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高一数学《1.1.1任意角》


湖南省长沙市第一中学 数学教案

高一(下)

必修四

三角函数

1.1.1 任意角
教学目标
(一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间

角的集合的 书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识.

教学重点
任意角概念的理解;区间角的集合的书写.

教学难点
终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写.

教学过程
一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图 形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: 始边 B 终边 ③角的分类: O A 顶点 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下, “角α ”或“∠α ”可以简化成“α ” ; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几 象限,我们就说这个角是第几象限角. 例 1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? y y B1 O ⑴ 45° x 60o B3 O ⑵ 480°; x 30° B2

例 2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹

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必修四

三角函数

答:分别为 1、2、3、4、1、2 象限角. 3.探究:教材 P3 面 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合 S={ β | β = α + k·360 ° , k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例 3.在 0°到 360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12' . 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例 4.写出终边在 y 轴上的角的集合(用 0°到 360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}. 例 5.写出终边在 y ? x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的 角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 ③象限角; ④终边相同的角的表示法. 5.课后作业: ①阅读教材 P2-P5; ②教材 P5 练习第 1-5 题;

③教材 P.9 习题 1.1 第 1、2、3 题

? 思考题:已知α角是第三象限角,则 2α, 各是第几象限角? 2 解:?? 角属于第三象限, ? k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z)
因此,2k·360°+360°<2α<2k·360°+540°(k∈Z) 即(2k +1)360°<2α<(2k +1)360°+180°(k∈Z) 故 2α是第一、二象限或终边在 y 轴的非负半轴上的角. 又 k·180°+90°<

? <k·180°+135°(k∈Z) . 2

当 k 为偶数时,令 k=2n(n∈Z),则 n·360°+90°< 此时,

? 属于第二象限角 2

? <n·360°+135°(n∈Z) , 2
? <n·360°+315°(n∈Z) , 2

当 k 为奇数时,令 k=2n+1 (n∈Z),则 n·360°+270°< 此时, 因此

? 属于第二或第四象限角. 2

? 属于第四象限角 2


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