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苏教版高三一轮必修三第1章 1.1


1. 1
[学习目标] 用“算法”的思想编制数学问题的算法.

算法的含义

1.通过对解决具体问题过程与步骤的分析,理解并掌握算法的概念与意义.2.会

[知识链接]
? ?x-2y=-1 ① 1.初中时,可以通过代入法解二元一次方程组? . ?2x+y=1 ② ?

2.只能够

被 1 和本身整除的大于 1 的整数叫质数. 3.对于区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 f(x),通过不断把函数 f(x)的零点所在的区 间一分为二,使区间的两个端点逐渐逼近零点,区间长度合乎精确度要求,进而得到零点近 似值的方法叫做二分法. [预习导引] 1.算法的概念 对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法. 2.算法的特征 (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当 模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个 确定的后续步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步 都准确无误,才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一问题的解法不一定是唯一的,对于同一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经 过有限、事先设计好的步骤加以解决.

要点一 算法的概念 例 1 下列关于算法的说法,正确的有________.

①求解某一类问题的算法是唯一的; ②算法必须在有限步操作之后停止; ③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊; ④算法执行后一定产生确定的结果. 答案 ②③④ 解析 由于算法具有有限性、确定性、输出性等特点,因而②③④正确,而解决某类问题的 算法不一定唯一,从而①错. 规律方法 针对这个类型的问题,正确理解算法的概念及其特点是解决此类问题的关键. 跟踪演练 1 下列语句表达中是算法的是________. 1 ①从济南到巴黎可以先乘火车到北京,再坐飞机抵达;②利用公式 S= ah 计算底为 1,高 2 1 为 2 的三角形的面积;③ x>2x+4;④求 M(1,2)与 N(-3,-5)两点连线所在直线的方程, 2 可先求直线 MN 的斜率,再利用点斜式方程求得. 答案 ①②④ 解析 算法是解决问题的步骤与过程, 这个问题并不仅仅限于数学问题, ①②④都表达了一 种算法. 要点二 算法的设计 例2 (1)设计一个算法,判断 7 是否为质数.

(2)设计一个算法,判断 35 是否为质数. 解 (1)第一步,用 2 除 7,得到余数 1,所以 2 不能整除 7. 第二步,用 3 除 7,得到余数 1,所以 3 不能整除 7. 第三步,用 4 除 7,得到余数 3,所以 4 不能整除 7. 第四步,用 5 除 7,得到余数 2,所以 5 不能整除 7. 第五步,用 6 除 7,得到余数 1,所以 6 不能整除 7. 因此,7 是质数. (2)第一步,用 2 除 35,得到余数 1,所以 2 不能整除 35. 第二步,用 3 除 35,得到余数 2,所以 3 不能整除 35. 第三步,用 4 除 35,得到余数 3,所以 4 不能整除 35. 第四步,用 5 除 35,得到余数 0,所以 5 能整除 35. 因此,35 不是质数. 规律方法 设计一个具体问题的算法,通常按以下步骤: (1)认真分析问题,找出解决此题的一般数学方法; (2)借助有关变量或参数对算法加以表述; (3)将解决问题的过程划分为若干步骤;

(4)用简练的语言将这个步骤表示出来. 跟踪演练 2 判断一个大于 2 的整数是否为质数的算法步骤如何设计? 解 第一步,给定一个大于 2 的整数 n. 第二步,令 i←2. 第三步,用 i 除 n,得到余数 r. 第四步,判断“r=0”是否成立.若是,则 n 不是质数,结束算法;否则,将 i 的值增加 1, 仍用 i 表示. 第五步,判断“i>n-1”是否成立.若是,则 n 是质数,结束算法;否则,返回第三步. 要点三 算法的应用 例 3 一次青青草原园长包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河.河边只有一条船, 由于船太小,只能装下两样东西.在无人看管的情况下,灰太狼要吃懒羊羊,懒羊羊要吃青 草,请问包包大人如何才能带着他们平安过河? 试设计一种算法. 解 包包大人采取的过河的算法可以是: 第一步,包包大人带懒羊羊过河; 第二步,包包大人自己返回; 第三步,包包大人带青草过河; 第四步,包包大人带懒羊羊返回; 第五步,包包大人带灰太狼过河; 第六步,包包大人自己返回; 第七步,包包大人带懒羊羊过河. 规律方法 对于像查找、变量代换、文字处理等非数值型计算问题,设计算法时,首先建立 过程模型,然后根据过程设计步骤,完成算法. 跟踪演练 3 一位商人有 9 枚银元,其中有 1 枚略轻的是假银元,你能用天平(无砝码)将假 银元找出来吗? 解 方法一 算法如下: 第一步, 任取 2 枚银元分别放在天平的两边, 若天平左、 右不平衡, 则轻的一枚就是假银元, 若天平平衡,则进行第二步. 第二步,取下右边的银元放在一边,然后把剩下的 7 枚银元依次放在右边进行称量,直到天 平不平衡,偏轻的那一枚就是假银元. 方法二 算法如下: 第一步,把 9 枚银元平均分成 3 组,每组 3 枚. 第二步,先将其中两组放在天平的两边,若天平不平衡,则假银元就在轻的那一组;否则假 银元在未称量的那一组.

第三步,取出含假银元的那一组,从中任取 2 枚银元放在天平左、右两边称量,若天平不平 衡,则假银元在轻的那一边;若天平平衡,则未称量的那一枚是假银元.

1.下面的结论正确的是________. ①算法与求解一个问题的方法相同 ②算法只能解决一个问题,不能重复使用 ③算法过程要一步一步执行 ④有的算法执行完以后,可能没有结果 答案 ③ 解析 算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系,故①不对.算法能够重复使用,故② 不对.每一个算法执行完以后,必须有结果,故④不对. 2.看下面的四段话,其中不是解决问题的算法是__________________________________. (1)从济南到北京旅游,先坐火车,再坐飞机抵达; (2)解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1; (3)方程 x2-1=0 有两个实根; (4)求 1+2+3+4+5 的值,先计算 1+2=3,再计算 3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结 果为 15. 答案 (3) 解析 由于(3)不是解决某一类问题的步骤,故(3)不是解决问题的算法. 3.已知直角三角形的两直角边长为 a,b,求该直角三角形斜边上的高 h 的一个算法分为下 列四步: ①输出 h 的值. ②输入直角三角形两直角边长 a,b 的值. ab ③计算 h= . c ④计算 c= a2+b2. 正确的顺序是________. 答案 ②→④→③→① 解析 利用等面积法求斜边上的高,故先求斜边 c 的长,再求斜边上的高 h. 从而正确的顺序是②→④→③→①. 4.计算下列各式中的 S 值,能设计算法求解的是________. ①S=1+2+3+?+100;②S=1+2+3+?+100+?; ③S=1+2+3+?+n(n≥1,n∈N).

答案 ①③ 解析 由算法的有限性知②不正确,而①③都可通过有限的步骤操作,输出确定的结果. 5.已知一个学生的语文成绩为 89,数学成绩为 96,外语成绩为 99,求它的总分和平均分 的一个算法如下,请将其补充完整: 第一步,取 A=89,B=96,C=99. 第 二 步 ,

________________________________________________________________________. 第 三 步 ,

________________________________________________________________________. 第四步,输出计算结果. D 答案 计算总分 D=A+B+C 计算平均分 E= 3

1.算法的特点:有限性、确定性、顺序性与正确性、不唯一性、普通性. 2.算法设计的要求 (1)写出的算法必须能够解决一类问题,并且能够重复使用. (2)要使算法尽量简单,步骤尽量少. (3)要保证算法正确,且算法步骤能够一步一步执行,在有限步后能得到结果.

一、基础达标 1.下列可以看成算法的是________. ①学习数学时,课前预习,课上认真听讲并记好笔记,课下先复习再做作业,之后做适当的 练习题; ②今天餐厅的饭真好吃; ③这道数学题难做; ④方程 2x2-x+1=0 无实数根. 答案 ① 解析 ①是学习数学的一个步骤,所以是算法. 2.家中配电盒至冰箱的电路断了,检测故障的算法中,第一步检测________最快.(填序号) ①靠近配电盒的一小段; ②电路中点处检测; ③靠近冰箱的一小段; ④随意挑一段检测.

答案 ② 解析 利用二分法的思想,应取中点,每次减半,这样从理论上是最快的,故选②. 3.下列对算法的理解正确的是________.(填序号) ①算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题); ②算法要求是一步步执行,每一步都能得到唯一的结果; ③算法一般是机械的,有时要进行大量重复计算,它的优点是一种通法; ④任何问题都可以用算法来解决. 答案 ①②③ 解析 由于算法要求必须在有限步骤内求解某类问题, 所以并不是任何问题都可以用算法解 1 1 1 1 决.例如求 1+ + + +?+ +?,故④不正确. 2 3 4 n 4.小明中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序:①洗锅盛水 2 分钟;②洗菜 6 分钟; ③准备面条及佐料 2 分钟;④用锅把水烧开 10 分钟;⑤煮面条 3 分钟.以上各道工序,除 了④之外,一次只能进行一道工序.小明要将面条煮好,最少要用________分钟. 答案 15 解析 ①洗锅盛水 2 分钟、④用锅把水烧开 10 分钟(同时②洗菜 6 分钟、③准备面条及佐料 2 分钟)、⑤煮面条 3 分钟,共为 15 分钟. 5.已知 A(x1,y1),B(x2,y2),求直线 AB 的斜率的一个算法如下: 第一步,输入 x1,y1,x2,y2 的值. 第二步,计算 Δx=x2-x1,Δy=y2-y1. 第三步,若 Δx=0,则输出斜率不存在,否则(Δx≠0),k=__①__. 第四步,输出斜率 k. 则①处应填________. 答案 Δy Δx

6.给出下列算法: 第一步,输入 x 的值. 第二步,当 x>4 时,计算 y=x+2;否则执行下一步. 第三步,计算 y= 4-x. 第四步,输出 y. 当输入 x=0 时,输出 y=________. 答案 2 解析 0<4,执行第三步,y= 4-0=2. 7.已知某梯形的底边长 AB=a,CD=b,高为 h,写出一个求这个梯形面积 S 的算法. 解 算法如下:

第一步,输入梯形的底边长 a 和 b,以及高 h. 第二步,计算 a+b 的值. 第三步,计算(a+b)×h 的值. ?a+b?×h 第四步,计算 S= 的值. 2 第五步,输出结果 S. 二、能力提升 8.对于算法:第一步,输入 n. 第二步,判断 n 是否等于 2,若 n=2,则 n 满足条件;若 n>2,则执行第三步. 第三步,依次从 2 到(n-1)检验能不能被 n 整除,若不能被 n 整除,则执行第四步;若能整 除 n,则结束算法. 第四步,输出 n. 满足条件的 n 是________. 答案 质数 解析 此题首先要理解质数,只能被 1 和自身整除的大于 1 的整数叫质数.2 是最小的质数, 这个算法通过对 2 到(n-1)一一验证,看是否有其他约数,来判断其是否为质数. 9.下面给出了解决问题的算法: 第一步,输入 x. 第二步,若 x≤1,则 y=2x-1,否则 y=x2+3. 第三步,输出 y. (1)这个算法解决的问题是________; (2)当输入的 x 值为________时,输入值与输出值相等.
?2x-1?x≤1?, ? 答案 (1)求分段函数 y=? 2 的函数值 ? ?x +3?x>1?

(2)1 10.请说出下面算法要解决的问题________. 第一步,输入三个数,并分别用 a、b、c 表示; 第二步,比较 a 与 b 的大小,如果 a<b,则交换 a 与 b 的值; 第三步,比较 a 与 c 的大小,如果 a<c,则交换 a 与 c 的值; 第四步,比较 b 与 c 的大小,如果 b<c,则交换 b 与 c 的值; 第五步,输出 a、b、c. 答案 输入三个数 a,b,c,并按从大到小顺序输出 解析 第一步是给 a、b、c 赋值. 第二步运行后 a>b.

第三步运行后 a>c. 第四步运行后 b>c,∴a>b>c. 第五步运行后,显示 a、b、c 的值,且从大到小排列. 11.写出解方程 x2-4x-12=0 的一个算法. 解 方法一 第一步,移项,得 x2-4x=12.① 第二步,①式两边同加 4 并配方,得(x-2)2=16.② 第三步,②式两边开方,得 x-2=± 4.③ 第四步,解③得 x=6 或 x=-2. 方法二 第一步,将方程左边因式分解, 得(x-6)(x+2)=0.① 第二步,由①得 x-6=0 或 x+2=0.② 第三步,解②得 x=6 或 x=-2. 方法三 第一步,计算方程的判别式 Δ=42+4×12>0. 第二步,将 a=1,b=-4,c=-12 代入求根公式 -b± b2-4ac x= ,得 x1=6,x2=-2. 2a 三、探究与创新 12.鸡兔同笼问题:鸡和兔各若干只,腿数共 100 条,头数共 30 只,试设计一个算法,求 出鸡和兔各有多少只. 解 第一步,设有 x 只鸡,y 只兔,列方程组
? ?x+y=30, ? ?2x+4y=100. ?

① ②

第二步,②÷ 2+①×(-1),得 y=20. 第三步,把 y=20 代入 x=30-y,得 x=10.
?x=10, ? 第四步,得到方程组的解? ?y=20. ?

第五步,输出结果,鸡 10 只,兔 20 只. 13.写出求 1×2×3×4×5×6 的一个算法. 解 方法一 第一步,计算 1×2,得到 2. 第二步,将第一步的运算结果 2 乘 3,得到 6. 第三步,将第二步的运算结果 6 乘 4,得到 24. 第四步,将第三步的运算结果 24 乘 5,得到 120. 第五步,将第四步的运算结果 120 乘 6,得到 720. 第六步,输出运算结果.

方法二 第一步,输入 n 的值 6. 第二步,令 i=1,S=1. 第三步,判断“i≤n”是否成立,若不是,输出 S,结束算法;若是,执行下一步. 第四步,令 S 的值乘 i,仍用 S 表示,令 i 的值增加 1,仍用 i 表示,返回第三步.


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