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一道解三角形综合应用题

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解三角形综合应用题
在 ?ABC 中,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac ,且 tan A ? tan C ? 3 ? 3 ,

AB 边上的高为 4 3 ,求角 A, B, C 的大小与边 a, b, c 的长.
解:由 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac 得 [(a ? c) ? b][(a ? c) ? b] ? 3ac ,

?(a ? c)2 ? b2 ? 3ac 即 a2 ? c2 ? b2 ? ac ,
由余弦定理, a ? c ? b ? 2ac cos B ,? 2ac cos B ? ac,? cos B ?
2 2 2

1 ? ,? B ? . 2 3

又 AB 边上的高为 4 3 ,?a sin B ? 4 3, b sin A ? 4 3,

?a ? 8.

Q tan A ? tan C ? 3 ? 3 ? tan( A ? C)(1 ? tan A tan C) ? ? tan B(1 ? tan A tan C) ,
? tan A tan C ? 2 ? 3. 解得 tan A ? 1, tan C ? 2 ? 3 或 tan A ? 2 ? 3, tan C ? 1.
5? ,则由 b sin A ? 4 3 得 b ? 4 6 ,易知此时 c ? 4 3 ? 4. 4 12 ? 5? (2)若 C ? , A ? ,则由 b sin A ? 4 3 得 b ? 12 2 ? 4 6 ,易知此时 c ? 4 3 ? 4. 4 12
(1)若 A ?

?

,C ?


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