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北京市东城区2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题

时间:2016-02-18


北京市东城区 2015-2016 学年上学期高一年级期末考试 数学试卷
本试卷共 100 分,考试时长 120 分钟。 第一部分(选择 题 共 24 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分。在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项并填在答题卡中。 1. 已知集合 A ? {0,1,2}, B ? {2,3} ,

则集合 A ? B = A. {1,2,3} B. {0,1,2,3} C. {2} D. {0,1,3}

2. 若角 ? 的终边经过点 P(1,?2) ,则 tan ? 的值为 A.

5 5

B. ?

2 5 5

C. ? 2

D. ?

1 2

3. 正弦函数 f ( x) ? sin x 图象的 一条对称轴是 A. x ? 0 B. x ?

?
4

C. x ?

x 2
2

D. x ? ?

4. 下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 A. f ( x) ? sin x C. f ( x) ? ln x 5. 函数 f ( x) ? x
? 1 2

B. f ( x) ? x ? 1 D. f ( x) ? cos x 的大致图象是

6. 2003 年至 2015 年北京市电影放映场次(单位:万次)的情况如图所示,下列函数模型中,最 不适合近似描述这 13 年间电影放映场次逐年变化规律的是

1

A. f ( x) ? ax2 ? bx ? c C. f ( x) ? e ax ?b 7. 若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则 A. ? ? ? ? ? ? k? (k ? Z ) C. ? ? ? ?

B. f ( x) ? aex ? b D. f ( x) ? a ln x ? b

B. ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) D. ? ? ? ?

?
2

? k? (k ? Z )

?
2

? 2k? (k ? Z )

? x 2 ? 2 x, x ? (??,0), 8. 已 知 函 数 f ( x) ? ? g ( x) ? x 2 ? 4 x ? 4 , 若 存 在 实 数 a , 使 得 ?ln(x ? 1), x ? [0,??).
f (a) ? g ( x) ? 0 ,则 x 的取值范围为
A. [?1,5] C. [?1,??) B. (??,?1] ? [5,??) D. (??,5]

第二部分(非选择题 共 76 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。请把答案填在相应题目横线上。 9. 函数 f ( x) ? log2 (2 x ? 1) 的定义域是____________。 10. sin80°cos20°-cos80°sin20°的值为___________。 11 . 已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ,则 f ( x) 的最大值为_________。 12. 若 a ? log4 3 ,则 4 ? 4
a ?a

=____________。

13. 已知函数 f ( x) ? a ? b(a ? 0且a ? 1) 的定义域和值域都是 [?1,0] ,则 a ? b =__________。
x

14. 设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x) 满足: (1) T ? { f ( x) | x ? S} ; (2)对任意 x1 , x2 ? S ,当 x1 ? x 2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。 那么称这两个集合“保序同构”,现给出以下 4 对集合: ① S ? {0,1,2}, T ? {2,3} ;

2

② S ? N,T ? N * ; ③ S ? {x | ?1 ? x ? 3}, T ? {x | ?8 ? x ? 10} ; ④ S ? {x | 0 ? x ? 1}, T ? R 。 其中,“保序同构”的集合对的序号是_______(写出所有“保序同构”的集合对的序号)。

三、解答题:本大题共 6 个小 题,共 52 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15. (本题满分 8 分) 已知集合 A ? {0,1}, B ? {x | x 2 ? ax ? 0} ,且 A ? B ? A ,求实数 a 的值。 16.(本题满分 9 分) 设 ? 为第二象限角,若 tan(? ? (Ⅰ) tan ? 的值; (Ⅱ) sin(

?
4

)?

1 。求 2

?
2

? 2? ) ? sin(? ? 2? ) 的值。

17.(本题满分 9 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

1 。 x

(Ⅰ )证明: f ( x) 是奇函数; (Ⅱ)用函数单调性的定义证明: f ( x) 在 (0,??) 上是增函数。 18.(本题满分 9 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? 列表并填入了部分数据,如下表:

?
2

) 在某一个周期内的图象时,

?x ? ?

0

? 2 ? 3

?

3? 2 5? 6
-5

2?

x
A sin(?x ? ? )
0

5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 ? (? ? 0) 个单位长度,得到 y ? g ( x) 的图象。 若 y ? g ( x) 图象的一个对称中心为 ( 19. (本题满分 9 分) 某食品的保鲜时间 y (单位: 小时) 与储存温度 x (单位: ℃) 满足函数关系 y ? e
kx?b

5? ,0) ,求 ? 的最小值。 12

(e=2.718?
3

为自然对数的底数,k,b 为常数)。若该食品在 0℃的保鲜时间为 192 小时,在 22℃的保鲜时间是 48 小时,求该食品在 33℃的保鲜时间。 20. (本题满分 8 分) 若实数 x, y , m 满足 | x ? m |?| y ? m | ,则称 x 比 y 远离 m。 (Ⅰ)比较 log2 0.6 与 2
0 .6

哪一个远离 0;

(Ⅱ)已知函数 f ( x) 的定义域 D ? ? x x ?

? ?

? k? ? ? , k ? Z ? ,任取 x ? D, f ( x) 等于 sin x 和 2 4 ?

cos x 中远离 0 的那个值,写出函数 f(x)的解析式以及 f(x)的三条基本性质(结论不要求证明)。

4

【试题答案】 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分。在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 A 6 D 7 B 8 A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。请把答案填在题中横线上。

题号 答案

9

10

11 2

12

13

14 ②③④

? 1? ?x x ? ? ? 2? ?

3 2

10 3

?

3 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 52 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15. (本题满分 8 分) 解:? B ? {x | x 2 ? ax ? 0},? B ? {x | x ? 0或x ? a} , 由 A ? B ? A ,得 B ? {0} 或 {0,1} 。 当 B ? {0} 时,方程 x ? ax ? 0 有两个相等实数根 0,
2

4分

?a ? 0 。
2

6分

当 B ? {0,1} 时,方程 x ? ax ? 0 有两个实数根 0,1,

? a ? 1。
16. (本题满分 9 分)

8分

1 解:(Ⅰ)? tan( ? ? ) ? ,? 4 2

?

4 ? 1 。解得 tan ? ? ? 1 。 ? 2 3 1 ? tan? tan 4
1 3 10 3 10 。 , cos? ? ? 10 10

tan? ? tan

?
2分

(Ⅱ)?? 为第二象限角, tan? ? ? ,? sin ? ?

4分

? sin(

?
2

? 2? ) ? sin(? ? 2? ) ? cos 2? ? sin 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 2 sin ? cos ? ?

7 。 5
9分

17.(本题满分 9 分) 证明:(Ⅰ)由已知得,函数 f ( x) 的定义域为 D ? {x | x ? R且x ? 0} 。 设 x ? D ,则 ? x ? D, f (? x) ? ? x ? 1分

1 ? ? f ( x) 。 x

3分

5

所以函数 f ( x) 是奇函数。 (Ⅱ)设 x1 , x 2 是 (0,??) 上的两个任意实数,且 x1 ? x 2 ,

4分

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?

2 x2 ? 1 x12 ? 1 ? x2 x1

6分

2 x1 ( x2 ? 1) ? x2 ( x12 ? 1) ( x2 ? x1 )(x1 x2 ? 1) 。 ? x1 x2 x1 x2

7分

因为 0 ? x1 ? x2 ,所以 x1 x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0, x1 x2 ? 1 ? 0 , 所以

( x2 ? x1 )(x1 x2 ? 1) ? 0。 x1 x2
9分

8分

所以 f ( x) 在 (0,??) 上是增函数。

18.(本题满分 9 分) 解:(Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ?

?
6

,数据补全如下表:

?x ? ?

0

? 2 ? 3
5

?
7? 12
0

3? 2 5? 6
-5 5分

2?

x
A sin(?x ? ? )

? 12
0

13? 12
0

且函数解析式为 f ( x) ? 5 sin( 2 x ?

?
6

)。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? 5 sin( 2 x ?

?
6

) ,得 g ( x) ? 5 sin( 2 x ? 2? ?

?
6

)。 6 分

因为 f ( x) ? sin x 的图象的对称中心为 (k? ,0)(k ? Z ) 。 令 2 x ? 2? ?

?
6

? k? (k ? Z ) ,解得 x ?

k? ? ? ? ? (k ? Z ) 。 2 12

7分

由于函数 y ? g ( x) 的图象关于点 ( 解得 ? ?

5? k? ? 5? ,0) 成中心对称,令 ? ?? ? ( k ? Z ), 12 2 12 12
8分

k? ? ? (k ? Z ) 。 2 3

由 ? ? 0 可知,当 k ? 1 时, ? 取得最小值 19.(本题满分 9 分)

? 。 6

9分

6

b ? ?e ? 192, 解:由题意知, ? 22 k ?b ? ? 48. ?e

2分

? e 22 k ?

48 1 ? , 192 4

4分

? e11k ?

1 。 2

6分

33 k ? b ? (e11k ) 3 ? e b ? 所以当 x ? 33 时, y ? e

1 ? 192 ? 24 。 8

8分 9分

答:该食品在 33℃的保鲜时间为 24 小时。 20.(本题满分 8 分) 解:(Ⅰ) | log 2 0.6 ? 0 |?| log 2 0.6 |? log 2

5 0.6 , | 2 ? 0 |?| 2 0.6 |? 2 0.6 。 3
2分

1分

? 0 ? log 2 ? log 2

5 ? 1,1 ? 2 0.6 ? 2 , 3

5 ? 2 0.6 ,? | log2 0.6 ? 0 |?| 20.6 ? 0 | , 3
3分

? 2 0.6 比 log2 0.6 远离 0。

? 3? ? sin x, x ? (k? ? , k? ? )(k ? Z ), ? ? 4 4 (Ⅱ) f ( x) ? ? ?cos x, x ? (k? ? 3? , k? ? 5? )(k ? Z ). ? 4 4 ?
f ( x) 的性质:
① f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数; ② f ( x) 是周期函数,最小正周期 T ? 2? ; ③ f ( x) 在区间 ? 2k? ?

5分

? ?

?
4

,2k? ?

?? ?

5? ? ? 3? 7? , 2 k ? ? ? , 2 k ? ? , 2 k ? ? , 2 k ? ? ? 2? 4 ?? 2 4 ? ? ? ?

? ?, ?

7? ? ? ,2k? ? 2? ? (k ? Z ) 单调递增, ? 2k? ? 4 ? ?

?? ? f ( x) 在区间 ?2k? ,2k? ? ?, 4? ?

? 3? ? ? 3? ? ? 2k? ? ,2k? ? ,2k? ? ? ?, ?, ? 2k? ? ? 2 4 ?? 4 ? ?

5? 3? ? ? ,2k? ? ? (k ? Z ) 单调递减; ? 2k? ? 4 2? ?
④当 x ? 2k? 或 x ? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 时, f ( x) 有最大值 1,

7

当 x ? 2k? ? ? 或 x ? 2k? ?

3? (k ? Z ) 时, f ( x) 有最小值-1。 8 分 2

8


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