nbhkdz.com冰点文库

广东省韶关市十校2015届高三数学上学期10月联考试卷 文(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

广东省韶关市十校 2015 届高三上学期 10 月联考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x>1},B={x|x <4},那么 A∩B=(

) A. (﹣2,2) B. (﹣1,2) C. (1,2) D. (1,4)

2. (5 分)设 i 为虚数单位,则 A. ﹣2﹣3i B. ﹣2+3i
x

=() C. 2﹣3i D. 2+3i

3. (5 分)命题“? x∈R,e ﹣x+1≥0”的否定是() x A. ? x∈R,lnx+x+1<0 B. ? x∈R,e ﹣x+1≥0 x x C. ? x∈R,e ﹣x+1>0 D. ? x∈R,e ﹣x+1<0 4. (5 分)下列函数中,既是奇函数又存在极值的是() A. y=x
3

B. y=ln(﹣x)

C. y=xe

﹣x

D. y=x+

5. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=4x+y 的最小值为()

A. 1

B. 4

C. 11

D. 12

6. (5 分)设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 A. 5 B. C.

,则双曲线的离心率 e=() D.

7. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出 s 值等于()

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

A. ﹣3

B. ﹣10

C. 0

D. ﹣2

8. (5 分)已知 m,n 为异面直线,m? 平面 α ,n? 平面 β ,α ∩β =l,则 l() A. 与 m,n 都相交 B. 与 m,n 中至少一条相交 C. 与 m,n 都不相交 D. 至多与 m,n 中的一条相交 9. (5 分)设 a∈R,若函数 y=e +ax,x∈R,有大于﹣1 的极值点,则() A. a<﹣1 B. a>﹣1 C. a<﹣ D. a>﹣
x

10. (5 分)设 M 是△ABC 内一点,且

?

=2

,∠BAC=30°.定义 f(M)=(m,n,p) ,

其中 m,n,p 分别是△MBC,△MCA,△MAB 的面积.若 f(P)=( ,x,y) ,则 log2x+log2y 的最大值是() A. ﹣5

B. ﹣4

C. ﹣ 3

D. ﹣2

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.其中 14、15 题是选做题,考生只 能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. (一)必做题(11-13 题) 11. (5 分)某地区有高中生 2400 人,初中生 10900 人,小学生 11000 人,现用分层抽样的方 法从该地区中小学生中抽取 243 人作为样本,那么抽取的小学生的人数是个.

12. (5 分)在△ABC 中,sinC=

,cosB=﹣ ,则角 cosA=.

13. (5 分)将正整数排成如图:

-2-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

其中排在第 i 行第 j 列的数若记为 a

,例如:a

=9,则 a

=.

选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)在极坐标系中,已知两点 A(5, ) 、B(8, ) ,则|AB|=.

(几何证明选讲选做题) 15.如图所示,AB 是半径等于 3 的圆 O 的直径,CD 是圆 O 的弦,BA,DC 的延长线交于点 P, 若 PA=4,PC=5,则∠CBD=.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 (Ⅰ)若点 (Ⅱ)若 . 在角 α 的终边上,求 f(α )的值; ,求 f(x)的值域.

17. (12 分)对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查,得 到统计数据如下: 教师教龄 5 年以下 5 至 10 年 10 至 20 年 20 年以上 教师人数 8 10 30 18 经常使用信息技术实施教学的人数 2 4 10 4 (Ⅰ)求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率; (Ⅱ)在教龄 10 年以下,且经常使用信息技术实施教学的教师中任选 2 人,其中恰有一人教 龄在 5 年以下的概率是多少? 18. (14 分)如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4.E,F 分别在线段 BC 和 AD 上,EF∥AB,将矩 形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF,且平面 MNEF⊥平面 ECDF.

-3-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

(Ⅰ)求证:NC∥平面 MFD; (Ⅱ)若 EC=3,求证:ND⊥FC; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值.
2

19. (14 分)已知在正项数列{an}中,Sn 表示数列{an}前 n 项和且 Sn= an + an+ ,n∈N+,数列

{bn}满足 bn= (I) 求 an,Sn;

,Tn 为数列{bn}的前 n 项和.

(Ⅱ)是否存在最大的整数 t,使得对任意的正整数 n 均有 Tn> 若不存在,请说明理由.
2

总成立?若存在,求出 t;

20. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax (其中 a>0)上任意一点与点 P(0,



的距离等于它到直线 y=﹣1 的距离. (I)求抛物线的方程; (Ⅱ)若点 M 的坐标为(0,2) ,N 为抛物线上任意一点,是否存在垂直于 y 轴的直线 l,使 直线 l 被以 MN 为直径的圆截得的弦长恒为常数?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请 说明理由.

21. (14 分)已知 ( I)求实数 a 的取值范围;

在区间[﹣1,1]上是增函数

( II)记实数 a 的取值范围为集合 A,且设关于 x 的方程

的两个非零实根为 x1,

x2. ①求|x1﹣x2|的最大值; 2 ②试问:是否存在实数 m,使得不等式 m +tm+1>|x1﹣x2|对? a∈A 及 t∈[﹣1,1]恒成立?若 存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

广东省韶关市十校 2015 届高三上学期 10 月联考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

-4-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x>1},B={x|x <4},那么 A∩B=() A. (﹣2,2) B. (﹣1,2) C. (1,2) D. (1,4) 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 2 分析: 集合 A 与集合 B 的公共元素构成集合 A∩B,由此利用集合 A={x|x>1},B={x|x < 4}={x|﹣2<x<2},能求出集合 A∩B. 解答: 解:∵集合 A={x|x>1}, 2 B={x|x <4}={x|﹣2<x<2}, ∴A∩B={x|1<x<2}. 故选 C. 点评: 本题考查集合的交集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

2. (5 分)设 i 为虚数单位,则 A. ﹣2﹣3i B. ﹣2+3i

=() C. 2﹣3i D. 2+3i

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 复数的分子、分母、同乘分母的共轭复数化简即可. 解答: 解:∵ 故选 C. 点评: 本题主要考查了复数代数形式的四则运算,属容易题. 3. (5 分)命题“? x∈R,e ﹣x+1≥0”的否定是() x A. ? x∈R,lnx+x+1<0 B. ? x∈R,e ﹣x+1≥0 x x C. ? x∈R,e ﹣x+1>0 D. ? x∈R,e ﹣x+1<0 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,写出结果即可. 解答: 解:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题, x x ∴命题“? x∈R,e ﹣x+1≥0”的否定是:? x∈R,e ﹣x+1<0. 故选:D. 点评: 本题考查命题的否定,注意否定形式以及量词的变化,基本知识的考查. 4. (5 分)下列函数中,既是奇函数又存在极值的是() A. y=x
3 x

B. y=ln(﹣x)

C. y=xe

﹣x

D. y=x+

-5-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 利用导数研究函数的极值;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 根据奇函数、存在极值的条件,即可得出结论. 3 解答: 解:由题可知,B、C 选项不是奇函数,A 选项 y=x 单调递增(无极值) ,而 D 选项既 为奇函数又存在极值. 故选:D. 点评: 本题考查函数奇偶性的概念,同时也对函数单调性与函数极值做出考查.

5. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=4x+y 的最小值为()

A. 1

B. 4

C. 11

D. 12

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=4x+y 得 y=﹣4x+z, 平移直线 y=﹣4x+z,由图象可知当直线 y=﹣4x+z 经过点 A 时, 直线 y=﹣4x+z 的截距最小,此时 z 最小, 由 ,解得 ,

即 A(0,1) , 此时 z=0+1=1, 故选:A.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,通过数形结合是解决本题的关 键.

6. (5 分)设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为

,则双曲线的离心率 e=()

-6-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. 5 B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据题意可求得 a 和 b 的关系式,进而利用 c= 得 a 和 c 的关系即双曲线的离心率. 解答: 解:依题意可知 = ,求得 a=2b ∴c= ∴e= = 故选 C. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.解题的时候注意看双曲线的焦点所在的坐标轴, 根据坐标轴的不同推断渐近线不同的形式. 7. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出 s 值等于() = b 求得 c 和 b 的关系,最后求

A. ﹣3

B. ﹣10

C. 0

D. ﹣2

考点: 循环结构. 专题: 计算题. 分析: 通过循环,计算 s,k 的值,当 k=4 时退出循环,输出结果即可. 解答: 解:k=1,满足判断框,第 1 次循环,s=1,k=2, 第 2 次判断后循环,s=0,k=3, 第 3 次判断并循环 s=﹣3,k=4,第 3 次判断退出循环, 输出 S=﹣3. 故选:A. 点评: 本题考查循环结构,注意循环条件的判断,循环计算的结果,考查计算能力.

-7-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

8. (5 分)已知 m,n 为异面直线,m? 平面 α ,n? 平面 β ,α ∩β =l,则 l() A. 与 m,n 都相交 B. 与 m,n 中至少一条相交 C. 与 m,n 都不相交 D. 至多与 m,n 中的一条相交 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 分析: 由异面直线的定义和画法知,异面直线必须满足既不平行又不相交,即 l 与 m,n 中 至少一条相交;当 l 与 m,n 都不相交时有 m∥n. 解答: 解:由题意,l 与 m,n 都相交且交点不重合时,m,n 为异面直线; 若 l 与 m 相交且与 n 平行时,m,n 为异面直线; 若 l 与 m,n 都不相交时,又因 m? α ,l? α ,所以 l∥m,同理 l∥n,则 m∥n. 故选 B. 点评: 本题的考点是异面直线,利用异面直线的定义和共面直线的关系判断. 9. (5 分)设 a∈R,若函数 y=e +ax,x∈R,有大于﹣1 的极值点,则() A. a<﹣1 B. a>﹣1 C. a<﹣ D. a>﹣
x

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先对函数进行求导,令导函数等于 0,原函数有大于﹣1 的极值点,故导函数有大于 ﹣1 的根. x 解答: 解:∵y=e +ax, x ∴y'=e +a. x 由题意知 e +a=0 有大于﹣1 的实根, x x 由 e =﹣a,得 a=﹣e , ∵x>﹣1, ∴e > . ∴a<﹣ . 故选:C. 点评: 本题主要考查函数的极值与其导函数的关系,求解过程中用到了分离参数的方法, 是中档题.
x

10. (5 分)设 M 是△ABC 内一点,且

?

=2

,∠BAC=30°.定义 f(M)=(m,n,p) ,

其中 m,n,p 分别是△MBC,△MCA,△MAB 的面积.若 f(P)=( ,x,y) ,则 log2x+log2y 的最大值是() A. ﹣5

B. ﹣4

C. ﹣ 3

D. ﹣2

考点: 基本不等式. 专题: 计算题;不等式的解法及应用.

-8-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 由向量的数量积可得| 基本不等式求最大值. 解答: 解:由题意, ∵ ∴| ? =| |?| |=4, |?| |?sin30°=1 |?cos30°=2 , |?| |=4,从而求出 S△ABC=1,进而可得 x+y= ,从而利用

|?|

则 S△ABC= | 又∵S△PBC= ,

∴S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC=x+y+ =1, ∴x+y= , ∴xy≤( )=
2

(当且仅当 x=y= 时成立) , =﹣4,

∴log2x+log2y=log2xy≤log2

故选 B. 点评: 本题考查了向量的运算、三角形面积相等即求法、基本不等式、对数运算等,属于 中档题. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.其中 14、15 题是选做题,考生只 能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. (一)必做题(11-13 题) 11. (5 分)某地区有高中生 2400 人,初中生 10900 人,小学生 11000 人,现用分层抽样的方 法从该地区中小学生中抽取 243 人作为样本,那么抽取的小学生的人数是 110 个. 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据小学生抽取的人数计算抽取比例,再根据这个比例求初中生中需抽取的人数. 解答: 解:由题可知抽取的比例为 故初中生应该抽取人数为 N= = , × =110.

故答案为:110 点评: 本题考查基本的分层抽样,解决分层抽样的关键是抓住各层抽取的比例相等,属基 本题.

12. (5 分)在△ABC 中,sinC=

,cosB=﹣ ,则角 cosA=



考点: 两角和与差的余弦函数.

-9-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 三角函数的求值. 分析: 由同角三角函数的基本关系可得 sinB 和 cosC,可得 cosA=﹣cos(B+C)=sinBsinC ﹣cosBcosC,代值计算可得. 解答: 解:∵在△ABC 中,sinC= ∴B 为钝角,且 sinB= ∴C 必为锐角,且 cosC= ,cosB=﹣ , = , = ,

∴cosA=﹣cos(B+C)=sinBsinC﹣cosBcosC = 故答案为: 点评: 本题考查两角和与差的余弦函数,涉及同角三角函数的基本关系,属基础题. 13. (5 分)将正整数排成如图: =

其中排在第 i 行第 j 列的数若记为 a

,例如:a

=9,则 a

=2015.

考点: 归纳推理. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 先找到数的分布规律,求出第 n﹣1 行结束的时候一共出现的数的个数,即可求得结 论. 解答: 解: 由排列的规律可得, 第 n﹣1 行结束的时候共排了 1+2+3+?+ (n﹣1) = 个数, ∴第 63 行第 62 列的数 a = +62=2015.

故答案为:2015. 点评: 本题借助于一个三角形数阵考查等差数列的应用,属基础题. 选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)在极坐标系中,已知两点 A(5, ) 、B(8, ) ,则|AB|=7.

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 利用余弦定理即可得出.

- 10 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:∵∠AOB= ∴AB =
2

, =49,

∴AB=7. 故答案为:7. 点评: 本题考查了极坐标的意义、余弦定理的应用,属于基础题. (几何证明选讲选做题) 15.如图所示,AB 是半径等于 3 的圆 O 的直径,CD 是圆 O 的弦,BA,DC 的延长线交于点 P, 若 PA=4,PC=5,则∠CBD=30° .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 欲求:“∠CBD”,根据圆中角的关系:∠COD=2∠CBD,只要求出∠COD 即可,把它 放在三角形 COD 中,可利用切割线定理求出 CD 的长,从而解决问题. 解答: 解:由割线定理得, PA×PB=PC×PD, ∵PA=4,PC=5, ∴4×10=5×PD,∴PD=8, ∴CD=8﹣5=3, ∴△CDO 是等边三角形, ∴∠COD=60°,从而∠CBD=30°. 故填:30°或 .

点评: 此题中要通过计算边长,发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形.本题主要考 查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 (Ⅰ)若点 (Ⅱ)若 . 在角 α 的终边上,求 f(α )的值; ,求 f(x)的值域.

考点: 任意角的三角函数的定义;三角函数的恒等变换及化简求值;正弦函数的单调性. 专题: 计算题.

- 11 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (Ⅰ)因为点 化简 f(α ) =2 sinα cosα ﹣2sin α ,把
2

在角 α 的终边上,所以







代入运算得到结果. ,

(Ⅱ) 化简 f(x)= 从而求得 f(x)的值域. 解答: 解: (Ⅰ) 因为点 所以

,根据 x 的范围得到

在角 α 的终边上, 所以





= . (Ⅱ) 因为 ,所以 = = ,所以 , ,

所以 f(x)的值域是[﹣2,1]. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的 单调性和值域,三角恒等变换 是解题的关键. 17. (12 分)对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查,得 到统计数据如下: 教师教龄 5 年以下 5 至 10 年 10 至 20 年 20 年以上 教师人数 8 10 30 18 经常使用信息技术实施教学的人数 2 4 10 4 (Ⅰ)求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率; (Ⅱ)在教龄 10 年以下,且经常使用信息技术实施教学的教师中任选 2 人,其中恰有一人教 龄在 5 年以下的概率是多少? 考点: 古典概型及其概率计算公式;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 计算题;应用题. 分析: (Ⅰ)先根据表格算出该校教师人数及该校经常使用信息技术实施教学的教师人数, 从而利用概率公式得出“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”的概率,最后利用 对立事件得出该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率; (Ⅱ)设经常使用信息技术实施教学,教龄在 5 年以下的教师为 ai(i=1,2) ,教龄在 5 至 10 年的教师为 bi(j=1,2,3,4) ,利用列举法得到任选 2 人的基本事件及“任选 2 人中恰有一 人的教龄在 5 年以下”事件, 最后利用古典概型及其概率计算公式即可得到恰有一人教龄在 5 年以下的概率. 解答: 解: (Ⅰ)该校教师人数为 8+10+30+18=66,该校经常使用信息技术实施教学的教师 人数为 2+4+10+4=20.

- 12 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ?(2 分) 设“该校教师在教学中经常使用信息技术实施教学”为事件 A,?(3 分) 则 . 所以该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率是 . ,?(5 分) ?(6 分)

(Ⅱ)设经常使用信息技术实施教学,教龄在 5 年以下的教师为 ai(i=1,2) , 教龄在 5 至 10 年的教师为 bi(j=1,2,3,4) ,那么任选 2 人的基本事件为(a1,a2) , (a1, b1) , (a1,b2) , (a1,b3) , (a1,b4) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a2,b3) , (a2,b4) , (b1,b2) , (b1, b3) , (b1, b4) , (b2,b3) , (b2,b4) , (b3,b4)共 15 个. ?(9 分) 设“任选 2 人中恰有一人的教龄在 5 年以下”为事件 B,?(10 分) 包括的基本事件为(a1,b1) , (a1,b2) , (a1,b3) , (a1,b4) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a2,b3) , (a2, b4)共 8 个,?(11 分) 则 . . ?(13 分)

所以恰有一人教龄在 5 年以下的概率是

点评: 本小题主要考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率、古典概型及其概率计算 公式等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题. 18. (14 分)如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4.E,F 分别在线段 BC 和 AD 上,EF∥AB,将矩 形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF,且平面 MNEF⊥平面 ECDF.

(Ⅰ)求证:NC∥平面 MFD; (Ⅱ)若 EC=3,求证:ND⊥FC; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值. 考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)先证明四边形 MNCD 是平行四边形,利用线面平行的判定,可证 NC∥平面 MFD; (Ⅱ)连接 ED,设 ED∩FC=O.根据平面 MNEF⊥平面 ECDF,且 NE⊥EF,可证 NE⊥平面 ECDF, 从而可得 FC⊥NE,进一步可证 FC⊥平面 NED,利用线面垂直的判定,可得 ND⊥FC; (Ⅲ) 先表示出四面体 NFEC 的体积, 再利用基本不等式, 即可求得四面体 NFEC 的体积最大值. 解答: (Ⅰ)证明:因为四边形 MNEF,EFDC 都是矩形, 所以 MN∥EF∥CD,MN=EF=CD.

- 13 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以四边形 MNCD 是平行四边形,?(2 分) 所以 NC∥MD,?(3 分) 因为 NC?平面 MFD,所以 NC∥平面 MFD. ?(4 分) (Ⅱ)证明:连接 ED,设 ED∩FC=O. 因为平面 MNEF⊥平面 ECDF,且 NE⊥EF, 所以 NE⊥平面 ECDF,?(5 分) 因为 FC? 平面 ECDF, 所以 FC⊥NE. ?(6 分) 又 EC=CD,所以四边形 ECDF 为正方形,所以 FC⊥ED. ?(7 分) 所以 FC⊥平面 NED,?(8 分) 因为 ND? 平面 NED, 所以 ND⊥FC. ?(9 分) (Ⅲ)解:设 NE=x,则 EC=4﹣x,其中 0<x<4. 由 (Ⅰ) 得 NE⊥平面 FEC, 所以四面体 NFEC 的体积为 (11 分) 所以 . ?(13 分) .?

当且仅当 x=4﹣x,即 x=2 时,四面体 NFEC 的体积最大. ?(14 分)

点评: 本题考查线面平行,考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,考查基本不等式的运 用,掌握线面平行,线面垂直的判定方法,正确表示四面体 NFEC 的体积是关键.
2

19. (14 分)已知在正项数列{an}中,Sn 表示数列{an}前 n 项和且 Sn= an + an+ ,n∈N+,数列

{bn}满足 bn= (I) 求 an,Sn;

,Tn 为数列{bn}的前 n 项和.

(Ⅱ)是否存在最大的整数 t,使得对任意的正整数 n 均有 Tn> 若不存在,请说明理由.

总成立?若存在,求出 t;

考点: 数列与不等式的综合. 分析: (Ⅰ)由条件再写一式,两式相减,从而数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, 由此能求出 an,Sn.

- 14 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn=

= (



) ,Tn= [(1﹣ )+( ﹣ )+?(



)]= (1﹣

)=
2

,由此能求出 t=11 符合题意. ,?(1

解答: 解: (Ⅰ)∵Sn= an + an+ ,∴ 分) 当 n≥2 时, 整理得(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣2)=0?(3 分) ∵数列{an}各项为正, ∴an+an﹣1>0?(4 分) ∴an﹣an﹣1=2?(5 分) ∴数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列 ∴an=a1+(n﹣1)×2=2n﹣1.?(6 分) ∴Sn= (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn= =n ?(7 分) = ( ﹣ ) ?(8 分)
2

于是 Tn= [(1﹣ )+( ﹣ )+?(



)]= (1﹣

)=

?(10 分)

易知数列{Tn}是递增数列,故 T1= 是最小值,?(12 分) 所以只需 > ,即 t<12,因此存在 t=11 符合题意.?(14 分)

点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的合理运用,解题时要认真审题,注意裂 项求和法的合理运用.
2

20. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax (其中 a>0)上任意一点与点 P(0,



的距离等于它到直线 y=﹣1 的距离. (I)求抛物线的方程; (Ⅱ)若点 M 的坐标为(0,2) ,N 为抛物线上任意一点,是否存在垂直于 y 轴的直线 l,使 直线 l 被以 MN 为直径的圆截得的弦长恒为常数?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请 说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)由抛物线的定义知 P(0, )是其焦点,且 =1,由此能求出抛物线方程.

- 15 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com
2

(Ⅱ)设 N(2x,x ) ,则 MN 的中点 H 的坐标为 H(x,1+ H 到直线 l 的距离为 d=|

) ,设直线 l 的方程为 y=c,则点

|,由此能推导出存在垂直于 y 轴的直线 l,使直线 l 被以

MN 为直径的圆截得的弦长恒为常数,直线 l 的方程为 y=1. 解答: 解: (本题满分 14 分) (I)由抛物线的定义知 P(0, ∴ ,抛物线方程为 y=
2

)是其焦点,且

=1,?(3 分)

.?(4 分) ) ,?(6 分)

(Ⅱ)设 N(2x,x ) ,则 MN 的中点 H 的坐标为 H(x,1+ 设直线 l 的方程为 y=c, 则点 H 到直线 l 的距离为 d=| |MN| =4x +(x ﹣2) =x +4,?(8 分) 设所求弦长为 L,则 L =|MN| ﹣4d =x +4﹣4(
2 2 2 4 2 2 2 2 4

|,?(7 分)

) =4x (c﹣1)+8c﹣4c ,?(11 分)

2

2

2

若弦长 L 恒为常数,即 L 的值与 x 的值无关, 所以 c=1,L=2?(13 分) 所以存在垂直于 y 轴的直线 l,使直线 l 被以 MN 为直径的圆截得的弦长恒为常数, 此直线 l 的方程为 y=1.?(14 分) 点评: 本题考查抛物线方程的求法,考查满足条件直线方程是否存在的判断与求法,解题 时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.

21. (14 分)已知 ( I)求实数 a 的取值范围;

在区间[﹣1,1]上是增函数

( II)记实数 a 的取值范围为集合 A,且设关于 x 的方程

的两个非零实根为 x1,

x2. ①求|x1﹣x2|的最大值; 2 ②试问:是否存在实数 m,使得不等式 m +tm+1>|x1﹣x2|对? a∈A 及 t∈[﹣1,1]恒成立?若 存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 考点: 函数恒成立问题;根与系数的关系;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (I) 先求导函数 f' (x) , 然根据 f (x) 在[﹣1, 1]上是增函数则 f' (x) ≥0 在 x∈[﹣ 1,1]恒成立,然后利用二次函数的性质进行解题即可求出 a 的取值范围; (II)①先求出集合 A,然后根据 得 x ﹣ax﹣2=0,x1,x2 是方程 x ﹣ax﹣2=0 的两
2 2

个非零实根,利用根与系数的关系表示出|x1﹣x2|,最后根据 a 的范围可求出|x1﹣x2|的最大 值;

- 16 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ②要使 m +tm+1>|x1﹣x2|对? a∈A 及 t∈[﹣1,1]恒成立,即 m +tm+1>3 即 m +tm﹣2>0 对 2 2 ? t∈[﹣1,1]恒成立,设 g(t)=m +tm﹣2=mt+(m ﹣2) ,将 t 看成变量,则 g(t)是关于 t 的一次函数,然后建立不等式,解之即可求出所求 m 的取值范围. 解答: 解: (I) ?1 分)
2 2 2

∵f(x)在[﹣1,1]上是增函数 2 ∴f'(x)≥0 即 x ﹣ax﹣2≤0,在 x∈[﹣1,1]恒成立 (1) (3 分) 设 φ (x)=x ﹣ax﹣2,则由(1)得 所以,a 的取值范围为[﹣1,1].?(6 分) (II)①由(I)可知 A={a|﹣1≤a≤1} 由
2 2

解得﹣1≤a≤1



得 x ﹣ax﹣2=0
2

2

∵△=a +8>0∴x1,x2 是方程 x ﹣ax﹣2=0 的两个非零实根 ∴x1+x2=a,x1x2=﹣2,又由(1)﹣1≤a≤1 ∴ (9 分)

∴|x1﹣x2|的最大值为 3. 2 ②要使 m +tm+1>|x1﹣x2|对? a∈A 及 t∈[﹣1,1]恒成立 2 2 即 m +tm+1>3 即 m +tm﹣2>0 对? t∈[﹣1,1]恒成立(2) (11 分) 2 2 设 g(t)=m +tm﹣2=mt+(m ﹣2) , 则由(2)得 解得 m>2 或 m<﹣2

故存在实数 m∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)满足题设条件(14 分) 点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及函数恒成立问题和根与系数的关 系,同时考查了转化的思想和计算的能力,属于中档题.

- 17 -


广东省韶关市十校2015届高三数学上学期10月联考试卷 理(含解析)

(n+1)>. 广东省韶关市十校 2015 届高三上学期 10 月联考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在...

广东省韶关市十校2015届高三上学期10月联考数学试卷(文科) Word版含解析

广东省韶关市十校2015届高三上学期10月联考数学试卷(文科) Word版含解析_数学_初中教育_教育专区。少年智则中国智,少年强则中国强。 广东省韶关市十校 2015 届...

广东省韶关市十校2015届高三上学期10月联考数学试卷(理科)

(n+1)>. 广东省韶关市十校 2015 届高三上学期 10 月联考数学试卷 (理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在...

广东省韶关市十校2015届高三上学期10月联考数学试卷(文科)

若 存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 广东省韶关市十校 2015 届高三上学期 10 月联考数学试卷 (文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 ...

广东省韶关市2015届高三十校10月联考文数(含答案)

广东省韶关市2015届高三十校10月联考文(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。广东韶关市 2015 高考十校联考试题(文数)一、选择题:本大题共 10 小题...

广东省韶关市十校2015届高三10月联考数学文试题

广东省韶关市十校2015届高三10月联考数学文试题_数学_高中教育_教育专区。WORD文档,含答案~~~韶关市 2015 届高三级十校联考试题 (文科数学)试卷共 4 页,21...

广东省韶关市十校2015届高三数学10月联考试题 理

广东省韶关市十校2015届高三数学10月联考试题 理_数学_高中教育_教育专区。韶关...信息点涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上...

广东省韶关市2015届高三数学上学期期末试卷 理(含解析)

广东省韶关市2015届高三数学上学期期末试卷(含解析)_数学_高中教育_教育专区。文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 广东省韶关市 2015 届...

广东省韶关市2015届高三十校10月联考数学文试题

广东省韶关市2015届高三十校10月联考数学文试题_高中教育_教育专区。韶关市 2015 届高三十校联考试题 (文科数学)试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。...