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平面向量的数量积物理背景及含义


成功者与失败者的差距在于行动, 成功者面对1%的希望会付出100%的努力;

失败者面对99%的希望却被1%的困难吓倒。

向量的夹角:
已知两个非零向量 a和b, 作OA ? a, OB ? b, 则 ?AOB ? ? (0? ? ? ? 180? )叫做向量a与b的夹角 .
B

当θ= 0?

时, a 与 b同向;

当θ= 180? 时, a 与 b反向;

??a
b



b
O

b

θ
a
A

当θ= 90? 时, a与 b 垂直,记作 a ? b 。
a

a

b

a

b

用五点法作出余弦函数 y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的图象

?0,1?
y 10

?? ? ? ,0 ? ?2 ?

?? ,?1?

? 3? ? ,0 ? ? ? 2 ?

?2? ,1?

?

2

?

-

-

-

-

3? 2

2?

x

?1 -

y ? cos? ,? ? ?0, ? ? 的图象

y 10

?

2

?
-

3? 2

-

-

-

2?

?

?1 -

当0? ? ? ? 90?时, cos? ? 0 特别地? ? 0?时, cos? ? 1

当? ? 90?时, cos? ? 0
当90? ? ? ? 180?时, cos? ? 0 特别地? ? 180?时, cos? ? ?1

高中数学 必修四 第二章 平面向量

2.4 平面向量的数量积
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

授课班级 授课教师

高一(2)班

教学设计
物理中的“功”

一个概念

几何意义

性质

应用

物理背景
F

拉力F做的功W = ?
F

F α
S

分析:
F2
α

F F1

根据力的等效性原理,可以 把计算F做功的问题转化为 分别求F1和F2做功的问题

W1= F1S= F COSαS W2 = 0


W = W1 + W2 W = F SCOSα

物理背景
F

拉力F做的功W = ?
F

F α
S

分析:
F2

W ? F ? S ? cos?
α

F

F1

根据力的等效性原理,可以 把计算F做功的问题转化为 分别求F1和F2做功的问题

W1= F1S= F COSαS

W = W1 + W2 从力所做的功出发,我们引入向量 W2 = 0 W = F SCOSα “数量积”的概念。

一个概念
一.向量数量积: 已知两个非零向量 a 与 b ,我们把 数量 | a || b | cos? 叫做 a 与 b

的数量积(或内积),记作


a ?b

a ? b ?| a || b | cos?

注意: (1)数量(内)积的运算结果是一个数量
(2)规定:

0?a ? 0

(3)记法中“· ”不能省略,也不能用“×”替代

数量积的几何意义
(1)投影:

B

b
O

θ
B1

b cos ?叫做向量b在a方向上的投影
a cos ?叫做向量a在b方向上的投影
(2)几何意义:

a

A

? ? a ? b 等于a的长度 a 与b在a方向上的投影 b cos ?的乘积

平面向量数量积的重要性质
a, b都是非零向量 ,?为a与b的夹角 , a ? b ? a b cos?
(1)a ? b ? 0 ? 0? ? ? ? 90?(当? ? 0?时, a与b同向, ? a ? b ? a b )
? (2)a ? b ? 0 ? 90? ? ? ? 180?(当? ? 180 时, a与b反向, ? a ? b ? ? a b )

(3)a ? b ? 0 ? ? ? 90? ? a ? b (向量垂直的判定与性质)
(4) a ? b ? a b
(5) cos? ? a ?b ab
2 2 2

(注意等号成立的条件) (求向量夹角、判断三角形形状)

(6)b特殊化可得 : a ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? a
(求模长)

平面向量数量积的重要性质
设a, b为两个非零向量 , a与b的夹角为 ?.
垂直 同向 共线 反向 绝对值

a ?b ? 0 a ? b ? ________ ab a ? b ? ______
2

a?a ? a ? a , a ? a?a ?ab a ? b ? ______
ab a ? b ? _______

2

a ?b ? 0
符号

a ?b ? 0 a ?b ? 0
cos ? ?
a ?b ab

? ? _________ ? ? _______ ? ? _________

? ?? 0, ? ? ? 2? ? 2 ?? ? ? ,? ? ?2 ?

夹角公式

应用与反馈
例1.已知 | a |? 5,| b |? 4 ,a 与 b 的夹角θ =120? ,

求 a ?b 。
解:

a ? b ?| a || b | cos ?
=5 ? 4 ? cos120

1 ? 5 ? 4 ? (? ) 2 ? ?10

课堂小结
1.知识线:
一个概念 几何意义 六条性质

2.思想方法线: 数形结合、分类讨论、类比的数学思想和方法

课后作业
1.导学案:课后练习 2.预习教材P104~P105平面向量数量积的运算律 书本是你最亲密的“老师”,她无时无刻 在陪伴着你,同学们,学会主动学习、自主钻 研、书中的很多知识等着你去开发!


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