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2013年一轮复习 函数第6讲 幂函数与二次函数 随堂训练


2013 年一轮复习 函数第 6 讲 幂函数与二次函数 随堂训练
1.函数 y=xα(x≥1)的图象如图所示,则 α 满足条件( )

A.α<-1

B.-1<α<0

C.0<α<1

D.α>1 )

解析:选 C.由图象在第一象限向上凸起,可知 0<α<1. 2.

函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是( A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1

m m 解析:选 A.函数 f(x)=x2+mx+1 的图象的对称轴为 x=- 2 ,且只有一条对称轴,所以- 2 =1,即 m =-2. 1 2 3.已知幂函数 f(x)=k·α(k,α∈R)的图象过点(2, 2 ),则 k+α=________. x 1 2 2 1 1 3 解析:由幂函数的定义得 k=1,再将点(2, 2 )代入得 2 =(2)α,从而 α=2,故 k+α=2. 3 答案:2 4.已知函数 f(x)是二次函数,不等式 f(x)>0 的解集是(0,4),且 f(x)在区间[-1,5]上的最大值是 12,求 f(x)的解析式. 解:设 f(x)=ax2+bx+c, 由 f(x)>0 的解集是(0,4)可知 f(0)=f(4)=0, 且二次函数的图象开口向下, 对称轴方程为 x=2, 再由 f(x) 在区间[-1,5]上的最大值是 12 可知 f(2)=12.

?f?0?=0, 即?f?4?=0, ?f?2?=12,

?a=-3, 解得?b=12, ?c=0.

∴f(x)=-3x2+12x.

5.下图给出 4 个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是(

)

1 3

1 2

A.①y=x ,②y=x2,③y=x ,④y=x-1
1

B.①y=x3,②y=x2,③y=x ,④y=x-1
1

2

C.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x-1
2 3

2

1 3

1 2

D.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x
1

-1

解析:选 B.注意到函数 y=x2≥0,且该函数是偶函数,其图象关于 y 轴对称,结合选项知,该函数图 象应与②对应;y=x = x的定义域、值域都是[0,+∞),结合选项知,该函数图象应与③对应;y 1 =x-1=x,结合选项知,其图象应与④对应.综上所述,选 B. 6.一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在同一坐标系中的图象大致是( )
2

解析:选 C.若 a>0,则一次函数 y=ax+b 为增函数,二次函数 y=ax2+bx+c 的开口向上,故可排 除 A;若 a<0,一次函数 y=ax+b 为减函数,二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下,故可排除 D;对于 b 选项 B,看直线可知 a>0,b>0,从而-2a<0,而二次函数的对称轴在 y 轴的右侧,故错误,因此 选 C.
1

7.(2012· 太原质检)已知 f(x)=x ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是( ?1? ?1? A.f(a)<f(b)<f?a?<f?b? ? ? ? ? ?1? ?1? B.f?a?<f?b?<f(b)<f(a) ? ? ? ? ?1? ?1? C.f(a)<f(b)<f?b?<f?a? ? ? ? ? ?1? ?1? D.f?a?<f(a)<f?b?<f(b) ? ? ? ?
1

2

)

解析:选 C.因为函数 f(x)=x 在(0,+∞)上是增函数, 1 1 又 0<a<b<b<a,故选 C. ??1?x ?? ? -7,x<0, 8.设函数 f(x)=??2? ? x,x≥0, ? A.(-∞,-3) C.(-3,1) 若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是( B.(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) )

2

?1? 解析:选 C.当 a<0 时,?2?a-7<1, ? ? 即 2-a<23,∴a>-3,∴-3<a<0. 当 a≥0 时, a<1, ∴0≤a<1.故-3<a<1.

9.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-x),那么( A.f(-2)<f(0)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) B.f(0)<f(-2)<f(2)

)

D.f(0)<f(2)<f(-2) 1 解析:选 D.由 f(1+x)=f(-x) 知 f(x)的图象关于 x=2对称,又抛物线开口向上,结合图象(图略)可知 f(0)<f(2)<f(-2). 1 10.幂函数 y=f(x)的图象经过点(-2,-8),则满足 f(x)=27 的 x 的值是________. 1 1 1 解析:设幂函数为 y=xα,图象经过点(-2,-8),则-8=(-2)α,∴α=-3,∵x-3=27,∴x=3. 答案: 1 3

11.若函数 y=mx2+x+5 在[-2,+∞)上是增函数,则 m 的取值范围是________. 解析:m=0 时,函数在给定区间上是增函数;m≠0 时,函数是二次函数,由题知 m>0, 1 ∴对称轴为 x=-2m≤-2, 1 1 ∴0<m≤4.综上 0≤m≤4. 1 答案:[0,4] 12.已知函数 f(x)=x2-2ax+2a+4 的定义域为 R,值域为[1,+∞),则 a 的值为________. 解析:由于函数 f(x)的值域为[1,+∞), 所以 f(x)min=1. 又 f(x)=(x-a)2-a2+2a+4, 当 x∈R 时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1, 即 a2-2a-3=0, 解得 a=3 或 a=-1. 答案:-1 或 3 2 7 13.已知函数 f(x)=xm-x ,且 f(4)=2. (1)求 m 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 7 解:(1)因为 f(4)=2, 2 7 所以 4m-4=2. 所以 m=1. (2)因为 f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,

又 f(-x)=-x-

2 ? 2? =-?x- x?=-f(x), ? ? -x

所以 f(x)是奇函数. (3)设 x1>x2>0, 2? 2 ? 则 f(x1)-f(x2)=x1-x -?x2-x ? ? 2? 1 2 ? ? =(x1-x2)?1+x x ?, ? 1 2? 2 因为 x1>x2>0,所以 x1-x2>0,1+x x >0. 1 2 所以 f(x1)>f(x2). 所以 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. 14.已知二次函数 f(x)的图象过 A(-1,0)、B(3,0)、C(1,-8). (1)求 f(x)的解析式; (2)画出 f(x)的图象,并由图象给出该函数的值域; (3)求不等式 f(x)≥0 的解集. 解:(1)令 f(x)=a(x+1)(x-3)(a≠0),图象经过(1,-8),得 a(1+1)(1-3)=-8,解得 a=2. ∴f(x)=2(x+1)(x-3)=2(x-1)2-8. (2)图象为:

值域:{y|y≥-8}. (3)由图象可知解集为:{x|x≤-1 或 x≥3}. 15.已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间. 解:(1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1, 又 f(-4)=35,f(6)=15,

故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤ -4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
2 ?x +2x+3,x∈?0,6] 且 f(x)=? 2 , ?x -2x+3,x∈[-6,0]

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].


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