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数学必修4教学案:1.3.2三角函数诱导公式(二)(教、学案)


1.3.2 三角函数诱导公式(二)
【教材分析】 《三角函数的诱导公式》 是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第三节, 其主要 内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六。这节是诱导公式(二)的推导,在诱导公

式(一)的推导中用到了一次对称变换,这节是利用两次对称变换推导



的诱导

/>公式,充分体现对称变换思想在数学中的应用, 在练习中加以应用, 让学生进一步体会 的 任意性;综合诱导公式(一)(二)总结出记忆诱导公式的口诀: 、 “奇变偶不变,符号看象 限” ,了解从特殊到一般的数学思想的探究过程,培养学生用联系、变化的辩证唯物主义观 点去分析问题的能力。诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用,要求学 生能熟练的掌握和应用。 【教学目标】 1.借助单位圆,推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式,能正确运用诱导公式将任意 角的三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 2.通过公式的应用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程,培养学生的化归思想, 以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。 3. 培养学生的化归思想,使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途 径. 【教学重点难点】 教学重点:掌握 教学难点:

?
2

? ? 角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路

?
2

? ? 角的正弦、余弦诱导公式的推导.

【学情分析】 学生在前面第一类诱导公式学习中感受了数形结合思想、 对称变换思想在研究数学问题 中的应用, 初步形成用对称变换思想思考问题的习惯, 对于两次对称变换思想的应用是上一 节课的深化;学生对高中数学知识有了一定了解和掌握,也形成了自己的学习方法和习惯, 对学习高中数学有了一定兴趣和信心,且具有了一定的分析、判断、理解能力和交流沟通能 力。但由于诱导公式多,学生记忆困难,应用时易错,应该渗透归纳总结的学习方法,让学 生找规律,体现自主探究、共同参与的新课改理念。 【教学方法】 1.学案导学:见后面的学案。 2.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精 讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 【课前准备】 1.学生的学习准备:预习“三角函数的诱导公式” ,完成预习学案。 2.教师的教学准备:多媒体课件制作,课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展 学案。 3.教学手段:利用计算机多媒体辅助教学. 【课时安排】1 课时

【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 二、复 习导入、展示目标 1.创设情境: 问题 1:请同学们回顾一下前一节我们学习的 系。 与 、 、 的三角函数关

设置意图: 利用几何画板的演示回顾旧知及公式推导过程中所涉及的重要思想方法 (对 称变换,数形结合)激发学生学习动机。 学生活动: 结合几何画板的演示, 学生回忆诱导公式(一)的推导过程, 回答诱导公式(一) 的内容。 多媒体使用:几何画板;PPT 问题 2: 如果两个点关于直线 y=x 对称,它们的坐标之间有什么关系呢?若两个点关 于 y 轴对称呢? 设置意图: 检验学生对两种对称变换的点的坐标的变化规律的掌握程度, 为后面的教学 作铺垫。通过分析问题情境,提出本节课研究的问题。 学生活动: P(a,b) 关于直线 y=x 的对称点 Q 的坐标为(b,a); P(a,b) 关于 y 轴的 点 点 对称点 R 的坐标为(-a,b)。 2.探究新知: 问题 1:如图:设 的终边与单位圆相交于点 P,则 P 点坐标为 ,点 P 关于直线 y=x 的轴对称点为 M,则 M 点坐标为 , 点 M 关于 y 轴的对称点 N,则 N 的坐标为 , ∠XON 的大小与 的关系是什么呢?点 N 的坐标又可以怎么表示呢?

设置意图:结合几何画板的演示利用同一点的坐标变换,导出诱导公式,渗透对称变换 思想和数形结合思想。 学生活动:学生看图口答 P( , ),M( , ),N(, ),∠XON=

N(





(教师在引导学生分析问题过程中,积极观察学生的反映,适时进行激励性评价) 多媒体使用:几何画板;PPT 问题 2:观察点 N 的坐标,你从中发现什么规律了?

设置意图:让学生总结出公式

=-



=

三、例题分析 例 1 利用上面所学公式求下列各式的值:

(1)

(2)

(3)

(4)

解析:直接利用公式解决问题 解: sin120 ? sin(30 ? 90 ) ? cos 30 ?
? ? ? ?

3 2 2 2

cos135? ? cos(45? ? 90? ) ? ? sin 45? ? ?

tan

2? ? ? ? ? tan( ? ) ? ? cot ? ? 3 3 6 2 6
19? 19? 3? ? ? ? 2 ) ? cos ? cos( ? 4? ) ? cos( ? ) ? ? sin ? ? 4 4 4 4 2 4 2

cos(?

变式训练 1:将下列三角函数化为 (1) (2)

到 (3)

之间的三角函数:

思考:我们学习了

的诱导公式,还知道

的诱导公式,那么对于



又有怎样的诱导公式呢? 设置意图:利用已学诱导公式推导新公式。

学生活动:

例 2 已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值 3? 2 sin( ? ? ) ? sin(?? ) 2

解析:先利用诱导公式化简 解: ∵sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?) ∴? sin(3? ? ?) = 2cos(4? ? ?) ∴? sin(? ? ?) = 2cos(? ?) ∴sin? = ? 2cos? 且 cos? ? 0

sin ? ? 5 cos? ? 2 cos? ? 5 cos? ? ? 2 cos? ? sin ? ? 2 cos? ? 2 cos? ∴ 3 cos? 3 ? ?? ? 4 cos? 4 原式 ?

变式训练 2:已知

,求

的值。

四、课堂练习 1.利用上面所学公式求下列各式的值: (1) (2) 到 之间的三角函数:

2.将下列三角函数化为 (1) (2)

五、反思总结 请学生从以下几方面总结:

知识:前一节课我们学习了







的诱导公式,这

节我们又学习了



的诱导公式

思想方法:从特殊到一般;数形结合思想;对称变换思想; 规律: “奇变偶不变,符号看象限”。 你对这句话怎么理解? 设置意图:引导学生养成自己归纳总结的习惯及方法,体会知识的形成、发展、应用的 过程。 学生活动:观察、思考、口答。 达标检测:1.已知 sin( A.

?
4

??) ?

1 C. 2 1 3 π 2.cos ( ? +α )= — , <α < 2? ,sin( 2? -α ) 值为( ) 2 2 3 3 3 1 A. B. C. ? D. — 2 2 2 2 ? 3.化简: 1 ? 2 sin(? ? 2) ? cos( ? 2) 得( ) A. sin 2 ? cos 2 B. cos 2 ? sin 2 C. sin 2 ? cos 2
B. — 4.已知 tan ? ?

1 2

3 3? ,则 sin( ? ? ) 值为( 2 4 3 3 D. — 2 2



D.± cos 2 ? sin 2

3 ,? ? ? ?

3? ,那么 cos? ? sin? 的值是 2
象限
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5.如果 tan? sin ? ? 0, 且 0 ? sin ? ? cos? ? 1, 那么 ? 的终边在第 6.求值:2sin(-1110?) -sin960?+ 2 cos(?225 ?) ? cos(?210 ?) = 7.已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

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sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值。 3? 2 sin( ? ? ) ? sin(?? ) 2

练习答案:1.C

2.A

3.C

4.

?1? 3 5.二 6.-2 2

7.解: ∵sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?) ∴? sin(3? ? ?) = 2cos(4? ? ?) ∴? sin(? ? ?) = 2cos(? ?) ∴sin? = ? 2cos? 且 cos? ? 0 sin ? ? 5 cos? ? 2 cos? ? 5 cos? 3 cos? 3 ∴ 原式 ? ? ? ?? ? 2 cos? ? sin ? ? 2 cos? ? 2 cos? ? 4 cos? 4
六、发导学案、布置作业 1. 若 ,则 。

2. 【板书设计】



的值。

三角函数的诱导公式(二) 一、诱导公式 1-6 二、探究新知 三、练习 【教学反思】 例一 例二

通过本节内容的教学,在诱导公式



的教学过程中经历对对称有关的图形进

行观察、分析、操作、抽象概括,探索旋转变换的性质,探求如何运用“一个图形经旋转变 换后都可以分解为两个轴对称变换的乘积”方法和过程,体验“以局部带整体”的作图思想 方法, 进一步发展学生对对称图形的欣赏和探索能力, 使学生体会旋转变换在现实生活的意 义,激发学生的数学学习兴趣,增强审美观念,培养学生的科学探究精神。 诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的 三角函数值之间的联系. 在求任意角的三角函数值, 解决有关的三角变换等方面有重要的作 用,特别是诱导公式中的 角可以是任意角,即 ,它在终边具有某种对称性的角的

三角函数变换中,应用广泛,如后续课中,画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平



个长度单位而得到的. 在教学方式上采用自主探索,创造性解决问题,并激发学生积极主动参与课堂活动,

提高学生学习数学的兴趣,使学生在活动过程中,积极探索发现。为了完成





角函数间的关系这一节的教学任务,我采用让学生自主学习的教学方法。面对这个问题,学 生的兴趣立刻被触发了,求知欲也十分强烈,大家都跃跃欲试,争着进行推倒.。当学生做

完三道例题时,马上提出对于



三角函数间的关系如何推导,这时课堂气氛十分

热烈,学生的思维十分活跃,大家竞相发言,课堂高潮跌起。待同学们弄明白后,及时引导

学生从特殊到一般,问



三角函数间的关系如何,最后总结出: “奇变偶

不变,符号看象限”整个课堂得到升华。

§1.3.2 三角函数诱导公式(二)

课前预习学案 一、预习目标 熟记正弦、 余弦和正切的诱导公式, 理解公式的由来并能正确地运用这些公式进行任意 角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简 二、复习与预习 1.利用单位圆表示任意角 ? 的正弦值和余弦值;____________________ 2.诱导公式一及其用途: ______________________________ ______________________________ ______________________________ 3、 对于任何一个 ?0? ,360? 内的角 ? , 以下四种情况有且只有一种成立 (其中 ? 为锐角) : ?

?

?? , 当? ? ?0? ,90? ? ? ? ?180? ? ? , 当? ? ?90? ,180? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?180 ? ? , 当? ? ?180 , 270 ? ? ? ? ? ? ?360 ? ? , 当? ? ? 270 ,360 ? ? ?

4、 诱导公式二:

5、诱导公式三: 6、诱导公式四:

7、诱导公式五:

8、诱导公式六:

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1.通过本节内容的教学,使学生进一步理解和掌握四组正弦、余弦和正切的诱导公式, 并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、 余弦和正切值的求解、 简单三角函数式的化简 与三角恒等式的证明; 2.通过公式的应用,培养学生的化归思想,运算推理能力、分析问题和解决问题的能 力; 学习重难点:

重点:诱导公式及诱导公式的综合运用. 难点:公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
二、学习过程 创设情境: 问题 1:请同学们回顾一下前一节我们学习的 系。 与 、 、 的三角函数关

问题 2: 如果两个点关于直线 y=x 对称,它们的坐标之间有什么关系呢?若两个点关于 y 轴对称呢? 探究新知: 问题 1:如图:设 的终边与单位圆相交于点 P,则 P 点坐标为 ,点 P 关于直线 y=x 的轴对称点为 M,则 M 点坐标为 , 点 M 关于 y 轴的对称点 N,则 N 的坐标为 , ∠XON 的大小与 的关系是什么呢?点 N 的坐标又可以怎么表示呢?

问题 2:观察点 N 的坐标,你从中发现什么规律了?

例 1 利用上面所学公式求下列各式的值:

(1)

(2)

(3)

(4)

变式训练 1: 将下列三角函数化为 (1) (2)

到 (3)

之间的三角函数:

思考:我们学习了

的诱导公式,还知道

的诱导公式,那么对于



又有怎样的诱导公式呢? 例 2 已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值 3? 2 sin( ? ? ) ? sin(?? ) 2

变式训练 2:已知

,求

的值。

课堂练习 1.利用上面所学公式求下列各式的值: (1) (2) 到 之间的三角函数:

2.将下列三角函数化为 (1) 归纳总结: (2)

课后练习与提高

3 3? ,则 sin( ) ? ? ) 值为( 4 2 4 3 3 1 1 A. B. — C. D. — 2 2 2 2 1 3 π 2.cos ( ? +α )= — , <α < 2? ,sin( 2? -α ) 值为( ) 2 2 3 3 3 1 A. B. C. ? D. — 2 2 2 2 ? 3.化简: 1 ? 2 sin(? ? 2) ? cos( ? 2) 得( ) A. sin 2 ? cos 2 B. cos 2 ? sin 2 C. sin 2 ? cos 2
1.已知 sin(

?

??) ?

D.± cos 2 ? sin 2

4.已知 tan ? ?

3 ,? ? ? ?

3? ,那么 cos? ? sin? 的值是 2
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5.如果 tan? sin ? ? 0, 且 0 ? sin ? ? cos? ? 1, 那么 ? 的终边在第 6.求值:2sin(-1110?) -sin960?+ 2 cos(?225 ?) ? cos(?210 ?) = 7.已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

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sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值。 3? 2 sin( ? ? ) ? sin(?? ) 2

参考答案: 1.C 2.A 3.C 4.

?1? 3 5.二 6.-2 2

7.解: ∵sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?) ∴? sin(3? ? ?) = 2cos(4? ? ?) ∴? sin(? ? ?) = 2cos(? ?) ∴sin? = ? 2cos? 且 cos? ? 0 sin ? ? 5 cos? ? 2 cos? ? 5 cos? 3 cos? 3 ∴ 原式 ? ? ? ?? ? 2 cos? ? sin ? ? 2 cos? ? 2 cos? ? 4 cos? 4


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