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【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习:课时冲关练(十) 4.3与数列交汇的综合问题


课时冲关练(十)
与数列交汇的综合问题 (45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2014·长沙模拟)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S2=10,S4=36,则 过点 P(n,an)和 Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的斜率是 ( A.1 B.2 C.4 D. ) 100 分)

【解析】选 C.由已知得,a

1+a2=10, 又 a3+a4=S4-S2=26,两式相减得,4d=16,故 d=4, 所以过点 P(n,an)和 Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的斜率 k= =d=4.

2.某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示,从目前记录的 结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 的值为 ( )

A.5

B.7

C.9

D.11

【解题提示】由已知中图象表示某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间 的关系,可分析出平均产量的几何意义为原点与该点连线的斜率 ,结合 图象可得答案. 【解析】选 C.由题意知,此棵果树前 m 年的平均产量为 ≤11), (m∈N*,1≤m

-1-

数形结合,该值可转化为散点图中的点(m,Sm)与原点(0,0)连线的斜率, 即 km= = ,

观察散点图,可知,当 m=9 时,km 达到最大, 即前 9 年的年平均产量最高, 故 m 的值为 9,选 C. 3. 数列 {an} 的前 n 项和 Sn, 已知对任意的 n ∈ N*, 点 (n,Sn) 均在函数 y=ax2+x(a∈N*)的图象上,则 ( A.a 与 an 的奇偶性相同 C.a 与 an 的奇偶性相异 ) B.n 与 an 的奇偶性相同 D.n 与 an 的奇偶性相异

【解题指示】本题主要考查数列通项 an 与前 n 项和 Sn 之间的关系及函 数解析式.首先将点代入函数解析式确定 an 与 Sn,最后分析 n 与 an 的奇 偶性.本题易忽视判断 a 与 a1 的奇偶性,即忽视 a1 与 S1 的关系. 【解析】选 C.因为对任意的 n∈N*,点(n,Sn)均在函数 y=ax2+x(a∈N*) 的图象上, 所以 Sn=an2+n, 当 n=1 时,a1=S1=a+1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=an2+n-[a(n-1)2+(n-1)]=2an-a+1, 当 n=1 时,2an-a+1=a1=a+1. 所以 an=2an-a+1=(2n-1)a+1,
-2-

所以 a 与 an 的奇偶性相异,而 n 的奇偶性与 an 的奇偶性无关. 故选 C. 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 S15>0,S16<0,则 , , ,?, 中最大的项为 ( A. B. ) C. =15a8>0,得 a8>0, <0, D.

【解析】选 C.由 S15= 由 S16= =

得 a9+a8<0,所以 a9<0,且 d<0,数列{an}为递减的数列. 所以 a1,…,a8 为正,a9,…,an 为负, 且 S1,…,S15>0,S16,…,Sn<0, 则 <0, <0…, >0,

又 S8>S1,a1>a8, 所以 > >0, 所以最大的项为 . 5.(2014·郑州模拟)已知数列{an}满足 an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且 a5= . 若函数 f(x)=sin2x+2cos2 , 记 yn=f(an), 则数列 {yn} 的前 9 项和为 ( A.0 ) B.-9 C.9 D.1

【解析】选 C.由数列{an}满足 an+2-an+1=an+1-an,n∈N*, 可知该数列是等差数列, 根据题意可知只要该数列中 a5= ,数列{yn}的前 9 项和就能计算得到一 个定值,

-3-

又因为 f(x)=sin2x+1+cosx, 则可取特殊情况:数列{an}的公差为 0, 则 数 列 {yn} 的 前 +sin2a9)+(cosa1+cosa2+ +cosa9)+9=9sin2a5+9cosa5+9=9sin +9cos +9=9. (n∈N*),则对 9 项 和 为 S9=(sin2a1+sin2a2+ … …

6.(2014· 杭州模拟)已知数列{an}满足条件:a1= ,an+1= n≤20 的正整数,an+an+1= 的概率为 ( A. B. C. ) D.0

【解析】选 B.因为 a1= ,所以 a2=3,a3=-2,a4=- ,a5= ,故{an}是以 4 为周 期 的 数 列 , 其 中 满 足 an+an+1= (n ≤ 20) 的 共 有

a4+a5,a8+a9,a12+a13,a16+a17,a20+a215 种,所以所求概率为 = . 7. 若 an= sin ( A.25 ) B.50 C.75 D.100 ,Sn=a1+a2+ ? +an, 则在 S1,S2, ? ,S100 中 , 正数的个数是

【解题提示】三角函数要注意其周期性的应用,把握问题的本质.周期 T=50,先研究 S1,S2,…S25,由于 a1,a2,…,a25≥0,只要考虑 a26,a27,…,a50, 根据正弦函数的性质可以确定. 【解析】选 D.依据题设及 an= sin , 因为 f(x)=sin 的周期为 T=50, >0,sin =0,

又 sin >0,sin >0,…,sin

所以在 S1,S2,…S25 中有 25 个是正数, 又当 26≤n≤50 时,

-4-

因为 sin ≤an= sin ≤ sin ≤0, Sn=sin + sin > 故在 S26,…,S50 中有 25 个是正数. 同理研究 S51,S52,…,S100, 得到,在 S1,S2,…S100 中有 100 个是正数.故选 D. 8.(2014 ·温州模拟 ) 已知定义在 R 上的函数 f(x) 是奇函数且满足 f =f(x),f(-2)=-3,数列{an}满足 a1=-1,且 =2× +1(其中 Sn 为 ) D.2 + sin + … + sin + + sin sin +…+sin + … ≥0,

{an}的前 n 项和),则 f(a5)+f(a6)= ( A.-3 B.-2 C.3

【解析】选 C.因为函数 f(x)是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x). 因为 f 所以 f 所以 f =f(x), =-f(-x), =-f(x),

所以 f(3+x)=f =-f =-[-f(x)]=f(x),

所以 f(x)是以 3 为周期的周期函数. 因为数列{an}满足 a1=-1,且 =2× +1, 所以 a1=-1,且 Sn=2an+n, 易推知 an=-2n+1, 所以 a5=-31,a6=-63,
-5-

所以 f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(2)+f(0)=f(2)=-f(-2)=3. 故选 C. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 9.(2014 ·台州模拟)已知函数 f(x) 对应关系如表所示,数列{an}满足 a1=3,an+1=f(an),则 a2015= x f(x) 1 3 . 2 2 3 1

【解析】由题意知 a2=f(a1)=f(3)=1, a3=f(a2)=f(1)=3, a4=f(a3)=f(3)=1, 所以数列{an}是周期为 2 的数列, 所以 a2015=a1=3. 答案:3 10.(2014· 天津模拟)在数列{an}中,an=(n+1) 项是第 项. 【解析】假设 an 最大,则有 ,则数列{an}中的最大



所以

-6-

即 6≤n≤7,所以最大项为第 6 或 7 项. 答案:6 或 7 【方法技巧】最大项问题的解题策略 (1)若数列{an}中的最大项为 ak,则 (2)若数列{an}中的最小项为 ak,则 大小比较通常可以比商或者比差. 11.如图,一条螺旋线是用以下方法画成:△ABC 是边长为 1 的正三角形, 曲线 CA1,A1A2,A2A3 分别是以 A,B,C 为圆心,AC,BA1,CA2 为半径画的弧,曲 线 CA1A2A3 称为螺旋线.旋转一圈,然后又以点 A 为圆心,AA3 为半径画弧, 这样画到第 n 圈,则所得螺旋线的长度 ln= 可). (用弧度制表示即

【解析】依题意,螺旋线第一圈的长度为 π(1+2+3),第二圈的长度为 π(4+5+6),第三圈的长度为 π(7+8+9),…,依次类推,第 n 圈的长度为 π [(3n-2)+(3n-1)+3n], 所 以 螺 旋 线 的 总 长 度 :ln= π (1+2+3+ … +3n)=(3n2+n)π. 答案:(3n2+n)π 12.已知数列{bn}通项公式为 bn=3× 任意 n ∈ N*, 不等式 为 .
-7-

+ ,Tn 为{bn}的前 n 项和.若对

≥ 2n-7 恒成立 , 则实数 k 的取值范围

【解题提示】根据题意首先需要将数列{bn}的前 n 项和 Tn 求出,然后代 入不等式并进行变形,参变分离转化为求数列最值问题去处理. 【解析】因为 bn=3× 所以 Tn=3 = + =6 + . ≥2n-7, 对任意 n∈N*恒成立. + , +

因为不等式 化简得 k≥ 设 cn= 则 cn+1-cn= , -

=

,

当 n≥5 且 n∈N*时,cn+1<cn,{cn}为单调递减数列, 当 1≤n<5 且 n∈N*时,cn+1>cn,{cn}为单调递增数列, =c4<c5= . 所以当 n=5 时,cn 取得最大值 , 所以,要使 k≥ 答案:k≥ 【加固训练】f 是点集 A 到点集 B 的一个映射,且对任意(x,y)∈A,有 f(x,y)=(y-x,y+x).现对集合 A 中的点 Pn(an,bn)(n∈N*),均有 Pn+1(an+1,bn+1)=f(an,bn),点 P1 为(0,2),则|P2015P2016|= . 对任意 n∈N*恒成立,k≥ .

【解析】由题意知 P1(0,2),P2(2,2),P3(0,4),P4(4,4),P5(0,8), 根据两点间的距离公式可得, |P1P2|=2,|P2P3|=2 |P3P4|=4,|P4P5|=4 , ,
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从而|PnPn+1|=2×( 所以|P2015P2016|=2×( 答案:21008

)n-1, )2014=21008.

三、解答题(13~14 题每题 10 分,15~16 题每题 12 分,共 44 分) 13.(2014·滨州模拟)已知等差数列{an}的公差大于 0,且 a3,a5 是方程 x2-14x+45=0 的两根 , 数列 {bn} 的前 n 项的和为 Sn, 且 Sn= N*),cn=an·bn. (1)求数列{an},{bn}的通项公式. (2)求数列{cn}的最大项. 【解题提示】(1)由等差数列{an}联想到基本公式、基本量,根据公式建 立方程(组)求解即可;由 Sn= 联想 bn 与 Sn 的关系求解.(2)求数列{cn} (n ∈

的最大项,可以利用不等式,确定数列的单调性求解. 【解析】(1)因为 a3,a5 是方程 x2-14x+45=0 的两根,且数列{an}的公差 d>0, 所以 a3=5,a5=9,公差 d= 所以 an=a5+(n-5)d=2n-1. 又当 n=1 时,有 b1=S1= ,所以 b1= . =2,

当 n≥2 时,有 bn=Sn-Sn-1= (bn-1-bn), 所以 = (n≥2),

所以数列{bn}是首项 b1= ,公比 q= 的等比数列, 所以 bn=b1qn-1= . 又 b1= 也符合上式,故 bn= .

-9-

(2)由(1)知 cn=anbn= 所以 cn+1-cn= 所以 cn+1≤cn, =

,cn+1=

,

≤0,

故数列{cn}的最大项为 c1= . 14.(2014· 湖南师大附中模拟)若{an}是各项均不为零的等差数列,公差 为 d,Sn 为其前 n 项和,且满足 为数列 的前 n 项和. =S2n-1,n∈N*.数列 满足 bn= ,Tn

(1)求 an 和 Tn. (2)是否存在正整数 m,n ,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,

求出所有 m,n 的值;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)在 从而 an=2n-1,bn= 于是 Tn= + +…+ =S2n-1 中,令 n=1,2,解得 a1=1,d=2, , = .

(2)假设存在正整数 m,n(1<m<n),使得 T1,Tm,Tn 成等比数列, 则 可得 = = · , >0,

由分子为正,解得 1- <m<1+ , 由 m∈N*,m>1,得 m=2,此时 n=12, 当且仅当 m=2,n=12 时,T1,Tm,Tn 成等比数列. 【讲评建议】讲解本题时,请提醒学生注意以下几点: (1) 注意解题策略 . 本题已经定性是等差数列 , 只要求出基本量 , 取 n=1,2,回到最简单的情形即可,不需大动干戈.

- 10 -

(2)探索性问题转化为一般问题.通过假设存在,建立关系式,问题成为 常规题. (3)注意总结解题规律:双变量问题一般思路有:突出一个主元;通过一 个变量的内在约束条件,建立另一个变量的关系式(等式、不等式),进 而确定两个量. 【加固训练】(2014·上海模拟)如果存在常数 a 使得数列{an}满足:若 x 是数列{an}中的一项,则 a-x 也是数列{an}中的一项,称数列{an}是关 于常数 a 的“兑换数列”. (1)若数列:1,2,4,m(m>4)是关于 a 的“兑换数列”,求 m 和 a 的值. (2)已知项数为 n0(n0≥3)的有限等差数列{bn},其所有项的和是 B,求证: 数列{bn}是关于常数 的“兑换数列”. (3)对于一个不少于 3 项,且各项皆为正整数的递增等比数列{cn},是否 是“兑换数列”?若是,请求出常数 a 的值;否则请说明理由. 【解析】(1)因为数列:1,2,4,m(m>4)是关于 a 的“兑换数列”, 所以 a-m,a-4,a-2,a-1 也是该数列的项,且 a-m<a-4<a-2<a-1, 故 a-m=1,a-4=2,即 a=6,m=5. (2)设数列{bn}的公差为 d, 由于 a= =b1+ ,

因为数列{bn}是项数为 n0 项的有限等差数列, 若 b1≤b2≤b3≤…≤ , ,

则 a-b1≥a-b2≥a-b3≥…≥a-

即对数列{bn}中的任意一项 bi(1≤i≤n0),

- 11 -

对于 a=b1+

, ∈{bn}, ,

a-bi=b1+(n0-i)d=

同理可得,若 b1≥b2≥b3≥…≥ a-bi=b1+(n0-i)d=

∈{bn}也成立, 满足条件.

由“兑换数列”的定义可知,对于常数 a=b1+ 所以数列{bn}是关于常数 的“兑换数列”. (3)假设存在这样的等比数列{cn}, 设它的公比为 q(q>1), 因为数列{cn}为递增数列, 所以设 c1<c2<c3<…<cn, 则 a-c1>a-c2>a-c3>…>a-cn. 若数列{cn}为“兑换数列”, 则 a-ci∈{cn}(i=1,2,…), 所以 a-ci 是正整数, 故数列{cn}必为有穷数列,不妨设项数为 n 项, 则 ci+cn+1-i=a(1≤i≤n). ①若 n=3,则有 c1+c3=a,c2= , 又 =c1·c3,由此得 q=1,与 q>1 矛盾;

②若 n≥4,由 c1+cn=c2+cn-1, 得 c1-c1q+c1qn-1-c1qn-2=0, 即(q-1)(1-qn-2)=0,故 q=1,与 q>1 矛盾. 综合①②得,满足条件的等比数列{cn}不是“兑换数列”.

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15.(2014· 稽阳模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=1,S9=45. 数列{bn}满足 bn= . (1)求数列{an}的通项公式 an. (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:- ≤Tn≤-1. 【解析】(1)由于 故 故等差数列的公差 d=2,a1=-3, 故数列{an}的通项公式为 an=2n-5. (2)由于 bn= ,则 两式相减即得 = +2 = +2× 从而 Tn=-1由于 Tn+1-Tn= =+ = = . , =- ,

故当 n≥2 时 Tn+1>Tn,从而 T1>T2,T2<T3,T3<T4,…, 从而 T2≤Tn≤-1,即- ≤Tn≤-1. 16. 已 知 向 量 a=(x2+1,-x),b=(1,2 f(x)=a·b,设 f(x)在(0,+∞)上取最小值时的自变量 x 取值为 an.
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)(n 为 正 整 数 ), 函 数

(1)求数列{an}的通项公式. (2)若数列{bn},对任意 n∈N*,都有 bn·(4 项和,求 Sn. (3)在点列 A1(1,a1),A2(2,a2),?,An(n,an),?中是否存在两点 Ai,Aj(i,j 为正整数)使直线 AiAj 的斜率为 1?若存在,则求出所有的数对(i,j);若 不存在,请你写出理由. 【解析】(1)f(x)=a·b=(x2+1,-x)·(1,2 抛物线的顶点横坐标为 x= 在(0,+≦)上,当 x= 所以 an= (2)bn= Sn= + = . = +…+ = . . >0,开口向上, 时函数取得最小值, )=x2-2x +1. -5)=1 成立,Sn 为{bn}的前 n

(3)不存在符合条件的 Ai,Aj,理由: 任取 Ai,Aj(i,j∈N*,i≠j), 设 AiAj 所在直线的斜率为 kij, 则 kij= = = = <1.

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