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例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换


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例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换 李进 山东省邹平县第一中学 计算一个电路的电阻,通常从欧姆定律出发,分析电路的串并联关系。 计算一个电路的电阻,通常从欧姆定律出发,分析电路的串并联关系。实 际电路中,电阻的联接千变万化,我们需要运用各种方法, 际电路中,电阻的联接千变万化,我们需要运用各种方法,通过等效变

换将复 杂电路转换成简单直观的串并联电路。 杂电路转换成简单直观的串并联电路。本节主要介绍几种常用的计算复杂电路 等效电阻的方法。 等效电阻的方法。
1、等势节点的断接法 、 在一个复杂电路中,如果能找到一些完全对称的点 (以两端连线为对称轴) ,那么可以 将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开 (即去掉) ,也可以用导线或电阻 或不含电源的支路将等电势节点连接起来,且不影响电路的等效性。

这种方法的关键在于找到等势点,然后分析元件间的串并联关系。 这种方法的关键在于找到等势点,然后分析元件间的串并联关系。常用于 由等值电阻组成的结构对称的电路。 由等值电阻组成的结构对称的电路。
【例题 1】在图 8-4 甲所示的电路中,R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ,试求 A、B 两端的等 例题 效电阻 RAB 。 模型分析:这是一个基本的等势缩点的事例,用到的是物理常识是:导线是等势体, 模型分析 用导线相连的点可以缩为一点。将图 8-4 甲图中的 A、D 缩为一点 A 后,成为图 8-4 乙图。

3 R 。 8 【例题 2】 例题 在图 8-5 甲所示的电路中,R1 = 1? ,R2 = 4? ,R3 = 3? ,R4 = 12? ,R5 = 10? ,试求 A、B 两端的等效电阻 RAB 。 模型分析:这就是所谓的桥式电路,这里先介绍简单的情形:将 A、B 两端接入电源, 模型分析 并假设 R5 不存在,C、D 两点的电势相等。 因此,将 C、D 缩为一点 C 后,电路等效为图 8-5 乙
答案:RAB =

对于图 8-5 的乙图,求 RAB 是非常容易的。事实上,只要满足 式电路平衡。

R1 R 3 = 的关系,该桥 R2 R4

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15 ? 。 4 【例题 3】 在如图所示的有限网络中,每一小段导体的电阻均为 R ,试求 A、B 两点之 间的等效电阻 RAB 。
答案:RAB =

【例题 4】用导线连接成如图所示的框架,ABCD 是正四面体,每段导线的电阻都是 1 ? 。求 AB 间的总电阻。 A 

C B 

D 

2、电流分布法 、 设有电流 I 从 A 点流入、B 点流出,应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电 压的思想, (即基耳霍夫定理) ,建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组,解出各支 路 电 流 与 总 电 流 I 的 关 系 , 然 后 经 任 一 路 径 计 算 A 、 B 两 点 间 的 电 压 U AB , 再 由

R AB =

即可求出等效电阻。 【例题 1】 根电阻均为 r 的电阻丝接成如图所示的网络,试求 7 出 A、B 两点之间的等效电阻 R AB 。 A

U AB I

B

【例题 2】10 根电阻均为 r 的电阻丝接成如图所示的网络,试求出 A、B 两点之间的等 效电阻 R AB 。 【例题 3】 根电阻均为 r 的电阻丝接成如图所示的网络,C、D 之间是两根电阻丝并联 8 而成,试求出 A、B 两点之间的等效电阻 R AB 。 C B

A

D

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电流叠加原理:直流电路中,任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分 电流叠加原理 别作用时,在此支路中产生的电流的代数和。所谓电路中只有一个电源单独作用,就是假 设将其余电源均除去,但是它们的内阻仍应计及。 【例题 4】“田”字形电阻网络如图,每小段电阻为 R,求 A、B 间等效电阻。

B

A

3、Y—△变换法 、 △
在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的 Y 型 或△,如图所示,有时把 Y 型联接代换成等效的 1 I △型联接,或把△型联接代换成等效的 Y 型联 1 R1 接,可使电路变为串、并联,从而简化计算,等 效代换要求 Y 型联接三个端纽的电压

R2
O R3 I3 3

2 I2

1

I1

R12 R31
I3 3

2

I2

R23

U12、U 23、U 31 及流过的电流 I1、I 2、I 3 与
△型联接的三个端纽相同。 ⑴将 Y 型网络变换到△型电路中的变换式:

R12 = R31 = R23 =

R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R3 R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R2 R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R1
12 31

⑵将△型电路变换到 Y 型电路的变换式:

R =
1

RR R +R +R
12 23

31

R12 R23 R12 + R23 + R31 R31 R23 R3 = R12 + R23 + R31 R2 =
以上两套公式的记忆方法: 以上两套公式的记忆方法: △→Y:分母为三个电阻的和,分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。 Y→△:分子为电阻两两相乘再相加,分母为待求电阻对面的电阻。 △ 当 Y 形联接的三个电阻相等时,与之等效的△形联接的三个电阻相等,且等于原来的

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三倍;同样,当△联接的三个电阻相等时,与之等效的 Y 形联接的三个电阻相等,且等于 △ 原来的 1/3。 【例题 1】 对不平衡的桥式电路,求等效电阻 RAB 。 提示:法一:“?→Y”变换; 法二:基尔霍夫定律

【例题 2】试求如图所示电路中的电流 I。(分别应 两种变换方式计算)

1
I

1′



1? 6? 6? 4V 2′ 1? 3′ 1? 6? 3 2

【课堂练习】分别求下图中 AB、CD 间等效电阻。( 答案:0.5R; RPQ=4?)

4、无限网络 、



x = a + a + a + a + …,

(a>0)

在求 x 值时,注意到 x 是由无限多个

a 组成,所以去掉左边第一个 a + 对 x 值毫 x= a+x
,即

无影响,即剩余部分仍为 x,这样,就可以将原式等效变换为

x 2 ? x ? a = 0 。所以
x= 1 + 1 + 4a 2

这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路,那就是:无穷大和有限数的和仍为无 无穷大和有限数的和仍为无 穷大。 穷大 ⑴一维无限网络 【例题 1】在图示无限网络中,每个电阻的阻值均为 R ,试求 A、B 两点间的电阻 RAB 。

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解法一:在此模型中,我们可以将“并联一个 R 再串联一个 R”作为电路的一级,总电路 解法一 是这样无穷级的叠加。在图 8-11 乙图中,虚线部分右边可以看成原有无限网络,当它添加 一级后,仍为无限网络,即 RAB∥R + R = RAB 解这个方程就得出了 RAB 的值。 答案:RAB =
1+ 2 5

R 。

解法二:可以,在 A 端注入电流 I 后,设第一 法二 级的并联电阻分流为 I1 ,则结合基尔霍夫第一定 律和应有的比例关系,可以得出相应的电流值如 图 8-12 所示 对 图中的 中间回 路,应用 基尔霍 夫第二 定 律,有 (I ? I1)R + (I ? I1)
5 ?1 I 2 5 ?1 1+ 5 IR = IR 2 2 1+ 5 2

I1 R ? I 1R = 0 I

解得 I1 =

很显然 UA ? IR ? I1R = UB 即 UAB = IR +

最后,RAB =

U AB I

=

R 。

【例题 2】如图所示,由已知电阻 r1、r2 和 r3 组成的无穷长梯形网络,求 a、b 间的 等效电阻 Rab.(开端形) (开端形)

【例题 3】如图所示,由已知电阻 r1、r2 和 r3 组成的无穷长梯形网络,求 a、b 间的 等效电阻 Rab.(闭端形) (闭端形

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⑵双边一维无限网络 【例题 4】 如图所示,两头都是无穷长,唯独中间网孔上缺掉一个电阻 r2,求 e、f 之间 的等效电阻。(中间缺口形) (中间缺口形)

【例题 5】 如图所示,两头都是无穷长,唯独旁边缺一个电阻 r2,求 f、g 之间的等效电 阻.(旁边缺口形) (旁边缺口形)

【例题 6】 如图所示,求 g、f 间的等效电阻。 完整形) (完整形)

小结:一维无限网络利用网络的重复性。 小结 ⑶二维无限网络 【例题 7】图为一个网格为正方形的平面无穷网络,网络的每一个节点都有四个电阻与 上下左右四个节点分别相联,每个电阻大小均为 R,由此,按左右、上下一直延伸到无穷 远处.A 和 B 为网络中任意两个相邻节点,试求 A、B 间的等效电阻 RAB. 模型分析:如图,设有一电流 I 从 A 点流入,从无穷远处流出.由于网络无穷大,故网 模型分析 络对于 A 点是对称的,电流 I 将在联接 A 点的四个电阻上平均分配.这时,电阻 R (指 A、 B 两节点间的电阻)上的电流为 I/4,方向由 A 指向 B. 同理,再设一电流 I 从无穷远处流处,从节点 B 流出.由于网络无穷大,B 也是网络 的对称点,因此在电阻 R 上分得的电流也为 I/4, 方向也是由 A 指向 B. 将上述两种情况叠加,其结果将等效为一个从 节点 A 流入网络,又从节点 B 流出网络的稳恒电流 I,在无穷远处既不流入也不流出.每个支路上的 电流也是上述两种情况下各支路电流的叠加.因 此,R 电阻上的电流为 I/2.所以 A、B 两节点间的 电势差为:

【例题 8】对图示无限网络,求 A、B 两点间的电阻 RAB 。

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【例题 9】有一个无限平面导体网络,它由大小相同的正六边形网 眼组成,如图所示。所有六边形每边的电阻为 R0 ,求:

3 4

2
c

1

(1)结点 a、b 间的电阻。 (2)如果有电流 I 由 a 点流入网络,由 g 点流出网络,那么流过 5 de 段电阻的电流 Ide 为多大。

b9 d e g 8 6 7

a

解: (1)设有电流 I 自 a 点流入,流到四面八方无穷远处,那么必有 I 流向 c,有 I

/ 3 电流由 a

/ 6 电流由

c 流向 b。再假设有电流 I 由四面八方汇集 b 点流出,那么必有

I / 6 电流由 a 流向 c,有 I / 3 电流由 c 流向 b。
将以上两种情况综合,即有电流 I 由 a 点流入,自 b 点流出,由电流叠加原理可知

I I I + = 3 6 2 (由 a 流向 c) I I I I cb = + = 3 6 2 (由 c 流向 b) I ac =
因此,a、b 两点间等效电阻

RAB =

U AB I ac R0 + I cb R0 = = R0 I I

(2)假如有电流 I 从 a 点流进网络,流向四面八方,根据对称性,可以设

应该有 因为 b、d 两点关于 a 点对称,所以

I1 = I 4 = I 7 = I A I2 = I3 = I5 = I6 = I8 = I9 = I B 3I A + 6 I B = I
′ I de = I be = 1 IA 2
B

同理,假如有电流 I 从四面八方汇集到 g 点流出,应该有

I ′′ = I
de

最后,根据电流的叠加原理可知

′ ′′ I de = I de + I de =

1 1 1 I A + I B = (3I A + 6 I B ) = I 2 6 6

⑷三维无限网络 【例题 10】假设如图有一个无限大 NaCl 晶格,每一个键电阻为 r,求相邻两个 Na 和 Cl 原子间的电阻。

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【例题 11】 在图示的三维无限网络中,每两个节点之间的导体电阻均为 R ,试求 A、B 两点间的等效电阻 RAB 。 当 A、B 两端接入电源时,根据“对称等势”的思想可知,C、D、E…各点的电势是彼此 相等的,电势相等的点可以缩为一点,它们之间的电阻也可以看成不存在。这里取后一中 思想,将 CD 间的导体、DE 间的导体…取走后,电路可以等效为图 8-13 乙所示的二维无限 网络。

2

【答案】RAB =

21

R


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