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2011暑期.第3讲.函数的基本性质.学生版

时间:2016-05-16


函数的基本性质

【高考要求】

集合与映射
要求层次 重点 ①概念和图象特 征 ②熟知函数的性 质和图象 简单函数奇偶性 的判断和证明 难点 ①函数单调性的 证明和判断 ②简单函数单调 区间的求法 ①复合函数的奇 偶性判断与证明 *② 抽 象 函 数 的 奇偶性 ①复合函数的周 期性判断与证明 *② 抽 象 函 数 的 周期性<

br />
单调性

C

函数的性质

奇偶性

B

周期性

B

简单函数周期性 的判断和证明

【知识精讲】
板块一:函数的单调性 (一)知识内容
1. 函数单调性的定义:

①如果函数 f ? x ? 对区间 D 内的任意 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则称 f ? x ? 在
D 内是增函数;当 x1 ? x2 时都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 f ? x ? 在 D 内时减函数.

②设函数 y ? f ( x) 在某区间 D 内可导,若 f ? ? x ? ? 0 ,则 y ? f ( x) 为 x ? D 的增函数;若
f ? ? x ? ? 0 ,则 y ? f ( x) 为 x ? D 的减函数.

2. 单调性的定义①的等价形式:
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设 x1 , x2 ??a, b? ,那么
f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? 0 ? f ? x ? 在 ? a, b? 是增函数;

? 0 ? f ? x ? 在 ? a, b? 是减函数;

? x1 ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?? ? ? 0 ? f ( x) 在 ? a, b? 是减函数.
3. 复合函数单调性的判断:“同增异减” 4. 函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.

即若 f ( x) 在区间 D 上递增(递减)且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ( x1 , x2 ? D ) ; 若 f ( x) 在区间 D 上递递减且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 . ( x1 , x2 ? D ) . ①比较函数值的大小②可用来解不等式.③求函数的值域或最值等

(二)主要方法
1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定 义域,函数的单调区间是定义域的子集; 2.判断函数的单调性的方法有: ⑴用定义 用定义法证明函数单调性的一般步骤: ①取值:即设 x1 , x 2 是该区间内的任意两个值,且 x1 ? x2 ②作差变形:通过因式分解、配方,有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形. ③定号:确定差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (或 f ( x2 ) ? f ( x1 ) )的符号,若符号不确定,可以进行分类讨 论. ④下结论:即根据定义得出结论,注意下结论时不要忘记说明区间. ⑵用已知函数的单调性; ⑶利用函数的导数; ⑷如果 f ( x) 在区间 D 上是增 (减) 函数, 那么 f ( x) 在 D 的任一非空子区间上也是增 (减) 函数; ⑸图象法; ⑹复合函数的单调性结论:“同增异减” ; 复合函数的概念: 如果 y 是 u 的函数,记作 y ? f (u ) , u 是 x 的函数,记为 u ? g ( x) ,且 g ( x) 的值域与
f (u ) 的定义域的交集非空,则通过 u 确定了 y 是 x 的函数 y ? f [ g ( x)] ,这时 y 叫做 x 的

复合函数,其中 u 叫做中间变量, u ? f (u ) 叫做外层函数, u ? g ( x) 叫做内层函数.
注意:只有当外层函数 f (u ) 的定义域与内层函数 g ( x) 的值域的交集非空时才能构成复合函 数 f [ g ( x)] .

⑺在公共定义域内,增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减

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函数;增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数.
? ? ? b ? ? b? ? b b? b ⑻函数 y ? ax ? (a ? 0, b ? 0) 在 ? 上单调递增; 在 ?? ,0 ? ??, ? ? 或 ? , ?? ? 或? 0, ? ? ? ? ? a? ? a a? x ? ? ? a ? ?

上是单调递减.

(三)典例分析
【例1】根据函数单调性的定义,证明函数 f ( x) ? ? x3 ? 1在 (?? , ? ?) 上是减函数.

【例2】证明函数 f ( x) ? ? x 在定义域上是减函数.

【例3】讨论函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3 在 (?2, 2) 内的单调性.

【例4】函数 y ?

x2 ( x ? R , x ≠ 1 )的递增区间是( x ?1
B. x ≤ 0 或 x ≥ 2 C. x ≤ 0


D . x ≤1 ? 2 或

A. x ≥ 2
x≥ 2

【例5】求下列函数的单调区间:
⑴ y ?| x ? 1| ;⑵ y ? x ?

1 (x?0) . x

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【例6】作出函数 y ?| x2 ? x | 的图象,并结合图象写出它的单调区间.

【例7】若 f ( x) 是 R 上的减函数,且 f ( x) 的图象经过点 A(0 ,3) 和点 B(3 ,? 1) ,则不等 式 | f ( x ? 1) ? 1|? 2 的解集为(
3) A. (?? , D. (?1 ,2)


3) C. (0 ,

B. (?? ,2)

【例8】求函数 f ( x) ? x ?

1 , x ? 0 的最小值. x

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【例9】已知 f ( x) 是定义在 R ? 上的增函数,且 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) . ⑴求证: f (1) ? 0 , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ; ⑵若 f (2) ? 1 ,解不等式 f ( x) ? f (
1 )?2. x ?3

x y

【例10】已知给定函数 f ( x) 对于任意正数 x , y 都有 f ( xy ) = f ( x) ·f ( y ) ,且 f ( x) ≠0, 当 x ? 1 时, f ( x) ? 1 .试判断 f ( x) 在 (0, ? ?) 上的单调性,并说明理由.

板块二:函数的奇偶性 (一) 主要知识:
x) ? ? fx () 1. 奇函数: 如果对于函数 y ? f ( x) 的定义域 D 内任意一个 x , 都有 ? x ? D , 且 f (? , 那么函数 f ( x) 就叫做奇函数; 2 . 偶 函 数 : 如 果 对 于 函 数 y ? g ( x) 的 定 义 域 D 内 任 意 一 个 x , 都 有 ? x ? D , 都 有
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g (? x) ? g ( x) ,那么函数 g ( x) 就叫做偶函数.

3.图象特征:如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心 对称图形,反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称 图形,则这个函数是奇函数; 如果一个函数是偶函数,则它的的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形,反 之,如果一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数是偶函数.

4.奇偶函数的性质: ⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称; ⑵ f ( x) 是偶函数 ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称; f ( x) 是奇函数 ? f ( x) 的图象关于原点 对称; ⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性, 偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性. ⑷ f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (? x) ? f (| x |) . ⑸若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 .

(二)主要方法:
1.判断函数的奇偶性的方法: ⑴定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称,则为非奇非偶函数; 若对称,则再判断 f ( x) ? ? f ( x) 或 f ( x) ? f (? x) 是否定义域上的恒等式; ⑵图象法; ⑶性质法: ①设 f ( x) ,g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 , 那么在它们的公共定义域 D ? D1 ? D2 上:奇 ? 奇 ? 奇,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 奇 ? 偶,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 偶 ? 奇; ②若某奇函数若存在反函数,则其反函数必是奇函数;
2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 . f (? x)

(三)典例分析:
【例11】判断下列函数的奇偶性:
f ( x) ? ( x ? 1) 1? x 1? x

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【例12】⑴ 若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则 f (0) =__________;
? 2 ⑵ 若 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , f ( 3 ) ,且对一切实数 x 都有
f ( x? 4 ) ? f ( x,则 ) f (25) =__________;

⑶ 设 函 数 y ? f ( x) ( x ? R 且 x ? 0 ) 对 任 意 非 零 实 数 x1 , x2 满 足
f( 1 x?
2

x) ?

f ( 1 x) ?

y ? f ( x) 是___________(指明函数的奇偶性) ,则函数 f ( 2 x)

【例13】设 f ( x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? [0, ? ?) 时 , f ( x) ? x(1 ,那么当 ?3 x)
x ? (?? , 0) 时, f ( x) =_________.

【例14】 y ? f ( x) 图象关于 x ? 1 对称,当 x ≤ 1 时, f ( x) ? x2 ? 1 ,求当 x ? 1 时 f ( x) 的表 达式.

【例15】已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x) 、 g ( x) . x ?1

【例16】设函数 f ( x) ? (
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x3 ? | x | ?2 x 2 ? x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M 与 m 满足 2 x2 ? | x |

) .
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A. M ? m ? 2 C. M ? m ? 2

B. M ? m ? 4 D. M ? m ? 4

【例17】函数 f ( x) ?

a2 ? x2 为奇函数,则 a 的取值范围是( | x ? a | ?a

) .

A . ?1 ≤ a ? 0 或 0 ? a ≤ 1 C. a ? 0

B. a ≤ ? 1 或 a ≥ 1 D. a ? 0

【例18】已知 y ? f ( x) 为 (??,? ?) 上的奇函数,且在 (0,? ?) 上是增函数.
0) 上也是增函数; ⑴求证: y ? f ( x) 在 (??,

1 ⑵若 f ( ) ? 1 ,解不等式 ?1 ? f (log 4 x) ? 0 , 2

【家庭作业】
2x 在区间 (0 , 1) 上的单调性. x ?1

习题1.

试用函数单调性的定义判断函数 f ( x) ?

习题2.

判断下列函数的奇偶性并说明理由:
⑴ f ( x) ? x ? 1 ? 1 ? x ;

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⑵ f ( x) ? x2 ? 5 | x | .

习题3.

已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时 f ( x) ? x(1 ? x) .求函数 f ( x) 的解 析式.

习题4.

已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数并且 f ( x) ? g ( x) ? x ? 1 ,则求 f ( x) 与 g ( x) 的 表达式.

习题5.

设 函 数 y ? f ( x) ( x ? R 且 x ? 0) 对 任 意 非 零 实 数 x1 , x2 , 恒 有
f ( x1 x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

⑴求证: f (1) ? f (?1) ? 0 ; ⑵求证: y ? f ( x) 是偶函数;
1 ⑶已知 y ? f ( x) 为 (0 , ??) 上的增函数,求适合 f ( x) ? f ( x ? ) ? 0 的 x 的取值 2 范围.

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习题6.

函 数 f ( x) 在 R 上 有 定 义 , 且 满 足 ① f ( x) 是 偶 函 数 ; ② f (0) ? 2005 ; ③ g ( x) ? f ( x ? 1) 是奇函数;求 f (2005) 的值.

【月测备选】

习题1. 讨论函数 f ( x) ?

x (?1 ? x ? 1) 的单调性. x ?1
2

习题2.

已知函数 f ( x) ,当 x, y ? R 时恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) . ①求证:函数 f ( x) 是奇函数; ②若 f (?3) ? a ,试用 a 表示 f (24) . ③如果 x ? R ? 时 f ( x) ? 0 ,且 f (1) ? ?0.5 . 试判断 f ( x) 的单调性,并求它在区间 [?2,6] 上的最大值与最小值.

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习题3. 已知 f ( x) 是定义在 (0, ? ?) 上的增函数, 且当 n ? N* 时,f (n) ? N* ,f [ f (n)] ? 3n , 则 f (1) ? f (2) ? .

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函数的基本性质

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