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2011高考数学题型专题冲刺精讲专题四:函数与导数(教师版)


2011 年高考题型专题冲刺精讲(数学) 专题四 函数与导数

【命题特点】 函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程,又是学习高等数学的基础,是高考数学中极为重要 的内容,纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题,函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年 都有试题,分值 26 分左右,函数的解答题在文、理两卷中往往分别命制,这不仅是由教学内容要求的差 异所

决定的,也与文理科考生的思维水平差异有关。文科卷中函数和导数的解答题,其解析式只能选用多 项式函数;而理科卷则可在指数函数、对数函数以及三角函数中选取。高考对导数的考查主要以工具的方 式进行命题,充分与函数相结合.其主要考点: (1)考查利用导数研究函数的性质(单调性、极值与最值) ; (2)考查原函数与导函数之间的关系; (3)考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度 上来看主要有以下几个特点:①以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数 的极值与最值;②与导数的几何意义相结合的函数综合题,利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最 值或极值,属于中档题;③利用导数求实际应用问题中最值,为中档偏难题. 复习建议:复习时,考生要“回归”课本,浓缩所学的知识,夯实基础,熟练掌握解题的通性、通法, 提高解题速度。同时,许多高考试题在教材中都有原型,即由教材中的例题、习题引申变化而来。因此, 考生必须利用好课本,夯实基础知识。 【试题常见设计形式】 函数和导数的内容在高考试卷中所占的比重较大,考查时有一定的综合性,并与数学思想方法紧密 结合,对数学思想方法进行深入的考查,这种综合地统揽各种知识、方法和能力,在函数的考查中得到了 充分的体现,函数与导数解答题在文、理两卷中往往分别命制,这既是由教学内容要求的差异所决定的, 也与文、理科考生的思维水平差异有关,文科卷中的解答题,其解析式一般选用多项式函数;理科卷则常 在指数函数、对数函数以及三角函数中选取。高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题,充分与函数 相结合.1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题;2 考查以函数为载体的实际应用题,主要是首先 建立所求量的目标函数,再利用导数进行求解. 【突破方法技巧】 1.讨论函数的性质时,必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题,注意挖掘隐含在实际中 的条件,避免忽略实际意义对定义域的影响.? 2.运用函数的性质解题时,注意数形结合,扬长避短.? 3.对于含参数的函数,研究其性质时,一般要对参数进行分类讨论,全面考虑.如对二次项含参数的 二次函数问题,应分 a=0 和 a≠0 两种情况讨论,指、对数函数的底数含有字母参数 a 时,需按 a>1 和 0 <a<1 分两种情况讨论.? 4.解答函数性质有关的综合问题时,注意等价转化思想的运用. 5.在理解极值概念时要注意以下几点:①极值点是区间内部的点,不会是端点;②若 f ( x) 在(a,b) 内有极值,那么 f ( x) 在(a,b)绝不是单调函数;③极大值与极小值没有必然的大小关系;④一般的情 况,当函数 f ( x) 在[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数 f ( x) 在[a,b]内的极大值点和极小值点

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是交替出现的;⑤导数为 0 的点是该点为极值点的必要条件,不是充分条件(对于可导函数而言).而充 分条件是导数值在极值点两侧异号.? 6.求函数的最值可分为以下几步:①求出可疑点,即 f ( x) =0 的解 x0;②用极值的方法确定极值; ③将(a,b)内的极值与 f (a ) , f (b) 比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值;当 f ( x) 在(a,b) 内只有一个可疑点时,若在这一点处 f ( x) 有极大(小)值,则可以确定 f ( x) 在该点处了取到最大(小) 值.? 7.利用求导方法讨论函数的单调性,要注意以下几方面:① f ( x) >0 是 f ( x) 递增的充分条件而非 必要条件( f ( x) <0 亦是如此) ;②求单调区间时,首先要确定定义域;然后再根据 f ( x) >0(或 f ( x) <0)解出在定义域内相应的 x 的范围;③在证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次运用求 导的方法来证明.? 8.函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现,解决这类问题要注意:(1)综合运用所学的数学 思想方法来分析解决问题;(2)及时地进行思维的转换,将问题等价转化; (3)不等式证明的方法多,应 注意恰当运用,特别要注意放缩法的灵活运用;(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题. 【典型例题分析】 考点一、利用导数求解函数的单调性问题 若 f(x)在某区间上可导,则由 f?(x)>0(f?(x)<0)可推出 f(x)为增(减)函数,但反之则不一定,如:函 数 f(x)=x3 在 R 上递增,而 f?(x)≥0.f(x)在区间 D 内单调递增(减)的充要条件是 f?(x0)≥0(≤0),且 f?(x)在(a,b)的 任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型:(1)根据函数解析式,求函数的单调区间; (2)根据函数的单调性函数求解参数问题;(3)求解与函数单调性相关的其它问题,如函数图象的零点、不等 式恒成立等问题. 【例 1】2010 课标全国Ⅰ、设函数 f ( x) ? e ? 1 ? x ? ax 。 (Ⅰ)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (II)若
x 2
/

'

'

'

'

当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围

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于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 .

由 e ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e
x

?x

? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ?

1 时, 2

f '( x) ? e x ? 1 ? 2a(e ? x ? 1) ? e ? x (e x ? 1)(e x ? 2a) ,故当 x ? (0, ln 2a) 时, f '( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,
于是当 x ? (0, ln 2a ) 时, f ( x) ? 0 . 综合得 a 的取值范围为 (??, ] .

1 2

【例 2】2010 北京、已知函数 f ( x )=In(1+ x )- x +

x 2 x ( k ≥0)。(Ⅰ)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点 2

(1, f (1))处的切线方程;(Ⅱ)求 f ( x )的单调区间。

当 k ? 1 时, f '( x) ?

x(kx ? k ? 1) 1? k ? 0 ,得 x1 ? ? (?1, 0) , x2 ? 0 . 1? x k

所以没在区间 ( ?1,

1? k 1? k ) 和 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 ( , 0) 上, f '( x) ? 0 k k

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故 f ( x) 得单调递增区间是 ( ?1,

1? k 1? k ) 和 (0, ??) ,单调递减区间是 ( , 0) k k
-x

【例 3】2010 天津、已知函数 f ( x) =xe (x ? R).(Ⅰ) 求函数 f ( x) 的单调区间和极值;(Ⅱ)已知函数 y= g ( x) 的图象与函数 y= f ( x) 的图象关于直线 x=1 对称,证明当 x>1 时, f ( x) > g ( x) (Ⅲ)如果 x1 ? x2 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 证明 x1 ? x2 ? 2 【解析】 (Ⅰ)解: f '( x) ? (1 ? x)e 令 f '( x) =0,解得 x=1
?x

则 g(x2 ) = f(2-x2 ) ,所以 f(x2 ) > f(2-x2 ) ,从而 f(x1 ) > f(2-x2 ) .因为 x2 ? 1 ,所以 2 ? x2 ? 1 , 又由(Ⅰ)可知函数 f ( x) 在区间(-∞,1)内事增函数,所以 x1 > 2 ? x2 ,即 x1 ? x2 >2.

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【例 4】 2010 山东已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a 1 ? 1 (a ? R) .(Ⅰ)当 a ? 时, 讨论 f ( x) 的单调性;Ⅱ) ( x 2

设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4. 当 a ?
2

1 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? ?1, 2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取 4

值范围. 【解析】(Ⅰ)原函数的定义域为(0,+ ?) ,因为 f ( x) ?
'

1 1 ? a -ax 2 +x+a-1 ,所以当 a ? 0 时, ? a- 2 = x2 x x

(Ⅱ)当 a ?

1 时, f(x) 在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意 x1 ? (0, 2) , 4 1 1 ,又已知存在 x2 ? ?1, 2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 ? ? g ( x2 ) , x2 ? ?1, 2? , 2 2

有 f(x1 ) ? f(1)=-

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9 1 9 11 17 2 2 即存在 x ? ?1, 2? ,使 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 ? ? ,即 2bx ? x ? ,即 2b ? x ? 2 ? [ , ] , 2 2 2 4 x
所以 2b ?

11 11 11 ,解得 b ? ,即实数 b 取值范围是 [ , ??) 。 2 4 4

考点二、 求函数的极值问题 极值点的导数一定为 0,但导数为 0 的点不一定是极值点,同时不可导的点可能是极值点.因此函数的 极值点只能在导数为 0 的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型:(1)根据函数解析式求极 值;(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解. 【例 5】2010 江西文 17. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 6 x ? 3(a ? 2) x ? 2ax .(1)若 f ( x) 的两个
3 2

极值点为 x1 , x2 , x1 x2 ? 1 , 且 求实数 a 的值; 是否存在实数 a , (2) 使得 f ( x) 是 (??, ??) 上的单调函数? 若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 【解析】 f ?( x) ? 18 x ? 6(a ? 2) x ? 2a :
2

2a ? 1 ,所以 a ? 9 ; 18 2 2 (2)由 ? ? 36(a ? 2) ? 4 ? 18 ? 2a ? 36( a ? 4) ? 0 ,所以不存在实数 a ,使得 f ( x) 是 R 上的单调函数.
(1)由已知有 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0 ,从而 x1 x2 ? 安徽文设函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ? 1 , 0 ? x ? 2? ,求函数 f ( x) 的单调区间与极值.

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【例 6】2010 全国 I 文已知函数 f ( x) ? 3ax ? 2(3a ? 1) x ? 4 x (I)当 a ?
4 2

1 时,求 f ( x) 的极值;(II) 6

若 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数,求 a 的取值范围 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? 4 ? x ? 1? 3ax 2 ? 3ax ? 1 当a ?

?

?

1 ? 时, f ? ? x ? ? 2( x ? 2)( x ? 1) 2 , f ( x) 在 (??, ?2) 内单调减, ( ? 2, ?) 在 内单调增, x ? ?2 时, 在 6

f ( x) 有极小值. 所以 f (?2) ? ?12 是 f ( x) 的极小值.

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【例 7】2010 北京文设定函数 f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,且方程 f ' ( x) ? 9 x ? 0 的两个根分别为 3

1,4。 (Ⅰ)当 a=3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) 在 (??, ??) 无极值点, 求 a 的取值范围。 解:由 f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 得 f ?( x) ? ax 2 ? 2bx ? c 3
2

因为 f ?( x) ? 9 x ? ax ? 2bx ? c ? 9 x ? 0 的两个根分别为 1,4,所以 ?

?a ? 2b ? c ? 9 ? 0 (*) ?16a ? 8b ? c ? 36 ? 0

(Ⅰ)当 a ? 3 时,又由(*)式得 ?

?2b ? c ? 6 ? 0 ?8b ? c ? 12 ? 0
3 2

解得 b ? ?3, c ? 12 又因为曲线 y ? f ( x) 过原点,所以 d ? 0 故 f ( x) ? x ? 3 x ? 12 x ( Ⅱ ) 由 于 a>0, 所 以 “ f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 在 ( - ∞ , + ∞ ) 内 无 极 值 点 ” 等 价 于 3

“ f ?( x) ? ax ? 2bx ? c ? 0 在 ( - ∞ , + ∞ ) 内 恒 成 立 ” 由 ( * ) 式 得 2b ? 9 ? 5a, c ? 4a 。 又 。
2

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?a ? 0 ? ? (2b) 2 ? 4ac ? 9(a ? 1)(a ? 9) 解 ? 得 a ? ?1,9? 即 a 的取值范围 ?1,9? ?? ? 9(a ? 1)(a ? 9) ? 0
考点三、求解函数的最值问题 函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果, 因此函数在闭区间[a, b]上的端点 函数值一定不是极值,但它可能是函数的最值.同时,函数的极值不一定是函数的最值,最值也不一定是极 值.另外求解函数的最值问题,还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题 型:(1)根据函数的解析式求函数的最大值;(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题. 【例 8】2010 福建文已知函数 f(x)=

1 3 x ? x 2 ? ax ? b 的图像在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=3x-2(Ⅰ) 3

求实数 a,b 的值;(Ⅱ)设 g(x)=f(x)+

m 是[ 2, ?? ]上的增函数。 (i)求实数 m 的最大值; (ii)当 m 取 x ?1

最大值时,是否存在点 Q,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的 面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由。 解法一: (Ⅰ)由 f '( x) ? x ? 2 x ? a 及题设得 ?
2

? f '(0) ? 3 ?a ? 3 即? 。 ? f (0) ? ?2 ?b ? ?2

(Ⅱ) (ⅰ)由 g ( x) ?

1 3 m m 2 x ? x 2 ? 3x ? 2 ? 得 g '( x) ? x ? 2 x ? 3 ? 。 3 x ?1 ( x ? 1) 2

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中心对称。这也就表明,存在点 Q (1, ) ,使得过点 Q 的直线若能与函数 g ( x) 的图像围成两个封闭图形, 则这两个封闭图形的面积总相等。 解法二: (Ⅰ)同解法一。 (Ⅱ) (ⅰ)由 g ( x) ?

1 3

1 3 m m 2 x ? x 2 ? 3x ? 2 ? 得 g '( x) ? x ? 2 x ? 3 ? 。 3 x ?1 ( x ? 1) 2

? g ( x) 是 [2, ??) 上的增函数, ? g '( x) ? 0 在 [2, ??) 上恒成立, x 2 ? 2 x ? 3 ? 即

m ? 0 在 [2, ??) ( x ? 1) 2

上恒成立。设 ( x ? 1) ? t 。? x ? [2, ??),? t ? [1, ??) ,即不等式 t ? 2 ?
2

m ? 0 在 [1, ??) 上恒成立。所以 t

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m ? t 2 ? 2t 在 [1, ??) 上恒成立。令 y ? t 2 ? 2t , t ? [1, ??) ,可得 ymin ? 3 ,故 m ? 3 ,即 m 的最大值为
3. (ⅱ)由(ⅰ)得 g ( x) ?

1 3 3 x ? x 2 ? 3x ? 2 ? ,将函数 g ( x) 的图像向左平移 1 个长度单位,再向下 3 x ?1

平移

1 1 3 3 个长度单位,所得图像相应的函数解析式为 ? ( x) ? x ? 2 x ? , x ? (??, 0) ? (0, ??) 。由于 3 3 x

? (? x) ? ?? ( x) ,所以 ? ( x) 为奇函数,故 ? ( x) 的图像关于坐标原点成中心对称。由此即得,函数 g ( x) 的
图像关于点 Q (1, ) 成中心对称。这也表明,存在点 Q (1, ) ,是得过点 Q 的直线若能与函数 g ( x) 的图像 围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等。 【例 9】2010 江西设函数 f ? x ? ? ln x ? ln ? 2 ? x ? ? ax(a ? 0) 。 (1)当 a=1 时,求 f ? x ? 的单调区间。 (2) 若 f ? x ? 在 ? 0, 上的最大值为 1?

1 3

1 3

1 ,求 a 的值。 2 1 1 ? a ,定义域为(0,2) 解:对函数求导得: f ?( x) ? ? x 2? x
(1)当 a=1 时,令 f ?( x) ? 0得

1 1 ? x2 ? 2 ? +1=0 ? ?0 x 2? x (2 ? x) x

当 x ? (0, 2), f ?( x) ? 0, 为增区间;当 x ? ( 2, f ?( x) ? 0, 为减函数。 2), (2)区间 ? 0, 上的最值问题,通过导数得到单调性,结合极值点和端点的比较得到,确定待定量 a 的值。 1? 当 x ? ? 0, 有最大值,则必不为减函数,且 f ?( x) ? 1?

1 1 ? ? a >0,为单调递增区间。最大值在右端点 x 2? x

取到。 f max ? f (1) ? a ?

1 。 2
2

【例 10】2010 辽宁已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax ? 1 (I)讨论函数 f (x) 的单调性; (II)设 a ? ?1 . 如果对任意 x1 , x 2 ? (0,??) , | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 | x1 ? x 2 | ,求 a 的取值范围。

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a?

?4 x ? 1 (2 x ? 1) 2 ? 4 x 2 ? 2 (2 x ? 1) 2 ? ? ? 2 故 a 的取值范围为(-∞,-2].?12 分 2x2 ? 1 2x2 ? 1 2x2 ? 1

【例 11】 2010 广东省文、 已知函数 f ( x) 对任意实数 x 均有 f ( x) ? kf ( x ? 2) , 其中常数 k 为负数, f ( x) 且 在区间 ? 0, 2? 上有表达式 f ( x) ? x( x ? 2) . (1) 求 f (?1) , f (2.5) 的值; (2)写出 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的 表达式,并讨论函数 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的单调性; (3)求出 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的最小值与最大值,并求出 相应的自变量的取值. 解: (1)

f (?1) ? kf (1) ? ? k .? f (0.5) ? kf (2.5), ? f (2.5) ?

1 1 3 f (0.5) ? (0.5 ? 2) ? 0.5 ? ? . k k 4k

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(2)解法一:? 对任意实数 x, f ( x) ? kf ( x ? 2) ,

解法二:当

x ? (0, 2], x ? 2 ? (2, 4]时,? f ( x) ? kf ( x ? 2), ? f ( x ? 2) ?

1 1 f ( x) ? x( x ? 2) . k k

令 x ? 2 ? t ,? t ? (2, 4], x ? t ? 2,? f (t ) ?

1 (t ? 2)(t ? 4) . k

即 x ? (2,3], f ( x) ?

1 1 ( x ? 2)( x ? 4)= ( x 2 ? 6 x ? 8) . k k

当 x ? [0, 2), x ? 2 ? [?2, 0)时,f ( x ? 2) ? kf ( x) ? kx( x ? 2). 令 x ? 2 ? t ,? t ? [?2, 0), x ? t ? 2,? f (t ) ? k (t ? 2)(t ? 2 ? 2) ? kt (t ? 2) . 即 x ? [?2, 0), f ( x) ? kx( x ? 2) .当

x ? [?2, 0), x ? 2 ? [?4, ?2)时,f ( x ? 2) ? kf ( x) ? k 2 x( x ? 2).
令 x ? 2 ? t ,? t ? [?4, ?2), x ? t ? 2,? f (t ) ? k (t ? 4)(t ? 2) .
2

即 x ? [?3, ?2), f ( x) ? k ( x ? 2)( x ? 4) ? k ( x ? 6 x ? 8) .
2 2 2

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?k 2 ( x 2 ? 6 x ? 8),  3 ? x ? ?2; ? ? 2 ? ?k ( x ? 2 x),     2 ? x ? 0; ? 2 故 f ( x) ? ? x ? 2 x,       x ? 2; ? k ? 0,? f ( x) 在 [?3, ?1] 与 [1,3] 上为增函数, [?1,1] 上 在 0? ? ? 1 ( x 2 ? 6 x ? 8),    x ? 3. 2? ?k ?
为减函数. (3)由函数 f ( x) 在 [?3,3] 上的单调性可知, f ( x) 在 x ? ?3 或 x ? 1 处取得最小值 f (?3) ? ? k 或
2

1 f (1) ? ?1 ,而在 x ? ?1 或 x ? 3 处取得最大值 f (?1) ? ?k 或 f (3) ? ? .故有① k ? ?1 时, f ( x) 在 k

x ? ?3 处取得最小值 f (?3) ? ?k 2 ,在 x ? ?1 处取得最大值 f (?1) ? ?k .② k ? ?1 时, f ( x) 在 x ? ?3
与 x ? 1 处 取 得 最 小 值 f (?3) ? f (1) ? ?1, 在 x ? ?1 与 x ? 3 处 取 得 最 大 值 f (?1) ? f (3) ? 1 . ③

1 ?1 ? k ? 0 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得最小值 f (1) ? ?1 ,在 x ? 3 处取得最大值 f (3) ? ? . k
考点四、函数与导数综合问题 导数是研究函数的工具,导数进入新教材之后,给函数问题注入了生机和活力,开辟了许多解题新途 径,拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情,对函数的命题 已不再拘泥于一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等,对研究函数的目标也不仅限于 求定义域,值域,单调性,奇偶性,对称性,周期性等,而是把高次多项式函数,分式函数,指数型,对 数型函数,以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象,试题的命制往往融函数,导数,不等 式,方程等知识于一体,通过演绎证明,运算推理等理性思维,解决单调性,极值,最值,切线,方程的 根,参数的范围等问题,这类题难度很大,综合性强,内容新,背景新,方法新,是高考命题的丰富宝藏。 解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。 【 例 12 】 2010 全 国 I 理 (20)( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . ( Ⅰ ) 若

xf '( x) ? x 2 ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 .

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【例 13】2010 陕西、已知函数 f(x)= x ,g(x)=alnx,a ? R。(Ⅰ)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且 在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程;(Ⅱ)设函数 h(x)=f(x)- g(x),当 h(x)存在最小之时,求其最 小值 ? (a)的解析式;对(Ⅱ)中的 ? (a ) ,证明:当 a ? (0,+ ? )时, ? (a ) ? 1.

? x ? a ln x a e ? 解 (1) f’(x)= ,g’(x)= (x>0),由已知得 ? 1 解德 a= ,x=e2,? 两条曲线交点的坐标为 2,e) (e a , x 2 ? 2 x ? ? 2 x x

1

切线的斜率为 k=f’(e2)= 2e ,? 切线的方程为 y-e= 2e (x- e2). (1) 当 a.>0 时,令 h (x)=0,解得 x= 4a ,所以当 0 < x< 4a 时 h (x)<0,h(x)在(0, 4a )上递减; 当 x> 4a 时,h (x)>0,h(x)在(0, 4a )上递增。 所以 x> 4a 是 h(x)在(0, +∞ )上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是 h(x)的最小值点。 所以 ? (a ) =h( 4a )= 2a-aln 4a =2
2 2
'

1

1

2

2

'

2

2

'

2

2

(2)当 a ≤ 0 时,h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在(0,+∞)递增,无最小值。故 h(x) 的最小值 ? (a ) 的解析式 为 2a(1-ln2a) (a>o) (3)由(2)知 ? (a ) =2a(1-ln2a)则 ? ?(a ) =-2ln2a,令 ? ?(a ) =0 解得 a =1/2

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当 0<a<1/2 时, ? ?(a ) >0,所以 ? (a ) 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时, ? ?(a ) <0,所以 ? (a ) 在 (1/2, +∞)上递减。所以 ? (a ) 在(0, +∞)处取得极大值 ? ( ) =1

1 2

因为 ? (a ) 在(0, +∞)上有且只有一个极致点,所以 ? ( ) =1 也是 ? (a ) 的最大值 所当 a 属于 (0, +∞)时,总有 ? (a ) ≤ 1 考点五、导数与数学建模的问题 此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题,旨在考查考生在数学应用方面阅 读、理解陈述的材料,能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,这是高考中的一个热 点. 解答类似于本题的问题时,可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量,建立函数模型,然后根据 目标函数的结构特征(非常规函数),确定运用导数最值理论去解决问题. 【例 14】2010 湖北、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某 幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗 费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系: C ? x ? ?

1 2

k ? 0 ? x ? 10 ? ,若不建隔热 3x ? 5

层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ? x ? 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (Ⅰ)求 k 的 值及 f ? x ? 的表达式; (Ⅱ)隔热层修建多厚对,总费用 f ? x ? 达到最小,并求最小值. 解: (Ⅰ) 没隔热层厚度 x cm, 由题设每年能源消耗费用为 C ? x ? ?

k ? 0 ? x ? 10 ? ,再由 C ? 0 ? ? 8 得 3x ? 5

k ? 40 ,C ? x ? ?

40 ? 0 ? x ? 10 ? 而建造费用为 C1 ? x ? ? 6 x 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗 3x ? 5 40 800 ? 6x ? ? 6 x ? 0 ? x ? 10 ? 3x ? 5 3x ? 5
2400

费用之和为 f ? x ? ? 20C ? x ? ? C1 ? x ? ? 20 ? (Ⅱ) f ? ? x ? ? 6 ?

2400

? 3x ? 5?

2

,令 f ? ? x ? ? 0 ,即

? 3x ? 5?

2

?6

解得 x ? 5 , x ? ?

25 (舍去) 当 0 ? x ? 5 时,f ? ? x ? ? 0 , ? ? x ? ?? 时,f ? ? x ? ? 0 , x ? 5 是 f ? x ? 。 当 故 3 800 ? 70 15 ? 5

的最小值点,对应的最小值为 f ? 5 ? ? 6 ? 5 ?

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当隔热层修建 5 ㎝厚时,总费用达到最小值 70 万元. 【例 15】 某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处, 已知 AB=20km,CB =10km , 为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个 污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP ,设排污 管道的总长为 y km. (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= ? (rad),将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x x 的函数关系式.

D O

P

C

A

B

(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短. 【解析】本小题主要考查函数最值的应用. (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则 OA ?

AQ 10 ? , 故 cos ? cos ?

OB ?

10 ,又 OP= 10 ? 10 tan ? 10-10ta ? , cos ?

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【突破训练】 3 2 1、 已知函数 f(x)=x +bx +ax+d 的图象过点 P 0, , ( 2) 且在点 M -1, -1) 处的切线方程为 6x-y+7=0. ( f ( ) (Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调区间. 3 2 2 解: (Ⅰ)由 f(x)的图象经过 P(0,2) ,知 d=2,则 f(x)=x +bx +cx+2,f?(x)=3x +2bx+c, 由在 M(-1,f(-1))处的切线方程是 6x-y+7=0, 知-6-f(-1)+7=0, f(-1)=1, f?(-1)=6, ? 即 且 ∴ 即?
? 2b-c=3 ? b-c=0 ? 3-2b+c=6 ? -1+b-c+2=1



,解得 b=c=-3,故所求的解析式是 f(x)=x -3x -3x+2.
2 2 2

3

2

(Ⅱ)f?(x)=3x -6x-3,令 3x -6x-3=0,即 x -2x-1=0,解得 x1=1- 2,x2=1+ 2,当 x<1- 2或 x>1+ 2 3 2 时, f?(x)>0; 1- 2<x<1+ 2时, 当 f?(x)<0, f(x)=x -3x -3x+2 在(-∞, 2)内是增函数, 故 1在(1- 2, 1+ 2)内是减函数,在(1+ 2,+∞)内是增函数. 2、已知定义在 R 上的函数 f(x)=x (ax-3),其中 a 为常数.(Ⅰ)若 x=1 是函数 f(x)的一个极值点,求 a 的值;(Ⅱ)若函数 f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求 a 的取值范围 3 2 解: (Ⅰ)f(x)=ax -3x,f?(x)=3ax -6x=3x(ax-2),∵x=1 是 f(x)的一个极值点,∴f?(1)=0,∴a =2; 2 (Ⅱ)①当 a=0 时,f(x)=-3x 在区间(-1,0)上是增函数,∴a=0 符合题意; 2 2 ②当 a≠0 时,f?(x)=3ax(x- ),由 f?(x)=0,得 x=0,x= a a
2

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当 a>0 时,对任意 x∈(-1,0),f?(x)>0,∴a>0 符合题意; 2 2 当 a<0 时,当 x∈( ,0)时,由 f?(x)>0,得 ≤-1,∴-2≤a<0 符合题意;综上所述,a≥-2. a a 3、设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围.

(Ⅱ)解: f’(x)= 3ax ? 3 x ? 3 x( ax ? 1) .令 f’(x)=0,解得 x=0 或 x=
2

1 . a

以下分两种情况讨论: (1) 若 0 ? a ? 2,则

1 1 ? ,当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2
0

X

? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?
+

? 1? ? 0, ? ? 2?
-

f’(x) f(x)

0 极大值

?

?

1 ?5 ? a ? ? ? f (? 2 ) ? 0, ? 8 ? 0, ? ? 1 1? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? , 即? ? 2 2? ? f ( 1 ) ? 0, ? 5 ? a ? 0. ? 2 ? 8 ? ?

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解不等式组得-5<a<5.因此 0 ? a ? 2 . (2) 若 a>2,则 0 ?

1 1 ? .当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2
0 0 极大值

X f’(x) f(x)

? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?
+

? 1? ? 0, ? ? a?
-

1 a
0 极小值

?1 1? ? ,? ?a 2?
+

?

?

?

?5 ? a ? 1 >0, f(- )>0, ? ? 2 2 2 ? ? 8 ? 1 1? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? ,解不等式组得 . ? a ? 5或a ? ? 1 1 2 2 ? 2 2? ?f( )>0, ?1>0. ? a ? 2a 2 ? ?
因此 2<a<5.综合(1)和(2) ,可知 a 的取值范围为 0<a<5.

5、2010 浙江文、已知函数 f ( x) =( π -a) (a-b) (a,b∈R,a<b).(Ⅰ)当 a=1,b=2 时,求曲线 y= f ( x) 在点(2,f(2) )处的切线方程;(Ⅱ)设 x1,x2 是 f ( x) 的两个极值点,x3 是 f ( x) 的一个零点, 且 x3≠x1,x3≠x2.证明:存在实数 x4,使得 x1,x2,x3,x4 按某种顺序排列后构成等差数列,并求 x4. 解:(Ⅰ)当 a=1,b=2 时,因为 f′(x)=(x-1)(3x-5).故 f′(2)=1. 又 f (2) =0,所以 f ( x) 在点(2,0)处的切线方程为 y=x-2.

(Ⅱ)证明:因为 f′(x)=3(x-a) (x-

a ? 2b a ? 2b ) ,由于 a<b.故 a< . 3 3

所以 f ( x) 的两个极值点为 x=a,x=

a ? 2b a ? 2b .不妨设 x1=a,x2= , 3 3 a ? 2b a ? 2b -a=2(b- ) , 3 3

因为 x3≠x1,x3≠x2,且 x3 是 f ( x) 的零点,故 x3=b.又因为

x4=

1 a ? 2b 2a ? b 2a ? b a ? 2b (a+ )= ,所以 a, , ,b 依次成等差数列, 2 3 3 3 3 2a ? b . 3

所以存在实数 x4 满足题意,且 x4=

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kx+1 6、 已知函数 f(x)= 2 (c>0, c≠1, 且 k∈R) 恰有一个极大值点和一个极小值点, 其中一个是 x=-c. (Ⅰ) x +c 求函数 f(x)的另一个极值点;(Ⅱ)求函数 f(x)的极大值 M 和极小值 m,并求 M-m≥1 时 k 的取值范围. k(x +c)-2x(kx+1) -kx -2x+ck 2 解:(Ⅰ)f?(x)= = ,由题意知 f?(-c)=0,即得 c k-2c-ck=0,即 2 2 2 2 (x +c) (x +c) 2 2 c=1+ (*)∵c≠0,∴k≠0.由 f?(0)=0,得-kx -2x+ck=0,由韦达定理知另一个极值点为 x=1. k 2 (Ⅱ)由(*)式得 c=1+ ,当 c>1 时,k>0;当 0<c<1 时,k<-2. k (ⅰ)当 k>0 时,f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)内是减函数,在(-c,1)内是增函数. 2 2 k+1 k -kc+1 -k k k f(1)= = >0,m=f(-c)= 2 = <0,由 M-m= + ≥1 及 k>0,解得 k≥ 2. c+1 2 c +c 2(k+2) 2 2(k+2) (ⅱ)当 k<-2 时,f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)内是增函数,在(-c,1)内是减函数. 2 2 2 -k k+1 k -k k (k+1) +1 ∴M=f(1)= >0,m= = <0,而 M-m= - =1- ≥1 恒成立. 2(k+2) c+1 2 2(k+2) 2 k+2 综上可知,所求 k 的取值范围为(-∞,-2)∪? 2,+∞).
2 2

7、2010 全国 II 理、设函数 f ? x ? ? 1 ? e ? x . (Ⅰ)证明:当 x>-1 时, f ? x ? ?

x ; x ?1

(Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1 x ?1 ? ln( x ? 1) ,其中实数 a ? ?1 .(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f (x) 在 x?a
(Ⅱ)若 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,试讨论 f (x) 的单调性.

8、2010 重庆、已知函数 f ( x) ?

点 (0, f (0)) 处的切线方程;

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9、2010 四川、设 f ( x ) ?

1? ax ( a ? 0 且 a ? 1 ) g(x)是 f(x)的反函数.(Ⅰ)设关于 x 的方程 , 1? ax

log a

t ? g( x ) 在区间[2,6]上有实数解,求 t 的取值范围; (Ⅱ)当 a=e(e 为自然对数的 ( x ? 1 )( 7 ? x )
2

底数)时,证明: 明理由.

? g( k ) ?
k ?2

n

n 1 2 ? n ? n2 ; (Ⅲ)当 0<a≤ 时,试比较? f ( k ) ? n 与 4 的大小,并说 ? ? 2 2n( n ? 1 ) k ?1

解:(1)由题意,得 a =

x

x ?1 y ?1 >0 故 g(x)= log a ,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞) x ?1 y ?1

由 log a

t x ?1 2 ? log a 得 t=(x-1) (7-x),x∈[2,6] ( x ? 1)(7 ? x) x ?1
2
2

则 t'=-3x +18x-15=-3(x-1)(x-5)列表如下:

x t'

2

(2,5) +

5 0

(5,6) -

6

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t 5 ↗ 极大值 32 ↘ 所以 t 最小值=5,t 最大值=32 所以 t 的取值范围为[5,32]????5 分
n

25

(2)

? g (k ) ? ln 3 ? ln 4 ? ln 5 ? ?? ? ln n ? 1 =ln( 3 ? 4 ? 5 ???? n ? 1 )=-ln
k ?2
2

1

2

3

n ?1

1 2 3

n ?1

n(n ? 1) 2

令 u(z)=-lnz -

1? z2 1 2 1 1 2 =-2lnz+z- ,z>0 则 u'(z)=- ? 1 ? 2 =(1- ) ≥0 z z z z z

所以 u(z)在(0,+∞)上是增函数又因为

n(n ? 1) n(n ? 1) >1>0,所以 u( )>u(1)=0 2 2

即 ln

2 ? n(n ? 1)

1?

n(n ? 1) n 2 ? n ? n2 2 >0 即 ? g (k ) ? ????9 分 n(n ? 1) 2n(n ? 1) k ?2 2

(3)设 a=

1 1? a 2 2 ? 1 ? ≤3 当 n=1 时,|f(1)-1|= ≤2<4 ,则 p≥1,1<f(1)= 1? p 1? a p p
*

当 n≥2 时设 k≥2,k∈N 时,则 f(k)=

(1 ? p) k ? 1 2 ? 1? k (1 ? p) ? 1 (1 ? p) k ? 1

=1+

2 C p ? C p ? ? ? Ckk p k
1 k 2 k 2

所以 1<f(k)≤1+

2 4 4 4 ? 1? ? 1? ? 2 C ? Ck k (k ? 1) k k ?1
1 k

从而 n-1<

? f (k ) ≤n-1+ 2 ? n ? 1 =n+1- n ? 1 <n+1
k ?2

n

4

4

4

所以 n<

?
k ?1

n

f (k ) <f(1)+n+1≤n+4 综上所述,总有| ? f (k ) -n|<4
k ?1

n

10、2010 江苏、设 f (x) 使定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x) .如果存在实数 a 和函数 h(x) , 其中 h(x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h(x) >0,使得 f ' ( x) ? h( x)( x ? ax ? 1) ,则称函数 f (x) 具有性质
2

b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数.(i)求证:函数 f (x) 具有性质 P(b) ;(ii) x ?1 求函数 f (x) 的单调区间.(2)已知函数 g (x) 具有性质 P (2) ,给定 x1 , x2 ? (0, ?? ) , x1 ? x2 ,设 m 为实数, 且 若| ? ? mx1 ? (1 ? m) x 2 ,? ? (1 ? m) x1 ? mx 2 , ? ? 1, ? ? 1 , g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,求 m

P(a ) .(1)设函数 f (x) ? ln x ?

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的取值范围.

g (? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g ( ? ) ,
∴| g (? ) ? g ( ? ) |>| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |,不合题意。故 x1 ? ? ? ? ? x2 ,则有 ? 解得 m ? 1 ,∴ 当m ?

? x1 ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ?(1 ? m) x1 ? mx2 ? x2

1 1 ? m ? 1 。当 m ? 时, ? ? ? ,此时有 0=| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x 2 ) |成立。 2 2

1 时,? ? ? ,? ? x2 ? m( x1 ? x2 ) ,? ? x1 ? ? m( x1 ? x2 ) , ?? ? x2 ?? ? ? x1 ? ? ? m 2 ( x1 ? x2 ) 2 , 故 2 ? x1 ? (1 ? m) x1 ? mx2 1 同上有 x1 ? ? ? ? ? x2 ,则有 ? ,解得 m ? 0 ,∴ 0 ? m ? 。综上, m ? (0,1) 2 ?mx1 ? (1 ? m) x2 ? x2
11、2010 湖南文、已知函数 f ( x) ?

a ? x ? (a ? 1) ln x ? 15a ,其中 a<0,且 a≠-1.(Ⅰ)讨论函数 f ( x) x
(e 是自然对数的底数).是否存

的单调性; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? ?

?(?2 x 3 ? 3ax 2 ? 6ax ? 4a 2 ? 6a )e x , x ? 1, ?e? f ( x), x ? 1

在 a,使 g ( x) 在[a,-a]上为减函数?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) .其导函数 f ?( x) ? ?

a a ? 1 ( x ? a )( x ? 1) ?1? = . 2 x x x2

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e ? f (1) . 由 ( Ⅰ ) 知 当 a ≤ - 2 时 , f ( x) 在 [1, ?a] 上 为 减 函 数 . ① 又 h(1) ≥
1 e ? f (1) ? 4a 2 ? 13a ? 3 ? 0 ? ?3 ? a ? ? .② 4
不难知道, ?x ? [a,1] , h?( x) ? 0 ? ?x ? [a,1] , m( x) ? 0 . 因 m?( x) ? ?6 x ? 6(a ? 2) x ? 12a = ?6( x ? 2)( x ? a ) ,令 m?( x) ? 0 ,则 x ? a 或 x ? ?2 .而 a≤-2,于是
2

(1)当 a ? ?2 时,若 a ? x ? ?2 ,则 m?( x) ? 0 ;若 ?2 ? x ? 1 ,则 m?( x) ? 0 .因而 m( x) 在 (a, ?2) 上单 调递增,在 (?2,1) 上单调递减.(2)当 a=-2 时, m?( x) ? 0 , m( x) 在 (?2,1) 上单调递减. 综合(1)(2)知,当 a≤-2 时, m( x) 在 [a,1] 上的最大值为 m(?2) ? ?4a ? 12a ? 8 . ,
2

所以 ?x ? [a,1] , m( x) ? 0 ? m(?2) ? 0 ? ?4a ? 12a ? 8 ? 0 ? a≤-2.③
2

又对 x ? [a,1] ,m( x) ? 0 只有当 a=-2 时在 x ? ?2 时取得,亦即 h?( x) ? 0 只有当 a=-2 时在 x ? ?2 时取得.因此,当 a≤-2 时, h( x) 在 [a,1] 上为减函数.从而由①,②,③知,-3≤a≤-2.综上所述,存 在 a 使 g ( x) 在 [a, ? a ] 上为减函数,且 a 的取值范围为 [?3, ?2] .

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12、甲方是一农场,乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补 经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x(元)与年产量 t(吨)满足 函数关系 x ? 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格)(Ⅰ)将乙方 , 的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量; (Ⅱ)甲方每年受乙 方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002t 2 (元) ,在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方 要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少? 解 析 : Ⅰ ) 因 为 赔 付 价 格 为 s 元 / 吨 , 所 以 乙 方 的 实 际 年 利 润 为 : w ? 2000 t ? st. 因 为 (

w ? 2000 t ? s ( t ) 2 ? ? s[ t ?
? 1000 ? ? ? s ?
2

2 1000 2 10002 ? 1000 ? ] ? ,所以当 t ? ? ? 时, w 取得最大值.所以乙方取得最 ? s ? s s

大年利润的年产量 t ? ?

(吨).

(Ⅱ)设甲方净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t .将 t ? ?
2

? 1000 ? ? 代入上式,得到甲方净收入 v 与赔付价 ? s ?

2

格 s 之间的函数关系式 v ?

10002 2 ?10003 ? s s4

.又 v / ? ?

1000 2 8 ? 1000 3 ? s2 s5

?

1000 2 ? (8000 ? s 3 ) s5

,令 v ' ? 0 ,得 s ? 20 .当 s ? 20 时, v ' ? 0 ;当 s ? 20 时, v ' ? 0 ,所以 s ? 20

时, v 取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格 s ? 20 (元/吨)时,获最大净收入.

13、两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧

上选择一点 C 建造垃圾处理厂,

其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关, 对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和, 记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾 处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地 点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度

的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由。

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?

1 4n 9m 1 1 4n 9m ? n ? 240 [13 ? ( ? )] ? (13 ? 12) ? 当且仅当 ? 即? 时取”=”.下面证明函数 400 m n 400 16 m n ?m ? 160 4 9 ? 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m 400 ? m

y?

设 0< m1 < m2 <160,则

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(m2 ? m1 )

4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 在(160,400)上为增函数. ? 0 即 y1 ? y2 函数 y ? ? m 400 ? m m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所以当 m=160 即 x ? 4 10 时取”=”,函数 y 有最小值, 所以弧上 ? 存在一点,当 x ? 4 10 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小. AB 14、 已知关于 x 的函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? bc ,其导函数为 f ?( x) .令 g ( x) ? f ?( x) ,记函数 g ( x) 在 3 4 , 试确定 b 、 的值: Ⅱ) b ? 1 , ( 若 c 3

区间 [?1,1] 上的最大值为 M . (Ⅰ)如果函数 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ?

证明对任意的 c ,都有 M ? 2 ; (Ⅲ)若 M ? k 对任意的 b 、 c 恒成立,试求 k 的最大值。

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解: (Ⅰ)∵ f ?( x) ? ? x ? 2bx ? c ,由 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ?
2

4 可得 3

? f ?(1) ? ?1 ? 2b ? c ? 0 ? b ? 1 ?b ? ?1 ? 或? 1 4 解得 ? ? f (1) ? ? ? b ? c ? bc ? ? ?c ? ?1 ? c ? 3 ? 3 3 ?
若 b ? 1, c ? ?1 则 f ?( x) ? ? x ? 2 x ? 1 ? ?( x ? 1) ? 0 ,此时 f ( x) 无极值;
2 2

若 b ? ?1, c ? 3 ,则 f ?( x) ? ? x ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 3)( x ? 1) 当 x 变化时, f ( x), f ?( x) 的变化情况如
2

下表:

x

(??, ?3)

?3 0
极小值 ?12

(?3,1)
?

1

(1, ??)

f ?( x)

?
?

0
极大值 ?

?
4 3

f ( x)

?

?

∴当 x ? 1 时, f ( x) 有极大值 ?

4 ,故 b ? ?1, c ? 3 即为所求. 3

(Ⅱ)证法 1: g ( x) ? f ?( x) ? ?( x ? b) 2 ? b 2 ? c 当 b ? 1 时,函数 y ? f ?( x) 的对称轴 x ? b 位于区间

[?1,1] 之外∴ f ?( x) 在 [?1,1] 上的最值在两端点处取得。故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个。
∴ 2 M ? g (1) ? g (?1) ? ?1 ? 2b ? c ? ?1 ? 2b ? c ? 4b ? 4 即 M ? 2 . 证法 2(反证法) :因为 b ? 1 ,所以函数 y ? f ?( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之外, ∴ f ?( x) 在 [?1,1] 上的最值在两端点处取得。故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个。 假设 M ? 2 ,则 g (?1) ? ?1 ? 2b ? c ? 2, g (1) ? ?1 ? 2b ? c ? 2 ,将两式相加得:

4 ? ?1 ? 2b ? c ? ?1 ? 2b ? c ? 4 b ? 4 ,导致矛盾即 M ? 2 .
(Ⅲ)解法 1: g ( x) ? f ?( x) ? ?( x ? b) 2 ? b 2 ? c ⑴ 当 b ? 1 时,由(Ⅱ)可知 M ? 2 ;

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⑵ 当 b ? 1 时,函数 y ? f ?( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 内, 此时 M ? max ? g (?1), g (1), g (b)? ,
2 由 f ?(1) ? f ?(?1) ? 4b ,有 f ?(b) ? f ?( ?1) ? (b ? 1) ? 0

解法 1. 15、已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 9a x ? a .(Ⅰ)设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值;
3 2 2 3

(Ⅱ)若 a ?

1 ,且当 x ? ?1, 4a ? 时, f ' ( x) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 4

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解: (Ⅰ)当 a=1 时,对函数 f ( x) 求导数,得 f ( x) ? 3 x ? 6 x ? 9. 令 f ( x) ? 0, 解得x1 ? ?1, x2 ? 3.
' 2
'

列表讨论 f ( x), f ( x) 的变化情况:

'

x
f ' ( x)

(??, ?1)
+

?1
0 极大值 6

(-1,3) —

3 0 极小值-26

(3, ??)
+

f ( x)

?

?

?

所以, f ( x) 的极大值是 f (?1) ? 6 ,极小值是 f (3) ? ?26. (Ⅱ) f ( x) ? 3 x ? 6ax ? 9a 的图像是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称.
' 2 2



1 ? a ? 1, 则f ' ( x)在[1,4a]上是增函数,从而 f ' ( x)在[1,4a]上的最小值是 f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a 2 , 最大 4
' 2

值是 f (4a ) ? 15a . 由

| f ' ( x) |? 12a, 得 ? 12a ? 3 x 2 ? 6ax ? 9a 2 ? 12a, 于是有 f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a 2 ? ?12a, 且f ' (4a) ? 15a 2 ? 12a.
由 f (1) ? ?12a得 ?
'

1 4 ? a ? 1,由f ' (4a ) ? 12a得0 ? a ? . 3 5 4 5 1 4 4 5

所以 a ? ( ,1] ? [ ? ,1] ? [0, ], 即a ? ( , ]. 若 a>1,则 | f (a ) |? 12a ? 12a.故当x ? [1, 4a ]时 | f ( x) |? 12a 不恒成立.
' 2 '

1 4

1 3

所以使 | f ( x) |? 12a ( x ? [1, 4a ]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ].
'

1 4 4 5

16、 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ,且 f '(?1) ? 0 (1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f ( x) 的单调区间; 3

(2)令 a ? ?1 ,设函数 f ( x) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值,记点 M ( x1 , f ( x1 ) ),N( x2 , f ( x2 ) ),

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P( m, f (m) ),

x1 ? m ? x2 ,请仔细观察曲线 f ( x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势,并解释以

下问题: (I)若对任意的 m ? ( x1 , x 2 ),线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点,试确定 t 的最小 值,并证明你的结论; (II)若存在点 Q(n ,f(n)), x ? n< m,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、Q 的公 共点,请直接写出 m 的取值范围(不必给出求解过程) (Ⅰ)依题意得 f ?( x) ? x ? 2ax ? b 由 f ?(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 得 b ? 2a ? 1
2

从而 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (2a ? 1) x 故 f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? (2a ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 2a ? 1) 令 f ?( x) ? 0 3

得 x1 ? ?1 或 x2 ? 1 ? 2a ①当 a ? 1 时 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表:

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②线段 MP 的斜率与曲线 f (x) 是否有异于 M,P 的公共点与 k MP ? f ?(m) 的正负有着密切的关联 ③ k MP ? f ?(m) 0 对应的位置可能是临界点,故推测:满足 k MP ? f ?(m) m 就是所求 t 的最小值.下面 的 ? 给出证明并确定 t 的最小值 注:以上三条观察不作为评分依据
2 曲线 f (x) 在点 P ( m , f (m) )处切线的斜率 f ?(m) ? m ? 2m ? 3 线段 MP 的斜率 k MP ?

m 2 ? 4m ? 5 当 3

k MP ? f ?(m) 0 时解得 m ? ?1 或 m ? 2 , ?
直线 MP 的方程为 y ?

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? 令 3 3

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g ( x) ? f ( x) ? (

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? ) 3 3
2

当 m ? 2 时 g ?( x) ? x ? 2 x 在 (?1, 2) 上只有一个零点 x ? 0 ,可判断函数 g ( x) 在 (?1, 0) 上单调递增; 在(0,2)单调递减,又 g (?1) ? g (2) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (?1, 2) 上没有零点,即线段 MP 与曲线 f (x) 没有异于 M 、P 的公共点。当 m ? (2,3] 所以存在 时, g (0) ? ?

m 2 ? 4m ? 0 , g (2) ? ?(m ? 2) 2 ? 0 3

? ? (0, 2) ,使得 g (? ) ? 0 即当 m ? (2,3] 时, MP 与曲线 f (x) 有异于 M 、P 的公共点。

综上, t 的最小值为 2。 ( ii)类似于(i)中的观察,可得 m 的取值范围为 (1,3]

17、设函数 f ( x)=x2+a ln ?1+x ? 有两个极值点 x1,x2,且x1<x2 。 (Ⅰ)求 a 的取值范围,并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)证明: f ( x2 )>

1-2 ln 2 。 4

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