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高中物理竞赛 机械振动和机械波


机械振动和机械波
§5.1 简谐振动

? ? F 如果一个物体受到的回复力 回 与它偏离平衡位置的位移 x 大小成正比,方向相反。即满
足: F回 ? ? K x 的关系,那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律,物体的

5.1.1、简谐振动的动力学特点

a?

速度 离平衡位置的位移大小成正比,方何相反。 现有一劲度系数为 k 的轻质弹簧,上端固定在 P 点,下端固定一个质 量为 m 的物体,物体平衡时的位置记作 O 点。现把物体拉离 O 点后松手, 使其上下振动,如图 5-1-1 所示。 当物体运动到离 O 点距离为 x 处时,有

F回 K ?? m m ,因此作简谐振动的物体,其加速度也和它偏

P

F回 ? F ? mg ? k ( x0 ? x) ? mg
式中 因此

x

x0 为物体处于平衡位置时,弹簧伸长的长度,且有 kx0 ? mg ,
F回 ? kx

图 5-1-1

说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移 x 成正比。因回复力指向平衡位置 O, 而位移 x 总是背离平衡位置,所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反,竖直方向 的弹簧振子也是简谐振动。 注意:物体离开平衡位置的位移,并不就是弹簧伸长的长度。 5.1.2、简谐振动的方程 由于简谐振动是变加速运动,讨论起来极不方便,为此。可 引入一个连续的匀速圆周运动,因为它在任一直径上的分运动为 A ? ?0 简谐振动,以平衡位置 O 为圆心,以振幅 A 为半径作圆,这圆就 x O 称为参考圆,如图 5-1-2,设有一质点在参考圆上以角速度 ? 作 匀速圆周运动,它在开始时与 O 的连线跟 x 轴夹角为 ? 0 ,那么在 时刻 t,参考圆上的质点与 O 的连线跟 x 的夹角就成为

? ? ?t ? ? 0 ,它在 x 轴上的投影点的坐标

图 5-1-2

x ? A cos(?t ? ? 0 )

(2)

这就是简谐振动方程,式中 ? 0 是 t=0 时的相位,称为初相: ?t ? ? 0 是 t 时刻的相位。

参考圆上的质点的线速度为 A? ,其方向与参考圆相切,这个线速度在 x 轴上的投影是

v ? ? A? cos(?t ? ?0 )
这也就是简谐振动的速度
2

(3)

参考圆上的质点的加速度为 A? ,其方向指向圆心,它在 x 轴上的投影是

a ? ? A? 2 cos(?t ? ?0 )
这也就是简谐振动的加速度 由公式(2)、(4)可得

(4)

a ? ?? 2 x
由牛顿第二定律简谐振动的加速度为

a?

F k ?? x m m k m

因此有

?2 ?

(5) 简谐振动的周期 T 也就是参考圆上质点的运动周期,所以

T?

2? m ? 2? ? w k
F ? ? kx ;

5.1.3、简谐振动的判据 物体的受力或运动,满足下列三条件之一者,其运动即为简谐运动: ①物体运动中所受回复力应满足 ②物体的运动加速度满足

a ? ?? x ;
2

0 。 ③物体的运动方程可以表示为 事实上,上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的,由它可以导出另外两个 条件②和③。 §5.2 弹簧振子和单摆 简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆,下面分别加以讨论。 5.2.1、弹簧振子 弹簧在弹性范围内胡克定律成立,弹簧的弹力为一个线性回复力, k 因此弹簧振子的运动是简谐振动,振动周期

x ? A cos(?t ? ? )

T ? 2?

m k 。

m
k

(1)恒力对弹簧振子的作用 比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子, 如果 m 和 k 都相同(如图 5-2-1),则它们的振动周期 T 是相同的,也就 是说,一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。

m

图 5-2-1

如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子,弹簧原长 l0 ,振子的质量为 m=1.0kg,电梯静止时 弹簧伸长 ?l =0.10m,从 t=0 时,开始电梯以 g/2 的加速度加速下降 t ? ?s ,然后又以 g/2 加速 减速下降直至停止试画出弹簧的伸长 ?l 随时间 t 变化的图线。 由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动,而电梯是一个有加速度的非惯性系,因此要考虑 弹簧振子所受到的惯性力 f。在匀速运动中,惯性力是一个恒力,不会改变振子的振动周期,

振动周期

T ? 2? / ? ? 2? / k m
因为 k ? m g / ?l ,所以

T ? 2? ?l g ? 0.2? (s)
因此在电梯向下加速或减速运动的过程中,振动的次数都为

n ? t / T ? ? / 0.2? ? 5(次)
当电梯向下加速运动时,振子受到向上的惯性力 mg/2,在此力和重力 mg 的共同作用下, 振子的平衡位置在

?l1 ?

1 mg / k ? ?l / 2 2 3 mg / k ? 3?l / 2 2

的地方,同样,当电梯向下减速运动时,振子的平衡位置在

?l2 ?

的地方。在电梯向下加速运动期间,振子正好完成 5 次全振动,因此两个阶段内振子的 振幅都是 ?l / 2 。弹簧的伸长随时间变化的规律如图 5-2-2 所示,读者可以思考一下,如果电 梯第二阶段的匀减速运动不是从 5T 时刻而是从 4.5T 时刻开始的,那么 ?l ~ t 图线将是怎样 的? ?l (2) 弹簧的组合 设有几个劲度系数分别 为 k1 、 k2 ?? kn 的轻弹簧串联起来,组成一个 新弹簧组,当这个新弹簧组在 F 力作用下伸长 时,各弹簧的伸长为 x1 ,那么总伸长
n

2?l

?l O
?

x ? ? xi
i ?1

各弹簧受的拉力也是 F,所以有

T

2?

t

xi ? F / ki
i ?1 故 根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数

图 5-2-2

x ? F?

n

1 ki

k ?F/x
i ?1 即得 如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组,那么各弹簧的伸 长是相同的。要使各弹簧都伸长 x ,需要的外力

1/ k ? ?

n

1 ki

m
图 5-2-3

F ? ? ki x ? x ? ki
i ?1 i ?1

n

n

根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数

k?

n F ? ? ki x i ?1

导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后,在解题中要灵活地应用,如图 5-2-3 所示的 一个振动装置,两根弹簧到底是并联还是串联?这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征: 串联的本质特征是每根弹簧受力相同; 并联的本质特征是每根弹簧形变相同。 由此可见图 5-2-3 中两根弹簧是串联。 当 m 向下偏离平衡位置 ?x 时,弹簧组伸长了 2 ?x ,增加的弹力为

F ? 2?xk ? 2?x

k1k2 k1 ? k2 k1k2 4k k ? 1 2 ?x k1 ? k2 k1 ? k2

m 受到的合外力(弹簧和动滑轮质量都忽略)

?F ? 2 ? 2?x
所以 m 的振动周期

T ? 2?

m( k1 ? k 2 ) 4k1k 2

?
=

m( k1 ? k 2 ) k1k 2

再看如图 5-2-4 所示的装置,当弹簧 1 由平衡状态伸长 ?l1 时,弹簧 2 由平衡位置伸长 了 ?l2 ,那么,由杆的平衡条件一定有(忽略杆的质量)

k1 ? ?l1a ? k2 ?l2b
?l2 ? k1 a ? ? ?l1 k2 b
b a
1

2

k2

由于弹簧 2 的伸长,使弹簧 1 悬点下降

a k a2 ?x? ? ?l2 ? 1 ? 2 ? ?l1 b k2 b
因此物体 m 总的由平衡位置下降了

k1

? k1 a 2 ? ?x1 ? ?l1 ? ?x? ? ? ? k ? b 2 ? 1? ??l2 ? 2 ?
此时 m 所受的合外力

m
图 5-2-4

?F ? k1?l1 ?

k1k2b 2 ?x1 k1a 2 ? k2b 2

所以系统的振动周期

m(k1a 2 ? k 2b 2 ) T ? 2? k1k 2b 2
(3)没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为 m A 和 m B 的两木块 A 和 B,用一根劲度系 数为 k 的轻弹簧联接起来,放在光滑的水平桌面上(图 5-2-5)。现在让两木块将弹簧压缩后 由静止释放,求系统振动的周期。 想象两端各用一个大小为 F、方向相反的力将弹簧压缩,假设某时刻 A、B 各偏离了原来 的平衡位置 x A 和 x B ,因为系统受的合力始终是零,所以应该有

mA xA ? mB xB
A、B 两物体受的力的大小

① ②

FA ? FB ? ( xA ? xB )k
由①、②两式可解得

FA ? k

mA ? mB xA mB m ? mB FB ? k A xB mB

A

B

图 5-2-5

由此可见 A、B 两物体都做简谐运动,周期都是

T ? 2?

m A mB k ( m A ? mB )

此问题也可用另一种观点来解释:因为两物体质心处的弹簧是不动的,所以可以将弹簧

mB m A ? mB l0 k l m ? m m 0 A B B 看成两段。如果弹簧总长为 ,左边一段原长为 ,劲度系数为 ;右边 mA m A ? mB l0 k 一段原长为 m A ? mB ,劲度系数为 mB ,这样处理所得结果与上述结果是相同的,
有兴趣的同学可以讨论,如果将弹簧压缩之后,不是同时释放两个物体,而是先释放一个, 再释放另一个,这样两个物体将做什么运动?系统的质心做什么运动? 5.2.2、单摆 O 一个质量为 m 的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的 O 点,小球摆动 至与竖直方向夹 ? 角,其受力情况如图 5-2-6 所示。其中回复力,即合力的 切向分力为
?

F

F回 ? mg? sin ?
当 ? <5?时,△OAB 可视为直角三角形,切向分力指向平衡位置 A,且

x sin ? ? l ,所以

B

mg

x

A

图 5-2-6

F回 ?

mg x l k? mg l )

F回 ? kx (式中

说明单摆在摆角小于 5?时可近似地看作是一个简谐振动,振动的周期为

T ? 2?

m l ? 2? k g
O
?

在一些异型单摆中, l 和 g 的含意以及值会发生变 化。 (1)等效重力加速度 g ? 单摆的等效重力加速度 g ? 等于摆球相对静止在平 衡位置时,指向圆心的弹力与摆球质量的比值。 如在加速上升和加速下降的升降机中有一单摆,当 摆球相对静止在平衡位置时,绳子中张力为 m( g ? a) , 因此该单摆的等效重力加速度为 g ? = g ? a 。周期为

图 5-2-7

a
O
?

l T ? 2? g ?a
再如图 5-2-7 所示, 在倾角为 ? 的光滑斜面上有一单摆, 当 摆球相对静止在平衡位置时,绳中张力为 m g sin ? ,因此单摆 的等效重力加速度为 g ? = g sin ? ,周期为

A

f ? ma
mg

T ? 2?

l g sin ?

图 5-2-8

又如一节车厢中悬挂一个摆长为 l 的单摆, 车厢以加速度 a 在水平地面上运动(如图 5-2-8)。由于小球 m 相对车厢受到一个惯性力 f ? m a ,所以它可

tga ?

以“平衡”在 OA 位置, 中心做简谐振动。当小球相对静止在平衡位置 A 处时,绳中张力为

a g ,此单摆可以在车厢中以 OA 为

?

m a 2 ? g 2 ,等效重力加速度 g ? ? a 2 ? g 2 ,单摆的周期

l

T ? 2?

l a2 ? g 2

m
B 图 5-2-9 D

(2)等效摆长 l ? 单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距离, 而是指摆球 的圆弧轨迹的半径。如图 5-2-9 中的双线摆,其等效摆长不是 l , 而是 l sin ? ,周期

?
A

l?

m
C

?
图 5-2-10

T ? 2?

l sin ? g

再如图 5-2-10 所示,摆球 m 固定在边长为 L、质量可忽略的等边三角形支架 ABC 的顶角 C 上,三角支架可围绕固定的 AB 边自由转动,AB 边与竖直方向成 a 角。 当 m 作小角度摆动时,实际上是围绕 AB 的中点 D 运动,故等效摆长

l ? ? L cos300 ?

3 L 2

正因为 m 绕 D 点摆动,当它静止在平衡位置时,指向 D 点的弹力为 m g sin a ,等效重力 加速度为 g sin a ,因此此异型摆的周期

T ? 2?

l? 3L ? 2? g? 2 g sin a

(3)悬点不固定的单摆 如图 5-2-11,一质量为 M 的车厢放在水平光滑地面上,车厢中悬有一个摆长为 l ,摆球的 质量为 m 的单摆。显然,当摆球来回摆动时,车厢也将作往复运动,悬点不固定。 由摆球相对于车厢的运动是我们熟悉的单摆,故取车厢为非惯性系,摆球受到重力 mg, 摆线拉力 N 和惯性力 m aM 的作用,如图 分析摆球 N= mg cos? ? maM sin ? 回复力 分析车厢: ①(忽略摆球向心力) ②
?

aM

F ? mgsin ? ? maM cos?


N

N sin ? ? MaM

M

2 因为 ? 很小,所以可认为 sin ? ? ? , cos ? ? 1 , sin ? ? 0 则由①、③式可得

maM

mg

aM ?

m g? M m )? M

图 5-2-11

把它代入②

F ? mg (1 ?

摆球偏离平衡位置的位移

所以 因此摆球作简谐振动,周期

x ? ?l mg ( M ? m) F? x MI

T ? 2?

ml ( M ? m) g

T ? 2?
由周期表达式可知:当 M?m 时,

l g ,因为此时 M 基本

T ? 2?
不动,一般情况下,

l g

§5.3 振动能量与共振 5. 3.1、简谐振动中的能量 以水平弹簧振子为例,弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成,在振动过 程中,振子的瞬时动能为:

EK ?

1 2 1 mv ? mA 2? 2 sin 2 (?t ? ? ) 2 2

振子的瞬时弹性势能为:

Ep ?

1 2 1 kx ? m? 2 A2 cos 2 (?t ? ? ) 2 2 1 1 m? 2 A2 ? kA 2 2 2

振子的总能量为:

E ? EK ? E p ?

1 2 kA 简谐振动中, 回复力与离开平衡位置的位移 x 的比值 k 以及振幅 A 都是恒量, 即2 是
恒量,因此振动过程中,系统的机械能守恒。 F回 如以竖直弹簧振子为例,则弹簧振子的能量由振子的动能、重力 势能和弹簧的弹性势能构成,尽管振动过程中,系统的机械能守恒, kx 但能量的研究仍比较复杂。由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共

1 2 kx 同提供的,而且是线性力(如图 5-3-1),因此,回复力做的功 2
(图中阴影部分的面积)也就是系统瞬时弹性势能和重力势能之和, 所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式,式中 x 应指振子离开平 衡位置的位移,则 E p 就是弹性势能和重力势能之和,不必分开研究。

O

x x
图 5-3-1

简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法,这种方法不涉及振子所受的 力,在力不易求得时较为方便,将势能写成位移的函数,即 另有

Ep ?

2E p 1 2 kx k? 2 2 x 。 ,

??

2E p k ? m m x2

x
c
R
M

也可用总能量和振幅表示为

图 5-3-2

??

2E p mx2

5.3.2、阻尼振动 简谐振动过程的机械能是守恒的,这类振动一旦开始,就永不停止,是一种理想状态。 实际上由于摩擦等阻力不可完全避免,在没有外来动力的条件下,振动总会逐渐减弱以致最 后停息。这种振幅逐渐减小的振动,称为阻尼振动。阻尼振动不是谐振动。 ①振动模型与运动规律 如图 5-3-2 所示,为考虑阻尼影响的振动模型,c 为阻尼器,粘性阻尼时,阻力 R=-cv, 设 m 运动在任一 x 位置,由 ?F ? m? x 有

m? x ? ?kx ? cvx
分为

ax ? 2nvx ? w2 x ? 0
n? c 2m

(17)

式中 这里参考图方法不再适用,当 C 较小时,用微分方程可求 出振体的运动规律,如图 4-22 所示。 ②阻尼对振动的影响 由图 5-3-3 可见,阻尼使振幅逐渐衰减,直至为零。同时 也伴随着振动系统的机械能逐渐衰减为零。

x

c ?n 此外, 2m 愈大,即阻尼愈大,振幅衰减愈快。而增大
质量 m 可使 n 减小。所以,为了减小阻尼,单摆的重球及弹簧 振子往往选用重球。 ③常量阻力下的振动 例 1、如图 5-3-4 所示,倔强系数为 250g/cm 的弹簧一端固 定,另端连结一质量为 30g 的物块,置于水平面上,摩擦系数

o

t

图 5-3-3

??

1 4 ,现将弹簧拉长 1cm 后静止释放。试求:(1)物块获得

k

1cm

的最大速度;(2)物块经过弹簧原长位置几次后才停止运动。 解:振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量 力,并不断耗散系统的机械能,故不能像重力作用下那样,化 图 5-3-4 为谐振动处理。 (1)设首次回程中,物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的 x 位置时,达最大速度

x



由 再由能量守恒:

1 30 g ? mg ? 4 ? 0.03(cm ) x? ? k 250 g kx ? m g? ,
1 2 1 1 2 kx 0 ? mg ? (1 ? 0.03) ? k ? 0.03 2 ? mv max 2 2 2

代入已知数据得

vmax ? 485(cm / s)

? ,则 (2)设物体第一次回程中,弹簧的最大压缩量为 x1
1 2 1 2 ? ? mg ? ( x0 ? x1 ?) kx 0 ? kx1 2 2 2mg ? ?? ? x0 ? x1 k
再设物体第一次返回中,弹簧的最大拉伸量为 x1 ,则

1 2 1 2 ? ? kx1 ? mg ? ( x1 ? ? x1 ) kx1 2 2 2mg ? ? ? x1 ? ? x1 k
可见振体每经过一次弹簧原长位置,振幅减小是相同的,且均为

2m g? ? k

2 ? 30?1000?

1 4 ? 3 (cm) 250?1000 50

而 故物体经过 16 次弹簧原长位置后,停止在该处右方。 5.3.3 受迫振动——在周期性策动外力作用下的振动。 例如:扬声器的发声,机器及电机的运转引起的振动。 1、振动模型及运动规律 如图 5-3-5 所示,为策动外力作用下的振动模型。其中,阻力 R=-cv,为常见的粘性阻尼 力。 策动力 F=Hcospt,为简谐力时。 由 ?F回 ? max , 有 max ? H cos pt ? cvx ? kx 化为标准标 式

1 ? 16 ? 0.04 (cm ) ? 0.06cm 3 / 50

o c
R

? x ? 2nvx ? ? 2 x ? h cos pt
式中

n?

c ?? 2m ,

k H h? m, m

x F ? H cos pt
M

图 5-3-5

x

x

x

o

t

?

o

t

?

o

t

瞬态振动

静态振动

受迫振动

(a )

(b) 图 5-3-6

(c)

由微分方程理论可求得振子的运动规律 (2)受迫振动的特性 在阻尼力较小的条件下,简谐策动力引起的振动规律如图 5-3-6 所示。在这个受迫振动过 程由两部分组成:一部分是按阻尼系统本身的固有频率所作的衰减振动,称为瞬态振动(图 (a));另一部分按策动力频率所作的稳定振动(图(b))。在实际问题中,瞬态振动很快 消失,稳态振动显得更加重要。稳态振动的频率与系统本身的固有频率无关,其振幅与初位 相也不由初始条件确定,而与策动频率 p 密切相关。 5.3.4、共振—当策动力频率 p 接近于系统的固有频率 ? 时受迫振动振幅出现最大值的 现象。 c0 ? 0 如图 5-3-7 所示的一组曲线,描述了不同阻尼系统的 稳态振幅 A 随策动力频率 p 改变而引起的变化规律。由图 A 可见: c1 ? c2 ? c3 1、当 p 接近 ? 时振幅最大,出现共振。 c1 c2 2、阻尼越小,共振越大。 3、 p ? 0 时,振幅就是静力偏移,即

A0

c3

A0 ?

4、p>> ? 时,振体由于惯性,来不及改变运动,处于 静止状态。

H k

O

?

P

图 5-3-7

§5.4 振动的合成 若一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用,在一般情况下其中一个力的存在 不会对另外一个力产生影响,这时物体的振动就是它在各个策动力单独作用下产生的振动相 互叠加后的振动,由各策动力单独产生的振动来求它们叠加后的振动,叫振动的合成。 5. 4.1、 同方向、同频率两简谐运动的合成 当一个物体同时参与同方向的两个振动时,它在某一时刻的位移应为同一时刻两个振动 的位移的代数和。当两振动的频率相同时,设此两振动的位移分别为

x1 ? A1 cos(?t ? ?1 )

x2 ? A2 cos(?t ? ? 2 )
则合振动的位移应为

x ? x1 ? x2 ? A1 cos(?t ? ?1 ) ? A2 cos(?t ? ?2 ) ? A1 cos?t cos?1 ? A1 sin ?t sin ?1 ? A2 cos?t cos? 2 ? A2 sin ?t sin ? 2 ? ( A1 cos?1 ? A2 cos? 2 ) cos?t ? ( A1 sin ?1 ? A2 sin ? 2 ) sin ?t ? A cos? cos?t ? A sin ? sin ?t ? A cos(?t ? ? )
上式中

A ? ( A1 cos ?1 ? A2 cos ? 2 ) 2 ? ( A1 sin ?1 ? A2 sin ? 2 ) 2 ?
2 A12 ? 2 A1 A2 c o s? ( 2 ? ?1 ) ? A2

tg? ?

A1 sin ?1 ? A2 sin ? 2 A1 cos?1 ? A2 cos? 2

根据以上结论,进一步可以看到 ①若 ? 2 ? ?1 ? 0或2k? (k 为整数),则

cos(? 2 ? ?1 ) ? 1
A?
2 A12 ? 2 A1 A2 ? A2 ? A1 ? A2

即合振动的振幅达到最大值,此时合振动的初位相与分振动的初位相同(或相差 2k? ) ②若 ? 2 ? ?1 ? ? 或 (2k ? 1)? 则

cos(? 2 ? ?1 ) ? ?1
2 A ? A12 ? 2 A1 A2 ? A2 ? A1 ? A2

即合振动的振幅达到最小值。此时合振动的初位相取决于 A1 和 A2 的大小。即当 A1 ? A2 时, 合振动的初位相等于 ?1 (?1 ? 2k? ) ; 当 A2 ? A1 时, 合振动的初位相等于 ? 2 (或? 2 ? 2k? ) ; 当 A2 ? A1 时,则 A=0,物体不会发生振动。 ③一般情况下, ? 2 ? ?1 可以任意值,合振动的振幅 A 的取值范围为

A1 ? A2 ≥ A ≥ A1 ? A2
5. 4.2、 同方向、频率相近的两振动的合成 设物体同时参与两个不同频率的简谐运动,例如

为简单起见,我们已设 ? 2 ? ?1 ? 0 ,这只要适当地选取时间零点,是可以做到的。如果 再设 A1 ? A2 ? A ,则合振动

x1 ? A1 cos?1t x2 ? A2 cos?2t

由于 ?1 和 ? 2 相差不多,则有( ?1 ? ?2 )比( ?1 ? ?2 )大很多,由此,上一合振动可 以看成是振幅为

x ? x1 ? x2 ? A(cos?1t ? cos?2t ) ? ? ?2 ? ? ?2 ? 2 A cos 1 t cos 1 t 2 2
2 A cos

?1 ? ? 2
2

t

x
(随时间变化)。角

T

?1 ? ? 2
频率为 的振动。这种振动称为“拍”。拍的位 移时间图像大致如图 5-4-1 所示。由图可见,振幅的变 化周期 T ? 为

o
?1 ? ? 2
2

2

t

2 A cos

t

变化周期的一半,即

1 2 2? T? ? ? ? 2? ? 2 ?1 ? ? 2 ?1 ? ? 2
或拍频为

图 5-4-1

v? ?

1 ?1 ? ? 2 ? ? v1 ? v2 T? 2?

? ? ? ?1 ? ? 2
5.4.3、同频率相互垂直的两个简谐振动的合成 当一物体同时参与相互垂直的振动时

x ? A1 cos(?t ? ?1 ) y ? A2 cos(?t ? ? 2 )
合振动的轨迹在直角坐标系中的方程为

x 2 y 2 2 xy ? 2? cos(? 2 ? ?1 ) ? sin 2 (? 2 ? ?1 ) A12 A2 A12
当 ? 2 ? ?1 ? 2K? 时, ( K ? 0,?1,?2??)

(6-17)

x 2 y 2 2 xy ? 2? ?0 A12 A2 A12
y?


A2 x A1

A2 合成结果仍为简谐振动(沿斜率为 A1 的直线作简谐振动)。 当 ? 2 ? ?1 = (2 K ? 1)? 时, ( K ? 0,?1,?2??)

x2 y 2 ? 2 ?1 A12 A2

可见,当

? 2 ? ?1 ?

?

3 或 ? 2 2 时,合振动均为椭圆振动,但两者旋转方向不同。

§5.5 机械波 5.5.1、机械波 机械振动在介质中的传播形成机械波,波传递的是振动和能量,而介质本身并不迁移。 自然界存在两种简单的波:质点振动方向与波的传播方向垂直时,称为横波;与传播方 向一致时,叫纵波,具有切变弹性的介质能传播横波;具有体变弹性的介质可传播纵波,固 体液体中可以同时有横波和纵波,而在气体中一般就只有纵波存在了。 在波动中,波上相邻两个同相位质点间的距离,叫做一个波长,也就是质点作一个全振 动时,振动传播的距离。由于波上任一个质点都在做受迫振动,因此它们的振动频率都与振 源的振动频率相等,也就是波的频率,在波动中,波长 ? 、频率 f 与传播速度 v 之间满足 (1) 注意:波速不同于振动质点的运动速度,波速与传播介质的密度及弹性性质有关。 5.5.2、波动方程 如图 5-5-1 所示, 一列横波以速度 v 沿 x 轴正方向传播, y 设波源 O 点的振动方程为: v

v ? ?f ?

?
T

y ? A cos(?t ? ?0 )

在 x 轴上任意点 P 的振动比 O 点滞后时间

tp ?

x v ,即

O

x ? ? ? (t ? ) ? ? 0 ? ? v ?, 当 O 点相位为 (?t ? ? 0 ) 时, P 点的相位为 ? l f ? ? ? 2 ? f v ? ? f T ,P 点振动方程为 由 , ,
x ? ? y ? A cos?? (t ? ) ? ? 0 ? v ? ?
? A cos( 2?ft ? ? 0 ?

P

x

图 5-5-1

2?x

这就是波动方程, 它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。 当波向 x 轴负 方向传播时,(2)式只需改变 v 的正负号。由波动方程,可以 (1)求某定点 x1 处的运动规律

? 2? 2?x ? A cos( t ? ?0 ? ) T ?

)

将 x ? x1 代入式(6-14),得

x 2? t ? ? 0 ? 2? 1 ) T ? ? Ac o s ? (t ? ?1 ) 2?x1 ?1 ? ? 0 ? ? 为 x1 质点作简谐振动的初相位。 其中 y1 ? A cos(
(2)求两点 x1 与 x2 的相位差 将 x ? x2 代入(2)式,得两点 x1 、 x2 的相位差

?? ? ?1 ? ? 2 ? 2?


x2 ? x1

x2 ? x1 ?

?
2

?

? 2k ( k

为整数),则 ?? ? 2k? ,则该两点同相,它们的位移和速度都

2 为整数),则 ?? ? (2k ? 1)? ,则该两点相位相反,它们的 相同。若 位移和速度大小相同,速度方向刚好相反。 球面波的波动方程与平面波相比,略有不同,对于球面波,其振幅随传播距离的增加而
衰减,设离波源距离为 r1 处的振幅为 A1 ,离波源距离为 r2 处的振幅为 A2 。则有

x2 ? x1 ? (2k ? 1)

?

(k

A1r1 ? A2 r2
即振幅与传播的距离成反比 球面简谐波的方程为

y (r , t ) ?

A 2? cos( ?t ? r) r ?

式中 A 是与波源的距离为一个单位长度处的振幅。 3、波的叠加和干涉 r1 当空间存在两个(或两个以上)振源发出的波时,空间任一 S1 r2 点的扰动是各个波在该点产生的扰动的矢量和,这叫做波的叠加 d 原理。 当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时,会出 S 2 ?r 现某些地方振动增强, 某些地方振动减弱的现象, 叫做波的干涉, 这样的两列波叫相干波。 图 5-5-2

P

{

设有两列相干波自振源 S1 、 S2 发出,两振源的位相相同, 空间任一点 P 至 S1 的距离为 r1 ,至 S2 的距离为 r2 (图 5-5-2),则两列波在 P 点产生的振动 的相位差为

?? ? 2?

r2 ? r1

?

当 ?? ? k ? 2? (k 为整数),即当波程差

?r ? r2 ? r1 ? 2k ?

?
2 时,P 点的合振动加强;

当 ?? ? (2k ? 1)? ,即当波程差

?r ? r2 ? r1 ? (2k ? 1)

?
2 时,P 点的合振动减弱,可见 P 点振动
C1
C2
i i

的强弱由波程差 ?r ? r2 ? r1 决定,是 P 点位置的函数。 总之,当某一点距离两同位相波源的波程差等于零或者是波长的 整数倍时,该点振动的合振幅最大,即其振动总是加强的;当某一点 距离两同位波源的波程差等于半波长或半波长的奇数倍时,该点振动 的合振幅最小,即其振动总是削弱的。 4、波的反射、折射和衍射 当波在传播过程中遇到的两种介质的交界面时, 一部分 返回原介质中,称为反射波;另一部分将透入第二种介质继 续传播,称为折射波,入射波的传播方向与交界面的法线成 i 角,( i 叫入射角),反射波的传播方向与交界面的法线 成 i? 角 ( i ? 叫反射角) 。 折射波的传播方向与法线成 ? 角 (? 叫折射角),如图 5-5-3,则有

r

图 5-5-3

i ? i? sin i c1 ? sin r c2 式中 c1 为波在入射介质中的传播速度, c2 为波在折射

图 5-5-4

介质中的传播速度,(1)式称为波的反射定律,(2)式称 为波的折射定律。 弦上的波在线密度不同的两种弦的连结点处要发生反 射,反射的波形有所不同。 设弦上有一向上脉冲波,如图 5-5-4,传到自由端以后反 射,自由端可看成新的振源,振动得以继续延续下去,故反 身波仍为向上的脉冲波,只是波形左右颠倒。当弦上有向上 脉冲波经固定端反射时,固定端也可看成新的“振源”,由 牛顿第三定律,固定端对弦的作用力方向与原脉冲对固定端 的作用力方向相反,故反射脉冲向下,即波形不仅左、右颠 图 5-5-5 倒,上、下也颠倒,这时反射波可看成入射波反向延伸的负 值(如图 5-5-5),将周期波看成一系列连续脉冲,周期波经 自由端或固定端的反射也可由此得出。 波在传播过程中遇到障碍物时,偏离原来的传播方向,传到障碍物“阴影”区域的现象 叫波的衍射。当障碍物或孔的尺寸比波长小,或者跟波长相差不多时,衍射现象比较明显;

当障碍物或孔的尺寸比波长大的时候,衍射现象仍然存在,只是发生衍射的部分跟直进部分 相比,范围较小,强度很弱,不够明显而已。此外,在障碍物或小孔尺寸一定的情况下,波 长越长,衍射现象越明显。 5.6.5、驻波 驻波是频率相同、振幅相同、振动方向一致、传播方向相反的两列简谐波叠加的结果, 如图 6-5-6,设弦上传递的是连续的周期波,波源的振动方程为

y0 ? A cos?t
向左传播的入射波表达式为

y1 ? A cos( ?t ?

2?

?

x)

考虑到入射波和反射波在连接点的振动相位相反,即入射波在反射时产生了 ? 的相位突 变,故反射波在反射点的相位为

5 ? 设波源到固定端的距离为 4 ,则入射波传到反射点时的相位为 2? 2? 5 5 ?t ? x ? ?t ? (? ? ) ? ?t ? ? ? ? 4 2

? t ? ? ? ? ? ?t ? ?
反射波在原点 P 的相位为

5 2

7 2

?t ? ? ? ? ? ?t ? 6?
因而,反射波的波动方程为

7 2

5 2

y2 ? A cos( ?t ? 6? ?
合成波为:

2?

?

x) ? A cos( ?t ?

2?

?

x)

y ? y1 ? y2 ? A cos( ?t ? 2? ? 2 A c o s ( x) c o s ?t

2?

?

x) ? A cos( ?t ?

2?

?

x)

y

?

? 合成波的振幅为 与 x 有 关,振幅最大处为波腹,振 幅最小处为波节。波腹的位置为
2?

2 A cos(

2?

x)

DA

E

B F

O

x

图 5-5-6
λ

?


x ? k?

x?k?

?
2

? 2

2A

波节 波腹 波节 波腹

图 5-5-7

k ? 0,?1,?2?? 如图 5-6-6 中的 D、E、F 等处。
波节的位置为

1 x ? ( k ? )? ? 2 1 ? x ? (k ? ) 2 2 即

2?

k ? 0,?1,?2??

如图 5-5-7 中的 O、A、B 等处。

? 相邻两波节(或波腹)之间的间距为 2 。
不同时刻驻波的波形如图 5-6-7 所示,其中实线表示 t ? 0 、T、2T??时的波形;点线表 示

t?

1 3 1 9 T t? T T T 2 、 2 ??时的波形;点划线表示 8 、 8 时的波形。

5.5.6、多普勒效应 站在铁路旁边听到车的汽笛声,发现当列车迎面而来时音调较静止时为高,而列车迅速 离去时音调较静止时为低,此外,若声源静止而观察者运动,或者声源和观察者都运动,也 会发生收听频率和声源频率不一致的现象,这种现象称为多普勒效应。下面分别探讨各种情 况下多普勒频移的公式: (1)波源静止观察者运动情形 c c 如图 5-5-8 所示,静止点波源发出的球面波波面是 c 同心的,若观察者以速度 vD 趋向或离开波源,则波动相 对于观察者的传播速度变为 c? ? c ? vD 或 c? ? c ? vD , 于是观察者感受到的频率为

vD D c

S

c vD
D

c

c c

f??

c?

?

?

c ? vD

?

从而它与波源频率 f 之比为 f ? c ? vD ? f c (2)波源运动观察者静止情形 若波源以速度 vS 运动,它发出的球面波不再同 心。图 5-5-9 所示两圆分别是时间相隔一个周期 T 的 两个波面。它们中心之间的距离为 vS T,从而对于迎 面而来或背离而去的观察者来说,有效的波长为

图 5-5-8
? ? ? ? ? vsT
? ?

? ? ? ? ? vsT

??? ? ? ? vST ? (c ? vS )T
观察者感受到的频率为

D

D

图 5-5-9

c c cf ? ? ? ?? (c ? vS )T c ? vS 因而它与波源频率 f 之比为 f??
f? c ? f c ? vS
(3)波源和观察者都运动的情形 此处只考虑波的传播方向、波源速度、观察者速度三者共线的特殊情况,这时有效波速 和波长都发生了变化,观察者感受到的频率为

c? c ? vD c ? vD ? ? f ? ?? (c ? vS )T c ? vS 从而它与波源频率 f 之比为 f??
f ? c ? vD ? f c ? vS
下举一个例 单行道上,有一支乐队,沿同一个方向前进,乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们 靠近。此时,乐队正在奏出频率为 440HZ 的音调。在乐队前的街上有一固定话筒作现场转播。 旅行者从车上的收音机收听演奏,发现从前面乐队直接听到的声音和从广播听到的声音混合 后产生拍,并测出三秒钟有四拍,车速为 18km/h,求乐队前进速度。(声速=330m/s)。 解:先考虑车上听到的频率,连续两次应用多普勒效应,有

f1 ?

c ? f0 c ? v乐

f 2 ? (1 ?

v车 ) ? f1 c ( f 2 为旅行者听到乐队的频率)

f2 ?

得 收音机得到频率为

c ? v车 ? f0 c ? v乐
c ? v车 ? f3 c

f3 ?

c ? f0 c ? v乐

旅行者听到广播频率为

f4 ?

又拍频为 综上得: v乐 =2.98m/s 5.5.7.声波 机械振动在空气中的传播称为声波。声波作用于人耳,产生声音感觉。人耳可闻声波频 率是 16~20000 H Z 。频率超过 20000 H Z 的声波叫超声波。超声波具有良好的定向性和贯穿 能力。频率小于 16 H Z 的声波称为次声波。在标准情况下,声波在空气中的速度为 331m/s。 (1)声波的反射—声波遇障碍物而改变原来传播方向的现象。 回声和原来的声波在人耳中相隔至少 0.1 秒以上,人耳才能分辨,否则两种声音将混在 一起,加强原声。 室内的声波,经多次反射和吸收,最后消失,这样声源停止发声后,声音还可在耳中继 续一段时间,这段时间叫交混回响时间。交混回响时间太长,前后音互相重叠,分辨不清; 交混时间太短,给人以单调不丰满的感觉,这种房间不适于演奏。 (2)声波的干涉——两列同频率同振幅的声波在媒质中相遇而发生的波干涉现象。 (3)声波的衍射——声波遇障碍物而发生的波衍射现象。由于声波波长在 17cm—17m 之间,与一般障碍物尺寸可相比拟,可绕过障碍物进行传播。而可见光的波长在 0.4— 0.8 ? m ,一般障碍物不能被光绕过去。这就是“闻其声而不见其人”的缘由。 (4)共鸣——声音的共振现象 音叉和空气柱可以发生共鸣。 在一个盛水的容器中插入一根玻璃管, 在管口上方放一个正在发声的音叉, 当把玻璃管 提起和放下, 以改变玻璃管中空气柱的长度时, 便可以观察到空气柱与音叉发生共鸣的现象。

f 4 ? f3 ?

4 HZ 3

1 L ? ( n ? )? n ,式中 L 为玻璃管的长度, ? 为音叉发出 在这个实验中发生共鸣的条件是:
声波的波长,n 为自然数。 5、乐音噪声——好听、悦耳的声音叫乐音,嘈杂刺耳的声音叫噪声。乐音是由作周期 性振动的声源发出的,嘈声是由做无规则非周期性振动的声源产生的。 6、音调、响度与音品为乐音三要素。 音调—基音频率的高低, 基频高则称音调高。 人们对音调的感觉客观上也取决于声源振 动的频率,频率高,感觉音调高。 响度—声音的强弱。声源振幅大、声音的声强(单位时间内通过垂直于声波传播方向的 单位面积的能量)也大,人感觉到的声音也大。 音品—音色, 它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色。 音品由声音所包含的泛音 的强弱和频率决定。


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