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人教a版必修1学案1.2.2函数的表示法(2)(含答案)


1.2.2

函数的表示法(二)
自主学习

1.了解分段函数的概念,会画分段函数的图象,并能解决相关问题. 2.了解映射的概念及含义,会判断给定的对应关系是否是映射.

1.分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的对应关 系的函数. (2)分段函数是一个函数,其定

义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各 段函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象. 2.映射的概念 设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射。 3.映射与函数 由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成 函数的两个集合 A,B 必须是非空数集.

对点讲练

分段函数的求值问题

x+2 ?x≤-1?, ? ?2 【例 1】 已知函数 f(x)=?x ?-1<x<2?, ? ?2x ?x≥2?. (1)求 f[f( 3)]的值; 的值. 分析 本题给出的是一个分段函数, 函数值的取得直接依赖于自变量 x 属于哪一个区间, (2)若 f(a.)=3,求 a.

所以要对 x 的可能范围逐段进行讨论. 解 (1)∵-1< 3<2,∴f( 3)=( 3)2=3.

而 3≥2,∴f[f( 3)]=f(3)=2×3=6. (2)当 a.≤-1 时,f(a.)=a.+2,又 f(a.)=3,∴a.=1(舍去);当-1<a.<2 时,f(a.)=a.2, 又 f(a.)=3,∴a.=± 3,其中负值舍去,∴a.= 3;当 a.≥2 时,f(a.)=2a.,又 f(a.)= 3, 3 ∴a.= (舍去).综上所述,a.= 3. 2 规律方法 对于 f(a.),究竟用分段函数中的哪一个对应关系,与 a. 所在范围有关,因此要对 a.进行讨论.由此我们可以看到: (1)分段函数的函数值要分段去求; (2)分类讨论不是随意的,它是根据解题过程中的需要而产生的.

?2x-1 ?x≥0?, 变式迁移 1 设 f(x)=? 1 ?x ?x<0?,
答案 a.<-1

1

若 f(a.)>a., 则实数 a.的取值范围是________.

1 1 解析 当 a.≥0 时,f(a.)= a.-1,解 a.-1>a.,得 a.<-2 与 a.≥0 矛盾,当 a.<0 时, 2 2 f(a.)=

1 1 ,解 >a.,得 a.<-1.∴a.<-1. a a

分段函数的图象及应用

【例 2】 已知函数 f(x)=1+

|x|-x (-2<x≤2). 2

(1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域. 化简f?x?的解析式 → 化简f?x?的解析式 → 把f?x?表示为分段函数形式 → 画出f?x?的图象 → 求f?x?的值域 解 x-x (1)当 0≤x≤2 时,f(x)=1+ =1, 2

-x-x 当-2<x<0 时,f(x)=1+ =1-x. 2
?1 ?0≤x≤2? ? ∴f(x)=? . ?1-x ?-2<x<0? ?

(2)函数 f(x)的图象如图所示,

(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3). 规律方法 对含有绝对值的函数, 要作出其图象, 首先应根据绝对值的意义去掉绝对值 符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.由于分段函数在定义域的不同 区间内解析式不一样,因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.
?|x+1| ?x<1? ? 变式迁移 2 设函数 f(x)=? ,使得 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围是 ? ?-x+3 ?x≥1?

______________________. 答案 解析 (-∞,-2]∪[0,2]

在同一坐标系中分别作出 f(x)及 y=1 的图象(如图所示), 观察图象知, x 的取值范围是(- ∞,-2]∪[0,2].

映射概念及运用

【例 3】 判断下列对应关系哪些是从集合 A 到集合 B 的映射,哪些不是,为什么? (1)A={x|x 为正实数},B={y|y∈R[},f:x→y=± x
?1, x≥0; ? (2)A=R,B={0,1},对应关系 f:x,→y=? ? ?0, x<0;

1 (3)A=Z,B=Q,对应关系 f:x→y= ; x (4)A={0,1,2,9},B={0,1,4,9,64},对应关系 f:a→b= ? a ? 1?
2



(1)任一个 x 都有两个 y 与之对应,∴不是映射.

(2)对于 A 中任意一个非负数都有唯一的元素 1 和它对应,任意一个负数都有唯一的元 素 0 和它对应, ∴是映射. (3)集合 A 中的 0 在集合 B 中没有元素和它对应,故不是映射. (4)在 f 的作用下,A 中的 0,1,2,9 分别对应到 B 中的 1,0,1,64,∴是映射. 规律方法 判断一个对应是不是映射,应该从两个角度去分析:(1)是否是“对于 A 中 的 每一个元素”;(2)在 B 中是否“有唯一的元素与之对应”. 一个对应是映射必须是这两个方面都具备; 一个对应对于这两点至少有一点不具备就不 是映射.说明一个对应不是映射,只需举一个反例即可. 变式迁移 3 下列对应是否是从 A 到 B 的映射,能否构成函数? 1 (1)A=R,B=R,f:x ?y= ; x+1 1 1 ? ? (2)A={a.|a.=n,n∈N+},B=?b|b=n,n∈N+?,f:a.→b= ;
? ?

a

(3)A= ?0, ??? ,B=R,f:x→y2=x; (4)A={x|x 是平面 M 内的矩形},B={x|x 是平面 M 内的圆},f:作矩形的外接圆. 解 (1)当 x=-1 时,y 的值不存在,

∴不是映射,更不是函数. (2)是映射,也是函数,因 A 中所有的元素的倒数都是 B 中的元素. (3)∵当 A 中的元素不为零时,B 中有两个元素与之对应,∴不是映射,更不是函数. (4)是映射,但不是函数,因为 A,B 不是数集.

1.分段函数求值要先找准自变量所在的区间;分段函数的定义域、值域分别是各段函 数的定义域、值域的并集. 2.判断一个对应是不是映射,主要利用映射的定义: (1)集合 A 到 B 的映射,A、B 必须是非空集合(可以是数集,也可以是其他集合); (2)对应关系有“方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关 系一般是不同的; (3)与 A 中元素对应的元素构成的集合是集合 B 的子集.

课时作业
一、选择题

1.下列集合 A 到集合 B 的对应 f 是映射的是(

)

A.A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数平方 B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A 中的数开方 C.A=Z,B=N*,f:a.→b=(a.+1)2 D.A=R,B={正实数},f:A 中的数取绝对值 答案 A 2. 设集合 A={x|0≤x≤6}, B={y|0≤y≤2}, 从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是( 1 A. f:x→y= x 2 C. 1 f:x→y= x 4 1 B. f:x→y= x 3 1 D. f:x→y= x 6 )

答案 A 1 由 f:x ?y= x,集合 A 中的元素 6 对应 3 ? {y|0≤y≤2},故选项 A 不是映射. 2
? ?x≥6? ?x-5 3.已知 f(x)=? (x∈N),那么 f(3)等于( ?f?x+2? ?x<6? ?

)

A.2 答案 A

B.3

C.4

D.5

解析 由题意知 f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2.
?x ?x2 ?x≥0? ?x≥0? ? ? 4.已知 f(x)=? ,g(x)=? 2 ,则当 x<0 时,f[g(x)]等于( ?x ?x<0? ? ?x<0? ? ?-x

)

A.-x 答案 B

B.-x2

C .x

D.x2

解析 当 x<0 时,g(x)=-x2<0, ∴f[g(x)]=-x2. 二、填空题 0 ?x<0? ? ? 5.已知 f(x)=?π ?x=0? ,则 f(f(f(-1)))的值是__________. ? ?x+1 ?x>0? 答案 解析 π+1 f(-1)=0,f(0)=π,f(π)=π+1

∴f(f(f(-1)))=f(f(0))=f(π)=π+1.
?1,x≥0 ? 6.已知 f(x)=? ,则不等式 xf(x)+x≤2 的解集是__________. ? ?0,x<0

答案

{x|x≤1}

解析 当 x≥0 时,f(x)=1,代入 xf(x)+x≤2, 解得 x≤1,∴0≤x≤1; 当 x<0 时,f(x)=0,代入 xf(x)+x≤2, 解得 x≤2,∴x<0. 综上可知 x≤1. 三、解答题 7.若[x]表示不超过 x 的最大整数,画出 y=[x] (-3≤x<3)的图象. 解 作出 y=[x]的图象如下图所示.

8.已知函数 y=f(x)的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的解析 式.



根据图象,设左侧射线对应的函数解析式为 y=kx+b (x<1).

∵点(1,1)、(0,2)在射线上,
? ?k+b=1, ∴? ?b=2, ? ? ?k=-1, 解得? ?b=2. ?

∴左侧射线对应的函数解析式为 y=-x+2 (x<1). 同理,x>3 时,函数的解析式为 y=x-2 (x>3). 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y=a.(x-2)2+2 (1≤x≤3,a.<0), ∵点(1,1)在抛物线上,∴a.+2=1,a.=-1, ∴当 1≤x≤3 时,函数的解析式为 y=-x2+4x-2 (1≤x≤3). 综上所述,函数的解析式为 -x+2 ?x<1?, ? ? 2 y=?-x +4x-2 ?1≤x≤3?, ? ?x-2 ?x>3?. 【探究驿站】

? x∈[0,1], ?1, 9.已知函数 f(x)=? 求使等式 f[f(x)]=1 成立的实数 x 构成的集 ?x-3, x?[0,1], ?

合. 解 当 x∈[0,1]时,恒有 f[f(x)]=f(1)=1, 当 x ? [0,1]时,f[f(x)]=f(x-3), 若 0≤x-3≤1,即 3≤x≤4 时,f(x-3)=1, 若 x-3 ? [0,1],f(x-3)=(x-3)-3, 令其值为 1,即(x-3)-3=1,∴x=7. 综合知:x 的值构成的集合为 {x|0≤x≤1 或 3≤x≤4 或 x=7}.


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