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4中点弦与对称问题

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中点弦与对称 1. 求中点弦所在的直线方程: 例 1. 已知抛物线 y 2 ? ?8x 的弦 PQ 被点 A(?1,1) 平分,则弦所在直线方程为 演变 1. 给定双曲线 x 2 ? y2 ? 1 ,过点 P(2,1) 作直线 l ,使 l 与所给双曲线交于 A 、 B 两点, 2 且 P 为 A 、 B 的中点,则直线 l 的方程为 2. 中点弦的垂直平分线: 例 1. 已

知 中 心 在 原 点 的 双 曲 线 C 的 一 个 焦 点 是 F1 ?? 3,0? , 一 条 渐 近 线 的 方 程 是 5x ? 2 y ? 0 . (1)求双曲线 C 的方程; (2)若过点 E (4,5) 的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M 、 N ,且 E 为 M 、 N 的 中点,求线段 MN 垂直平分线的方程. x2 y2 例 2. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) , A 、 B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线 a b 与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) ,证明: ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? x0 ? a a 演变 1. 已知椭圆 x2 y 2 ? ? 1 , A 、 B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交 4 3 于点 P( x0 ,0) ,则 x0 取值范围为 3. 在四点共圆问题中的应用: 2 例 1. 设 A 、 B 是双曲线 x ? y2 ? 1上的两点,点 N (1, 2) 是线段 AB 的中点。 2 (1)求直线 AB 的方程; (2)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C 、 D 两点,那么 A 、 B 、 C 、 D 四点 是否共圆?为什么? y2 ? 1在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率 演变 1. 已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C :x ? 2 2 为 ? 2 的直线 l 与 C 交于 A 、 B 两点,点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0 (1)证明:点 P 在 C 上; (2)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ,证明: A 、 P 、 B 、 Q 四点在同一圆上 4. 过定点的弦中点问题: 例 1. 已知椭圆 x2 y2 ,求过椭圆左焦点 F 的弦的中点的轨迹方程。 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a2 b2 演变 1. 已知双曲线 E 的中心为原点,F (3, 0) 是 E 的焦点, 过 F 的直线 l 与 E 相交于 A 、 B 两点,且 AB 的中点为 N (?12, ?15) ,则 E 的方程为 演变 2. 已知椭圆 E 的中心为原点,右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A 、 B 两点, 若 AB 的中点坐标为(1, ?1 ) ,则 E 的方程为 5. 存在两点关于直线对称问题: 例 1. 已知椭圆 为 例 2. 在抛物线 y 2 ? 4 x 上恒有两点关于直线 y ? kx ? 3 对称,则 k 的取值范围为 演变 1. 抛物线 y ? x2 上不存在关于直线 y ? m( x ? 3) 对称的两点,则 m 的范围为 例 3. 已知双曲线 x ? 2 x2 y 2 ? ? 1 上有不同两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称,则实数 m 的取值范围 4 3 y2 ? 1上存在两点 M , N 关于直线 y ? x ? m 对称,且 MN 的中点在 3 抛物线 y 2 ? 18 x 上,则实数 m 的值为 演 变 1. 抛 物 线 y

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