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2011-2012第一学期《数学建模》选修课试题卷及答案


2011-2012 第一学期 《数学建模》选修课试题卷

一、解释下列词语,并举例说明(每小题满分 5 分,共 15 分)
1.模型 模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构造成的 原型替代物。如地图、苯分子图. 2.数学模型 由数字、字母、或其他数学符号组成的,描述现实对象(原型)数量规律的数 学结构。具体地说,数学模型也可

以描述为:对于现实世界的一个特定对象,为了 一个特定的目的,根据特有的内在规律,做出一些简化假设后,运用适当的数学工 具,得到的一个数学结构称之为数学模型.如概率的功利化定义.

3.抽象模型 通过人们对原型的反复认识,将获取的知识以经验的形式直接存储在 大脑中的模型称之谓思维模型.如汽车司机对方向盘的操作.

二、简答题(每小题满分 8 分,共 24 分)
1.模型的分类 按照模型替代原型的方式,模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类.形 象模型:直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型:思维模型、符号模 型、数学模型等。 2.数学建模的基本步骤 1)建模准备:确立建模课题的过程; 2)建模假设:根据建模的目的对原型进行抽象、简化。有目的性原则、简明 性原则、真实性原则和全面性原则; 3)构造模型:在建模假设的基础上,进一步分析建模假设的各条款,选择恰 当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征,构造出根据已知条件和数据,分 析模型的特征和模型的结构特点,设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数 学模型.; 4)模型求解:构造数学模型之后,方法和算法,并借助计算机完成对模型的 求解; 5)模型分析:根据建模的目的要求,对模型求解的数字结果,或进行稳定性 分析,或进行系统参数的灵敏度分析,或进行误差分析等。 ; 6)模型检验:模型分析符合要求之后,还必须回到客观实际中去对模型进行 检验,看它是否符合客观实际; 7)模型应用:模型应用是数学建模的宗旨,将其用于分析、研究和解决实际 问题,充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用. 3.数学模型的作用 数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易,便于人们采用 定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此,数学模型在科学发展、科学预 见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等
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众多方面发挥着特殊的重要作用。数学不仅是人们认识世界的有力工具,而且对 于人的素质培养,无论是在自然科学,还是社会科学中都随时发生着作用,使其 终生受益。特别是,当代计算机科学的发展和广泛应用,使得数学模型的方法如 虎添翼,加速了数学向各个学科的渗透,产生了众多的边缘学科。数学模型还物 化于各种高新科技之中,从家用电器到天气预报,从通信到广播电视,从核电站 到卫星,从新材料到生物工程,高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高 效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现 的。

三、解答题(满分 20 分) B 题 (7n+1, 7n+3)

国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持花环组成大型图案方阵,方阵前 排距观礼台 120 米,方阵纵列 95 人,每列长度 192 米,试问第一、二两排间距多 大能够达到满意的观礼效果? 解:可以认为从观礼位置看到的纵列上每个花的部分是一样的。

设观礼者居高 a 米,从观礼位置看到的纵列上每个花的部分高度为 b 米。 依题意,每列从第一个人到最后一个人(第95人)有94个间空,列长192米,则每列相邻 二人平均间距约2米。 为简单起见,不妨设位于192米长的队列中点前后的两人间隔是2米,则

设第一、二排间距为 x 米,则

于是,

(米)

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D



(7n+3, 7n+4)

1997 年 11 月 8 日电视正在播放长江三峡工程大江截流的实况,截流从 8:55 开始,当时龙口的水面宽 40 米,水深 60 米。11:50 时,播音员报告水面宽为 34.4 米,到 13:00 时,播音员又报告水面宽为 31 米。这时,电视机旁的某位同学说, 现在可以估算下午几点合龙。从 8:55 到 11:50,进展的速度每小时宽度减少 1.9 米,从 11:50 到 13:00,进展的速度每小时宽度减少 2.9,该同学认为回填速度是 越来越快的,近似于每小时速度加快 1 米。从下午 1 点起,大约需要 5 个多小时, 即下午 6 点钟左右能合龙。因此,该同学上街到书店去买有关三峡工程介绍和数 学建模方面的书籍,但当他坐车返回时,突然从广播里听到了大江截流成功的消 息,该同学非常后悔没有看到大江截流成功时的实况,这时他忽然反应过来,赶 快看了看手表,此时正好是下午 3 点 30 分。请你根据上面的数据,建立一个合理 的数学模型进行计算,使你的计算结果更切合实际;并帮助该同学分析他出错的 原因,并对该同学应提出那些合理化的建议? 解: (1)假设化简:为简便计,回填体积可用龙口水流的截面面积代替。假设截 面为等腰三角形,那么回填的面积 到 11:50 经 175min 回填后,龙口宽为 34.3 。 设此时水流截面与原截面相似,则此时的水深 满足 故 =51.6( ) ,此时尚待回 填的面积: 回填平均速度为: 。到 13:00 尚待回填的面积: 。从 11:50 到 13: 00 回填的速度为: 比以前的速度加快了。 在回填过程中, 回填速度是越来越快的。 (2)建模与求解: 模型一:假设回填速度是等比加速的,加快的比为 ,那么:下午 1:00~2: 00 回填面积为 143 1.336=191.048,2:00~3:00 回填面积为 143 =255.24。此时, 待回填面积 720.75—(191.048+255.24)=274.462,需要 便能合龙。因此,自下 午 1 点开始,在需 2.8 小时,即在下午 3 点 48 分即可合龙。 模型二:假设回填速度 与水深 成反比,因为水深与待填面积 S 的关系是 , 所以回填的速度 成反比,即 ,k 为常数,k 值可按 12:00~13:00 的 v 和 s 的值 求出。那时下午:1:00~2:00 回填速度为 3:00~4:00 回填的速度为故回填面积 为 296.33 。所以到下午 4:00, 待填面积仅为 可认为已经合龙;也就是说,按

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这一模型估计,下午 4 点龙口可合龙。比较模型 1,2 可知模型 1 的结果更接近于 实际。 [说明]建模的合理性有以下两个评价点: (1)回填速度应以每小时多少立方 米填料计算;这样,能否建立合理的回填速度计算模型便为第一评价要求点。 (2) 注意到回填的速度是在逐渐的加快;水流截面越慢,水越深,回填时填料被冲走 的就越多,相应的的进展速度就越慢,反之就越快。在模型中对回填速度越来越 快这一点如何作出较合理的假设,这是第二个评价要点。

四、综合题(41 分) I. 养鱼问题(6n+2, 6n+4, 6n+5)
我国为支持农村经济发展, 免费提某种鱼苗用以支持某地区养殖业的发展。 设某地区有一池塘,其水面面积 100?100 平方米,根据当地环境测出每平方米养 鱼不超过 1 公斤,每公斤鱼苗大约有 500 条,鱼可四季生长,每天的生长重量与 鱼自重成正比, 天可长成成鱼, 360 其重量为 2 公斤, 每公斤鱼每天需要饲料 0.005 公斤,给鱼池内只投放鱼苗,池内鱼的繁殖与死亡均可忽略不计,市场上鱼饲料价 格 0.2 元/公斤,此种鱼的销售价格为: 每条鱼重量(公斤) 每公斤的售价(元) 0.2-0.75 6 0.75-1.5 8 1.5-2 10 0.2 0

请你为一承包户设计一下最优方案. 1. 此承包护承包期为一年;2.此承包护承包 期为三年;此承包护承包期为三十年.

对养鱼问题数学建模

摘要:本文据题意再结合现实生活中的实际情况,忽略部分次要因素,
建立解决养鱼问题的数学模型。从简单的侧边描述和设计了 基本的养育模型: 模型: 基本养殖模型,一年卖一次,投放一定数量的鱼让鱼长成 成鱼;此模型都从某方面反映了养鱼问题。由于养鱼问题的 复杂性、多变性,我们忽略了部分养鱼的因素,并应用线性
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规划和动态规划模型予以解决我们的养鱼问题。 关键词:养鱼模型 线性规划 最大利润

一、问题提出
设某地有一池塘,其水面面积约为 100×100 m 2 ,用来养殖某种鱼类。在如下 的假设下,设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。 ① 鱼的存活空间为 1kg / m 2 ; ② 每 1kg 鱼每天需要的饲料为 0.005kg,市场上鱼饲料的价格为 0.2 元/kg; ③ 鱼苗的价格忽略不计,每 1kg 鱼苗大约有 500 条鱼; ④ 鱼可四季生长,每天的生长重量与鱼的自重成正比,360 天长为成鱼,成鱼的 重量为 2kg; ⑤池内鱼的繁殖与死亡均忽略; ⑥若 q 为鱼重,则此种鱼的售价为: q ? 0.2 ? 0元 / kg ? 6元 / kg 0.2 ? q ? 0.75 ? Q?? ? 8元 / kg 0.75 ? q ? 1.5 ?10元 / kg 1.5 ? q ? 2 ? ⑦该池内只能投放鱼苗。

二、问题分析
本文主要是设计一个可以获得最佳的养鱼方案,我们知道鱼塘的 面积,鱼的存活空间,不考虑鱼的繁殖与死亡,每 1kg 鱼每天需要的 饲料以及鱼长成成鱼的时间以及不同质量鱼的价格,将鱼的价位与鱼 的养殖时间联系起来,构建一个价格体系。但由于养鱼问题的复杂性, 我们忽略了部分影响养鱼的因素,并应用线性规划模型予以解决养鱼 问题。

三、模型假设
1、该池内只能投放鱼苗。而且不考虑鱼的繁殖与死亡; 2、鱼可四季生长,每天的生长重量与鱼的自重成正比,360 天长为成 鱼,成鱼的重量为 2kg; 3、鱼的存活空间为 1kg / m 2 ;每 1kg 鱼每天需要的饲料为 0.005kg,市 场上鱼饲料的价格为 0.2 元/kg;鱼苗的价格忽略不计,每 1kg 鱼苗大 约有 500 条鱼 4、假设鱼在生长过程中没有出现过变异,每条鱼的生长都服从生长系
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数。 5、假设我们在捕鱼的过程中,鱼都是新鲜的,可以买到题目所给的价 格。 6、假设每天捕的鱼都能够正常卖出,没有鱼残留下来。 7、放养鱼苗和捕鱼在一年四季都能进行,不受时间、季节的限制。 8、放入的鱼苗不受个体差异的影响,都能按照题目所给的条件生长, 同时放入的鱼苗在相同的时间内能长到同样大。 9、市场上鱼的售价和饲料的售价在三年之内没有发生变化。

四、模型构成与求解
符号说明:
以下为文本中使用的符号: (1) a0 ——最初放入的鱼的数量。 (2) ? ——鱼每天增重的比例。 (3) c t ——每条鱼在养殖 t 天的条件下需要的饲料费用。 (4) mt ——每条鱼在养殖 t 天的条件下的重量。 (5)M ——三年的收益总额。 (6)a——每天放入的鱼苗数目。 (7) q t ——每条鱼在养殖 t 天的条件下的重量。 五、基本养殖模型 假设将鱼苗一次性放入鱼塘,等到年终长成成鱼是一次性卖出, 第二年、第三年都分别按照第一年的方案。 根据鱼塘的容量,等到鱼长成成鱼时的质量为 2kg,每条鱼的存活 空间为 1 kg/ m 2 ,则我们设最初放入的鱼的数量为 a 0 , 0 =10000/2=500(条) a 设鱼每天增重的比例为 ? , 则 1000/500 (1 ? ? )360 =2000 ? = 360 1000 ? 1 化简可以得到 计算可以求出 ? =0.0191 设养殖 t 天的条件下每条鱼的重量为 mt ,则 mt =1/500 (1 ? ? ) t 设每条鱼在养殖 t 天的条件下需要的饲料费用为 c t
ct =

?1/ 500(1 ? ? ) ? 0.005? 0.2 ? ? 3 / 250(1 ? ? )
i ?1 i ?1

t

i

t

i

设三年的收益总额为 M,则 M=10 ? 5000 ? 2 ? 3 ? 5000ct ? 3 通过计算可以得出最大利润为:
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M= 3 ? (100000? 34415 ? 1967532 ) . 故在这个模型的状态和条件下养鱼,三年可以获得的收益为 196573.2 元。

六、模型评价
此模型是根据原有的条件假设之下,结合现实生活中的实际情况,忽 略部分次要因素,建立解决养鱼问题的数学模型。模型讲的是计算出 一整年鱼塘中可以养的鱼的数量,计算出鱼长成成鱼后的利润;这个 模型是最基本得模型。 不足:但在现实生活中不可取,因为在鱼在某段时间内还存在一些空 间,这样会有很大的浪费。

H,I,J,K,L,M 试题分以下几部分完成 1. 论文题目; 2. 论文摘要(不得超过 300 字) 3. 关键词(不得少于三个) 4. 论文正文:问题提出(按你的理解对所给题目做更清晰的 表述) ;问题分析(根具问题的性质,你打算建立什么样的数学模 型) ;模型假设(有些假设须作必要的解释) ;模型设计(对出现 的数学符号必须有明确的定义) ;模型的解法与结果;模型结果的 分析和检验,包括误差分析、稳定性分析等;模型的优缺点及改 进的方向;必要的计算机程序。 5. 参考文献 说明 1. 文件名:学号(8 位)+姓名+班级.

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2. 2011 年 12 月 16 日下午以班为单位将电子文档、打印文 档统一交到新校区 A318. 3. 纸质文档从左边装订. 4. 将你不做的题目全部删去. 5. 电子文档用 Word2003 排版.

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