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新疆乌鲁木齐2016届高三第三次诊断性测验数学理试题 扫描版含解析


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乌鲁木齐地区 2016 年高三年级第三次诊断性测验

理科数学答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 选择题答案:ACDBA DCABC BD 1.选

A.【解析】依题意 A ? ? ??,0? ? ?3, ??? , B ? ? ?2,2? ,∴ A ? B ? ? ?2,0? .故选 A. 2.选 C.【解析】∵ z ?

1 2 1 ? 2i ?1 ? 2i ?? 3 ? 4i ? 1 2 ? ? ? ? i ,∴ z ? ? ? i .故选 C. 5 5 3 ? 4i ? 3 ? 4i ?? 3 ? 4i ? 5 5
2

3.选 D.【解析】全称命题的否定,是特称命题,只否定结论. 故选 D.
2 4.选 B.【解析】∵ ?a ? b ? ? a ,∴ ?a ? b ? ? a = 0 ,即 a ? a ? b ? a ? 2 ,

∴ cos a , b ?

a ?b 2 ? ,∴向量 a 与 b 的夹角是 .故选 B. ? a ?b 2 4
1 1 2 ? ? 1? 2 ? 2 ? .故选 A. 3 2 3

5.选 A.【解析】依题意该几何体为三棱锥,所以其体积V ?

2 6.选 D.【解析】∵ 2sin 2? ? 1 ? cos 2? ,∴ 4sin ? cos ? ? 1 ? 2cos ? ?1 ,

2 即 2sin ? cos ? ? cos ? ,当 cos ? ? 0 时, ? ? k? ?

?
2

,此时 tan ? ? ?

? ?

??

? ? ?1 , 4?

当 cos ? ? 0 时, tan ? ?

1 ?? ? ,此时 tan ? ? ? ? ? 2 4? ?

tan ? ? tan

?
4 ? 3 ,故选 D.

1 ? tan ? tan

?

4

7.选 C.【解析】第一次循环 k ? 1, c ? 2, a ? 1, b ? 2 ;第二次循环 k ? 2, c ? 3, a ? 2, b ? 3 ;第三次循环

k ? 3, c ? 5, a ? 3, b ? 5 ; 第四次循环 k ? 4, c ? 8, a ? 5, b ? 8 ; 第五次循环 k ? 5, c ? 13, a ? 8, b ? 13 ;
当 k ? 6 时,输出 c 的值为 13 .故选 C. 8.选 A.【解析】如图,取 BD 中点 P ,连结 MP, NP ,

1 1 AB ? 1 , NP ? DE ? 2 , 2 2 又∵ AC // GF ,∴ AC // NP ,∵ ?CAB ? 60? ,∴ ?MPN ? 120 ? ,
则 MP // AB, NP // DE , MP ? ∴ MN ?

? 1? MP 2 ? NP 2 ? 2 ? MP ? NP ? cos120? ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ? ? ? ? ? 7 .故选 A. ? 2?

9.选 B.【解析】由题意得 f

? x ? 的对称轴为 x

?

?
4

,当 x ?

?
4

时f

? x ? 取得最大值

a2 ?1

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2 ?a ? 1? ? a 2 ? 1 ,得 a ? 1 ,∴ f ?x ? 的最大值为 2 .故选 B. 2

10.选 C.【解析】由题意得 S n ?2 ? S n ?1 ? 2S n ,得 an ?2 ? an ?1 ? an ?1 ? 0 即 an ? 2 ? ?2an ?1 , ∴ ?an ? 从第二项起是公比为 ?2 的等比数列,∴ a7 ? a2q 5 ? 64 .故选 C. 11.选 B. 【解析】 由题意得 F1 ? ?2,0 ? , 渐近线为 y ? ? F2 ? 2,0? ,

3 3 x , x 由对称性, 不妨设 PF1 与 y ? 3 3

? x2 ? y 2 ?1 ? ? 7 3? ? 1 3? 3 ? 3 ?, 平 行 , ∴ l PF1 : y ? 得 P ?? , , ∴ PF1 ? ? ? ,? ? x ? 2? , 由 ? ? ? ? ? 4 12 ? 4 12 3 3 ? ? ? ? ?y ? ? x ? 2? ? 3 ?
???? ???? ? 15 11 3? ? ,∴ PF1 ? PF2 ? ? .故选 B. PF2 ? ? , ? ? 4 12 ? 12 ? ?
12.选 D.【解析】设 f ?x? ? ke? x ,则 f ?x ? 满足 f ??x ? ? ? f ?x ? ,而 f ?0? ? 2 ,∴ k ? 2 , ∴ f ?x? ? 2e? x ,∴ g ?x? ? 3 ln f ?x ? ? 3?? x ? ln 2? ? ?3x ? 3 ln 2 ,设 h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ,则 ∴ h?0? ? 2 ? 3 ln 2 ? 0 ,h?? 1? ? 2e ? 3 ? 3 ln 2 ? 0 , 即在 ?? 1,0? 上存在零点. h?x? ? 2e? x ? 3x ? 3 ln 2 , 故选 D. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.填 8 .【解析】依题意,在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 x ? y ? 6 , 结合图形可知,要使直线 x ? y ? 6 经过该平面区域内的点时,其在 x 轴上的截距达到最大,直线

x ? y ? m ? 0 必经过直线 x ? y ? 6 与直线 y ? 1 的交点 ? 7,1? ,于是有 7 ? 1 ? m ? 0 ,即 m ? 8 .
14.填 ?

1 5 ? 1? . 【解析】令 x ? 1 ,根据题意有 ?1 ? ? ? ,∴ n ? 6 , 64 2 ? 2?
r 6

n

T r ?1 ? C

? x?
3

6? r

6 ? 2r 1 ? ? 1 ? r 6?32 r ? ? 0 ,则 r ? 3 , ,令 ? ? 3 ? ? ? ? 2 ? C6 x 3 ? ? 2 x ? ?
3

r

r

5 ? 1? 3 ∴常数项为T 4 ? ? ? ? C 6 ?? . 2 ? 2?
15.填 3 3 . 【解析】根据题意,设等差数列 ?an ?的公差为 d ,等比数列 ?bn ?的公比为 q ,
n ?1 ∵ a1 ? 3 ,b1 ? 1 ,a2 ? b2 ,3a5 ? b3 , 解得 d ? 6 ,q ? 9 , ∴ an ? 3 ? 6 ? n ?1? ? 6n ? 3 ,bn ? 9 ,

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代入 an ? a1 ? loga bn 得 6n ? 3 ? 3 ? loga 9n ?1 ,即 loga 9 ? 6 ,∴ a ? 3 3 .
2 2 2 16.填 2 2 . 【解析】根据题意设 A a , a , B b , b , C c , c ,不妨设 a ? c ,

?

?

?

?

?

?

∵ M 为边 AC 的中点,∴ M ?

? a2 ? c 2 a ? c ? a ?c , ? ,又 BM // x 轴,则 b ? 2 , 2 ? ? 2
2 2

?a ? c ? ? 2 , a2 ? c 2 a 2 ? c 2 ?a ? c ? 2 故 BM ? ?b ? ? ? 2 2 4 4
∴ ? a ? c ? ? 8 ,即 a ? c ? 2 2 ,作 A H ? BM 交 BM 的延长线于 H .
2

故 S ?ABC ? 2S ?ABM ? 2 ?

1 a ?c BM ? AH ? 2 a ? b ? 2 a ? ? a ?c ? 2 2 . 2 2

三、解答题:第 17~21 题每题 12 分. 17.(12 分)

3sin A cos A ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin ? B ? C ? ? sin A , (Ⅰ) 依题意得, 即 3sin A cos A ? sin A ,
又 A ? ? 0, ? ? ,∴ sin A ? 0 ,故 cos A ? (Ⅱ) ∵ cos A ?

1 ; 3

…6 分

1 2 2 2 b2 ? c2 ? b c2 A c o s , ∴ sin A ? , 由a ? 3 3

a ? 3, cos A ? ,

1 2 b 2 ? c 2 ? bc ? 9 , 得, 3 3

2 2 而 b ? c ? 2bc , ∴ bc ?

27 1 , ∴ ?ABC 的 面 积 S ? bc sin A 4 2
…12 分
z
A1

1 27 2 2 9 2 ? ? ? ? , 2 4 3 4

(b ? c ? 18.(12 分)

3 3 9 2 时,取等号) ,∴ Smax ? 2 4

(Ⅰ)分别取 BC1 , B C 中点 D , G ,连结 ED , AG , ∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,且底面是正三角形, ∴ A G ? 面 BCC 1B1 ,又∵ E , D 都是中点, 显然 ED // AG ,∴ ED ? 面 BCC 1B1 ,∴ ED ? B1F , 已知 BE ? B1F , BE ? ED ? E ,∴ B1F ? 面 BEC 1 ;

C1

B1 E D O C G B F

A

y

x

…6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B1F ? 面 BEC 1 ,∴ B1F ? BC1 ,显然 S ?B1C1F ∽ S ?BB1C1 , ∴

a C 1F C 1B 1 ? ,设 BB1 ? a ,则 C 1F ? ,代入得 a ? 2 2 , 2 C 1B 1 BB 1
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建立如图坐标系 O ? xyz ,得 A ? 0, ?1,0? , B

?

3, 0, 0 , B1

?

?

3, 0, 2 2

?

,

???? ? ???? C 1 0,1, 2 2 , E 0, ?1, 2 , F 0,1, 2 ,则 B1F ? ? 3,1, ? 2 , AB ?

?

? ?

?

?

?

?

?

???? ? ????? AC 1 ? 0, 2, 2 2 ,设平面 BEC 1 的法向量为 n1 ,则 n1 ? B1 F ? ? 3,1, ?

?

?

?

? 3,1, 0? , 2 ? ,设平面 ABC 的
1

? 法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,得 ?
面角为 ? , ∴ cos ? ? 19.(12 分) (Ⅰ)茎叶图

?

3x ? y ? 0

? ? 2 y ? 2 2z ? 0

,则 n2 ? ?1, ? 3,

? ? ?

6? ? ,设二面角 A ? BC1 ? E 的平 2 ? ?

n1 ? n2 n1 n2

?

3 11 3 11 ,∴二面角 A ? BC1 ? E 的余弦值为 . 11 11

…12 分

由茎叶图得,乙的平均值大于甲的平均数,甲比乙稳定; (Ⅱ)根据题意 ? 的所有可能取值为 0,1, 2 , 则 P ?? ? 0 ? ?
1 1 C 52 2 C5 C5 5 C 52 2 , , ? P ? ? 1 ? ? P ? ? 2 ? ? , ? ? ? ? 2 2 2 C 10 9 C 10 9 C10 9

…6 分

所以 ? 的分布列为

?
P ?? ?

0
2 9

1
5 9

2
2 9
…12 分

E ?? ? ? 1
20.(12 分) (Ⅰ)依题意 k OP ?

y0 x x , k l ? ? 0 ,直线 l 方程为 y ? y 0 ? ? 0 ? x ? x 0 ? , x0 y0 y0
2 x0 y2 4 4 ,令 y ? 0 ,得 x ? 0 ? x 0 ? , ? y0 ? y0 y0 x0 x0

令 x ? 0 ,得 y ?

? 4 ? ? 4 ? x2 y2 ? ? 1, ∴A ? ,0 ? , B ? 0, ? ,椭圆 C 的方程为 2 2 x y ? ? ? ? 4 4 0 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?x0 ? ? y0 ?
-8-

?y ? c ?b ? ⑴若 x 0 ? y 0 ,则椭圆的离心率 e ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? 0 ? , a ?a ? ? x0 ?
由e ?

2

2

6 y 3 2 2 ,得 0 ? ,而 x0 ? y0 ? 4 ,∴ x 0 ? 3, y 0 ? 1 ,则 P 3 x0 3

?

3,1 ;

?

? ? 综上可得 P 点坐标为 ? 3,1? , ?1, 3 ? .
⑵若 x 0 ? y 0 ,同理可得 P 1, 3 ; (Ⅱ)直线 OP 的斜率为 k ,依题意有 k ? 0 且 k ? 1 , 直线 OP 的方程为 y ? kx ,直线 l 的方程为 y ? y 0 ? ? 令 x ? 0 ,得 y ?

…5 分

1 ?x ? x 0 ? , k

x0 ? y 0 ,令 y ? 0 ,得 x ? ky 0 ? x 0 , k

∴ A ? ky 0 ? x 0 , 0 ? , B ? 0,

? ?

x0 x2 y2 ? ? y 0 ? ,椭圆 C 的方程 ? ?1, 2 2 k ? ky ? x x ? 0 0? ? 0 ? y ? 0? ? ?k ?

? y ? kx ? x2 y2 ? ? ?1, 联立 ? 2 2 ky ? x x ? ? ? ? ? 0 0 0 ? ? y0? ? k ? ? ?
解出 x ? ?

1 1

? ky 0 ? x 0 ?
∴M ?

2

?

k

2 2

?? ?1

x 0 ? ky 0 1? k 4



?x0 ? ? ? y0? ?k ?

? x 0 ? ky 0
4 ? 1? k

,k

x 0 ? ky 0 ? ? ,N 1? k 4 ?
2

? x 0 ? ky 0 x ? ky 0 ? , ?k 0 ?? ?, 4 4 1 ? k 1 ? k ? ?
2

OM

2

? x ? ky 0 ? ? 0
1? k 4
2

?k

2

? x 0 ? ky 0 ?
1? k 4

?

1? k 2 2 x ? ky 0 ? 4 ? 0 1? k

2 2 ?y ? x0 ? y0 1? ? 0 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 4?x 0 ? y0 x0 ? ? ? ?x0 ? y0 ? x0 ? y0 ? ? x ? y0? ? 4 ? ? 4 ? 0 4 ? 4 4 x0 ? y0 ? x0 ? x0 x0 ? y0 ?y ? ? ? 1? ? 0 ? 4 x0 ? x0 ?

? ? ? ? 4 2 2 4 2 2 ?x0 ? ? ? 2x 0 y0 ? y0 2x 0 y0 ? 2 ? ? ? 4? ? 4 ?1 ? ? ? 4 ?1 ? 4 2 2 ? 4 4 4 ? x0 ? y0 ? ? ? x0 ? y0 ? ? ? x0 ? ?? y0 ? ? ? ?y ? ?x ? ? ? ? 0? ? 0? ?
-9-

? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ,∴ OM ? 2 ? 4 ?1 ? ? 4 1 ? ? 2 1 ? ? 2 1 ? ? ? ?k ? ? k ? 2 2 ? ? ? ? ? k ? ? ? ?k ?

? ? ? ? 2 ?1 ? ?, 2 ? ?1 ? ? ? ? ?k ? ?2? ? ? ?k ?
2

? ? 2 2 ? ? ?y ? x 2 ?x ? AB ? ? ky 0 ? x 0 ? ? ? 0 ? y 0 ? ? ? 0 ? y 0 ? x 0 ? ? ? 0 ? y 0 ? ? ?k ? ? x0 ? ? y0 ?x ? ? 0 ?
2 2

2 ? 4 ? ? 4 ? x2?y2 x 2 ? y0 8 4 ? ? ? ? ? ? ? 4 0 2 20 ? ?2 ?2 0 x0y0 x 0y 0 x 0y 0 x 0y 0 ?x0 ? ? y0 ?

?x 1 y ? ?1 ? ? 2 ? 0 ? 0 ? ? 2 ? ? k ? ,设 ? k ? t k ?k ? ? y0 x0 ?
S ? OM AB ? 2 1 ?
设 f ?t ? ?

?t

? 2? ,

2 t2 t4 , ? 2 t ? 2 ? 2 t ? 4 t2 ?2 t2 ?2 t2 ?2

t4 , t2 ?2

则 f ?t ? ?

t 4 ?4?4 2 4 4 ?t ?2? 2 ?t 2 ?2? 2 ?4? 2 4 ?4 ?8, 2 t ?2 t ?2 t ?2
2

当且仅当 t ? 2 ?

4 2 ,即 t ? 2 ? 2 , t ? 2 时取等号, t ?2
2

∴ f ?t ? ? 8 ,∴ S ? 4 8 ? 8 2 . 21.(12 分) (Ⅰ)由 f

…12 分

? x ? ? ae x ? bx ln x 得 f ? ? x ? ? ae x ? b ?1? ln x ? ,∴ f ? ?1? ? ae ? b

f ?1? ? ae ,则曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程为 y ? ae ? ? ae ? b?? x ?1? ,即 y ? ? ae ? b? x ? b ,又曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线为 y ? 2ex ? e ,∴ ae ? b ? 2e 且
b ? e ,则 a ? 1 , b ? e .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ? x ? ? e ? ex ln x ? ex
x x 2

…5 分

? x ? 0? ,
g ?? ? x ? ? e x ? e ? 2e …② x

∴ g ? ? x ? ? e ? e ?1 ? ln x ? ? 2ex …①,
x x

令 ? ? x ? ? e ? ex ,则 ? ? ? x ? ? e ? e ,由 ?? ? x ? ? 0 得 x ? 1 , 当 0 ? x ? 1 时, ?? ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时, ?? ? x ? ? 0 ,
- 10 -

∴函数 y ? ? ? x ? 在 ? 0,1? 上递减,在 ?1, ?? ? 上递增, ∴当 0 ? x ? 1 时, ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 ,当 x ? 1 时, ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 , ∴对 ?x ? ? 0, ??? 都有 ? ? x ? ? 0 ,即 e ? ex ? 0 …③
x

由②③知当 x ? 0 时, g ?? ? x ? ? ex ?

e e ? 2e ? 2 ex ? ? 2e ? 0 , x x

∴函数 y ? g ? ? x ? 在 ? 0, ??? 上递增, ∴当 0 ? x ? 1 时, g? ? x ? ? g? ?1? ? 0 ,当 x ? 1 时, g ? ? x ? ? g ? ?1? ? 0 , ∴函数 y ? g ? x ? 在 ? 0,1? 上递减, ?1, ?? ? 上递增, ∴当 0 ? x ? 1 时, g ? x ? ? g ?1? ? 0 …④,当 x ? 1 时, g ? x ? ? g ?1? ? 0 …⑤ 由④⑤知对 ? x ? R + 都有 g ? x ? ? 0 …⑥ 当且仅当 x ? 1 时,不等式⑥取等号,从而 g ? x ? 的最小值为 0 . 22.(10 分) …12 分

BQ BP ? (Ⅰ)连接 AQ ,CP ,∵ MN // PQ ,∴ , BN BM
即 BN ? BP ? BQ ? BM ,

N Q

M C P

A

B

∵ ?CBA ? ?PBQ ? 45? ,∴ ?ABQ ? ?MBC ,又∵ ?AQB ? ?MCB ? 90? ∴ ?AQB ∽ ?MCB ,∴

AB BM ? ,即 AB ? BC ? BQ ? BM , BQ BC

∴ AB ? BC ? BN ? BP , ∴ ?ABN ∽ ?PBC , ∴ ?BAN ? ?BPC ,又∵四边形 A BPC 是圆内接四边形, ∴ ?BPC ? 180? ? ?BAC ? 135? ,∴ ?BAN ? 135? , ∴ ?MAN ? ?BAN ? ?BAM ? 90? ,∴ NA ? AM ;

…5 分

? 的中点,∴ BP ? PC ,由(Ⅰ)得 A B ? A N , ?PBC ? ?PCB , (Ⅱ)∵ P 是 BC
∵ ?PCB ? ?PQB , ?PBC ? ?QBA ,∴ ?PQB ? ?QBA , ∴ AB // PQ ,∴ A B // MN ,∴ ?ANM ? ?AMN ? ?BAC ? 45? ,

? 的中点, AB // PQ , ∴ ?MAN 是等腰直角三角形,又∵ P 是 BC

? 中点,∴ ?ABQ ? 22.5? ,∴ ?MNB ? ?ABN ? 22.5? , ∴ Q 是 AC
∴ ?ANB ? ?ANM ? ?BNM ? 22.5? ,∴ ?ANB ? ?ABN ,
- 11 -

∴ AN ? AM ? AB ? 2 , ∴ S ABMN ? S ?ABM ? S ?NAM ? 23. (10 分) (Ⅰ)设直线 ?

1 1 ? 2 ? 2 ? sin 45? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 . 2 2

…10 分

? x ? x 0 ? t cos ? …①与抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? …②交于点 A ? x 1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,∴ y ? t sin ? ?

? ?0
把①代入②,得关于 t 的一元二次方程 t 2 sin 2 ? ? 2tp cos ? ? 2 px 0 ? 0 , 设点 A , B 所对应的参数分别为 t 1 , t 2 ,则 t 1 ? t 2 ?

?2 px 0 2 p cos ? , t 1t 2 ? …③ 2 sin ? sin 2 ?

2 ∴ x1x2 ? ? x0 ? t1 cos? ?? x0 ? t2 cos? ? ? x0 ? ? x0 cos? ??t1 ? t2 ? ? t1t2 cos2 ? …④

把③代入④得 x1x2 ? x0 ? ? x0 cos ? ??t1 ? t2 ? ? t1t2 cos
2

2

2 ? ? x0

…5 分

2 (Ⅱ)∵ OA ? OB ,∴ x 1x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,由(Ⅰ)知 y 1 y 2 ? ?x 0 ,

又 y 1 ? t1 sin ? , y 2 ? t 2 sin ? ,∴ y 1 y 2 ? t1t 2 sin 2 ? , 由③知 ? x 0 ?
2

?2 px 0 sin 2 ? ,∴ x 0 ? 2 p . 2 sin ?

…10 分

24. (10 分) (Ⅰ)∵ a, b ? R ? ,∴

a2 ? b 2 a2 ? b 2 ? ab ,∴ ? ab 2 2

∴ xy ? ab ?

a 2 ? b2 ? ab ? ab ? ab (当且仅当 a ? b 时等号成立) …5 分 2 ab ? a 2 ? b2 ? a?b 2

(Ⅱ)∵ a, b ? R ? ,∴ x ? y ? a ? b ?

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? ab ? ? 2 ab ? ? a 2 ? 2ab ? b2 2 2

? a2 ? b 2 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? 2 ab ? ? ? ab ? ? ? ab ? ? 0 ,显然成立, ? ? 2 2 2 ? ?
当且仅当

2

a2 ? b 2 2 ? ab ? ?a ? b ? ? 0 ? a ? b 时等号成立. 2

…10 分

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