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专题12 数列 极限 数学归纳法(含答案)


专题三 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法

一 能力培养 1,归纳 ? 猜想 ? 证明 二 问题探讨 问题 1 数列{ a n }满足 a 1 ? (I)求{ a n }的通项公式;
1 2

2,转化能力

3,运算能力

4,反思能力

, a1 ? a 2 ?

? ? ? ? a n ? n a n ,( n ? N ).
2

?

(II)求

1 an

? 1 0 0 n 的最小值;

(III)设函数 f ( n ) 是

1 an

? 1 0 0 n 与 n 的最大者,求 f ( n ) 的最小值.

问题 2 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 和数列{ a n }满足下列条件:
a 1 ? a , a n ? f ( a n ? 1 ) ( n =2,3,4, ? ? ? ), a 2 ? a1 , f ( a n ) ? f ( a n ? 1 ) = k ( a n ? a n ? 1 ) ( n =2,3,4, ? ? ? ),其中 a 为常数, k 为非零常数.

(I)令 b n ? a n ? 1 ? a n ( n ? N ),证明数列 {b n } 是等比数列; (II)求数列{ a n }的通项公式; (III)当 k ? 1 时,求 lim a n .
n? ?

?

问题 3 已知两点 M ( ? 1, 0) ,N (1, 0) ,且点 P 使 M P ? M N , P M ? P N , N M ? N P 成公差小

???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ? ?

1

于零的等差数列. (I)点 P 的轨迹是什么曲线? (II)若点 P 坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,记 ? 为 P M 与 P N 的夹角,求 tan ? .
???? ?

????

三 习题探讨 选择题 1 数列 { a n } 的通项公式 a n ? n ? kn ,若此数列满足 a n ? a n ? 1 ( n ? N ),则 k 的取值范围是
2
?

A, k ? ? 2

B, k ? ? 2

C, k ? ? 3
Sn Tn ? 2n 3n ? 1

D, k ? ? 3 ,则
an bn

2 等差数列 { a n } , {b n } 的前 n 项和分别为 S n , T n ,若
2 3 2n ? 1 3n ? 1

=
2n ? 1 3n ? 4

A,

B,

C,

2n ? 1 3n ? 1

D,

3 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 q ,则 q 的取值范围是
1? 2 5
1? 2 5

A, (0,

)

B, (

,1]

C, [1,

1? 2

5

)

D, (
1 n
2

1? 2

5 1? , 2

5

)

4 在等差数列 { a n } 中, a1 ? A, t ?
4 75

1 25

,第 10 项开始比 1 大,记 lim
3 25
x a
2 2

n? ?

( a n ? S n ) ? t ,则 t 的取值范围是

B,

8 75

?t?

C,

4 75
?

?t?
y b
2 2

3 50

D,

4 75

?t?

3 50

5 设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,C ( x 3 , y 3 ) 是椭圆 若 A F , B F , C F 成等差数列,则有 A, 2 x 2 ? x1 ? x 3 B, 2 y 2 ? y1 ? y 3

? 1 ( a ? b ? 0 )上三个点,F 为焦点,

C,

2 x2

?

1 x1

?

1 x3

D, x 2 ? x1 ? x 3
2

6 在 ? A B C 中, tan A 是以 ? 4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差, tan B 是以 第三项,9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 A,钝角三角形 填空 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对

1 3



2

7 等差数列 { a n } 前 n ( n ? 6 )项和 S n ? 3 2 4 ,且前 6 项和为 36,后 6 项和为 180,则 n ? 8 Sn ?
2?3 6 ? 2 ?3
2 2

.

6

2

?

2 ?3
3

3

6

3

? ??? ?

2 ?3
n

n

6

n

,则 lim S n ?
n? ?

.

9 在等比数列 { a n } 中, lim ( a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ) ?
n? ?

1 15

,则 a 1 的取值范围是
n

.

10 一个数列 { a n } ,当 n 为奇数时, a n ? 5 n ? 1 ;当 n 为偶数时, a n ? 2 2 .则这个数列的前
2 m 项之和 S 2 m ?

.

11 等差数列 { a n } 中, S n 是它的前 n 项和且 S 6 ? S 7 , S 7 ? S 8 ,则①此数列的公差 d ? 0 , ② S 9 ? S 6 ,③ a 7 是各项中最大的一项,④ S 7 一定是 S n 中的最大项,其中正确的是 解答题 12 已知 f ( x ) ? a1 x ? a 2 x ? a 3 x ? ? ? ? ? a n x ,且 a1 , a 2 , a 3 ? ? ? a n 组成等差数列( n 为正偶数).
2 3 n

.

又 f (1) ? n , f ( ? 1) ? n ,(I)求数列的通项 a n ;(II)试比较 f ( ) 与 3 的大小,并说明理由.
2

1

2

13 已知函数 f ( x ) ? 3 x ? bx ? 1 是偶函数, g ( x ) ? 5 x ? c 是奇函数,正数数列 { a n } 满足
2

a1 ? 1 , f ( a n ?1 ? a n ) ? g ( a n ?1 a n ? a n ) ? 1 .
2

(I)若 { a n } 前 n 项的和为 S n ,求 lim S n ;
n? ?

(II)若 b n ? 2 f ( a n ) ? g ( a n ? 1 ) ,求 b n 中的项的最大值和最小值.

3

14. 已知等比数列 { x n } 的各项不为 1 的正数,数列 { y n } 满足 y n ? lo g x a ? 2 ( a ? 0 且
n

a ? 1 ),设 y 4 ? 1 7 , y 7 ? 1 1 .

(I)求数列 { y n } 的前多少项和最大,最大值是多少? (II)设 b n ? 2 , S n ? b1 ? b 2 ? b3 ? ? ? ? ? b n ,求 lim
yn

Sn 2
25

n? ?

的值.

(III)试判断,是否存在自然数 M,使当 n ? M 时 x n ? 1 恒成立,若存在求出相应的 M;若不存 在,请说明理由.

15 设函数 f ( x ) 的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数 x1 , x 2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 )
? x1 ? x 2 ,且存在 x 0 ,使得 f ( x 0 ) ? x 0 ,数列 { a n } 中, a1 ? x 0 , f ( a n ) ? 2 a n ? 1 ? a n ( n ? N ) ,

求证:对于任意的自然数 n ,有: (I) a n ? x 0 ; (II) a n ? x n ? 1 .

参考答案: 问题 1 解:(I) a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? n a n ,得 S n = n a n
2 2

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 = n a n ? ( n ? 1) a n ? 1 ,有 ( n ? 1) a n ? ( n ? 1) a n ?1 ,即
2 2 2 2

an a n ?1

?

n ?1 n ?1

.

于是

an a1

?

a2 a1

?

a3 a2

?

a4 a3

?????

an a n ?1

?

1 2 3 n ?1 1 2 1 ? ? ????? = .又 a 1 ? ,得 a n = . 3 4 5 n ? 1 n ( n ? 1) 2 n ( n ? 1)

由于 a 1 也适合该式,故 a n =

1 n ( n ? 1)

.

4

(II)

1 an

? 1 0 0 n = n ? 9 9 n = ( n ? 49.5) ? 2450.25
2

2

所以当 n ? 49 或 50 时,

1 an

? 1 0 0 n 有最小值 ? 2450 .

? n (1 ? n ? 1 0 0 ) ? ? 1 0 0 n 与 n 的最大者,有 f ( n ) ? ? 1 (III)因 f ( n ) 是 , ? 1 0 0 n (1 0 0 ? n ) an ?a ? n

1

有 f m in ( n ) = f (1) =1. 问题 2(I)证明:由 b1 ? a 2 ? a1 ? 0 ,得 b 2 ? a 3 ? a 2 ? f ( a 2 ) ? f ( a1 ) ? k ( a 2 ? a1 ) ? 0 . 由数学归纳法可证 b n ? a n ? 1 ? a n ? 0 ( n ? N ). 而,当 n ? 2 时,
bn b n ?1 ? a n ?1 ? a n a n ? a n ?1 ? f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) a n ? a n ?1 ? k ( a n ? a n ?1 ) a n ? a n ?1 ? k
?

因此,数列 {b n } 是一个公比为 k 的等比数列. (II)解:由(I)知, b n ? k
n ?1

b1 ? k

n ?1

( a 2 ? a1 )( n ? N )
1? k
n ?1

?

当 k ? 1 时, b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ? ( a 2 ? a 1 )

1? k

(n ? 2)

当 k ? 1 时, b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ? ( n ? 1)( a 2 ? a1 ) ( n ? 2 ) 而 b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ? ( a 2 ? a1 ) ? ( a 3 ? a 2 ) ? ? ? ? ? ( a n ? a n ?1 ) ? a n ? a1 ( n ? 2) ,有 当 k ? 1 时, a n ? a1 = ( a 2 ? a1 )
1? k
n ?1

1? k

( n ? 2 ) ;当 k ? 1 时, a n ? a1 = ( n ? 1)( a 2 ? a1 ) ( n ? 2 ) .

以上两式对 n ? 1 时也成立,于是 当 k ? 1 时, a n ? a 1 ? ( a 2 ? a 1 )
1? k
n ?1

1? k

= ? a ? ( f (a ) ? a )

1? k

n ?1

1? k

当 k ? 1 时, a n ? a1 ? ( n ? 1)( a 2 ? a1 ) = a ? ( n ? 1)( f ( a ) ? a ) . (III)解:当 k ? 1 时, lim a n ? lim [ a ? ( f ( a ) ? a )
n? ? n? ?

1? k

n ?1

1? k

]? a?

f (a ) ? a 1? k

.

问题 3 解:(I)设点 P( x , y ),由 M ( ? 1, 0) ,N (1, 0) 得

5

???? ? ???? ???? ??? ? ???? ? ???? ? P M ? ? M P ? ( ? 1 ? x , ? y ) , P N ? ? N P ? (1 ? x , ? y ) , M N ? ? N M ? (2, 0 )

有 M P ? M N ? 2 (1 ? x ) , P M ? P N ? x ? y ? 1 , N M ? N P ? 2 (1 ? x ) .
2 2

???? ???? ?

???? ???? ?

???? ??? ? ?

于是 M P ? M N , P M ? P N , N M ? N P 成公差小于零的等差数列等价于
1 ? 2 2 ?x2 ? y2 ? 3 ? x ? y ? 1 ? [ 2 (1 ? x ) ? 2 (1 ? x )] ,即 ? 2 ? ?x ? 0 ? 2 (1 ? x ) ? 2 (1 ? x ) ? 0 ?

???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ? ?

所以点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆 C. (II)设 P( x 0 , y 0 ),则由点 P 在半圆 C 上知, P M ? P N ? x 0 ? y 0 ? 1
2 2

???? ???? ?

又 PM ? PN ?

???? ?

????

(1 ? x 0 ) ? y 0 ?
2 2

(1 ? x 0 ) ? y 0 =
2 2

(4 ? 2 x 0 )(4 ? 2 x 0 ) = 2 4 ? x 0 ,
2

???? ???? ? PM ? PN ? 得 co s ? ? ???? ???? ? PM ? PN

1 4 ? x0
2
2

, 又 0 ? x 0 ? 1 ,1 ?

4 ? x 0 ? 2 ,有
2

1 2

? co s ? ? 1 ,

0?? ?

?
3

, sin ? ?

1 ? co s ? ?

1?

1 4 ? x0
2

,由此得 tan ? ?

3 ? x0 ? y0 .
2

习题解答: 1 由 a n ? 1 ? a n ? (2 n ? 1) ? k ? 0 , n ? N 恒成立,有 3 ? k ? 0 ,得 k ? ? 3 ,选 D.
a1 ? a 2 n ?1 b1 ? b 2 n ? 1 a1 ? a 2 n ?1 ? 2 b1 ? b 2 n ? 1 2 ( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1) 2 ( 2 n ? 1) 3( 2 n ? 1) ? 1 2n ? 1 3n ? 1
?

2

an bn

?

2an 2 bn

?

S 2 n ?1 T 2 n ?1

?

?

,选 B.

3 设三边长分别为 a , aq , aq ,且 a ? 0, q ? 0
2

2 ①当 q ? 1 时,由 a ? a q ? a q ,得 1 ? q ?

1? 2

5

;

②当 0 ? q ? 1 时,由 aq ? aq ? a ,得
2

5 ?1 2

? q ? 1 ,于是得

5 ?1 2

? q ?

1? 2

5

,选 D.

4 由 a1 0 ? a1 ? 9 d ? 1 ,且 a 9 ? a1 ? 8 d ? 1 ,而 lim 又 a1 ?
1 25

1 n
2

n? ?

(an ? S n ) ?

d 2

? t,

,于是

7 75

?t?

3 50

,选 D.
a
2

5 由椭圆第 2 定义得 A F ? C F ? ( x1 ?

c

) ? ( x3 ?

a

2

c

) ? 2 B F ? 2( x2 ?

a

2

) ,选 A.

c

6

6 由条件得 4 ? ? 4 ? 4 tan A , 9 ?

1 3

tan B ,有 tan A ? 2 , tan B ? 3 .
3

得 tan C ? tan[? ? ( A ? B )] ? ? tan( A ? B ) ? 1 ,于是 ? A B C 为锐角三角形,选 B. 7 由 a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? 3 6 , a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? a n ? 3 ? a n ? 4 ? a n ? 5 ? 180 有
( a1 ? a n ) ? ( a 2 ? a n ?1 ) ? ? ? ? ? ( a 6 ? a n ? 5 ) ? 216 ,即 6 ( a1 ? a n ) =216,得 a1 ? a n =36,



a1 ? a n 2

? n ? 3 2 4 ,解得 n ? 1 8 .
1 1 1 3 ? 2 1? 1 2 ? 3 2

8 Sn ? ( ?
3

1

1 3
2

? ??? ?

1 3
n

)?(

1 2

?

1 2
2

? ??? ?

1 2
n

) ,得 lim S n ?
n? ?

3 1?

.

9 由条件知,公比 q 满足 0 ? q ? 1 ,且
1 15 2 15

a1 1? q

?

1 15

,当 0 ? q ? 1 时, 0 ? a1 ?
1 15 1 2

1 15

;

当 ? 1 ? q ? 0 时,

? a1 ?

.于是 a 1 的取值范围是 (0,

)?(

,

).

15 15

10 当 n 为奇数时,相邻两项为 a n 与 a n ? 2 ,由 a n ? 5 n ? 1 得 a n ? 2 ? a n ? 5( n ? 2) ? 1 ? (5 n ? 1) =10,且 a 1 ? 6 .所以 { a n } 中的奇数项构成以 a 1 ? 6 为首项,公差 d ? 10 的等差数列.
n?2

n

当 n 为偶数时,相邻两项为 a n 与 a n ? 2 ,由 a n = 2 2 ,得

an?2 an

?

2 2

2 n 2

? 2 ,且 a 2 ? 2

所以 { a n } 中的偶数项构成以 a 2 ? 2 为首项,公比 q ? 2 的等比数列. 由此得 S 2 m ? 6 m ?
m ( m ? 1) 2 ? 10 ? 2 (1 ? 2 )
m

1? 2

? 5m ? m ? 2
2

m ?1

?2.

11 由 S 6 ? S 7 , S 7 ? S 8 ,得 a 7 ? 0, a 8 ? 0 ,有 d ? 0 ; S 9 ? S 6 ; S 7 是 S n 中的最大值,选①②④. 12 解:(I)由 f (1) ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n = n ,再依题意有 a1 ? a n = 2 n ,即 2 a1 ? ( n ? 1) d ? 2 n ①
2

又 f ( ? 1) ? ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ?1 ? a n ? n , (n 为正偶数)得 d ? 2 ,代入①有 a n ? 2 n ? 1 . (II) f ( ) ?
1 2 1 3 1 n ? 3( ) ? 5( ) ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1)( ) , 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 4 1 n ?1 f ( ) ? ( ) ? 3( ) ? 5( ) ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 得 (1 ? ) f ( ) ? ? 2 ( ) ? 2 ( ) ? ? ? ? ? 2 ( ) ? ( 2 n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1

7

于是 f ( ) ? 1 ? 2 ? ( )
2 2

1

1

n?2

? ( 2 n ? 1) ?

1 2n

? 3.
2

13 解: (I)可得 f ( x ) ? 3 x ? 1 , g ( x ) ? 5 x ,由已知 f ( a n ? 1 ? a n ) ? g ( a n ? 1 a n ? a n ) ? 1 ,得
2

(3 a n ? 1 ? 2 a n ) ? ( a n ? 1 ? a n ) ? 0 ,而 a n ? 1 ? a n ? 0 ,有

a n ?1 an

?

2 3

,于是 lim S n ?
n? ?

1 1? 2 3

? 3.

(II) b n ? 2 f ( a n ) ? g ( a n ? 1 ) ? 6 ( a n ? 由 an ? ( )
3 2
n ?1

5

) ?
2

83 54

,
374 243

知 b n 的最大值为 b1 ?
2 lo g x a
n

18 14 3

,最小值为 b 4 ?
n ?1

.

14 解: (I) y n ?

? 2 lo g a x n ,设 x n ? x1 q

有 y n ?1 ? y n ?
y7 ? y4 7?4

2 lo g x a
n

? 2 lo g a x n ? 1 ? 2 lo g a x n ? 2 lo g a q ,又 { y n } 成等差数列.

? 2 lo g a q ? d ,得 d ? ? 2 , y1 ? y 7 ? (7 ? 1) ? ( ? 2) ? 23, y n ? 2 5 ? 2 n . 25 2

当 y n ? 0 时,即 23 ? ( n ? 1) ? ( ? 2) ? 0 ,得 n ? 于是前 12 项和最大,其最大值为 144. (II) b n ? 2
yn

.

? 2

25 ? 2 n

, b1 ? 2

23

,得

bn ?1 bn

? 2

?2

?

1 4

, bn ? 2 ( )
23

1

n ?1

4

lim S n ?
n? ?

2

23

1?

1 4

?

2

25

,于是 lim

Sn 2
25

3

n? ?

?

1 3

yn

(III)由(I)知当 n ? 1 2 时, y n ? 0 恒成立,由 y n ? 2 lo g a x n ,得 x n ? a
yn

2

.

(i)当 0 ? a ? 1 且 n ? 1 2 时,有 x n ? a (ii)当 a ? 1 且 n ? 1 2 时, x n ? 1 ,

2

? a ? 1,
0

故当 0 ? a ? 1 时,在 M ? 12 使 n ? M 时, x n ? 1 恒成立;当 a ? 1 时不存在自然数 M,使当
n ? M 时 xn ? 1 .

15 证明:用数学归纳法 (I)当 n ? 1 时, a1 ? a 0 命题成立.
? 假设当 n ? k ( k ? N )时, a k ? a 0 成立,那么当 n ? k ? 1 时,由 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x 2 ,

8

得 f ( x 0 ) ? f ( a k ) ? x 0 ? a k ,又 f ( x 0 ) ? x 0 ,有 x 0 ? f ( a k ) ? x 0 ? a k , 而 a k ? x 0 ,得 x 0 ? f ( a k ) ? x 0 ? a k , 于是 a k ? x 0 ? x 0 ? f ( a k ) ? x 0 ? a k ,即 ?
? a k ? f ( a k ) ? 2 x0 ? f (ak ) ? ak

,又 f ( a k ) ? 2 a k ? 1 ? a k ,

有 a k ? (2 a k ? 1 ? a k ) ? 2 x 0 ,即 a k ? 1 ? x 0 ,于是当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 综上所述,对任意的 k ? N , a n ? a 0 . (II)由 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x 2 ,得 f ( x 0 ) ? f ( a n ) ? x 0 ? a n , 又 f ( x 0 ) ? x 0 ,得 x 0 ? f ( a n ) ? x 0 ? a n , 又 a n ? a 0 ,得 x 0 ? f ( a n ) ? x 0 ? a n ,即 a n ? x 0 ? x 0 ? f ( a n ) ? x 0 ? a n , 有 f ( a n ) ? a n ,而 f ( a n ) ? 2 a n ? 1 ? a n ,得 2 a n ? 1 ? a n ? a n , 故 a n ?1 ? a n .
?

9


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