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北京六十七中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

时间:2015-10-17


2014-2015 学年北京六十七中高一(上)期中数学试卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. (4 分)若集合 A={x|1≤x≤3},B={x|x>2},则 A∩B 等于() A.{x|2<x≤3} B.{x|x≥1} C.{x|2≤x<3} D.{x|x>2} 2. (4 分)

已知集合 A 到 B 的映射 f:x→y= () A.1 ,则集合 A 中元素 3 在 B 中所对应的元素是

B. 2
x

C. 3
x

D.4

3. (4 分)设 f(x)=3 +3x﹣8,用二分法求方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程 中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间() A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 4. (4 分)函数 y= + A.R 的定义域是() B.(﹣3,+∞)
2

C.(﹣∞,﹣3)
2

D.(﹣3, 0) ∪ (0, +∞)

5. (4 分)已知函数 f(x)=(m﹣1)x +(m﹣2)x+(m ﹣7m+12)为偶函数,则 m 的值是 () A.1 B. 2 C. 3 D.4 6. (4 分)如果函数 f(x)= (﹣∞<x<+∞) ,那么函数 f(x)是()

A.奇函数,且在(﹣∞,0)上是增函数 B. 偶函数,且在(﹣∞,0)上是减函数 C. 奇函数,且在(0,+∞)上是增函数 D.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 7. (4 分)如果奇函数 f(x)在区间上是增函数且最大值为 5,那么 f(x)在区间上是() A.增函 数且最小值为﹣5 B. 增函数且最大值为﹣5 C. 减函数且最大值是﹣5 D.减函数且最小值是﹣5

8. (4 分)已知函数 点个数为() A.1

,这两个函数图象的交

B. 2

C. 3

D.4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分;把答案填在题中横线上. 9. (4 分)设集合 U={﹣2,﹣1,1,3,5},集合 A={﹣1,3},那么 CUA=. 10. (4 分)二次函数 f(x)=x ﹣2x+5,最小值是,增区间为.
2

11. (4 分)设函数 f(x)=

,则 f(f(﹣3) )=.

12. (4 分)已知函数 f(x)=2ax﹣a+2 在区间(﹣1,1)上存在零点,则实数 a 的取值范围 是.

13. (4 分)比较 来.

的大小,按从小到大的顺序用不等号连接起

14. (4 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x ﹣2x,则当 x<0 时,f (x)=.

2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 44 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (10 分)已知函数 f(x)是正比例函数,函数 g(x)是反比例函数,且 f(1)=1,g(1) =2. (1)求函数 f(x)和 g(x) ; (2)判断函数 f(x)+g(x)的奇偶性. 16. (10 分)计算下列各式(式中每个字母均为正数) : (1)32 ×27 ;

(2)



17. (10 分)某村计划建造一个室内周长为 200m 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧 与后侧内墙各保留 1m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地(如图) .当矩形温室的边长 各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?

18. (10 分)已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈, (1)当 a=1 时,求 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间上是单调函数. 19. (14 分)已知函数 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 .

2

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)用单调性的定义证明 f(x)在(﹣1,1)上是增函数; 2 (3)解不等式 f(t ﹣1)+f(t)<0.

2014-2015 学年北京六十七中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. (4 分)若集合 A={x|1≤x≤3},B={x|x>2}, 则 A∩B 等于() A.{x|2<x≤3} B.{x|x≥1} C.{x|2≤x<3} D.{x|x>2} 考点: 交集及其运算. 分析: 结合数轴直接求解. 解答: 解:如图, 故选 A.

点评: 本题考查集合的交运算,属容易题,注意结合数轴,注意等号.

2. (4 分)已知集合 A 到 B 的映射 f:x→y= () A.1

,则集合 A 中元素 3 在 B 中所对应的元素是

B. 2

C. 3

D.4

考点: 映射. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,令 x=3,解得 y= =3,从而得到. =3,

解答: 解:由题意,令 x=3,解得,y= 故选 C.

点评: 本题考查了映射的概念,属于基础题. 3. (4 分)设 f(x)= 3 +3x﹣8,用二分法求方程 3 +3 x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程 中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间() A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 计算题. x 分析: 由已知“方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解”,且具体的函数值的符号也已确定, 由 f(1.5)>0,f(1.25)<0,它们异号. 解答: 解析:∵f(1.5)?f(1.25)<0, 由零点存在定理,得, ∴方程的根落在区间(1.25,1.5) . 故选 B. 点评: 二分 法是求方程根的一种算法,其理论依据是零点存在定理: 一般地,若函数 y=f(x)在区间上的图象是一条不间断的曲线, 且 f(a)f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,b)上有零点. 4. (4 分)函数 y= + A.R 的定义域是() B.(﹣3,+∞) C.(﹣∞,﹣3) D.(﹣3, 0) ∪ (0, +∞)
x x

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由根式内部的代数式大于等于 0, 分式的分母不等于 0 联立不等式组求解 x 的取值集 合得答案. 解答: 解:由 ,得 x>﹣3 且 x≠0.

∴函数的定义域是{x|x>﹣3 且 x≠0} 也即(﹣3,0)∪(0,+∞) 故选:D 点评: 本题主要考查了函数的定义域的求解,解题的关键是寻求函数有意义的条件 5. (4 分)已知函数 f(x)=(m﹣1)x +(m﹣2)x+(m ﹣7m+12)为偶函数,则 m 的值是 () A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 偶函数. 专题: 计算题. 2 2 分析: 函数 f(x)=(m﹣1)x +(m﹣2)x+(m ﹣7m+12)为偶函数,有 f(﹣x)=f(x) 成立,比较系数可得答案. 2 2 解答: 解:∵函数 f(x)=(m﹣1)x +(m﹣2)x+(m ﹣7m+12)为偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , 2 2 2 2 ∴(m﹣1)x ﹣(m﹣2)x+(m ﹣7m+12)=(m﹣1)x +(m﹣2)x+(m ﹣7m+12) ,
2 2

∴m﹣2=0, m=2, 故选 B. 点评: 本题考查偶函数的概念,一个函数是偶函数时,必有 f(﹣x)=f(x) . 6. (4 分)如果函数 f(x)= (﹣∞<x<+∞) ,那么函数 f(x)是()

A.奇函数,且在(﹣∞,0)上是增函数 B. 偶函数,且在(﹣∞,0)上是减函数 C. 奇函数,且在(0,+∞)上是增函数 D.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 定义域为 R,关于原点对称,计算 f(﹣x) ,与 f(x)比较,即可得到奇偶性,讨论 x>0,x<0,运用指数函数的单调性,即可得到结论. 解答: 解:定义域为 R,关于原点对称,f(﹣x)=
x

=f(x) ,

则为偶函数,当 x>0 时,y=( ) 为减函数,则 x<0 时,则为增函数, 故选 D. 点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,考查指数函数的单调性,属于基础题. 7. (4 分)如果奇函数 f(x)在区间上是增函数且最大值为 5,那么 f(x)在区 间上是() A.增函数且最小值为﹣5 B. 增函数且最大值为﹣5 C. 减函数且最大值是﹣5 D.减函数且最小值是﹣5 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数的图象关于原点对称,故它在对称区间上的单调性不变,结合题意从而 得出结论. 解答: 解:由于奇函数的图象关于原点对称,故它 在对称区间上的单调性不变. 如果奇函数 f(x)在区间上是增函数且最大值为 5,那么 f(x)在区间上必是增函数且最小值 为﹣5, 故选 A. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用,奇函数的图象和性质,属于中档 题.

8. (4 分)已知函数 点个数为() A.1

,这两个函数图象的交

B. 2

C. 3

D.4

考点: 二次函数的图象;一次函数的性质与图象. 专题: 综合题. 分析: 本题考查的知识点是指数函数的图象,要求函数 y=f(x)的图象与函数 y=3 的图象 的交点个数,我们画出函数的图象后,利用数形结合思想,易得到答案. x 解答: 解:在同一坐标系下,画出函数 y=f(x)的图象与函数 y=3 的图象如下图:
x

由图可知,两个函数图象共有 2 个交点 故选 B. 点评: 求两个函数图象的交点个数,我们可以使用数形结合的思想,在同一坐标系中,做 出两个函数的图象,分析图象后,即可等到答案. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分;把答案填在题中横线上. 9. (4 分)设集合 U={﹣2,﹣1,1,3,5},集合 A={﹣1,3},那么 CUA={﹣2,1,5}. 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由已知中集合 U={﹣2,﹣1,1,3,5},集合 A={﹣1,3},我们根据补集运算的定 义,即可得到 CUA. 解答: 解:∵集合 U={﹣2,﹣1,1,3,5},集合 A={﹣1,3}, ∴CUA={﹣2,1,5} 故答案为:{﹣2,1,5}. 点评: 本题考查的知识点是补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解答本题的关键,本题 难度不大,是对补集运算定义的直接考查. 10. (4 分)二次函数 f(x)=x ﹣2x+5,最小值是 4,增区间为 2 2 解答: 解:设 x<0,则﹣x>0,∵当 x≥0 时,f(x)=x ﹣2x,∴f(﹣x)=x +2x, 2 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x ﹣2x, 2 ∴当 x<0 时,f(x)=﹣x ﹣2x 2 故答案为﹣ x ﹣2x 点评: 本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式,关键是先求 x<0 时 f(﹣x)的表 达式,再根据奇偶性求 f(x) . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 44 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (10 分)已知函数 f(x)是正比例函数,函数 g(x)是反比例函数,且 f(1)=1,g(1) =2.
2

(1)求函数 f(x)和 g(x) ; (2)判断函数 f(x)+g(x)的奇偶性. 考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)待定系数法:设出函数的解析式,利用 f(1)=1,g(1)=2,即可求得结论; (2)根据奇偶性的定义:先确定函数的定义域,再验证 h(﹣x)与 h(x)的关系,即可得到 结论; 解答: 解: (1)设 f(x)=k1x,g(x)= ∵f(1)=1,g(1)=2, ∴k1×1=1, =2, ,其中 k1k2≠0,

∴k1=1,k2=2, ∴f(x)=x,g(x)= ; (2)设 h(x)=f(x)+g(x) ,则 h(x)=x+ , ∴函数的定义域是(﹣∞,0)∪(0,+∞) , 因为对定义域内的每一个 x,都有 h(﹣x)=﹣(x+ )=﹣h(x) , ∴函数 h(x)是奇函数,即函数 f(x)+g(x)是奇函数. 点评: 本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式,函数的奇偶性的判断,属基础 题. 16. (10 分)计算下列各式(式中每个字母均为正数) : (1)32 ×27 ;

(2)



考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)32 =4,27 = ;

(2)由指数幂的运算规律求解. 解答: 解: (1)32 ×27 =4× = ;

(2)

=

=﹣

=



点评: 本题考查了指数幂的化简与求值,属于基础题. 17. (10 分)某村计划建造一个室内周长为 200m 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧 与后侧内墙各保留 1m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地(如图) .当矩形温室的边长 各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?

考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设矩形温室的一边长为 xm, 则令一边长为 100﹣x m, 种植面积 S, 列出函数关系式, 利用二次函数求解最值即可. 解答: 解:设矩形温室的一边长为 xm,则令一边长为(100﹣x)m,种植面积 S. 蔬菜的种植面积 S=(x﹣2) (100﹣x﹣4) (0<x<100) =﹣(x﹣49) +2209 当 x=49m 时,Smax=2209,此时 100﹣x=51. 当温室的长为 51 米,宽为 49 米时,蔬菜的种植面积最大,最大面积为 2209 平方米. 点评: 此类问题一般用函数最值来求解,列出函数的关系式是解题的关键. 18. (10 分)已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈, (1)当 a=1 时,求 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间上是单调函数. 考点: 函数的最值及其几何意义;函数单调性的性质. 专题: 常规题型;计算题. 分析: (1)先求出二次函数的对称轴,结合开口方向可知再对称轴处取最小值,在离对称 轴较远的端点处取最大值; (2)要使 y=f(x)在区间上是单调函数,只需当区间在对称轴的一侧时,即满足条件. 2 2 2 解答: 解: (1)f(x)=x +2ax+2=(x+a) +2﹣a , 2 其对称轴为 x=﹣a,当 a=1 时,f(x)=x +2x+2, 所以当 x=﹣1 时,f(x)min=f(﹣1)=1﹣2+2=1;
2 2

当 x=5 时,即当 a=1 时,f(x)的最大值是 37,最小值是 1. (6 分) (2)当区间在对称轴的一侧时, 函数 y=f(x)是单调函数.所以﹣a≤﹣5 或﹣a≥5, 即 a≥5 或 a≤﹣5,即实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣5]∪上为单调函数. (12 分) 点评: 本题主要考查了利用二次函数的性质求二次函数的最值,以及单调性的运用等有关 基础知识,同时考查分析问题的能力. 19. (14 分)已知函数 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 .

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)用单调性的定义证明 f(x)在(﹣1,1)上是增函数; (3)解不等式 f(t ﹣1)+f(t)<0. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;证明题;综合题. 分析: (1)函数是定义在(﹣1,1)上的奇函数,可得 f(0)=0,再结合 联解,
2

可得 a、b 的值,从而得到函数 f(x)的解析式. (2)设﹣1<x1<x2<1,将 f(x1)与 f(x2)作差、因式分解,经过讨论可得 f(x1)<f(x2) , 由定义知 f(x)是(﹣1,1)上的增函数. (3)根据 f(x)是奇函数且在(﹣1,1)上是增函数,得原不等式可化为 t ﹣1<﹣t…①, 2 再根据函数的定义域得﹣1<t ﹣1<1 且﹣1<t<1…②,联解①②可得原不等式的解集. 解答: 解: (1)∵函数 ∴由 f(0)=0,得 b=0. 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,
2

又∵

,∴

= ,解之得 a=1;

因此函数 f(x)的解析式为: (2)设﹣1<x1<x2<1,则



∵﹣1 <x1<x2<1, 2 2 ∴x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0,1+x1 >0,1+x2 >0, 从而 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) 所以 f(x)在(﹣1,1)上是增函数. (3)∵f(x)是奇函数, 2 2 ∴f(t ﹣1)+f(t)<0 即为 f(t ﹣1)<﹣f(t)=f(﹣t) , 又∵f(x)在(﹣1,1)上是增函数, ∴f(t ﹣1)<f(﹣t)即为 t ﹣1<﹣t,解之得:
2 2

…①

又∵

,解之得﹣1<t<1 且 t≠0…②

对照①②,可得 t 的范围是: 所以,原不等式的解集为 .



点评: 本题给出含有字母参数的分式函数,在已知奇偶性的前提下求函数的解析式,并且 讨论的函数的单调性,着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式的解法等知识,属 于基础题.


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