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四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试试题 数学(文)

时间:2014-10-30


绝密★启用前 绵阳南山中学 ? 绵阳南山中学实验学校

绵阳市“一诊”模拟考试试题
数 学(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,满分 150 分,考试 时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干

净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x y ? ln(3x ?1) , B ? y y ? sin(x ? 2) ,则 ?CU A? ? B ? A. ? , ? ??

?

?

?

?

?1 ?3

? ?

B. ? 0, ?

? 1? ? 3?

C. ? ? 1, ?

? ?

1? 3?

D. ?

2.若角 ? 的终边在直线 y ? ?2 x 上,且 sin ? ? 0 ,则 cos? 和 tan ? 的值分别为 A.

5 , ?2 5

B. ?

5 1 ,? 5 2

C. ?

2 5 ,?2 5

D. ?

5 , ?2 5

3.设 a, b 为平面向量,则 “a ? b ? A.充分不必要条件

“a // b” 是 的 a ? b”
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件

4.已知等差数列 ?a n ?,且 a4 ? a10 ? 12 ? a7 ,则数列 ?a n ?的前 13 项之和为 A. 24 B. 39 C. 52 D. 104

?x ? y ? 2 ? , 1? ,若点 M ?x, y ? 为平面区域 ? x ? 1 5.已知 O 是坐标原点,点 A?? 1 上的一个动点,则 ?y ? 2 ?

OA ? OM 的取值范围是
第 -1- 页 共 8 页

A. ?? 1 , 0?

B. ?0, 2?

C. ?0, 1?

D. ?? 1 , 2?

6.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 1 ,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2PM ,则

AP? PB ? PC ?
A.

?

?

4 9

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

4 9

7.已知函数 f ( x) ? Asin(?x ? ? ) A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 的图象与直线 y ? b?0 ? b ? A? 的三个

?

?

4、 8 ,则 f ( x) 的单调递增区间为 相邻交点的横坐标分别是 2、
A. ?4k ,4k ? 3??k ? Z ? C. ?4k ,4k ? 5??k ? Z ? B. ?6k ,6k ? 3??k ? Z ? D. ?6k ,6k ? 5??k ? Z ?

8.已知函数 y ? f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数, 且当 x ? (??, 0) 时 xf ?( x) ? f (? x) 成立 (其中 f ?( x)是f ( x) 的导函数) , 若 a ? 3 f ( 3) ,b ? f (1) ,c ? (log 2 的大小关系是 A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. a ? c ? b
3 9.设定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f (1 ? x) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? x ,若方

1 1 ) f (log 2 ) 则 a, b, c 4 4

程 f ( x) ? cos A. ?? ?,?2?

?
2

x ? a ? 0(a ? 0) 无解,则实数 a 的取值范围是
B. ?? ?,?2? C. ?? ?,?1? D. ?? ?,?1?
?

10. 已知正方形 ABCD 的边长为 1, P 、 Q 分别为边 AB , DA 上的点,若 ?PCQ ? 45 ,则

?APQ 面积的最大值是
A. 2 ? 2 B. 3 ? 2 2 C.

1 8

D.

1 4

第 Ⅱ 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.化简求值: ( 2 2 ) 3 ? lg
4

1 ? lg 25 =________. 4

12.已知函数 f(x)的图象是两条线段(如图,不含端点),则 f(f( ))=_______. 13.已知 sin ? ? cos ? ?

1 3

1 ?? ? ,0 ? ? ? ? ,则 sin ? ? 2? ? ? ________. 5 ?2 ?
第 -2 - 页 共 8 页

a2 ? b2 14.已知实数 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 1 ,那么 的最小值为________. a?b
15.设 x ? R ,用 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,称函数 f ( x) ? ?x? 为高斯函数,也叫取整函数. 现有下列四个命题: ①高斯函数为定义域为 R 的奇函数;

“x ? y” ② 是 的必要不充分条件; “?x? ? ?y? ”

?1? ③设 g ( x) ? ? ? ,则函数 f ( x) ? ?g ( x)? 的值域为 ?0,1? ; ?2?
④方程 ?

x

? x ? 1? ? x ? 1? 的解集是 ?x 1 ? x ? 5?. ? ? 4 ? ? ? ? 2 ? ?

其中真命题的序号是________. (写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? a ,且当 x ? ?0,

? ?? 时, ? 6? ?

f ( x) 的最小值为 2 .
(Ⅰ)求 a 的值,并求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)先将函数 y ? f ( x) 的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的

1 ,再将所得图象 2
? ?? ? ?

向右平移 根之和.

个单位长度,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求方程 g ( x) ? 2 在区间 ?0, ? 上所有 2 12

?

17.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? bx 为偶函数,数列 ?an ? 满足 an?1 ? f (an ? 1) ? 1,
2

且 a1 ? 3 , an ? 1 . (Ⅰ)设 bn ? log2 (an ? 1) ,证明:数列 ?bn ?为等比数列; (Ⅱ)设 cn ? n?2bn ? 1? ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Sn . 18.(本题满分 12 分)如图,在半径为 3 ,圆心角为 60 的扇形的弧上 任取一点 P ,作扇形的内接矩形 PNMQ ,使点 Q 在 OA 上,点 N , M

A P Q

B

N

M

O

第 -3- 页 共 8 页

在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y , ?POB ? ? , (Ⅰ)将 y 表示成 ? 的函数关系式,并写出定义域; (Ⅱ) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 若 y 取最大值时 A ? ? ?

?
12

, 且 a ? 10 ,

cos B ?

2 5 , D 为 AC 中点,求 BD 的值. 5
1 3
x

19.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( ) , x ? [ ?1,1] ,函数 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? 2af ( x) ? 3 的 最小值为 h(a) . (Ⅰ)求 h(a) ; (Ⅱ)是否存在实数 m, n 同时满足下列条件: ①m ? n ? 3; ②当 h(a) 的定义域为 [n, m] 时,值域为 [n2 , m2 ]? 若存在,求出 m, n 的值;

若不存在,说明理由. 20.(本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? a 2 ?a ? 0? 的单调递减区间是 ?1,2? 且 满足 f (0) ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ) 对任意 m ? ?0,2?, 关于 x 的不等式 f ( x) ? 求实数 t 的取值范围。 21.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ?1), g ( x) ? e .
x

1 3 m ? m ln m ? mt ? 3 在 x ? ?2,??? 上有解, 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)过原点分别作函数 f ( x) 与 g ( x) 的切线,且两切线的斜率互为倒数,证明: a ? 0 或

1? a ? 2;

2 4 8 (Ⅲ)求证: (1 ? )(1 ? )(1 ? ) 2?3 3? 5 5? 9
自然对数的底).

2n [1 ? n?1 ] ? e (其中 n ? N * , e 是 n (2 ? 1)(2 ? 1)

第 -4- 页 共 8 页

绵阳市“一诊”模拟考试试题 数 学(文史类)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.B 三、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 0 12.

1 3

13. ?

7 25

14. 1

15. ②③④

三、解答题:(本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.解: (Ⅰ)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? a ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? a ? 1 ???2 分

? ?? ? ? ? ?? ? x ? ?0, ?,? 2 x ? ? ? , ? ? f ( x) min ? a ? 2 ? 2 ,故 a ? 0 ???4 分 6 ?6 2? ? 6?
则 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

解得函数 f ( x) 的单调递增区间为 ?k? ? (Ⅱ)由已知得 g ( x ) ? 2 sin( 4 x ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ? ???6 分

? 1 ) ? 1,又由 g ( x) ? 2 得 sin( 4 x ? ) ? ???9 分 6 6 2 ? ? 5? k? ? k? ? ? 或 ? ?k ? Z ? 则有 4 x ? ? 2k? ? 或2k? ? 进而解得 x ? 6 6 6 2 12 2 4

?

? ? ? ?? ? x ? ?0, ?,? x ? 或 12 4 ? 2?
2

故所有根之和为

?
12

?

?
4

?

?
3

???12 分

17.解: (Ⅰ)? 函数 f ( x) ? x ? bx 为偶函数,?b ? 0, ? f ( x) ? x , ???2 分
2

?an?1 ? ?an ?1? ?1 , ?an?1 ?1 ? ?an ?1? ?log2 ?an?1 ?1? ? 2 log2 ?an ?1?
2 2

?

bn?1 log2 (an?1 ? 1) 2 log2 (an ? 1) ? ? ?2 bn log2 (an ? 1) log2 (an ? 1)
n?1

? 数列 ?bn ?为等比数列 ???5 分
n

(Ⅱ)? a1 ? 3,?b1 ? log2 2 ? 1,?bn ? 2 , ?cn ? n2 ? n 设 An ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3? 2 ? ? ? ? ? n ? 2
2 3 n

???7 分

?2 An ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ? ? ? ? n ? 2n?1 ?? An ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2
? An ? (n ?1)2n?1 ? 2 ???10 分
第 -5- 页 共 8 页

设 Bn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?

n(n ? 1) 2

? S n ? (n ? 1)2 n ?1 ? 2 ?

n(n ? 1) ???12 分 2

18.解:(Ⅰ)因为 PN ? 3 sin ? , ON ? 3 cos ? , OM ? 所以 MN ? ON ? OM ? 3 cos? ? sin ?

3 ? 3 sin ? ? sin ? , 3

故 y ? 3sin ? ( 3 cos? ? sin ? ) ???3 分

即 y ? 3sin ? cos ? ? 3 sin 2 ? ? 3 sin(2? ?

?
6

)?

? 3 , (? ? (0, )) ???5 分 3 2

(Ⅱ) ? ? (0,

?
3

) ? ?=

? ? 2 3 ? ? 时 ymax ? ???7 分 ? cos A ? ? A ?? ? 12 4 2 2 6

由 cos B ?

2 5 , 可得 sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ? ( 2 5 ) 2 ? 5 . 5 5 5

所以 cosC ? cos?? ? ? A ? B?? ? ? cos? A ? B? ? ??cos A cos B ? sin A sin B?

? 2 2 5 2 5? 10 ??? ? ?? ? ? ? ? 2 5 2 5 ? 10 ? ?
由正弦定理得

???9 分

b?

a sin B ?? 2 sin A

所以

CD ?

1 ?BCD AC ? 1 2 ,故在 中,

由余弦定理得 故

BD 2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2 BC ? CD cos C ?
???12 分

?

10

?

2

? 10 ? ? 12 ? 2 10 ? ? ? ? 10 ? ? ? 13 ? ?

BD ? 13

19.解: (Ⅰ)∵ x ?[?1,1] ∴ f ( x ) ? ( ) ? [ ,3]
x

1 3

1 3

设 t ? ( ) ? [ ,3]
x

1 3

1 3

则 y ? ? (t ) ? t ? 2at ? 3 ? (t ? a) ? 3 ? a
2 2

2

???2 分

①当 a ? ②当

1 1 28 2a ? ; 时, ymin ? h(a ) ? ? ( ) ? 3 3 9 3

1 ? a ? 3 时, ymin ? h(a) ? ? (a) ? 3 ? a2 ; 3

③当 a ? 3 时, ymin ? h(a) ? ? (3) ? 12 ? 6a;
2a 1 ? 28 ? 9 ? 3 ,a ? 3, ? ∴ ???6 分 1 ? h ( a ) ? ?3 ? a 2 , ? a ? 3, 3 ? ?12 ? 6 a, a ? 3. ? ?
第 -6- 页 共 8 页

(Ⅱ)假设存在 m, n 满足题意.∵ m ? n ? 3, h(a) ? 12 ? 6a 在 (3, ??) 上是减函数,

?12 ? 6m ? n 2 , ① ? 又∵ h(a) 的定义域为 [n, m] 时,值域为 [n , m ] , ∴ ? 2 ? ?12 ? 6n ? m , ②
2 2

???10 分

②-①,得 6(m ? n) ? (m ? n)(m ? n) ,即: m ? n ? 6, 与m ? n ? 3矛盾, ∴满足题意的 m, n 不存在???12 分 20.解: (Ⅰ)由已知,得 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c , ∵函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? a 2 的单调递减区是 ?1,2? ,∴ f ?( x) ? 0 的解是 1 ? x ? 2 . 所以 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 0 的两个根分别是 1 和 2 ,且 a ? 0 , 由 f (0) ? a 2 ? 1 ,且 a ? 0 ,可得 a ? 1 . ???2 分

9 ? ? f ' (1) ? 3 ? 2b ? c ? 0 9 2 ?b ? ? 3 又? 得? 2 ? f ( x) ? x ? x ? 6 x ? 1 ???5 分 2 ? f ' (2) ? 12 ? 4b ? c ? 0 ?c ? 6, ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ?( x) ? 3x 2 ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)(x ? 2) ,∵当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x) 在 ?2, ? ? ?单调递增, x ? ?2, ? ?? 时, f ( x) min ? f (2) ? 3 ???7 分

1 3 m ? mln m ? mt ? 3 在 x ? ?2, ? ?? 上有解, 2 1 3 1 3 需 m ? mln m ? mt ? 3 ? f ( x) min ,? m ? m ln m ? mt ? 3 ? 3, 2 2 1 mt ? m3 ? m ln m 对任意 m ? ?0,2?恒成立, 2 1 即 t ? m 2 ? ln m 对任意 m ? ?0,2?恒成立. ???9 分 2
要使 f ( x) ? 设

h(m) ?

1 2 m ? ln m 2



m ? ?0,2?





t ? h(m) m

i

,

n

h ' ( m) ? m ?

1 m 2 ? 1 (m ? 1)( m ? 1) ? ? , m m m
由 m ? ?0,2?,列表如下:

令 h?(m) ? 0 得 m ? ?1 ,
m

?0,1?
- ↘

1

?1,2?
+ ↗

h?(m)
h( m)

0

极小值

第 -7- 页 共 8 页

∴当 m ? 1 时, h(m) min ? h(m) 极小值 ? 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 1 ,? t ? 2 2

?????13 分

1 1 ? ax ( x ? 0 ) ?????2 分 ?a ? x x

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,增区间是 (0,??) ; ②当 a ? 0 时,增区间是 (0, ) ,减区间是 ( ,??) ;?????4 分 (Ⅱ)设 g ( x) 的切点 ( x1 , y1 ) , f ( x) 的切点 ( x 2 , y 2 ) ,

1 a

1 a

y1 ? ? x1 ? 1 x1 ? g ?( x1 ) ? e ? x ? 1 得 ? y1 ? e ? ? y ? e x1 ?k ? e ? ? 1
?

1 1 y ? ?a ? ? 2 ? f ?( x2 ) ? x2 e x2 , ? ? y ? ln x ? a( x ? 1) 2 2 ? 2

ln x2 ? a( x2 ? 1) 1 1 1 1? a ?a ? , ? ln x2 ? 1 ? a , ? x2 ? e 代 入 ?a ? 得 x2 e x2 x2

e a ? ae ? 1 ? 0 ,令 p(a) ? e a ? ae ? 1 ?????7 分

p?(a) ? e a ? e , p(a) 在 (??,1) 递减,在 (1,??) 上递增.当 a ? (??,1) 时,因为 p(0) ? 0 ,
2 所以 a ? 0 ;当 a ? (1,??) 时, p (1) ? ?1 ? 0 , p(2) ? e ? 2e ? 1 ? 0 ,所以 1 ? a ? 2 ,

综上 a ? 0 或 1 ? a ? 2

?????9 分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知:当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? ( x ? 1) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调 递减,∴ f ( x) ? ln x ? ( x ? 1) ? f (1) ? 0 即: ln x ? ( x ?1) 在 (0, ??) 上恒成立

∴ ln( x ? 1) ? x 在 (0, ??) 上恒成立?????11 分



2n 1 1 ? 2( n?1 ? n ) n ?1 n (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1
2 4 8 )(1 ? )(1 ? ) 2?3 3? 5 5? 9 [1 ?



ln{(1 ?

2n ]} (2 n ?1 ? 1)(2 n ? 1) ? ln[1 ? 2n ] (2 n ?1 ? 1)(2 n ? 1)

? ln(1 ? ?

2 4 8 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? )? 2?3 3? 5 5? 9

2 4 8 2n ? ? ? ? n ?1 2 ? 3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2 n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( n ?1 ? n )] ? 2[ ? n ] ? 1 2 3 3 5 5 9 2 ?1 2 ?1 2 2 ?1 n 2 4 2 故得证: (1 ? )(1 ? ) [1 ? n?1 ] ? e ?????14 分 2?3 3? 5 (2 ? 1)(2n ? 1)
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