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绵阳2015届一诊文科数学+答案


保密 ★ 启用前 【考试时间:2014 年 10 月 31 日 15:00—17:00】

绵阳市高中 2012 级第一次诊断性考试

数 学(文史类)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题) 。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页,共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。考生作答

时,须将答案答在答题卡上,在 本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将答题卡交回。

第Ⅰ 卷(选择题,共 50 分)
注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第 I 卷共 10 小题。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合 A={x∈Z|x2-1≤0},B={x|x2-x-2=0},则 A∩B= (A) ??? ? ? ? (B) {-1} (C) {0} (D) {2}

? ?) , 2 x ? 1 ”的否定是 2.命题“ ?x ? (0,

? ?) , 2 x0 ≤1 (A) ?x0 ? (0, ? ?) , 2 x0 ≤1 (B) ?x0 ? (0,
? ?) ,2x≤1 (C) ?x ? (0, ? ?) ,2x < 1 (D) ?x ? (0,
3.设各项均不为 0 的数列{an}满足 an ?1 ? 2an (n≥1),Sn 是其前 n 项和,若 a2a4 ? 2a5 , 则 a3= (A)

2

(B) 2 (D) 4 E F D C A 数学(文史类)试题 第 1 页(共 4 页) B

(C) 2 2

4.如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1,则 AD ? DB = (A)

3

(B) ? 3 (D) -3

(C) 3

5.已知 cos( (A)

?

3 ? x) ? ,那么 sin 2 x = 4 5
(B) ? (D)

18 25 7 25

24 25

(C) ?

7 25

? x ? y ? 1 ? 0, ? 6.已知 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 2x-y 的最大值为 ?3 x ? y ? 3 ? 0, ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 7.在(0, 2? )内,使|sinx|≥cosx 成立的 x 的取值范围为 (A) [ ,

?

4

7? ] 4

(B) [ ,

?

4

5? ] 4

(C) [0,

5? ] 4

(D) [0, ] ∪ [

?

4

7? , 2? ] 4

8 .已知 f ( x) 是定义在 (0 , + ∞ ) 上的函数,对任意两个不相等的正数 x1 , x2 ,都有

f (20.2 ) f (0.22 ) f (log2 5) x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ? 0 ,记 a ? ,则 , b ? ,c ? 0.2 2 x1 ? x2 log2 5 2 0.2
(A) a ? b ? c (C) c ? a ? b 9.记函数 f ( x) ? (B) b ? a ? c (D) c ? b ? a

1 3 1 2 1 x ? x ? 在 (0 ,? ?) 的值域为 M,g(x)=(x+1)2+a 在 (?? ,? ?) 的 3 2 2 1 2 1 3

值域为 N,若 N ? M ,则实数 a 的取值范围是 (A) a≥ (C) a≥

1 2 1 3

(B) a≤ (D) a≤

? ? x ? 0, ?sin( x) ? 1, 10.已知函数 f ( x) ? ? 的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 2 ? log x ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) , x ? 0 ? a
对,则实数 a 的取值范围是 (A) (0 , (C) (

5 ) 5

(B) (

5 , 1) 5
3 ) 3

3 , 1) 3

(D) (0 ,

数学(文史类)试题 第 2 页(共 4 页)

第 II 卷(非选择题 共 100 分)
注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。作图题可 先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 第 II 卷共 11 小题。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若 tan ? ? ? ,则

1 3

3sin? ? 2 cos? ? _______. 2 sin? ? cos?

12.已知向量 a=(1,2),b=(2,0),若向量 λa+b 与向量 c=(1,-2)共线,则实数 λ= ______. 13.已知 f ?( x) 是函数 f (x)的导函数, f ( x) ? sin x ? 2 xf ?(0) ,则 f ?( ) =________.

?

2

14.已知函数 f (x)=

3x ? 2 1 2 3 10 , 则 f ( )+f ( )+f ( )+?+f ( )=________. 11 11 11 11 2x ? 1

15.定义:如果函数 y ? f ( x) 在定义域内给定区间 [a,b] 上存在 x0 (a ? x0 ? b) ,满足

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a) ,则称函数 y ? f ( x) 是 [a,b] 上的“平均值函数” , x0 是它的 b?a

一个均值点.例如 y ? x 是 [?2 ,2] 上的平均值函数, 0 就是它的均值点.若函数

1] 上的“平均值函数” ,则实数 m 的取值范围是_________. f ( x) ? x2 ? mx ? 1 是 [?1,
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinωx,cosωx),n=(cosωx,cosωx),其中 ω>0,函数 f ( x) ? 2m·n-1 的 最小正周期为 π. (Ⅰ) 求 ω 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 在[ 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (t)=log2(2-t)+ t ? 1 的定义域为 D. (Ⅰ) 求 D; (Ⅱ) 若函数 g (x)=x2+2mx-m2 在 D 上存在最小值 2,求实数 m 的值. 数学(文史类)试题 第 3 页(共 4 页)

?
6



?
4

]上的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, a , b , c 分别是内角 A , B , C 的对边, A D B C

AB ? 5 , cos ?ABC ?

1 . 5 7 ,求边 BC 的长. 2

(Ⅰ) 若 BC ? 4 ,求△ABC 的面积 S△ABC; (Ⅱ) 若 D 是边 AC 中点,且 BD ?

19. (本小题满分 12 分) 记公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,S3=9, a3,a5,a8 成等比数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式 an 及 Sn ; (Ⅱ) 若 cn ? n2 ? ?an ,n=1,2,3,?,问是否存在实数 ? ,使得数列 {cn } 为单调递 增数列?若存在,请求出 ? 的取值范围;不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 (e 为自然对数的底数),a>0. (Ⅰ) 若函数 f ( x) 恰有一个零点,证明: a a ? e a ?1 ; (Ⅱ) 若 f ( x) ≥0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值集合.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

a 2 x ? bx ? ln x (a,b ∈R). 2

(Ⅰ) 若 a ? b ? 1 ,求 f ( x) 点( 1 , f (1) )处的切线方程; (Ⅱ) 设 a≤0,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ) 设 a<0,且对任意的 x ? 0 , f ( x) ≤ f (2) ,试比较 ln(?a) 与 ? 2b 的大小.

数学(文史类)试题 第 4 页(共 4 页)

绵阳市高 2012 级第一次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. BBDDC BACCA 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ?

3 5

12.-1

13.-2

14.15

15.(0,2)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解:(Ⅰ ) f ( x) ? 2m· n-1 ? 2 sin?x ? cos ?x ? 2 cos 2 ?x ? 1 = sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ? 由题意知: T ? ? ,即

?
4

) . ???????????6 分

2? ? ? ,解得 ? ? 1 .?????????????7 分 2?

(Ⅱ) 由(Ⅰ )知 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ∵

?
4

),

7? ? 3? ≤ 2x ? ≤ , 12 6 4 4 4 7? 3? 又函数 y=sinx 在[ , ]上是减函数, 12 4

?

≤x≤

?

,得

∴ f ( x) max ?

2 sin

? 2 sin
= 分

7? ? ? ? 2 sin( ? ) ??????????????10 分 12 4 3 ? ? ? ?
4 cos 3 ? 2 cos 4 sin 3
3 ?1 .??????????????????????12 2

?2 ? t ? 0, 2) .????????3 分 17.解:(Ⅰ ) 由题知 ? 解得 1 ? t ? 2 ,即 D ? [1, ?t ? 1 ? 0,
(Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2= ( x ? m)2 ? 2m2 ,此二次函数对称轴为 x ? ?m .??4 分

2) 上单调递减,不存在最小值; ① 若 ? m ≥2,即 m≤-2 时, g (x)在 [1, ? m) 上单调递减, (?m , 2] 上递增, ② 若 1 ? ? m ? 2 ,即 ? 2 ? m ? ?1 时, g (x)在 [1,
数学(文史类)试题 第 5 页(共 4 页)

此时 g ( x) min ? g (?m) ? ?2m2 ? 2 ,此时 m 值不存在;

2) 上单调递增, ③? m ≤1 即 m≥-1 时, g (x)在 [1,
此时 g ( x)min ? g (1) ? 1 ? 2m ? m2 ? 2 ,解得 m=1. ??????????11 分 综上: m ? 1 . ?????????????????????????12 分 18.解:(Ⅰ ) AB ? 5 , cos ?ABC ?

1 , BC ? 4 , 5
2 6 , 5
??????6 分

又 ?ABC ? (0, ? ) ,所以 sin ?ABC ? 1 ? cos 2 ?ABC ? ∴ S ?ABC ?

1 1 2 6 BA ? BC ? sin ?ABC ? ? 5 ? 4 ? ?4 6. 2 2 5 (Ⅱ) 以 BA,BC 为邻边作如图所示的平 A 行四边形 ABCE ,如图,


E D C

1 cos ?BCE ? ? cos ?ABC ? ? 5



BE=2BD=7,CE=AB=5, 在 △ BCE 中 , 由 余 弦 定 理 : B

BE 2 ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE .
即 49 ? CB2 ? 25 ? 2 ? 5 ? CB ? (? ) , 解得: CB ? 4 . ????????????????????????10 分 19.解:(Ⅰ ) 由 S3 ? 9,a5 ? a3 ? a8 ,
2

1 5

3? 2 ? d ? 9, ?3a1 ? 2 得: ? 解得: a1 ? 2,d ? 1 . ?(a ? 4d ) 2 ? (a ? 2d ) ? (a ? 7d ), 1 1 ? 1
∴ an ? n ? 1 , S n ?

n(2 ? n ? 1) n 2 3 ? ? n . ?????????????5 分 2 2 2
??????????????????6 分

(Ⅱ) 由题知 cn ? n2 ? ? (n ? 1) . 若使 {cn } 为单调递增数列,

则 cn ?1 ? cn ? (n ? 1)2 ? ? (n ? 2) ? [n2 ? ? (n ? 1)] = 2n ? 1 ? ? ? 0 对一切 n∈N*恒成立, 即: ? ? ?2n ? 1 对一切 n∈N*恒成立, 又 ? (n) ? ?2n ? 1 是单调递减的, ∴ 当 n ? 1 时, ? (n) max =-3, ∴ ? ? ?3 . ?????????????????????????12 分 20.(Ⅰ)证明: 由 f ( x) ? e x ? ax ? 1,得 f ?( x) ? e x ? a .??????????1 分 数学(文史类)试题 第 6 页(共 4 页) ????????????? 10 分

由 f ?( x) >0,即 e x ? a >0,解得 x>lna,同理由 f ?( x) <0 解得 x<lna, ∴ f ( x) 在(-∞,lna)上是减函数,在(lna,+∞)上是增函数, 于是 f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值. 又∵ 函数 f ( x) 恰有一个零点,则 f ( x)min ? f (ln a) ? 0 , ??????? 4 分 即 eln a ? a ln a ? 1 ? 0 .?????????????????????? 5 分 化简得: a ? a ln a ?1 ? 0 , 即a ln a ? a ?1, 于是ln aa ? a ?1 , ∴ a a ? e a ?1 . ????????????????????????? 6 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值 f (ln a ) , 由题意得 f (ln a ) ≥0,即 a ? a ln a ? 1 ≥0,??????????????8 分 令 h(a) ? a ? a ln a ? 1,则 h?(a) ? ? ln a , 由 h?(a) ? 0 可得 0<a<1,由 h?(a) ? 0 可得 a>1. ∴ h(a) 在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,即 h(a)max ? h(1) ? 0 , ∴ 当 0<a<1 或 a>1 时,h(a)<0, ∴ 要使得 f ( x) ≥0 对任意 x∈R 恒成立, a ? 1. ∴ a 的取值集合为 {1} ???????????13 分 21.解:(Ⅰ) a ? b ? 1 时, f ( x) ? ∴ f (1) ? ?

1 2 1 x ? x ? ln x , f ?( x) ? x ? 1 ? , 2 x

1 , k ? f ?(1) ? 1 ,???????????????????2 分 2 故 f ( x) 点( 1, f (1) )处的切线方程是 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 .????????3 分
ax 2 ? bx ? 1 a 2 ? f ( x ) ? ,得 . ? ? x ? bx ? ln x ,x ? 0 , ?? x 2 1 ? bx (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? . x
(Ⅱ)由 f ?x? ? ①若 b≤0,

? ?) . 由 x ? 0 知 f ?( x) ? 0 恒成立,即函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0,
??????????????? ???5 分 ②若 b ? 0 ,

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . b b 1 1 即函数 f ( x) 的单调递增区间是(0, ),单调递减区间是( ,+∞). b b
当0? x ? ?????????????? ???7 分 数学(文史类)试题 第 7 页(共 4 页)

(2) 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,得 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 , 由 ? ? b 2 ? 4a ? 0 得 x1 ? 显然, x1 ? 0 ,x2 ? 0 , 当 0 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调递增, 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调递减,

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a . ,x2 ? 2a 2a

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a ),单调递减区间是( , 2a 2a +∞).????????????????????????9 分 综上所述: ? ?) ; 当 a=0,b≤0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0,
所以函数 f ( x) 的单调递增区间是(0, 当 a=0,b>0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是(0, 当 a ? 0 时 , 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0 , (

1 1 ),单调递减区间是( ,+∞); b b
b ? b 2 ? 4a ),单调递减区间是 2a

b ? b 2 ? 4a ,+∞). ???????????????????????10 分 2a (Ⅲ)由题意知函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得最大值.
由(II)知, 故

b ? b 2 ? 4a 是 f ( x) 的唯一的极大值点, 2a

b ? b 2 ? 4a =2,整理得 ? 2b ? ?1 ? 4a . 2a 于是 ln(?a) ? (?2b) ? ln(?a) ? (?1 ? 4a) ? ln(?a) ? 1 ? 4a
令 g ( x) ? ln x ? 1 ? 4 x( x ? 0) ,则 g ?( x) ? 令 g ?( x) ? 0 , 得x?

1 ?4. x

1 1 1 ( , ) 时,g ?( x) ? 0 ,g ( x) 单调递增; , 当 x ?0 当 x ? ( ,? ?) 4 4 4

时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减.

1 1 ? 0 ,又 ? a ? 0 , 4 4 故 g (?a) ? 0 ,即 ln(?a) ? 1 ? 4a ? 0 ,即 ln(?a) ? ?1 ? 4a ? ?2b ,
因此对任意 x ? 0 , g ( x) ≤ g ( ) ? ln ∴ ln(?a) ? ?2b .???????????????????????14 分

数学(文史类)试题 第 8 页(共 4 页)


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