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【高考考案】2015届高考数学第一轮复习 2.2 函数的奇偶性与周期性课件 文


§2.2

函数的奇偶性与周期性

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.掌握奇函数与偶函数图象的对称关系,并熟练地利 用对称性解决函数的综合问题. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会求简单函 数的周期性. 一、函数奇偶性的定义

奇偶 性

定义

图象特点

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如果对于函数 f(x)的定义域内任 偶函 关于__y 轴__对 意一个 x, 都有__f(-x)=f(x)__, 数 称 那么函数 f(x)就叫作偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任 奇函 意一个 x,都有__f(-x)=- 关于__原点__对 数 f(x)__, 那么函数 f(x)就叫作奇函 称 数 奇函数、偶函数的定义域关于原点对称,它是函数具有 奇偶性的必要不充分条件.

二、利用定义判断函数奇偶性的步骤 第一步:首先确定函数的__定义域__,并判断其是否关 于__原点__对称; 第二步:确定__f(-x)__与__f(x)__的关系; 第三步:在定义域关于原点对称的条件下, 若 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0,则 f(x)是偶函 数; 若 f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0,则 f(x)是奇 函数. 三、奇(偶)函数的简单性质 1.在定义域的公共部分内,两个奇函数之积(商)为__ 偶函数__;两个偶函数之积(商)也是__偶函数__;一奇一偶 函数之积(商)为__奇函数__(注:取商时应使分母不为 0).

2.若函数 y=f(x)是奇函数且 0 是定义域内的值,则 f(0)=__0__. 3.f(x)为偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|). 1.存在既是奇函数又是偶函数的函数,如 f(x)=0, 定义域是关于原点对称的任意一个数集, 这样的函数有无穷 多个. 2.若 y=f(x+a)是偶函数,则 f(x+a)=f(-x+a), 函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称;如果 y=f(x+b) 是奇函数,则 f(-x+b)=-f(x+b),函数 y=f(x)的图象 关于点(b,0)中心对称. 3.一些重要类型的奇偶函数 ①函数 f(x)=ax+a-x(a>0 且 a≠1)为偶函数,函数 f(x)

=ax-a-x(a>0 且 a≠1)为奇函数; 1-x ②函数 f(x)=loga (a>0 且 a≠1)为奇函数; 1+x ③函数 f(x)=loga(x+ x2+1)(a>0 且 a≠1)为奇函数. 4. 设函数 f(x)是定义域关于原点对称的任意一个函数, f(x)+f(-x) f(x)-f(-x) 则有 f(x)= + =g(x) 2 2 f(x)+f(-x) +h(x).其中 g(x)= 为偶函数,h(x)= 2 f(x)-f(-x) 为奇函数. 2 即对于定义域关于原点对称的任何一个函数 f(x),总 可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.

四、周期性 1.周期函数 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有__f(x+T)=f(x)__,那么 就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个__最小__ 的正数, 那么这个__最小正数__就叫作 f(x)的最小正周期. 1.若 T 为 y=f(x)的一个周期,那么 nT(n∈Z) 不一定 是函数 f(x)的周期.由周期函数的定义知,函数的周期是 非零常数,当 n∈Z 且 n≠0 时,nT 是 f(x)的一个周期. 2.函数的“周期性”与“对称性”的伙伴关系

(1)设 a 为非零常数, 若对于 f(x)的定义域内的任意 x, 恒有下列条件之一成立. 1 ①f(x+a)=-f(x);②f(x+a)= ; f(x) 1 ③f(x+a)=- ;④f(x+a)=f(x-a). f(x) 则 f(x)是周期函数,2a 是它的一个周期. (2)若 f(x)同时关于 x=a 与 x=b 对称(a<b),则 f(x) 的一个周期为 2(b-a). 1.定义在 R 上的函数 f(x),对任意 x 都满足 f(4x+4) =f(4x),则下列哪个数一定是 f(x)的一个周期( ). A.1 B.2 C.4 D.6

可解 f(x+4)=f(x), ∴4 一定是 f(x)的一个周期. C 2.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数, 则下列结论恒成立的是( ). ? ? ? A.f(x)+? ?g (x )?是偶函数 ? ? ? B.f(x)-? ?g (x )?是奇函数 ? ? ? C.? ?f (x )?+g(x )是偶函数 ? ? ? D.? ?f (x )?-g(x )是奇函数 依据 f(x)=f(-x),g(x)=-g(-x)求解. A 3.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)

5 =2x(1-x),则 f(- )=( ). 2 1 1 1 1 A.- B.- C. D. 2 4 4 2 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数, 5 5 5 1 1 ∴f(- )=-f( )=-f( -2)=-f( )=-2× ×(1 2 2 2 2 2 1 1 - )=- . 2 2 A 4.设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a) =________. 观察可知 y=x3cos x 为奇函数,且 f(a)=a3cos a

+1=11,故 a3cos a=10.则 f(-a)=-a3cos a+1= -10+1=-9. -9

1.函数奇偶性的判断(5 年 1 考) 2.函数的奇偶性与周期性(5 年 1 考) 3.函数性质的综合应用(5 年 3 考) 1.函数的奇偶性 (2012 年广东卷)下列函数为偶函数的是( A.y=sin x B.y=x3

).

C.y=ex D.y=ln x2+1 由奇函数和偶函数的定义可以判断 A, B 中的函数均 为奇函数,C 中的函数既不是奇函数也不是偶函数,D 中的 函数的定义域为 R,且满足 f(-x)=f(x),所以函数 y= ln x2+1为偶函数. D 2.函数的奇偶性与周期性 (2012 年山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6) =f(x).当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时, f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2012)=( ). A.335 B.338 C.1678 D.2012 由 f(x+6)=f(x)可知, 函数 f(x)的周期为 6, 所以 f(- 3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)

=-1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一 个周期内有 f(1)+f(2)+?+f(6)=1+2-1+0-1+0=1, 所以 f(1)+f(2)+?+f(2012)=f(1)+f(2)+335×1=1 +2+335=338. B 3.函数性质的综合应用 (2012 年江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函 ?ax+1,-1≤x<0, ? 数,在区间[-1,1]上,f(x)=?bx+2 其中 ,0≤x≤1, ? ? x+1 1 3 a,b∈R.若 f( )=f( ),则 a+3b 的值为________. 2 2

3 因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 所以 f( ) 2 1 b+2 1 1 1 2 =f(- ),且 f(-1)=f(1),故 f( )=f(- ),从而 2 2 2 1 +1 2 1 =- a+1,即 3a+2b=-2. ① 2 b+2 由 f(-1)=f(1),得-a+1= ,即 b=-2a. ② 2 由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10. -10

(2012 年辽宁卷)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x), f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数 g(x) 1 3 =|xcos(πx)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在[- , ]上的 2 2 零点个数为( ). A.5 B.6 C.7 D.8 由题意知函数 f(x)是偶函数,且周期是 2.作出 g(x), f(x)的函数图象,如图.由图可知函数 y=g(x),y=f(x) 1 3 在[- , ]上有 6 个交点,故 h(x)=g(x)-f(x)在[- 2 2

1 3 , ]上的零点有 6 个. 2 2

B 本题具有以下创新点 (1)命题方式创新:本题是以数学符号语言交代了函数 f(x)的奇偶性及周期性, 考查了自然语言与符号语言转化的 能力. (2)考查内容创新:本题考查幂函数、三角函数及函数 的零点,且将数形结合思想融汇其中,较好地考查了探究能 力和逻辑推理能力.

(3)解题方法创新:本题也可以通过巧妙转化,将 x3= |xcos(πx)|转化为我们熟悉的二次函数与周期函数间的关 系,即 x>0 时,x2=|cos(πx)|而使问题得以简单解决.

题型一 函数的奇偶性 (1)函数 f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若 f(a) =2,则 f(-a)的值为( ). A.3 B.0 C.-1 D.-2 (2)若函数 f(x)=loga(x+ x2+2a2)是奇函数,则 a= ________. 由函数的奇偶性的定义可求得. (1)由 f(a)=2,得 a3+sin a=1,

令 g(x)=x3+sin x,则 g(-x)=-g(x), ∴f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=0. (2)(法一)由题意可知,f(x)=-f(-x), 1 2 2 即 x+ x +2a = , 2 2 -x+ x +2a 2 2 因此 2a =1,即 a=± . 2 2 又 a>0,∴a= . 2 (法二)函数的定义域为 R,又 f(x)为奇函数,故其图象 必过原点即 f(0)=0,∴loga(0+ 0+2a2)=0,得 2a2=1.

2 又∵a>0,∴a= . 2 2 (1)B (2) 2 对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的 关键,讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须 关于原点对称. (1)函数 f(x)为奇函数, 且 x∈(-∞, 0)时, f(x) =x(x-1),则 x∈(0,+∞)时,f(x)等于( ). A.-x(x+1) B.-x(-x+1) C.x(-x+1) D.x(x-1) (2)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶

函数,且对任意实数 x 都有 xf(x+1)=(x+1)f(x), 7 则 f( )的值是________. 2 (1)当 x>0 时,-x<0,∵函数 f(x)为奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-(-x)(-x-1)=-x(x+1), 故 选 A. (2)∵函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函 数, 1 令 x=- , 2 1 1 1 1 1 1 1 ∴- f( )= f(- )= f( ),f( )=0. 2 2 2 2 2 2 2 ∵xf(x+1)=(x+1)f(x),

x+1 ∴f(x+1)= f(x)(x≠0), x
1 +1 3 1 2 1 ∴f( )=f(1+ )= f( )=0, 2 2 1 2 2 3 +1 5 3 2 3 ∴f( )=f(1+ )= f( )=0, 2 2 3 2 2

5 +1 7 5 2 5 ∴f( )=f(1+ )= f( )=0. 2 2 5 2 2 (1)A (2)0 题型二 函数的周期性 1+f(x) 已知函数 f(x)满足 f(x+1)= ,若 1-f(x) f(0)=2010,求 f(2014). 解决此类问题的一般思路是:先根据所给条件求出 函数的周期, 把较大的自变量的取值转化为较小的自变量的 取值,达到“化繁为简”的目的.

1+f(x) ∵f(x+1)= , 1-f(x) 1+f(x) 1+ 1+f(x+1) 1-f(x) 1 ∴f(x+2)= = =- , 1-f(x+1) 1+f(x) f(x) 1- 1-f(x) ∴f(x+4)=f(x),即函数的周期为 4. ∵f(0)=2010, 1 1 ∴f(2014)=f(2012+2)=f(2)=- =- . f(0) 2010 该题是抽象函数的求值问题,通过递推关系变形,

得出函数的周期, 将一个较大的自变量的值转化成已知 的较小的自变量的取值即可. 若函数 f(x)在 R 上恒有 f(x)=f(x+1)+f(x-1), 且 f(1)=2,求 f(2014)的值. ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1), ∴f(x+1)=f(x+2)+f(x), ∴f(x+2)=-f(x-1), ∴f(x+3)=-f(x), ∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x), ∴f(x)是周期为 6 的周期函数. ∴f(2014)=f(6×335+4)=f(4)=-f(1)=-2.

题型三 函数的奇偶性、 周期性与其他知识综合 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)+f(x-y) 1 =2f(x)f(y),且 f(0)≠0,f( )=0. 2 (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)是周期函数; 1 1 (3)若 f(x)在[0,1]内是单调函数,求 f( )与 f( )的 3 6 值. 分析函数的奇偶性就是辨析 f(-x)与 f(x)的关系, 故令 x=0,就可以产生 f(-y)与 f(y)的形式;求周期要求 系数相同,故只需令 y 为一个常数. (1)令 x=y=0,得 2f(0)=2[f(0)]2.

∵f(0)≠0,∴f(0)=1. 令 x=0,得 f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y), ∴f(-y)=f(y),∴f(x)为偶函数. 1 1 1 (2)令 y= ,得 f(x+ )+f(x- )=0. 2 2 2 1 1 ∴f(x+ )=-f(x- ), 2 2 ∴f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=-f(x+1)=f(x), ∴f(x)是 T=2 的周期函数. 1 1 1 1 1 1 (3)令 x= ,y= ,得 f( )+f( )=2f( )f( ), 3 6 2 6 3 6 1 1 f( )[2f( )-1]=0. 6 3

1 ∵f(x)在[0, 1]上是单调函数, 且 f(0)=1, f( )=0, 2 1 1 ∴f(x)在[0,1]上是减函数,∴f( )>f( )=0, 6 2 1 1 1 ∴2f( )-1=0,∴f( )= . 3 3 2 1 1 1 2 令 x=y= ,得 f( )+f(0)=2[f( )] , 6 3 6 1 f( )+f(0) 1 2 3 3 ∴[f( )] = = , 6 2 4

1 1 3 ∵f( )>0,∴f( )= . 6 6 2 本题从概念入手,首先要求学生真正地掌握概念的 本质东西,其次本题对特值法求值也考查得较细. (1)若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1、 x2∈R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确 的是( ). A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1 为奇函数 D.f(x)+1 为偶函数 3 (2)定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于点(- ,0)成中心对 4

3 称,对任意的实数 x 都有 f(x)=-f(x+ ),且 f(-1)=1, 2 f(0) =- 2 ,则 f(1) + f(2) + f(3) +?+ f(2014) 的值为 ________. (1)令 x1=x2=0,得 f(0)=2f(0)+1, ∴f(0)=-1; 再令 x2=-x1,得 f(x1-x1)=f(x1)+f(-x1)+1, 即 f(0)=f(x1)+f(-x1)+1, ∴[f(x1)+1]+[f(-x1)+1]=0,即 f(x)+1 为奇函 数. 3 (2)由 f(x)=-f(x+ ),得 f(x+3)=f(x), 2 因此,f(x)是周期函数,并且周期是 3.

3 函数 f(x)的图象关于点(- ,0)成中心对称,因此, 4 3 3 3 f(x)=-f(- -x),∴f(- -x)=f(x+ ),∴f(x)为偶 2 2 2 函数,所以 f(1)=1,f(1)+f(2)+f(3)=0, f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2014)=f(1)=1. (1)C (2)1

一、选择题 1.下列函数是奇函数的有( ). ①f(x)=2x4+3x2;②f(x)=x3-2x;

x2+1 ③f(x)= ;④f(x)=x3+1. x
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称,然 后由奇函数的定义逐个判断可知,②③为奇函数. B 2. 若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x) +g(x)=ex,则 g(x)等于( ). 1 x -x x -x A.e -e B. (e +e ) 2 1 -x x 1 x -x C. (e -e ) D. (e -e ) 2 2 ∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,

∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). ∴f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e-x. 又∵f(x)+g(x)=ex, ex-e-x ∴g(x)= . 2 D
1 3.设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)= ,f(x+2)= 2 f(x)+f(2),则 f(5)=( ). 5 A.0 B.1 C. D.5 2 ∵f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+f(2)+f(2)=f(1)+ 2f(2),

又∵f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2), ∴f(2)=f(1)-f(-1)=2f(1), 5 ∴f(5)=f(1)+2f(2)=5f(1)= . 2 C ? ?1,x∈Q, 4.设 Q 为有理数集,函数 f(x)=? g(x) ? ?-1,x∈?RQ, ex-1 = x ,则函数 h(x)=f(x)·g(x)( ). e +1 A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数也是偶函数

D.既不是偶函数也不是奇函数 ∵当 x∈Q 时,-x∈Q,∴f(-x)=f(x)=1;当 x ∈?RQ 时,-x∈?RQ,∴f(-x)=f(x)=-1.综上有,对任 意 x∈R ,都有 f(-x)=f(x),故函数 f(x)为偶函数. e-x-1 1-ex ex-1 ∵g(-x)= -x = x=- x=-g( x) , e +1 1+e 1+e ∴函数 g(x)为奇函数.∴h(-x)=f(-x)·g(-x)= f(x) · [ - g(x)] =- f(x)g(x) =- h(x) ,∴函数 h(x) = e-1 f(x)·g(x)是奇函数.∴h(1)=f(1)·g(1)= ,h(-1) e+1

e-1-1 1-e =f(-1)· g(-1)=1× -1 = , h(-1)≠h(1), e +1 1+e ∴函数 h(x)不是偶函数. A
5.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),则 f(2013)+f(2015)的值 为( ). A.-1 B.1 C.0 D.无法计算 由题意,得 g(-x)=f(-x-1), 又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的

奇函数,∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1), ∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), ∴f(x)的周期为 4, ∴f(2013)=f(1),f(2015)=f(3)=f(-1). 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0, ∴f(2013)+f(2015)=0. C 6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,都有 f(x+2)=f(x).当 0≤x≤1 时,f(x)=x2.若直 线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同 的公共点,则实数 a 的值是( ).

1 A.0 B.0 或- 2 1 1 1 C.- 或- D.0 或- 4 2 4 ∵f(x+2)=f(x),∴T=2.

又 0≤x≤1 时,f(x)=x2,可画出函数 y=f(x)在一个 周期内的图象如图. 显然 a=0 时,y=x 与 y=x2 在[0,2]内恰有两个不同 的公共点.

另当直线 y=x+a 与 y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个 1 2 不同公共点,由题意知 y′=(x )′=2x=1,∴x= . 2 1 1 1 ∴A( , ),又 A 点在 y=x+a 上,∴a=- , 2 4 4 1 综上可知 a=0 或- . 4 D 二、填空题 7.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函 数,那么 a+b 的值是________. 由 f(x)是偶函数知,f(x)=f(-x), 即 ax2+bx=a(-x)2-bx,∴2bx=0,∴b=0.

又函数 f(x)的定义域应关于原点对称, 1 1 即(a-1)+2a=0,∴a= ,故 a+b= . 3 3 1 3 8.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函 1 x 数,且 f(x)-g(x)=( ) ,则 f(1),g(0),g(-1)之间的 2 大小关系是________. 1 x 在 f(x)-g(x)=( ) 中, 用-x 替换 x, 得 f(-x)-g(- 2 x)=2x,由于 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函

数,所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x) -x x -x x 2 - 2 2 + 2 -g(x)=2x.于是解得 f(x)= ,g(x)=- ,于 2 2 3 5 是 f(1)=- , g(0)=-1, g(-1)=- , 故 f(1)>g(0)>g(- 4 4 1). f(1)>g(0)>g(-1) 9.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)·f(x)=1 对于 x∈R 恒成立,且 f(x)>0,则 f(119)=________. 1 ∵ f(x + 2) = ,∴ f(x + 4) = f(x + 2 + 2) = f(x) 1 =f(x),∴f(x)为周期函数,T=4, f(x+2)

又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(119)=f(29 ×4+3)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=f(1), 1 又 f(-1+2)= , f(-1) ∴f(1)·f(-1)=1 即 f2(1)=1,∵f(x)>0, ∴f(1)=1,∴f(119)=1. 1 三、解答题 10.已知 f(x)是偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上是增函 1 数,如果 f(ax+1)≤f(x-2)在 x∈[ ,1]上恒成立,求实 2 数 a 的取值范围. 由于 f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,

则在(-∞,0]上为减函数,由 f(ax+1)≤f(x-2), 1 则|ax+1|≤|x-2|,又 x∈[ ,1],故|x-2|=2-x, 2 3 即 x-2≤ax+1≤2-x.故 x-3≤ax≤1-x,1- ≤a

x

1 1 ≤ -1,在[ ,1]上恒成立. x 2 1 3 由于( -1)min=0,(1- )max=-2,故-2≤a≤0.

x

x

11.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=- f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形

的面积; (3)写出(-∞, +∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区间. (1)由 f(x+2)=-f(x), 得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, 所以 f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π) =-(4-π)=π-4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x), 故函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中 心对称,则

当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形如图所 1 示,设其面积为 S,则 S=4S△OAB=4×( ×2×1)=4. 2

(3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1, 4k+1](k∈Z), 单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z). 12.已知函数 f(x)的定义域为 R,且对于一切实数 x 满 足 f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x). (1)若 f(5)=9,求 f(-5); (2)已知 x∈[2,7]时,f(x)=(x-2)2,求当 x∈[16,

20]时,函数 g(x)=2x-f(x)的表达式,并求出 g(x) 的最大值和最小值. (1)由 f(x+2)=f(2-x)及 f(x+7)=f(7-x),得 f(x)的图象关于直线 x=2,x=7 对称. ∴f(x)=f[(x-2)+2]=f[2-(x-2)]=f(4-x) =f[7-(3+x)]=f[7+(3+x)] =f(x+10). ∴f(x)是以 10 为周期的周期函数. ∴f(-5)=f(-5+10)=f(5)=9. (2)当 x∈[16,17]时,x-10∈[6,7], ∴f(x)=f(x-10)=(x-10-2)2=(x-12)2. 当 x∈(17,20]时,x-20∈(-3,0],4-(x-20)∈ [4,7),

∴f(x)=f(x-20)=f[4-(x-20)]=f(24-x)=(x- 22)2. 2 ? ?2x-(x-12) ,x∈[16,17], ∴g(x)=? 2 ? 2 x -( x - 22 ) ,x∈(17,20]. ? 可求得 g(x)的最大值为 36,最小值为 9.


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