin(2 ? ? ? ) ? ?1 sin( ? ? )? ? 1 12 12 6 ,即 ,所以

7? 3? ? ? ?? ? ? 2 k? , k ? Z ? ? ? 2 k? , k ? Z ?? 6 2 3 3 ,所以 ,即 ,所以当 k ? 0 时,

?? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 3 ? ,又 g ? x ? ? sin 2 x ? sin[2x ? ? ? ? ] ? sin[2(x ? ? )? ? ] ? ,所以要 3 3 6 3 ? 得到 g ? x ? ? sin ? x 的图象只需将 f ( x ) 的图象向右平移 个单位长度,选 A. 6
21.【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理)】2009 年北京庆阅兵式上 举行升旗仪式,如图,在坡度为 15°的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面 的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60°和 30°,且第一排 和 最 后 一 排 的 距 离 为 10

6 米 , 则 旗 杆 的 高 度 为 ______ 米 。

【答案】 30

【解析】设旗杆的高度为 x 米,如图

,可知

?ABC ? 180 ? 60 ? 150 ? 1050



?CAB ? 30 ? 150 ? 45







?ACB ? 180 ? 105 ? 45 ? 30 ,根据正弦定理可知
所以 sin 60 ?

BC AB ? ,即 BC ? 20 3 , sin 45 sin 30

x x 3 ? ,所以 x ? 20 3 ? ? 30 米。 BC 20 3 2

22. 【 山 东 省 烟 台 市 莱 州 一 中 2013 届 高 三 10 月 月 考 ( 理 ) 】 若 tan? ? 2, 则

sin ? cos ? ? _________.
【答案】

2 5

【解析】 sin ? cos ? ?

sin ? cos ? sin ? cos ? tan ? 2 2 ? ? ? ? . 2 2 2 1 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 1 ? 4 5

23.【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考 (理) 】 关于函数 f ?x ? ? sin 2 x ? cos2 x 有下列命题: ①函数 y ? f ?x ? 的周期为 ? ; ②直线 x ? ③点 ?

?
4

是 y ? f ?x ? 的一条对称轴;

?? ? ,0 ? 是 y ? f ?x ? 的图象的一个对称中心; ?8 ?

④将 y ? f ?x ? 的图象向左平移

? 个单位,可得到 y ? 2 sin 2x 的图象.其中真命题的序号 4

是______.(把你认为真命题的序号都写上) 【答案】①③

【解析】f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ?

? ? 2 sin(2 x ? ) , 所以周期 T ? ? , 所以①正确, 当x ? 4 4
) i n 不 2是 s 最 值 , 所 以 ② 不 正 4

时 ,

? ? ?? ? f ? ? ? 2 s i? n ? ( 2? 4 4 ?4?

?

确. f ?

? ? ? ?? ? ? ? 2 sin(2 ? ? ) ? 0 ,所以③正确.将 y ? f ?x ? 的图象向左平移 4 个单位, 8 4 ?8?
2 sin[2( x ? ) ? ] ? 2 sin(2 x ? ) ,所以④不正确,综上正确的命题为①③. 4 4 4
3 ? ? ,且 x ? ( , ) , 8 4 2

得到 y ?

?

?

?

24.【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】已知 sin x cos x ? 则 cos x ? sin x ? _________. 【答案】 ?

1 2

【 解 析 】 因 为 x?(

? ?

n? , ) ,所以 six 4 2

cxo , s 即 c ox s?

sx i?n , 所 0 以

(cos x ? sin x) 2 ? 1 ? 2sin x cos x ?

1 1 ,所以 cos x ? sin x ? ? 。 2 4

25.【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】函数 f ( x) ? sin(2 x ? 象为 C,以下结论中: ①图象 C 关于直线 x ? ②图象 C 关于点 (

?
3

) (x∈R)的图

2? , 0) 对称; 3 ? 5? ) 内是增函数; ③函数 f(x)在区间 ( ? , 12 12
④由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 则正确的是 【答案】①②③ 【解析】当 x ?

11? 对称; 12

? 个单位长度可以得到图象 C. 3

.(写出所有正确结论的编号)

11? 11? 11? ? 11? ? 3? f ) ? sin(2 ? ? )= sin( ? )= sin( )= ? 1,所以 时, ( 12 12 12 3 6 3 2 11? 2? 为最小值,所以图象 C 关于直线 x ? 对称,所以①正确。当 x ? 时, 12 3 2? 2? ? 2? ( f ) ? sin(2 ? ? )= sin ? =0 ,所以图象 C 关于点 ( , 0) 对称 ; 所以②正确。 3 3 3 3

? ?

?

? ,即 ?? ? 2 x ? ? ,此时函数单调递增,所以③正确。 6 3 6 3 2 3 2 ? ? 2? y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度,得到 y ? 3sin 2( x ? ) ? 3sin(2 x ? ) , 3 3 3

?

2

? 2 k? ? x ? ?

?
2

? 2k? , 当 ?

?

2? x

?5 ? 3

?

? ?

?x? 1 2

?

5?

?

?

1 2

时 , ?

?
6

? 2x ?

5? 6

, 所 以

所以④错误,所以正确的是①②③。 26. 【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】在△ABC 中, 若 sinA=2sinBcosC 则△ABC 的形状为________。 【答案】等腰三角形 【 解 析 】 在 三 角 形 中 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C , 即

s iB n

cC ? o s

Bc o ? s C s i n B , 2C s sin i n cC o?s B cos cos B sin C ? sin( B ? C ) ? 0 , 所以

所以 B ? C ,即三角形为等腰三角形。 27. 【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】 函数 f (x)=Asin (?x +?)(A, ?, ? 为常数, A>0,

? >0) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 , 则 f(0) 的 值 是



【答案】

6 2
2,

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,所以 T ? ? ,又 T ? ? ? ,所以 ? ? 2 , 4 12 3 4 ? 7? 7? 7? 所以函数 , ? 2 sin ( + )= ? 2 ? f (x)= 2 sin (2x+? ) ,由 f ( )= 2 sin(2 ? + )= 12 12 6 得 sin ( 7? +? )= ? 1 , 所 以 7? +? = 3? ? 2k? ,k ? Z , 即 ? = ? ? 2k? ,k ? Z , 所 以 6 6 2 3
【解析】由图象可知 A ?

? f ( x) = 2s i n ( 2 x + ,) f (0)= 2 sin ? ? 2 ? 3 ? 6 。 3 3 2 2
28.【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C

的对边,若 a +b =2012c ,则

2

2

2

tan A tan B 的值为 tanC ( tan A+ tan B)



【答案】

2011 2

sin A sin B tan A tan B cos Acos B ? tanC ( tan A+ tan B) sinC(sin A ? sin B ) cos C cos A cos B 【解析】 sin A sin B sin A sin B cos C sin A sin B cos C cos Acos B ? = = sinC sin Acos B ? cos A sin B sinC sin ( A ? B ) sin 2 C ? cos C cos Acos B
= ab a 2 ? b2 ? c 2 2012c 2 ? c 2 2011 。 ? ? ? c2 2ab 2c 2 2

29.【 云 南 师 大 附 中 2013届 高 三 高 考 适 应 性 月 考 卷 ( 三 ) 理 科 】 在锐角△ABC中*角A、B、C所对的边分 别为a、b、c,若b=2,B= 。 【答案】 3
? 2sin A cos A ? sin( A ? C ) ? sin( A ? C ) , 【解析】 sin 2 A ? sin B ? sin( A ? C ) ,

? 且sin2A+sin(A+C)=sinB,则△ABC的面积为 3

? 2sin A cos A ? 2cos A sin C. △ABC是锐角三角形, ? cos A ? 0 , ? sin A ? sin C,即A ? C ? B ? π 1 3 , ? S△ABC ? ? 2 ? 2 ? ? 3. 3 2 2

30 【 山 东 省临 沂 市 2013 届 高 三 上学 期 期中 考试 理 】 在 △ ABC 中 , 若 co s A ?

B?C ? cos 2 A 的值为 . 2 1 【答案】 ? 9 ??A 2 B?C ? cos 2 A ? sin 2 ? cos 2 A 【解析】 sin 2 2 A 1 ? cos A ? cos 2 ? cos 2 A ? ? 2 cos 2 A ? 1 , 2 2 1 1 2 B?C ? cos 2 A ? ? 因为 cos A ? , 所以 sin 3 2 9 sin 2
31.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)】已知函数 出下列四个说法:

1 ,则 3

,给

①若 ③ 在区间

,则



② ④

的最小正周期是 的图象关于直线

; 对称.

上是增函数;

其中正确说法的序号是______. 【答案】③④ 【解析】 函数 f ( x) ? sin x cos x ?

1 1 1 sin 2 x , 若 f ( x1 )= ? f ( x2 ) , 即 sin 2 x1 = ? sin 2 x2 , 2 2 2


所 以 sin 2 x1 = ? sin 2 x2 , 即 sin 2x1 =sin(?2 x2 ) , 所 以 2 x1 = ? 2 x2 ? 2k?

2x1 =? ? 2x2 ? 2k? , k ? Z ,所以①错误; ? ? 2, 所以周期 T ?
?

2?

?

4 4 2 3? 1 3 ? f( )? s ( i n ?2 4 2 4

?x?

?

时, ?

?

? 2x ? 1 )= 2

?
2

?

? ? ,所以②错误;当 3? 时, 4

,函数递增,所以③正确;当 x?

? 3

1 s i n? 为最小值,所以④正确,所以正确的有 = 2 个. 2 2


32.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)】定义一种运算



,且



则函数

的最大值是______.

【答案】

5 4
,则

【解析】令

∴由运算定义可知, ∴当 sin x ?

1 ? 5 ,即 x ? 时,该函数取得最大值 . 2 6 4
的最大值与函数 在区间

由图象变换可知,

所求函数

上的最大值相同.

33. 【 山 东 省 德 州 市 乐 陵 一 中 2013 届 高 三 10 月 月 考 数 学 理 】 若 α 是 锐 角 , 且

s i n? ( ?
【答案】

?
6

? )

1 则 , c? o s的值是 3

.

2 6 ?1 6

【 解 析 】 ∵

?

是 锐 角 , ? 0 ?? ?

?
2

, ?

?
6

?? ?

?
6

?

?
3

, 所 以

? ? 2 2 , cos(? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? 6 6 3
cos ? ? cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? ) sin 6 6 6 6 6 6

?

?

?

?

?

?

?

2 2 3 1 1 2 6 ?1 . ? ? ? ? 3 2 3 2 6

34. 【 山 东 省 德 州 市 乐 陵 一 中 2013 届 高 三 10 月 月 考 数 学 理 】 函 数

f ( x)? f ( ?1

As i ?n (? x? ) f

) A ?( ? ? 0 , 的 0 )图 ? ( 值等于 f 3 ) 的















? ( f 2? )

(

2

0

1

1

)

【答案】 2( 2 ? 1) 【解析】由图知, A ? 2 ,

所以 2 sin( ? 2? ? )? 2 ,所以 sin(

?

T 2? ? ? 6 ? 2 ? 4 ,所以周期 T ? 8 ? ,?? ? ,又 f (2) ? 2 , 2 ? 4

?

4

2

? ? ) ? 1 ,即

?

? ? 2k? , k ? Z
f (1) ? f (2) ?







f ( x) ? 2sin( ? sin 2? ? 4

?
4

2

?? ?

?

2

? 2k? , k ? Z ,所以

x ? 2k? ) ? 2sin( 8? )?0 4

?
4

x)

, 所

又 以

? f (8) ? 2(sin

?
4

? sin



f( ? 1

f ) ?

( ?f2

)

?f

( ? f 2.

0 ?f1

1?

)

?(

1

35.【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】在△ABC 中*角 A,B,C 的对边为 a,b,c,若 a ? 3, b ? 2, B ? 45? ,则角 A= 【答案】 60 或 120 。

【解析】由正弦定理可知

a b 3 2 3 ? ? ? 2 ,所以 sin A ? ,即 ,因为 sin A sin B sin A sin 45 2

a ? b ,所以 A ? 45 ,所以 A ? 60 或 A ? 120 。

36. 【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】 如图, 测量河对岸的塔高 AB 时, 可 以 选 与 塔 底 B 在 同 一 水 平 面 内 的 两 个 测 点 C 与 D , 测 得

?BCD ? 150 , ?BDC ? 30 ,CD=30 , 并 在 点 C 测 得 塔 顶 A 的 仰 角 为 60. 则 塔 高
AB=__________.

【答案】 15 6 【解析】因为 ?BCD ? 150 , ?BDC ? 30 ,所以 ?CBD ? 135 ,在三角形 BCD 中*根据正 弦定理可知

CD BC 30 BC ? ? ,即 ,解得 BC ? 15 2 ,在直角 0 sin CBD sin BDC sin135 sin 30 AB ?ABC 中* tan 60 ? ? 3 ,所以 AB ? 3BC ? 3 ?15 2 ? 15 6 . BC

37.【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】在△ABC 中,若∠A:∠B:∠ C=1:2:3,则 a : b : c ? 【答案】 1 :3:2 【解析】因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,则可知 A,B,C 分别为 30 ,60 ,90 , ,根据直角三角形中 边的比例关系可知, a : b : c ? 1: 3 : 2 38. 【 山 东 省 聊 城 市 东 阿 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 初 考 试 】 已 知
0 0 0

sin ? (?

?

1 ? ) ? , ? ? (? ,0),则 t a ? n ? 2 3 2

【答案】. ? 2 2

? 1 ? 1 2 2 sin(? ? ) ? , ? ? (? , 0),cos? ? ,sin? ? ? 2 3 2 3 3 则 tan ? ? ?2 2 。 【解析】因为
54【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】已知下列四个命题: ①若 tan ? ? 2, 则 sin 2? ?

4 ; 5

②函数 f ( x) ? lg( x ? 1 ? x 2 ) 是奇函数;

a b ③“ a ? b ”是“ 2 ? 2 ”的充分不必要条件;

④在△ABC 中,若 sin A cos B ? sin C ,则△ABC 是直角三角形. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】①②④ 【 解 析 】

sin 2? ?

2sin ? cos ? 2 tan ? 4 ? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5

, 所 以 ① 正 确 ;

f (? x) ? lg(? x ? 1 ? x 2 ) ? lg(

1 x ? 1? x
2

a b 所以②正确; 由2 ? 2 可 ) ? ? f ( x) 为奇函数,

a b 知 a ? b ,所以“ a ? b ”是“ 2 ? 2 ”的充要条件,所以③不正确;由 sin A cos B ? sin C

s 得 sin A cos B ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B , 所 以 c o A
cos A ? 0 ,即 A ?

s Bi?n , 所 0 以

?
2

,所以△ABC 是直角三角形,所以④正确,所以真命题的序号是①② 理 】 在 ?A B C 中 ,

④. 39. 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 二 次 诊 断 性 测 试

? c oA s ? t an A? t a n B? 3 ? 3t a n A? t a n B , 且 s i An
为 【答案】等边三角形 【 解 析 】 .

3 , 则 此 三 角 形 4



tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A ? tan B





t

A? a

n

B?

t ? a

tan A ? tan B A n ? , A所 以 tan( 3B ? ? B) ?3 t a ? ?n 3 , 即 t 1 ? tan A tan B
C 3?,

a

n

t a n? ( ?C ? )?

? 3?

n? , 所 以 t aC t C an

?
3

n? c o A s? 。 由 s iA

3 得 4

sin A ? 0,cos A ? 0

, sin 2 A ?

? 2? ? ? 3 ,得 2 A ? 或 2 A ? ,所以 A ? 或 A ? 。当 3 3 6 3 2
, 此 时 t a nB 不 存 在 , 不 成 立 , 舍 去 。 当 A ?

A?

?
6

时, B ? ? ?

?
3

?

?
6

?

?
2

?
6

时,

? ,此时 A ? B ? C ,三角形为等边三角形。 3 3 3 sin A,sin B,sin C 40. 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】 在 ?ABC 中*
依次成等比数列,则 B 的取值范围是 【答案】 (0,

B ?? ?

?

?

?

?

?
3

]
2 2

【解析】因为 sin A,sin B,sin C 依次成等比数列,所以 sin A sin C ? sin B ,即 ac ? b ,





c

B? o

a2 ? s 2a

c2 ? c

?

b2 2

? a2 a

? 1 c2 ? c 2



2 a ? c ? 所 以 a2 c

2 a

c

cos B ?

? ? a 2 ? c 2 1 2ac 1 1 ? ? ? ? ,所以 0 ? B ? ,即 B 的取值范围是 (0, ] 。 3 3 2ac 2 2ac 2 2

41. 【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 在 ?ABC 中* 若 sin A ? 2 cos B cos C , 则 tan B ? tan C ? __________. 【答案】2 【解析】在 ?ABC 中* sin A ? sin(B ? C ) ? sin B cosC ? cosB sin C ? 2 cosB cosC , 两 边同除以 cos B cos C 得 tan B ? tan C ? 2 . 42.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】函数 y ? 2 sin( 调递增区间为 【答案】 [

?
3

? x), x ? (0,2?) 的单

5? 11? , ] 6 6

【 解 析 】 由 y ? 2 sin(

?

3 3 2 3 5? 11? ? 2k? ? x ? ? 2k? (k ? Z ) 时, y 为增函数 . ? x ? (0,2? ) , ∴函数的增区间为 6 6 5? 11? [ , ]. 6 6

? x) ? ?2 sin( x ?

?

) 知当

?

? 2k? ? x ?

?

?

3? ? 2k? 即 2

(二)
1.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3 ?? ? 0 ? ,直线 x ? x1 , x ? x2 是函数

y ? f ? x ? 的图像的任意两条对称轴,且 x1 ? x2 的最小值为
(I)求 ? 的值; (II)求函数 f ? x ? 的单调增区间; (III)若 f ?? ? ? 【答案】

? . 2

2 ?5 ? ,求 sin ? ? ? 4? ? 的值. 3 ?6 ?

2. 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】 ( 本题满分 12 分 ) 设函数

f ? x? ? sin x ? cos x, g ? x ? ? f ? x ? ? f ' ? x ? ? ? ? f ? x ?? ?
(Ⅰ)求 g ? x ? 的周期和最大值 (Ⅱ)求 g ? x ? 的单调递增区间 【答案】(1)

2

,-------------------------------2 分

----------------------------------4 分

-------------------------------6 分

的周期

----------------------7 分 -------------------------8 分

(2)由



所以

---------------------10 分

的增区间为

-------------------12 分

3.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中*

?A ? 1200 ,
(Ⅰ)若三边长构成公差为 4 的等差数列,求 ?ABC 的面积 (Ⅱ)已知 AD 是 ?ABC 的中线,若 AB ? AC ? ?2 ,求 | AD | 的最小值 【答案】解:(1) 由余弦定理: 即 所以 ,设三边为 ,--------------1 分 ---------------2 分 -------------------------3 分 --------------------------------4 分

-----------------6 分 (2) ----------------------7 分 --------------------8 分

因为

,所以

--------10 分

----11 分

所以

----------12 分

4.【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】(本题满分 12 分)已知函数

f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos2 x.
(I)求 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间; (II)当 x ? ?0, 【答案】

? ?? 时,求函数 f ? x ? 的最大值和最小值及相应的 x 的值. ? 2? ?

5.【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】 (本题满分 12 分)已知 ?ABC 的 三内角 A,B,C 所对三边分别为 a,b,c,且 sin ? (I)求 tanA 的值; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 24, b ? 6 ,求 a 的值.

2 ?? ? ? A? ? . ?4 ? 10

【答案】 6. 【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】(本题满分 12 分)设函数

f ? x ? ? sin x ? x cos x, x ? R .
(I)当 x ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)当 x ??0, 2013? ? 时,求所有极值的和. 【 答 案 】

7.【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】(本小题满分 12 分)在 ?ABC 内,

a, b, c 分别为角 A,B,C 所对的边,a,b,c 成等差数列,且 a=2c。
(1)求 cos A 的值;(Ⅱ)若 S ?ABC ?

3 15 ,求 b 的值。 4

【答案】解:(Ⅰ)因为 a,b,c 成等差数列,所以 a+c=2b, ????????2 分 又 a ? 2c ,可得 b ?

3 c, 2

??????????4 分

9 2 2 c ? c ? 4c 2 b2 ? c2 ? a 2 4 1 所以 cos A ? ? ? ? ,????????6 分 3 2bc 4 2 ? c2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ) cos A ? ?

1 15 , A ? (0, ? ) ,所以 sin A ? , ????????8 分 4 4

因为 S ?ABC ?

3 15 1 , S ?ABC ? bc sin A , 4 2 1 1 3 15 3 15 ,????????????10 分 bc sin A ? ? c 2 ? 2 2 2 4 4
??????????12 分

所以 S ?ABC ?

得 c2 ? 4,即c ? 2, b ? 3 .

8.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos2 ? x ? sin 2 ? x,sin ? x) , b ? ( 3, 2cos ? x) , 设函数 f ( x) ? a ? b ( x ? R) 的图象关于直线 x ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)若将 y ? f ( x) 图象上各点的横坐标变为原来的

?
2

对称,其中 ? 为常数,且 ? ? (0,1) .

1 ? ,再将所得图象向右平移 个单位, 6 3

纵坐标不变,得到 y ? h( x) 的图象, 若关于 x 的方程 h( x) ? k ? 0 在区间 [0, 有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 【答案】

?

2

] 上有且只

由直线 x ? 所以 ?? ?

?
2

是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 2sin(?? ?

?
3

) ? ?2 ,

?
3

? k? ?

?

1 (k ? z ) ,即 ? ? k ? (k ? z ) . 6 2
1 . 6

又 ? ? (0,1) , k ? z ,所以 k ? 0 ,故 ? ?

9.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中* a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 3(b2 ? c2 ) ? 3a2 ? 2bc . (Ⅰ)若 sin B ?

2 cosC ,求 tan C 的大小;
2 ,且 b ? c ,求 b, c . 2

(Ⅱ)若 a ? 2 , ?ABC 的面积 S ? 【答案】

10.【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理)】(本小题满分 13 分) 已知:在 ?ABC 中 , a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 所对的边,且角 C 为锐角,

cos 2C ? ?

1 4

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)当 a ? 2 , 2 sin A ? sin C 时,求 b 及 c 的长. 【答案】解:(Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C= ?

1 ? ,及 0 ? C ? 4 2

所以 sinC=

10 . 4

?????????? 4 分

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 由 cos2C=2cos2C-1= ?

1 ? ,及 0 ? C ? 得 4 2

a c ? ,得 c=4 sin A sin C

???7 分

cosC=

6 4

?????????9 分

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2- 6 b-12=0 解得 b=2 6 ???????? 12 分 ????????13 分

11.【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理)】(本小题满分 13 分)

? 已 知 : 函 数 f ( x)

M s? i n? (x?

M ) ?( ? ? 0 ,的| 部 |分 图) 象 如 图 所 2

?

示.

(Ⅰ)求 函 数 f ( x ) 的 解 析 式; ( Ⅱ ) 在 △ ABC 中 , 角 A、 B、 C 的 对 边 分 别 是a、b、c , 若(2a ? c) cos B ? b cos C , 求f ( ) 的取值范围 . 【答案】解:(Ⅰ)由图像知 M ? 1 , f ( x) 的最小正周期 T ? 4(

A 2

5? ? ? ) ? ? ,故 12 6

? ? 2 ?? 2 分

将点 (

?
6

,1) 代入 f ( x) 的解析式得 sin(
所以 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

? ? ) ? 1 ,又 | ? |?
??????

?
2

故? ?

?
6

?
6

)

5分

(Ⅱ)由 (2a ? c) cos B ? b cosC 得 2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC 所以 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? sin A ????????8 分 因为 sin A ? 0 所以 cos B ?

3 A ? 2? ? ? 5? f ( ) ? sin( A ? ) 0? A? ? A? ? ????????11 分 2 6 3 6 6 6 1 A ? ? f ( ) ? sin( A ? ) ? 1 ????????13 分 2 2 6

1 2

B?

?

A?C ?

2? ??????9 分 3

12.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)】(本小题满分 13 分) 如图,在平面直角坐标系 作两个锐角 中*以 轴为始边

,它们的终边分别与单位圆交于

两点.已知 (1)求 (2)求

的横坐标分别为 的值; 的值.



【答案】

(Ⅰ)由已知得: ∵ 为锐角













.--------------------6 分

(Ⅱ)∵

∴ 为锐角,











-----------13 分

13.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)】(本小题满分 13 分) 已知函数 (1)求 (2)求 函数图象的对称轴方程; 的单调增区间. .

(3)当

时,求函数

的最大值,最小值.

【答案】

(I)

.

?3 分



.



函数图象的对称轴方程是

??5 分

(II)



的单调增区间为

?8 分

(III)

,

?? 10 分

.

??

11 分



时,函数

的最大值为 1,最小值为

.

?

13 分

14.【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对应边分别为 a、b、c 已知 a ? 1, b ? 2, cos C ? (1)求 ?ABC 的边长。 (2)求 cos(A ? C ) 的值 【答案】(1)由余弦定理得: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ————————————2 分 =1+4—2?1?2? =4 ∵c>0 ∴c=2———————————————4 分

1 4

1 4

(2) sin 2 C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? ? ? ?

?1? ? 4?

2

15 16
——————————————6 分

?0 ? C ? ?

? sin C ?
a c ? sin A sin C

15 4

由正弦定理得:

1 2 即: ? sin A 15 4

解得, sin A ?

15 8
2

———————————————————8 分
2

? 15 ? 49 ? cos A ? 1 ? sin A ? 1 ? ? ? 8 ? ? 64 ? ?
2

在三角形 ABC 中? a ? b

?A? B

? A为锐角

? cos A ?

7 8

———————————————————10 分

cos(A ? C ) ? cos A cosC ? sin A sin B —————————————11 分

?

7 1 15 15 11 ? ? ? ? ———————————12 分 8 4 8 4 16
2? , a ? 2c sin A. 3

15.【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】 (本题满分 12 分)在△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别 a、b、c, B ? 设函数 f ( x) ? sin 2x ? 4cos A cos2 x (1)求角 C 的大小; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间 【答案】解

( 1 )B ?

2? , a ? 2c sin A 3

? sin A ? 2 sin C ? sin A, A ? C ? ? sin A ? 0 ? sin C ? 0?C ? 1 , 2

?
3

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4分 3 6 (2)f ( x) ? sin 2 x ? 4 cos A cos2 x
? sin 2 x ? 4 ? 3 cos2 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5分 2
1 ? cos 2 x ) 2

?

,? C ? A ?

?

? sin 2 x ? 2 3 (

= sin 2x ? 3 cos2x ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?7分

?( 2 sin 2 x ? 令2k? ? ? k? ?

?
3

) ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8分

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9分

5? ? ? x ? k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11分 12 12

5? ?? ? ? f ( x)的增区间为 k? ? , k? ? ?, k ? Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12分 ? 12 12? ?
16.【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】(本小题满分 12 分)

已知 cos (

?
4

? x) ?

3 17? 7? , ?x? . 5 12 4
(2)求

(1) 求 sin 2 x 的值. 【答案】解: (1) ∵ cos 2 (

sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值 1 ? tan x
?
2 ? 2 x) ? ? sin 2 x

?
4

? x) ? cos(

又 cos 2 (

?
4

? x) ? 2 cos 2 (

?
4

? x) ? 1

? 2?
∴ sin 2 x ?

9 7 ?1 ? ? 25 25

7 25
2

................................................ 5 分

(2)

sin 2 x ? 2 sin x ? 1 ? t an x sin 2 x(1 ? t an x) ? ? ? sin 2 x t an( ? x) 1 ? t an x 4

sin 2 x(1 ?

sin x ) cos x 1 ? t an x

w_w w. k#s5_u.c o*m...........

7分 ∵ 17? ? x ? 7? .
12 4



5? ? ? x ? ? 2? 3 4

∴ sin(

?
4

? x) ? ? 1 ? cos2 (
? x) ? ? 4 3

?
4

? x) ? ?

4 5

............... 10 分

∴ tan(

?
4

sin 2 x ? 2 sin 2 x 7 4 28 ? ? (? ) ? ? ∴ 25 3 75 1 ? tan x

........................12 分

17.【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中*角 A, B, C 所对的边为 a, b, c 已知 sin (Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积为

C 10 ? . 2 4

13 2 3 15 2 2 sin C ,求 a, b, c 的值. ,且 sin A ? sin B ? 16 4
C 10 2 5 1 ? 1? 2 ? ( ) ? 1 ? ? ? ???????????4 2 4 4 4

【答案】解:(Ⅰ) cosC ? 1 ? 2 sin2 分

(Ⅱ)∵ sin2 A ? sin2 B ?

13 2 13 sin C ,由正弦定理可得: a 2 ? b 2 ? c 2 16 16

1 15 由(Ⅰ)可知 cosC ? ? ,0 ? C ? ? ,?sinC ? 1 ? cos2 C ? . 4 4 S? ABC ? 1 3 15 , absinC ? 2 4

得 ab=6????????????????????????????????8 分 由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 可得 c 2 ?
13 2 c ?3 16

c 2 ? 16, c ? 0,? c ? 4 ???????????????????????????10 分

? ?a 2 ? b 2 ? 13 ?a ? 3 ?a ? 2 由? , 得? 或? ? ?b ? 2 ?b ? 3 ?ab ? 6

18.【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】(本小题满分 14 分) 已知 a ? (sin x,cos x), b ? ( 3 cos x,cos x) ,设函数 f ( x) ? a ? b ( x ? R) (1)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (2)当 x ? [ ? 2 , 4 , 6

? 5?

, ] 时,求 f ( x) 的值域. 6 12

【答案】解:(1) f ( x ) ?

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 2

∴ f ( x) 的最小正周期为 ? 由?

????4 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? 得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ( k ? Z )

f ( x) 的单调增区间为 [?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ]( k ? Z ) 1 2
故 ?

????8 分

(2)由(1)知 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

又当 x ? [?

? 5?
6 12 ,

],2x ? 3 2

?
6

? [?

?
6

,? ]

1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 6

从而 f ( x ) 的值域为 [ 0, ]

???14 分

19.【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】(本小题满分 12 分)已知函数

π f ( x) ? cos 2 ( x ? ) ? sin 2 x . 6 π (1)求 f ( ) 的值; 12 π (2)若对于任意的 x ? [0, ] ,都有 f ( x) ? c ,求实数 c 的取值范围. 2
【答案】解: (1) f ( 4分 (2) f ( x) ?

π π π π 3 . ) ? cos 2 (? ) ? sin 2 ? cos ? 12 12 12 6 2

??????

1 π 1 [1 ? cos(2 x ? )] ? (1 ? cos 2 x) 2 3 2

1 π 1 3 3 ? [cos(2 x ? ) ? cos 2 x] ? ( sin 2 x ? cos 2 x) 2 3 2 2 2 ? 3 π sin(2 x ? ) . 2 3
π 2
???8 分

因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? 所以当 2 x ?

π π 4π ?[ , ] , 3 3 3
??????10 分

π π π 3 ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 . 3 2 12 2 π 2 π 2

所以 ?x ? [0, ] , f ( x) ? c 等价于

3 ? c. 2
3 , ??) . 2
??????12 分

故当 ?x ? [0, ] , f ( x) ? c 时, c 的取值范围是 [

2.0【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】 (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中*角 A, B, C 所对的边为 a, b, c *已知 sin (1)求 cos C 的值; (2)若 ?ABC 的面积为

C 10 。 ? 2 4

13 2 3 15 2 2 sin C ,求 a, b, c 的值。 ,且 sin A ? sin B ? 16 4

【答案】解: (1) cosC ? 1 ? 2 sin 2 分

C 10 2 5 1 ? 1? 2? ( ) ? 1? ? ? 2 4 4 4

?? 4

2 2 (2) ? sin A ? sin B ?

13 13 2 sin C ,由正弦定理可得: a 2 ? b 2 ? c 2 16 16

由(1)可知 cosC ? ? ,0 ? C ? ? ? sin C ? 1 ? cos2 C ?

1 4

15 4

S ?ABC ?

1 3 15 ,得到 ab ? 6 ab sin C ? 2 4

??????????8 分

由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
2 可得 c ?

13 2 c ? 3 c 2 ? 16, c ? 0,? c ? 4 16

??????????10 分

?a ? 3 ?a ? 2 ?a 2 ? b 2 ? 13 ?a ? 3 ? a ? 2 ? ? 由? 可得 ? 或? , 所以 ?b ? 2 或 ?b ? 3 ?b ? 2 ?b ? 3 ?c ? 4 ? c ? 4 ?ab ? 6 ? ?

???12 分

2011-2012 年联考题
1、(2012 滨州二模)函数 f(x)=sin( ? x ? ? )(其中 ? ? 0,| ? |? 为了得到 g(x)=sin ? x 的图象,可以将 f(x)的图象

?
2

)的图象如图所求,

? 个单位长度 6 ? (B)向右平移 个单位长度 3 ? (C)向左平移 个单位长度 6 ? (D)向左平移 个单位长度 3
(A)向右平移

2、(2012 滨州二模)函数 y= e

sin x

(- ? ? x ? ? )的图象大致为

3、(2012 德州二模)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? A.把 f ( x ) 的图象向左平移 B. f ( x ) 的图象关于点 (

?
3

) ,则下列结论正确的是

?
4

? 个单位,得到一个偶函数的图象 12

, 0) 对称

C. f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且在 [0, D.f(x)的图象关于直线 x= ?

?
6

] 上为增函数

?
3

对称

4、(2012 德州一模)已知函数 y ? Asin( ? x ? ? ) ? m 的最大值为 4,最小值为 0,两条对 称轴间的最短距离为

? ? ,直线 x ? 是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式是( 6 2 ? ? A. y ? 4 sin( 2 x ? ) B. y ? ?2 sin( 2 x ? ) ? 2 6 6 ? ? C. y ? ?2 sin( x ? ) ? 2 D. y ? 2 sin( x ? ) ? 2 3 3

)

5、(2012 济南 3 月模拟)函数 y ? sin x sin( A.

?
2

? x) 的最小正周期是
D. 4π

π 2

B.

?
?
2

C. 2π

【答案】B 【解析】函数 y ? sin x sin(

? x) ? sin x cos x ?

1 sin 2 x ,所以周期为 ? ,选 B. 2

6、(2012 济南三模)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇 函数”. 给出下列函数: ① f ( x) ? sin x cos x ; ② f ( x) ? 2sin( x ?

?
4

);

③ f ( x) ? sin x ? 3 cos x ; ④ f ( x) ? 2 sin 2x ?1 . 其中“同簇函数”的是( A.①② 答案:C 解析:若为“同簇函数”,则振幅相同,将函数进行化简① f ( x) ? sin x cos x ? ③ f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin( x ? B.①④ ) C.②③ D.③④

1 sin 2 x , 2

?
3

) ,所以②③振幅相同,所以选 C.

9、(2012 临沂二模)函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的部分图象如图,设 P 是图象的最高点,

A、B 是图象与 x 轴的交点,则 tan ?APB 8 4 (A) 10 (B) 8 (C) (D) 7 7

? 个单位,此时函 ? 2? ?2 ,此时 ?x () , A 点 平 移 到 O 点 , 因 为 函 数 的 周 期 T ? 数 为 y?si n ? 1 P ( ,1) A(0,0) B(2,0) , , , 所 以 2 1 3 1 3 1 PA ? (? ,?1), PB ? ( ,?1) PA ? PB ? (? ,?1) ? ( ,?1) ? , , 所 以 2 2 2 2 4
【解析】因为函数的平移不改编图象的大小,所以将图图象向右平移

【答案】B

cos?APB ?

1 4 5 13 ? 2 2

8

?

1 65

,所以 sin ?APB ?

8 65

,即 tan?APB ?

65 ? 8 ,选 1 65

B. 10、(2012 临沂二模)已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80 o 处,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2km,

B 船在灯塔 C 北偏西 40 o 处, A 、 B 两船间的距离为 3km,则 B 船到灯塔 C 的距离为
____________km。

11、 (2012 青岛二模) 已知函数 f ( x) ? cos x ? 那么下面命题中真命题的序号是 ① f ( x ) 的最大值为 f ( x0 ) ③ f ( x ) 在 [? A.①③ 【答案】A

1 ? π 1 ? π x, x ? [ ? , ] , sin x0 ? ,x0 ? [? , ] , 2 2 2 2 2 2

② f ( x ) 的最小值为 f ( x0 ) ④ f ( x ) 在 [ x0 , ] 上是增函数 C.②③ D.②④

?
2

, x0 ] 上是增函数
B.①④

π 2

? ? ? 1 1 ,x 0 ? [ ? , ] , 所以 x0 ? 。 函数的导数为 f ' ( x) ? ? sin x , 2 2 6 2 2 1 ? ? ? ? 1 由 f ' ( x) ? ? sin x ? 0 ,解得 sin x ? ,又因为 x ? [ ? , ] ,所以 ? ? x ? ,此时 2 2 2 2 6 2 1 ? ? 1 函数单调递增,由 f ' ( x) ? ? sin x ? 0 ,解得 sin x ? ,又因为 x ? [ ? , ] ,所以 2 2 2 2
【解析】 因为 sin x 0 ?

?

6

?x?

?

2

,此时函数单调递减,所以①③正确,选 A.

12、(2012 青岛二模)若 tan ? ? 2, 则 sin ? cos ? ? 【答案】 【解析】

.

13、(2012 青岛 3 月模拟)将函数 y ? sin( x ? 倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移

sin ? cos ? tan ? 2 2 ? ? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 4 ? 1 5 ?
3

2 5

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2

1 ? A. y ? sin( x ? ) 2 3

B. y ? sin(2 x ?

?
6

)

? 个单位,则所得函数图象对应的解析式为 3 1 1 ? C. y ? sin x D. y ? sin( x ? ) 2 2 6

14、 (2012 日照 5 月模拟)要得到函数 y ? 3 cos( 2 x ? 的图象 (A)沿 x 轴向左平移 (C)沿 x 轴向左平移 答案: 解析: y ? 3 cos( 2 x ?

?
4

) 的图象,可以将函数 y ? 3 sin 2 x

? 个单位 4

? 个单位 8

(B)沿 x 向右平移 (D)沿 x 向右平移

? 个单位 4

? 个单位 8

?
4

) ? 3 sin[

?

? (2 x ? )] ? 3 sin( 2 x ? ) ? 3 sin 2( x ? ).选A. 2 4 4 8

?

?

?

15、(2012 泰安一模)函数 f ?x ? ? A sin??x ? ? ? ( A, ? , ? 为常数,A>0, ? >0)的部

分图象如图所示,则 f ?

?? ? ? 的值是 ?6?



.

16、(2012 烟台二模)已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2 ? 的值 为 A.

4 5

B.

4 3

C.

3 4

D.

2 3

答案:B 解析:依题意,得: tan ? =

1 2 tan ? 4 1 , tan 2? ? = = 。 2 1 3 2 1 ? tan ? 1? 4

17、(2012 烟台二模)函数 y=x+sin x , x ? ???, ?? 的大致图象是

答案:C 解析: 函数 y 是非奇非偶函数, 故排除 B、 D; 又因为 x ? ???, ?? 时 x+sin|x|≥x 恒成立, 所以,其图象应在 y=x 的上方。A 错,选 C。 18、 (2012 滨州二模) 在△ABC 中* 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 已知 a2+b2=6abcosC, 且 sin2c=2sinAsinB。 (I)求角 C 的大小; (II)设函数 f(x)=sin ? ? x ?

? ?

??

? - cos?x ,且 f(x)图象上相邻两最高点间的距 6?

离为 ? ,求 f(A)的取值范围。

19 、( 2012 德州二模)在 △ ABC 中*角 A , B , C 的对边分别是 a 、 b 、 c *已知向量

m ? (cos A , cosB ),n ? ( a ,2 c? b ), 且 m//n.
(I)求角 A 的大小; (II)若 a ? 4, 求?ABC 面积的最大值。 解析:(I) 因为 m//n.,所以, a cos B ? (2c ? b) cos A ? 0 ,由正弦定理,得:

sin A cos B ? (2sin C ? sin B) cos A ? 0 ,
所以 sin A cos B ? 2sin C cos A ? sin B cos A ? 0 即 sin A cos B ? sin B cos A ? 2sin C cos A , 所以,sin(A+B)=2sinCcosA 又 A+B+C= ? ,所以,sinC=2sinCcosA*因为 0<C< ? ,所以 sinC>0, 所以 cosA=

1 ? ,又 0<A< ? ,所以 A= 。 2 3
2 2 2

(2)由余弦定理,得: a ? b ? c ? 2bc cos A ,所以 16= b ? c ? bc ? bc ,所以 bc≤16,
2 2

当且仅当 b=c=4 时,上式取“=“,

所以,△ABC 面积为 S=

1 bc sin A ≤4 3 , 2

所以△ABC 面积的最大值为 4 3

20、(2012 德州一模)已知函数 f ( x ) ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

1 ( x?R) 2

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 [0,

π ] 上的值域; 2

(Ⅱ)在 ? ABC 中* 角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 又 f( 的面积等于 3,求边长 a 的值.

A ? 4 ? ) ? ,b ? , 2 ? A B C 2 3 5

21 、 ( 2012 济 南 3 月 模 拟 ) 在 △ ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 且 满 足 cos

A 2 5 , AB AC =3. ? 2 5
(1) 求△ABC 的面积; (2) 若 c=1,求 a、sinB 的值.
2

?2 5? 3 【答案】解:(1) cosA=2? ? ? 5 ? ? -1= 5 ,??????????????????2 分 ? ? 3 而 AB AC ?| AB | | AC | cosA= bc=3,∴bc=5????????4 分 5 4 又 A∈(0,π ),∴sinA= ,???????????????5 分 5 1 1 4 ∴S= bcsinA= ?5? =2. ???????????????6 分 2 2 5
(2) ∵bc=5,而 c=1,∴b=5.???????????????????8 分 ∴ a 2 ? b 2 ? c 2 -2bccosA=20,a= 2 5 ????????????10 分

4 b sin A a b 5 ? 2 5 .?????12 分 又 ,∴sinB= ? ? a 5 sin A sin B 2 5 5?

22 、 ( 2012 济 南 三 模 ) 已 知 函 数 f ( x) ?

3a s i n x ? b c o sx (?

?
3

) 的图象经过点

? 1 7? ( , ), ( ,0). 3 2 6
(1)求实数 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的周期及单调增区间.

23、(2012 莱芜 3 月模拟)已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c,向量

m ? (a ? c, b ? a) ,

n ? (a ? c, b) ,且 m ? n .
(Ⅰ)求角 C 的大小;
2 (Ⅱ)若向量 s ? (0,?1), t ? (cos A,2 cos

B ) ,试求 s ? t 的取值范围. 2

解:(Ⅰ)由题意得 m ? n ? (a ? c, b ? a) ? (a ? c, b) ? a2 ? c2 ? b2 ? ab ? 0 ,…2 分
2 2 2 即 c ? a ? b ? ab .

……3 分.

由余弦定理得 cosC ?

a2 ? b2 ? c2 1 ? , 2ab 2

? 0 ? C ? ? ,? C ?

?
3

.

????????5 分

24 、 ( 2012 青 岛 二 模 ) 已 知 向 量 m ? (sin x, 3 sin x), n ? (sin x,? cos x) , 设 函 数

f ( x) ? m ? n ,若函数 g ( x) 的图象与 f ( x) 的图象关于坐标原点对称.
(Ⅰ)求函数 g ( x) 在区间 ??

? ? ?? , ? 上的最大值,并求出此时 x 的值; ? 4 6?
3 , 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中* a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, A 为锐角 , 若 f ( A) ? g ( A) ?

b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求边 a 的长.
解:(Ⅰ)由题意得: f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ?
2

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2

1 ? ? sin(2 x ? ) 2 6 1 ? 所以 g ( x ) ? ? ? sin( 2 x ? ) 2 6 ?
因为 x ? ??

?????????????????????2 分 ??????????????????3 分

? ? 2? ? ? ? ? ?? , ? ,所以 2 x ? ? ?? , 6 ? 3 6? ? 4 6? ?
?
6 ??

所以当 2 x ?

?
2

即x ??

?
6

时,函数 g ( x) 在区间 ??

1 ? ? ?? , ? 上的最大值为 . 2 ? 4 6?

?????????????????6 分

25、(2012 青岛 3 月模拟)已知锐角 ?ABC 中内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,

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