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高二知识点112233


一、椭圆重点知识归纳:
知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点 P 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数 ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ) ,这个动点 P 的轨迹叫 椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹为线段 F1 F2 ; 若 ( PF1 ?

PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹无图形. 知识点二:椭圆的标准方程 1.当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程:

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 2 a b y2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 ;注意:1.只有当椭 a2 b2
才能得到椭圆的标准方程;
2 2

2.当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程:

圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,
2

2.在椭圆的两种标准方程中,都有 (a ? b ? 0) 和 c ? a ? b ; 3.椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在 x 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (c,0) , (?c,0) ; 当焦点在 y 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (0, c ) , (0,?c) 知识点三:椭圆的简单几何性质 椭圆:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的简单几何性质 a2 b2

x2 y2 (1)对称性:对于椭圆标准方程 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) :说明:把 x 换成 ? x 、或把 y 换成 ? y 、或把 x 、 y 同 a b
时换成 ? x 、 ? y 、原方程都不变,所以椭圆

x2 y2 ? ? 1 是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点 a2 b2

为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 (2)范围: 椭圆上所有的点都位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足 x ? a , y ? b 。 (3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 a2 b2

A1 (?a,0) ,

A2 (a,0) , B1 (0,?b) , B2 (0, b)

1

③线段 A1 A2 , B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A1 A2 轴长和短半轴长。 (4)离心率:

? 2a , B1 B2 ? 2b 。 a 和 b 分别叫做椭圆的长半

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作 e ?

2c c ? 。 2a a

②因为 (a ? c ? 0) ,所以 e 的取值范围是 (0 ? e ? 1) 。 e 越接近 1,则 c 就越接近 a ,从而 b ?

a 2 ? c 2 越小,

因此椭圆越扁;反之, e 越接近于 0, c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 a ? b
2 2 时, c ? 0 ,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a 。

注意:

椭圆

x2 y2 ? ? 1 的图像中线段的几何特征(如图): a2 b2
? 2a ) ;

(1) ( PF1

? PF2

PF1 PM 1

?

PF2 PM 2

? e;

( PM1 ? PM 2 ?
(2) ( BF1 (3) A1 F1

2a 2 ); c
? a ) ; ( OF1 ? OF2 ? c) ; A1 B ? A2 B ? a 2 ? b 2 ;

? BF2

? A2 F2 ? a ? c ; A1 F2 ? A2 F1 ? a ? c ; a ? c ? PF1 ? a ? c ;
x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的区别和联系 与 a2 b2 a2 b2

知识点四:椭圆

标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2

(a ? b ? 0)

图形

焦点 性质 焦距

F1 (?c,0) , F2 (c,0)

F1 (0,?c) , F2 (0, c)

F1 F2 ? 2c

F1 F2 ? 2c

2

范围 对称性 顶点 轴长

x ? a, y ? b
关于 x 轴、 y 轴和原点对称

x ?b, y ? a

(? a,0) , (0,?b)
长轴长= 2 a ,短轴长= 2b

(0,? a) , (?b,0)

离心率

e?

c (0 ? e ? 1) a

准线方程

x??

a2 c

y??

a2 c

焦半径

PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0

PF1 ? a ? ey0 , PF2 ? a ? ey0

注意:椭圆

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有 (a ? b ? 0) , a2 b2 a2 b2

和e ?

c (0 ? e ? 1) , a 2 ? b 2 ? c 2 ;不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。 a

二、双曲线重点知识归纳:
1 双曲线定义:
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①到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长(<|F1F2|)的点的轨迹( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为常 数)) 这两个定点叫双曲线的焦点. 要注意两点:(1)距离之差的绝对值.(2)2a<|F1F2|,这两点与椭圆的定义有本质的不同.
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当|MF1|-|MF2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支; 当|MF1|-|MF2|=-2a 时,曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支; 当 2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以 F1、F2 为端点向外的两条射线; 当 2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.

②动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1)时, 这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫 做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线
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2.双曲线的标准方程:

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? 2 ? 1 (a>0,b>0).这里 b 2 ? c 2 ? a 2 ,其中| F1 F2 |=2c.要注意 和 2 2 2 a b a b
2

这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是:如果 x 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y 项的系数是正数,则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解. 双曲线的简单几何性质 y2 x2 y
2

a2



b2

=1(a>0,b>0)

M1

⑴范围:|x|≥a,y∈R ⑵对称性:关于 x、y 轴均对称,关于原点中心对称 ⑶顶点:轴端点 A1(-a,0),A2(a,0)

M2

P

F1 A1 K1

o

K2

A2 F2

x

⑷渐近线:

x2 y2 ① 若 双 曲 线 方 程 为 2 ? 2 ?1 ? 渐 近 线 方 程 a b
3

x2 y2 b ? 2 ?0? y?? x 2 a a b

②若渐近线方程为 y ? ? ③若双曲线与

x y x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? a b a a b

2

2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上) 有公共渐近线,可设为 a2 b2 a2 b2 ④特别地当 a ? b时 ? 离心率 e ? 2 ? 两渐近线互相垂直,分别为 y= ? x ,此时双曲线为等轴双曲线,可设为
b b x a a a2 a2 a2 ⑸准线:l1:x=- ,l2:x= ,两准线之距为 K1 K 2 ? 2 ? c c c

x 2 ? y 2 ? ? ;y= x,y=-

⑹焦半径: PF1 ? e( x ?

a2 ) ? ex ? a , (点 P 在双曲线的右支上 x ? a ) ; c

a2 PF2 ? e( ? x) ? ex ? a , (点 P 在双曲线的右支上 x ? a ) ; c
当焦点在 y 轴上时,标准方程及相应性质(略)
2 2
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x y x y2 ? ? 1 ? ? ? (? ? 0) 共渐近线的双曲线系方程是 a2 b2 a2 b2 x2 y2 x2 y2 ? 2 ?1 ⑻与双曲线 2 ? 2 ? 1 共焦点的双曲线系方程是 2 a ?k b ?k a b
⑺与双曲线 4.双曲线的内外部

2

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x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 5.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x. 渐近线方程: ? 2 2 2 a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线, 可设为 2 ? 2 ? ?( ? ? 0 , 焦点在 x 轴上,? ? 0 , 焦点在 y 轴上) . a b a b
6. 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 (1)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 xx y y x y (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 x y 2 2 2 2 2 (3)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b
7.直线与椭圆相交的弦长公式

AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB, A、B 两点分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2),则弦长
AB ? 1 ? k 2 ? x2 ? x1 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? 1?

1 1 ? y2 ? y1 ? (1 ? 2 ) ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想; 2 k k

4

三、抛物线重点知识归纳:
1 抛物线定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫 做抛物线的准线 2.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p ? 0 ):
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标准方程 图形

y 2 ? 2 px


y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py


x 2 ? ?2 py


y

y

y

y

x O

x O

x O

x O

焦点

F( x??

p ,0) 2 p 2

F (? x? p 2

p ,0) 2

F (0, y??

p ) 2

F (0,?
y? p 2

p ) 2

准线

p 2

范围 对称轴 顶点 离心率

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

x轴
(0,0)

y轴

e ?1

3.抛物线的焦半径公式: 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) , PF ? x0 ?
2

p p ? ? x0 2 2 p p ? ? x0 2 2

抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) , PF ? x0 ?
2

抛物线 x ? 2 py( p ? 0) , PF ? y 0 ?
2

p p ? ? y0 2 2 p p ? ? y0 2 2

抛物线 x ? ?2 py( p ? 0) , PF ? y 0 ?
2

4.直线与抛物线: (1)位置关系: 相交(两个公共点或一个公共点) ;相离(无公共点) ;相切(一个公共点) 联立 ?

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? y ? kx ? b 2 ,得关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 2 ? y ? 2 px
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当 a ? 0 (二次项系数为零) ,唯一一个公共点(交点) 当 a ? 0 ,则 若 ? ? 0 ,两个公共点(交点) ? ? 0 ,一个公共点(切点) ? ? 0 ,无公共点 (相离)
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(2)相交弦长: 弦长公式: d ? (3)焦点弦公式: 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) , AB ? p ? ( x1 ? x2 )
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? 1? k 2 , a

抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) , AB ? p ? ( x1 ? x2 ) 抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) , AB ? p ? ( y1 ? y2 ) 抛物线 x 2 ? ?2 py( p ? 0) , AB ? p ? ( y1 ? y2 ) (4)通径: 定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦
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通径: d ? 2 p

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四、导数重点知识归纳:
(一)导数的概念
(1)平均变化率:函数 y ? f ( x) 在 x0 处的变化量 ?y ? 比:

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 与自变量的变化量 ?x ? ( x0 ? ?x) ? x0 的

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 。 ?x ?x

(2)函数在 x=x0 处导数的定义: 一般地,设函数 y=f(x)在 x0 附近有定义,当自变量在 x=x0 的附近改变量为 ?x 时,函 数值的改变量为 ?y ? 常数 m,即 lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如果 ?x 趋近于 0 时,平均变化率

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim =m,这个常数 m 叫做函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化率.函数 f(x)在点 x0 ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x
y=f(x) 在 x=x0 处 的 导 数 。 记 作 :

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 趋近于一个 ?x ?x

处 的 瞬 时 变 化 率 又 称 为 函 数

f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 , 即 :

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x ) ? f x( 0 ) f x ?( f ) x ? lim x ? x0 ?x x ? x0

0



(

)

如果函数 y=f(x)在 x0 处有导数(即导数存在),则说函数 f(x)在 x0 处可导。 如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 都是可导的,则说函数 f(x)在区间(a,b)可导。 (3)导函数的定义: f’(x0)= lim

?y 表示函数的平均改变量,它是Δ x 的函数,而 f’(x0)表示一个确定的数值,即 ?x

?y 。当 x 在区间(a,b)内变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数,我们称它为 f ( x ) 在(a,b)的导函数(简称 ?x ?0 ?x
?x ?0

导数)。 y ? f ( x) 导函数有时记作 y? ,即 f ?( x) ? y? ? lim

f ( x ? ?x) ? f ( x) 。 ?x

(二)导数的几何意义及物理意义:函数 f(x)在点 x0 处导数的几何意义就是曲线 y=f(x)在点 P(xo,f(x0))处的切线的斜 率。相应的切线方程是: y ? y0 ? f ( x0 )( x ? x0 )
'

导数的物理意义:位移函数 s=s(t)在 t0 处的导数 s (t0 ) 是函数 s=s(t)在时刻 t0 时的瞬时速度.即 v ? s '(t0 ) 。速度
'

函数 v ? v(t ) 在 t0 处的导数 v (t0 ) 是函数 v=v(t)在时刻 t0 时的瞬时加速度。即 a=v’(t0).
'

6

(三)导数的运算: (1)几种常见函数(基本初等函数)的导数: c?= 0(c为常数); (xm )? ? mxm?1 (m ? Q),

1 1 1 1 1 特别的 : ( )? ? ? 2 , ( x )? ? ; (sin x)? ? cos x; (cos x)? ? ? sin x; (log a x)? ? log a e; (ln x)? ? ; (a x )? ? x x x x 2 x

a x ln a; (e x )? ? e x ;
(2)导数四则运算法则: ①和、差的导数: [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) ②积的导数: [ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ③商的导数: [

f ( x) ]? ? g ( x)

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0 ) [ g ( x)]2

(3)复合函数的求导: a.复合函数的定义:对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,如果通过变量 u,y 可以表示为 x 的函数,那么称这个 函数为函数 y ? f (u)和u ? g ( x) 的复合函数。记作 y ? f [ g ( x)] 。其中 y ? f (u ) 叫做外函数, u ? g ( x) 叫做内函 数。 b.理解复合函数的结构规律: 判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向内分析,最外层的函数结构是基本函数的形式,各层的中间变 量结构也都是基本函数关系,这样一层一层分析。例如,函数 y ? esin x 是复合函数,它是由函数
2

y ? eu , u ? v2 , v ? sin x 复合而成的。
c.复合函数的求导法则:复合函数 y=f[g(x)]对自变量 x 的导数 y 'x ,等于外函数 y=f(u)对中间变量 u 的导数 y’u,乘

? ? 以中间变量 u 对自变量 x(即内函数)的导数 u’x,即 y? x ? yu ux 。
法则推广:若函数 y=f(u)在 u 点处可导,u=g(v)在 v 点处可导,v=h(x)在 x 点处可导,则复合函数 y=f{g[h(x)]}在 x 点处可导,并且 y ' ? f '(u) ? g '(v) ? h '( x) ? y 'u ? u 'v ? v 'x .

疑难点、易错点剖析
1、深刻理解“函数在一点处的导数” 、 “导函数” 、 “导数”的区别与联系
(1)函数 f(x)在一点 x0 处的导数 f’(x0)是一个常数; (2)函数 y ? f ( x) 的导函数,是针对某一区间内任意点 x 而言的。如果函数 y=f(x)在区间(a,b)内每一点 x 都可 导,是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值 x0 都对应着一个确定的导数 f’(x0).这样就在开区间(a,b)内构成了一个新 函数,就是函数 f(x)的导函数 f’(x)。在不产生混淆的情况下,导函数也简称导数。 (3) 函数 y=f(x)在 x0 处的导数 f’(x0)就是导函数 f’(x)在点 x=x0 处的函数值。即

f '( x0 ) ? f '( x) |x?x0 。
2、利用导数的定义求函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的步骤:
7

(1)求函数的改变量 ?f (2)求平均变化率

? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; ?x ?x
?x ?0

(3)取极限,得导数 f ?( x0 ) ? lim 简记为:“一差、二比、三极限” 。

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) 。 ? lim x ? x0 ?x x ? x0

? ? 3.运用复合函数的求导法则 y? x ? yu ux ,应注意以下几个问题:
(1)分清楚复合函数的复合关系是由那些基本函数复合而成,适当选定中间变量; (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的系数,如(sin2x)’≠cos2x, 而实际上应是(sin2x)’ =2cos2x。 (3)根据基本函数的导数公式及导数运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数。 例如求 y ? esin x 的导数。 解析:因为函数 y ? esin x 是由函数 y ? eu , u ? v2 , v ? sin x 复合而成的,所以
2 2

y ' ? (esin x )' ? (eu )'? (v2 )'? (sin x)' ? eu ? 2v ? cos x ? esin x ? 2sin x ? cos x
? esin x cos 2 x 。
知识要点梳理
一.函数的极值 1.函数极值定义 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)<f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一 个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点。 如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 点。极大值与极小值统称为极值
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2

2

2

极小值

=f(x0),x0 是极小值

2. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法: 若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点, f ( x0 ) 是极值,并且如果

f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f ( x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值;如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左负
右正” ,则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值. 3. 求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x)
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(2)求方程 f′(x)=0 的根

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(3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义域分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的 值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果 左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值 二. 函数的最大值与最小值 1. 函数的最大值与最小值: 在闭区间 ?a, b? 上图像连续不断的函数 f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 2.利用导数求函数的最值步骤: 设函数 f ( x) 在在 (a,b) 内可导, 在闭区间 ?a, b? 上图像连续不断, 求函数 f ( x)
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在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与 f ( a ) 、 f (b) 比较,得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值,其中最大的一个是最大值,最小 的一个是最小值。

疑难点、易错点剖析
1 由极值的定义可知,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。此外请注意以下几 点: (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义可知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并
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不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

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(ⅱ)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
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(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, x1 是极大值 点, x4 是极小值点,而 f ( x4 ) > f ( x1 )
王新敞
奎屯 新疆

(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点 可能在区间的内部,也可能在区间的端点。
y
f(x5)

f(x3) f(x1) f(x4)

a

x1

x2

O
f(b) f(x2) f(a)

x3

x4

x5

b x

(V)可导函数的极值点的导数为 0,但是导数为 0 的点不一定是极值点,如函数 y=x 在 x=0 处导数为 0,但 x=0 不 是极值点。 (Vi)函数在一点 x0 处有极值,不一定在该点可导。如函数 y=|x| 在 x=0 有极小值,但在 x=0 处不可导即导数不 存在。 2.对于函数的最值问题,应注意以下几点: (1)在闭区间 ?a, b? 上图像连续不断的函数 f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. (2)在开区间 ( a, b) 内图像连续的函数 f ( x) 不一定有最大值与最小值.如函数 f ( x) ?

3

1 在 (0,??) 内连续,但 x

没有最大值与最小值; (3)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的. ( 4 )函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上的图像连续不断,是 f ( x) 在闭区间

?a, b? 上 有 最 大 值 与 最 小 值 的 充 分 条 件 而 非 必 要 条 件 . 如 函 数

?? x ? 1, x ? 1但x ? 0 ? f ( x) ? ? 在 ??1,1? 上有最大值,最小值, (最大值是 0, ? ?0, x ? 0
最小值是-2) ,但其图像却不是连续不断的(如右图) 。 (5) 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极 值可能不止一个,也可能没有一个。 (6)若函数 f(x)只有一个极值,则必为最值。若函数 f(x)在闭区间[a,b]上 递增, 则 f ( x)min ? f (a) , f ( x)max ? f (b) ; 若函数 f(x)在闭区间[a,b]上递减,
9

则 f ( x)min ? f (b) , f ( x)max ? f (a) 。

应用向量计算立体几何问题
一、求平面法向量的方法与步骤: 1、选向量:求平面的法向量时,要选取两个相交的向量,如 AB, AC 2、设坐标:设平面法向量的坐标为 n ? ( x, y, z) 3、解方程:联立方程组 ?

? ?n ? AB ? 0 ? ?n ? AC ? 0

,并解方程组

4、定结论:求出的法向量中三个坐标不是具体的数值,而是比例关系。设定某个坐标为常 数得到其他坐标 二、利用向量求空间角: 1、求异面直线所成的角:

a , b 所成的角为 ? , 设 a , b 为异面直线, 点 A, C 为 a 上任意两点, 点 B, D 为 b 上任意两点, 则 cos? ?
【注】由于异面直线所成的角 ? 的范围是: 0? ? ? ? 90 ? ,因此 cos ? ? 0 2、求直线与平面所成的角:

AC ? BD AC ? BD

设直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,直线 l 与平面 ? 所成的角为 ? , a 与 n 所成的角为 ? ,则

sin ? ? cos? ?

a?n a?n

【注】由于直线与平面所成的角 ? 的范围是: 0? ? ? ? 90 ? ,因此 sin ? ? 0 3、求二面角: 设 n1 , n2 分 别 为 平 面 ? , ? 的 法 向 量 , 二 面 角 ? ? l ? ? 为 ? , 则 ? ?? n1 , n2 ? 或 ? ? ? n1 , n2 ? , 其 中

cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 ? n2

三、利用向量求空间距离: 1、求点到平面的距离 设平面 ? 的法向量为 n , A ? ? , B ? ? ,则点 A 到平面 ? 的距离为

AB ? n n

2、求两条异面直线的距离 设 l1 , l2 是两条异面直线, n 是公垂线段 AB 的方向向量, C , D 分别为 l1 , l2 上的任意两点,则 l1与l2 的距离为

AB ?

CD ? n n
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