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高中数学必修2-3第一章1.3 1.3.1二项式定理


1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理

1.问题导航 (1)二项式定理是什么?通项公式又是什么? (2) 二项式定理有何结构特征?二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别 吗? 2.例题导读 (1)例 1 求二项展开式,请试做教材 P31 练习 1 题. (2)例 2 求指定项的系数,请试做教材 P31 练习 2、3、4 题.

>二项式定理 二项式定理 二项展开式 二项式系数 二项展开 式的通项
n k k Tk+1=________Ck b na


n 1 n 1 n k k n * (a+b)n=________C0 b+?+Ck b +?+Cn na +Cna na nb (n∈N )
- -

公式________右边的式子 ________Ck n(k=0,1,2,?,n)

1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)(a+b)n 展开式中共有 n 项.( ) (2)在公式中,交换 a,b 的顺序对各项没有影响.( ) n-k k n (3)Ck a b 是 ( a + b ) 展开式中的第 k 项. ( ) n (4)(a-b)n 与(a+b)n 的二项式展开式的二项式系数相同.( 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(2a+b)5 的展开式的第 3 项是( ) 3 2 3 2 3 2 A.2 C5 B.2 C5a b 3 3 2 3 C.2 C5 D.23C3 5a b 答案:B 3.(x+2)6 的展开式中 x3 的系数为( ) A.20 B.40 C.80 D.160 答案:D 1 4.在(x2+ )6 的二项展开式中的常数项是第________项. x 答案:5

)

1.二项式展开式的特点

(1)项数:共有(n+1)项. 1 2 k n (2)二项式系数:依次为组合数 C0 n,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn. (3)每一项的次数是一样的,都为 n 次,展开式依 a 的降幂、b 的升幂排列. 2.对通项公式的四点说明 n-k k (1)通项 Tk+1=Ck b 是(a+b)n 的展开式的第 k+1 项,这里 k=0,1,?,n. na n-k k n-k k (2)二项式(a+b)n 的第 k+1 项 Ck b 和(b+a)n 的展开式的第 k+1 项 Ck a 是有区 na nb 别的,应用二项式定理时,其中的 a 和 b 是不能随便交换的. (3)注意二项式系数 Ck n与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数一定为正,而 项的系数有时可为负. (4)通项公式是在(a+b)n 这个标准形式下而言的,如(a-b)n 的二项展开式的通项公式是 n-k n-k Tk+1=(-1)kCk ·bk(只需把-b 看成 b 代入二项式定理),这与 Tk+1=Ck ·bk 是不同的, na na k k k 在这里对应项的二项式系数是相等的,都是 Ck n,但项的系数一个是(-1) Cn,一个是 Cn,可 看出二项式系数与项的系数是不同的概念.

二项式定理的正用与逆用 [学生用书 P21] (1)求(2 x+ 1 4 ) 的展开式; x

(2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). [解] (1)法一:直接利用二项式定理展开并化简: 1 1 1 1 1 1 (2 x+ )4=C0 (2 x)4·( )0+C4 ·(2 x)3·( )+C2 (2 x)2·( )2+C3 (2 x)· ( )3 4· 4· 4· x x x x x
0 +C4 4·(2 x) ·(

1 4 8 1 ) =16x2+32x+24+ + 2. x x x 1 4 2x+1 4 1 ) =( ) = 2(2x+1)4 x x x

法二:(2 x+

1 1 2 2 3 0 4 = 2[C0 (2x)4·10+C4 ·(2x)3·1+C2 13+C4 4·(2x) ·1 +C4·(2x)· 4·(2x) ·1 ] x 4 1 = 2(16x4+32x3+24x2+8x+1) x 8 1 =16x2+32x+24+ + 2. x x
5 1 4 2 3 3 2 4 5 5 (2)原式=C0 5(x-1) +C5 (x-1) +C5(x-1) +C5(x-1) +C5(x-1)+C5-1=[(x-1)+1] -1=x5-1.

运用二项式定理的解题策略:

(1)求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特 点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂. (2)逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、 各项幂指数的规律以及各项的系数.

1.(1)求(a+2b)4 的展开式; 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 3 2 2 解: (a +2b)4 =C0 4 a + C 4 a (2b) + C 4 a (2b) + C 4 a · (2b) + C 4 (2b) = a + 8a b + 24a b + 32ab3+16b4. 2 n n (2)化简:1+2C1 n+4Cn+?+2 Cn. 2 2 n n n n 解:原式=1+2C1 n+2 Cn+?+2 Cn=(1+2) =3 .

求二项展开式中的特定项或其系数 a 7 1 2x+ ? 的展开式中 3 的系数是 84,则实数 a= (1)(2014· 高考湖北卷)若二项式? x? ? x ( ) A.2 C.1 5 B. 4 D. 2 4

r a 7 7-r?a? r 7-r r 7-2r 2x+ ? 的展开式的通项公式为 Tr+1=Cr [解析] 二项式? (2 x ) 7 x? ? ?x? =C72 a x ,令 7

1 2 5 -2r=-3,得 r=5.故展开式中 3的系数是 C5 72 a =84,解得 a=1. x [答案] C 1 (2)二项式(2x- )6 的展开式中的常数项为________. 2x 1 6-r [解析] Tr+1=Cr (-1)r( )r 6(2x) 2x
6-r 1 r 6-2r =(-1)rCr ( ) x ,令 6-2r=0,得 r=3, 62 2

所以 T4=(-1)3C3 6=-20. [答案] -20 [互动探究] 本例(2)中第 3 项的系数为________,第 3 项的二项式系数为________.
4 2 1 2 解析:因为 T3=C2 6(2x) (-1) ( ) 2x 4 1 2 2 2 =(-1)2C2 62 ( ) x =60x . 2

所以二项展开式中第 3 项的系数为 60,第 3 项的二项式系数为 C2 6=15. 答案:60 15 求二项展开式的特定项问题,一般需要建立方程求 k,再将 k 的值代回通项求解,注意

k 的取值范围(k=0,1,2,?,n). (1)第 m 项:此时 k+1=m,直接代入通项; (2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为 0 建立方程; (3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方程求解. 扫一扫 进入 91 导学网(www.91daoxue.com) “赋值法”求二项展开式的系数

2.(1)(2015· 高考全国卷Ⅰ)(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 2 5 解析:选 C.法一:(x +x+y) =[(x2+x)+y]5, 2 3 2 含 y2 的项为 T3=C2 5(x +x) ·y . 4 1 5 其中(x2+x)3 中含 x5 的项为 C1 3x ·x=C3x . 1 所以 x5y2 的系数为 C2 5C3=30.故选 C. 法二:(x2+x+y)5 为 5 个 x2+x+y 之积,其中有两个取 y,两个取 x2,一个取 x 即可, 2 1 所以 x5y2 的系数为 C2 5C3C1=30.故选 C. 2 5 (2)(1+x) ·(1-x) 的展开式中含 x3 的项是________. 解析:法一:(1+x)2·(1-x)5=(1-x2)2(1-x)3=(1-2x2+x4)· (1-3x+3x2-x3),∴x3 的 系数为 1×(-1)+(-2)×(-3)=5.故含 x3 的项为 5x3. r 法二:∵(1+x)2 的通项:Tr+1=Cr 2·x , k (1-x)5 的通项:Tk+1=(-1)k·Ck 5·x , k k+r ∴(1+x)2·(1-x)5 的通项:(-1)k·Cr (其中 r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3, 2·C5·x 4,5}). 令 k+r=3,
? ?k=1, ? ?k=2, ? ?k=3, 则有? 或? 或? ?r=2 ?r=1 ?r=0. ? ? ?
1 2 3 3 3 ∴x3 的系数为-C1 5+C2·C5-C5=5,故含 x 的项为 5x . 答案:5x3

3 (3)求二项式( x- x)9 展开式中的有理项.
2 9 r 解:Tr+1=Cr ·(-x3)r=(-1)rCr 9(x ) 9x


1

1

27-r 6

27-r ,令 ∈Z(0≤r≤9),得 r=3 或 r=9, 6

27-r 所以当 r=3 时, =4, 6
3 4 T4=(-1)3C9 x =-84x4,

27-r 当 r=9 时, =3, 6
3 3 T10=(-1)9C9 9x =-x . 综上:展开式中的有理项为-84x4 与-x3.

二项式定理的应用[学生用书 P22] 试判断 7777-1 能否被 19 整除. [解] 7777-1=(76+1)77-1 76 2 75 76 77 76 1 75 2 = 7677 + C1 77 × 76 + C 77 × 76 + ? + C 77 × 76 + C 77 - 1 = 76×(76 + C 77 × 76 + C 77 × 7674+?+C76 77). 由于 76 能被 19 整除,因此 7777-1 能被 19 整除. 整除性问题或求余数的处理方法: (1)构造一个与题目条件有关的二项式. (2)用二项式定理处理整除问题时, 通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数 的和或差的形式,再利用二项式定理展开,只需考虑后面(或者是前面)一、两项就可以了. (3)要注意余数的范围,若 a=cr+b,其中 b 为余数,b∈[0,r),r 是除数.利用二项式 定理展开、变形后, 若剩余部分是负数,则要注意转化.

3.设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512 016+a 能被 13 整除,则 a=( ) A.0 B.1 C.11 D.12 2 016 解析: 选 D.∵52 能被 13 整除, ∴512 016 可化为(52-1)2 016, 其二项式系数为 Cr 2 01652 -r ·(-1)r. 2 016 2 016 故(52-1)2 016 被 13 除余数为 C2 =1,则当 a=12 时,512 016+12 被 13 整 016×(-1) 除.

易错警示

混淆二项式系数与项的系数而致误

设(x- 2)n 的展开式中第二项与第四项的系数之比为 1∶2,求含 x2 的项. [解] (x- 2)n 的展开式中第二项与第四项分别为: - n-1 T2=C1 ·(- 2)=- 2nxn 1, n·x n-3 n-3 T4=C3 ·(- 2)3=-2 2C3 . n·x nx - 2n 1 根据题意得到 = , 2 -2 2C3 n 整理得 n2-3n-4=0, 解得 n=4 或 n=-1(没有意义,舍去). 设(x- 2)4 的展开式中含 x2 的项为第(r+1)项, 4-r 则 Tr+1=Cr ·(- 2)r(r=0,1,2,3,4), 4·x 根据题意有 4-r=2,解得 r=2,
2 2 2 所以(x- 2)4 的展开式中含 x2 的项为 T3=C2 4·x ·(- 2) =12x . [错因与防范] (1)解答本题易将二项展开式的某项的系数与二项式系数弄混. 误认为第 3 二项的系数为 C1 ,第四项的系数为 C ,从而错误求出 n = 5 ,以后皆错. n n (2)在二项式定理的展开式中,Cr n是二项式系数,它与展开式中对应项的系数不一定相

等,二项式系数一定为正,而项的系数有时可为负.

3 4.(2015· 高考重庆卷)?x +

?

1 ?5 的展开式中 x8 的系数是________(用数字做答). 2 x?
30-7r r 1 ?r r ?1?r 15-3r ?1? r 2 =Cr · x · · x - = · C · x (r=0,1, 5 5 ?2? 2 ?2? ?2 x?

3 5 r ? 解析:∵ Tr+1=Cr · 5·(x )


2,3,4,5), 由 30-7r 1?2 5 2 =8,得 r=2,∴ ? ?2? ·C5=2. 2

5 答案: 2

2 1.(x2+ 3)5 展开式中的常数项为( x A.80 C.40

)

B.-80 D.-40

2 5-k 2 k 解析:选 C.Tk+1=Ck ( 3) 5(x ) x k 10 5k =Ck , 52 x 令 10-5k=0 得 k=2. 2 ∴常数项为 T3=C2 52 =40. 2.(2014· 高考四川卷)在 x(1+x)6 的展开式中,含 x3 项的系数为( ) A.30 B.20 C.15 D.10 6 r 6 3 解析:选 C.因为(1+x) 的展开式的第(r+1)项为 Tr+1=Cr 6x ,x(1+x) 的展开式中含 x 2 3 3 的项为 C6x =15x ,所以系数为 15.


? 1? 3.如果? 3 x2+ ? 的展开式中,x2 项为第三项,则自然数 n=________. x? ?
n 2n-5r r 3 2 n-r?1? r 3 解析:Tr+1=Cr = C x , n( x ) n ? x?

2n-10 由题意知 r=2 时, =2, 3 ∴n=8. 答案:8 4.( x+ 2 3 x
17-r 2

)n 展开式第 9 项与第 10 项的二项式系数相等,求 x 的一次项系数.

9 解:∵C8 n=Cn,

∴n=17,Tr+1=Cr 17x ∴

r ·2r·x- , 3

17-r r - =1,∴r=9, 2 3

9 9 ∴T10=C17 ·x4·29·x 3=C9 x,其一次项系数为 29C9 17·2 · 17.


[A.基础达标] 1.(x+2)n 的展开式共有 11 项,则 n 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.8 n 解析:选 B.∵(a+b) 的展开式共有 n+1 项,而(x+2)n 的展开式共有 11 项,∴n=10. 故选 B. 1 2.(x2- )n 的展开式中,常数项为 15,则 n 的值为( x )

A.3 B.4 C.5 D.6 - 2 n-r 2n-3r 解析:选 D.展开式的通项为 Tr+1=Cr ·(-1)r·(x 1)r=(-1)r·Cr . n·(x ) n·x 3 令 2n-3r=0,得 n= r(n,r∈N*), 2 若 r=2,则 n=3 不符合题意,若 r=4,则 n=6, 此时(-1)4·C4 6=15,∴n=6. 1 3.已知(x- )7 的展开式的第 4 项等于 5,则 x 等于( x 1 A. 7 C.7 1 B.- 7 D.-7 )

13 1 4 解析:选 B.T4=C3 7x (- ) =5,则 x=- . x 7 4.若对于任意实数 x,有 x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则 a2 的值为( A.3 B.6 C.9 D.12 3 3 解析:选 B.x =[2+(x-2)] ,a2=C2 3×2=6. 1 5.( x- )10 的展开式中含 x 的负整数指数幂的项数是( 3x A.0 C.4 1 解析:选 C.Tr+1=(- )rCr x 3 10 B.2 D.6
10-3r 2

)

)

10-3r ,由 0≤r≤10,且 为负整数得 r=4,6,8,10, 2

即有 4 项含 x 的负整数指数幂.故选 C. 6.若(x- a6 ) 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为________. x2 a6 - 6-r 6-3r ) 展开式的通项为 Tr+1=Cr (-1)r·( a)r·x 2r=Cr (-1)r·( a)r. 6x 6x x2

解析:(x-

令 6-3r=0,得 r=2.
2 故 C2 6( a) =60, 解得 a=4.

答案:4 1 7.(x2- )9 的展开式中 x9 的系数是________. 2x 1 1 1 1 r 18-3r 2 9-r 18-2r 解析:Tr+1=Cr (- )r=Cr (- )r·( )r=Cr ,令 18-3r=9,得 r 9(x ) 9x 9(- ) x 2x 2 x 2 1 21 3 =3,从而可得 x9 的系数为 C9 (- )3=- . 2 2 21 答案:- 2 1 8.(2015· 安徽淮南模拟)若(x+ )n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该 x 1 展开式中 2的系数为________. x
2 6 解析:由题意知,Cn =Cn ,∴n=8.

1 1 8-k 8-2k 5 ∴Tk+1=Ck ·( )k=Ck ,当 8-2k=-2 时,k=5,∴ 2的系数为 C8 =56. 8·x 8·x x x 答案:56 2 9.已知(3 x- )10, 3x (1)求展开式的第 4 项的二项式系数; (2)求展开式的第 4 项的系数; (3)求展开式的第 4 项. 2 解:(3 x- )10 展开式的第 k+1 项是 3x 2 10-k Tk+1=Ck (- )k(k=0,1,?,10). 10(3 x) 3x (1)展开式的第 4 项的二项式系数为 C3 10=120; 23 7 (2)展开式的第 4 项的系数为 C3 103 (- ) =-77 760; 3 1 (3)展开式的第 4 项为-77 760( x)7· 3, x 即-77 760 x. 10.(2015· 淄博高二检测)在(2 x- 1 6 ) 的展开式中,求: x

(1)第 3 项的二项式系数及系数; (2)含 x2 的项. 解:(1)第 3 项的二项式系数为 C2 6=15, 1 2 4 又 T3=C2 ) =24·C2 6(2 x) (- 6x, x 所以第 3 项的系数为 24C2 6=240. 1 - 6-k 3-k (2)Tk+1=Ck (- )k=(-1)k26 kCk ,令 3-k=2,得 k=1. 6(2 x) 6x x 所以含 x2 的项为第 2 项,且 T2=-192x2. [B.能力提升]

1 2 n n 1.(2015· 吉林长春期末)若 Cn x+C2 n 的值可能为( ) nx +?+Cnx 能被 7 整除,则 x, A.x=4,n=3 B.x=4,n=4 C.x=5,n=4 D.x=6,n=5 1 2 2 n n 解析:选 C.Cnx+Cnx +?+Cn x =(1+x)n-1,分别将选项 A、B、C、D 代入检验知, 仅 C 适合.
1 1 2.在二项式(x2+ 1)n 的展开式中,若前三项的系数成等差数列,则展开式中有理项的 2x4

项数为( A.5 C.3

) B.4 D.2

1 12 2 解析:选 C.二项展开式的前三项的系数分别为 1,C1 n· ,Cn·( ) ,由其成等差数列, 2 2 n(n-1) 1 12 1r 2 可得 2C1 ,所以 n=8.所以展开式的通项 Tr+1=Cr n· =1+Cn·( ) ?n=1+ 8( ) x4 2 2 8 2 3r 3r - .若为有理项,则有 4- ∈Z,所以 r 可取 0,4,8,所以展开式中有理项的项数为 3. 4 4
2 3 10 10 11 3.-1+3C1 11-9C11+27C11-?-3 C11 +3 除以 5 的余数是________. 1 3 10 10 11 11 11 解析:-1+3C11 -9C2 11+27C11-?-3 C11 +3 =(-1+3) =2 =2 048=2 045+3, 它除以 5 余数为 3. 答案:3

1 4.(1+x+x2)(x- )6 的展开式中的常数项为________. x 1 解析:(x- )6 中, x 1 6-r 6-2r Tr+1=Cr ·(- )r=(-1)rCr , 6x 6x x
3 3 令 6-2r=0,得 r=3,T4=C3 6(-1) =-C6,

7 令 6-2r=-1,r= (舍去), 2
4 2 令 6-2r=-2,r=4,T5=C4 6(-1) x ,


1 ∴(1+x+x2)(x- )6 的展开式中的常数项为 x
4 1×(-C3 6)+C6=-20+15=-5. 答案:-5 1 10 5.已知二项式(x2+ ) . 2 x

(1)求展开式中的第 5 项; (2)求展开式中的常数项. 1 10 解:(1)(x2+ ) 的展开式的第 5 项为 2 x 1 4 1 4 12 1 4 105 10 2 6 T5=C4 ) =C4 )= x . 10·(x ) ·( 10·( ) ·x ·( 2 8 2 x x (2)设第 k+1 项为常数项,

1 k 5 1k 2 10-k 则 Tk+1=Ck ·( ) =Ck 10·(x ) 10·x20- k·( ) (k=0,1,2,?,10), 2 2 2 x 5 1 8 45 令 20- k=0,得 k=8,所以 T9=C8 , 10·( ) = 2 2 256 45 即第 9 项为常数项,其值为 . 256 1 1 6.已知在( x2- )n 的展开式中,第 9 项为常数项.求: 2 x (1)n 的值; (2)展开式中 x5 的系数; (3)含 x 的整数次幂的项的个数. 1 2 n-k 1 1 - 5 解:二项展开式的通项为 Tk+1=Ck ·(- )k=(-1)k( )n kCk n( x ) nx2n- k. 2 2 2 x (1)因为第 9 项为常数项, 5 即当 k=8 时,2n- k=0,即 2n-20=0,解得 n=10. 2 5 2 1 105 (2)令 2n- k=5,得 k= (2n-5)=6,所以 x5 的系数为(-1)6( )4C6 = . 2 5 2 10 8 40-5k 5 (3)要使 2n- k,即 为整数,只需 k 为偶数,由于 k=0,1,2,3,?,9,10, 2 2 故符合要求的有 6 项,分别为展开式的第 1,3,5,7,9,11 项.


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2-3 1.3二项式定理

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数学:新人教A版选修2-3 1.3二项式定理(同步练习)

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