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山东省潍坊市2013届高三一模理科数学试题


2013 年高考模拟考试
数 学(理工农医类) 2013.3 本试卷共 4 页,分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时 间 120 分钟.
第 1 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 1 2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的. 1.复数 z ? 【答案

】B 【解析】 z ? 只

3?i 的共轭复数 z ? 1? i (A) 1 ? 2i (B) 1 ? 2i

(C) 2 ? i

(D) 2 ? i

3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i ,所以 z ? 1 ? 2i ,选 B. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

x 2.设集合 A ? x | 2 ? 4 ,集合 B 为函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域,则 A ? B ?

?

?

(A) ?1, 2 ? 【答案】D 【解析】 A?

(B) ?1, 2?

(C)[1,2)

(D) (1,2]

? x| 2

x

? ? ? { x ? 2 } 由 x ? 1 ? 0 得 x ? 1 , 即 B ? { x x 1}, 所 以 4 x , ?

A ? B? { x1 ? x? 2,所以选 D. } 3.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ∥平面 ? ,则“ ? / / ? ”是“ l ? m ”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】当 ? / / ? 时,由 l ? 平面 ? 得,l ? ? ,又直线 m ∥平面 ? ,所以 l ? m 。若 l ? m , 则推不出 ? / / ? ,所以“ ? / / ? ”是“ l ? m ”的充分不必要条件,选 A. 4.设随机变量 X ~ N (3,1),若 P( X ? 4) ? p , ,则 P(2<X<4)= ( A)

1 ?p 2
】 因

( B)l—p 为

(C)l-2p

(D)

1 ?p 2
P(2<X<4)=

【答案】C 【 解 析

P(

? X

4 ?)

P

(? X

2 ) ,? 所 p 以

1 ? P( X ? 4) ? P( X ? 2) ? 1 ? 2 p ,选 C.
5.设曲线 y ? sin x 上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为 g ( x) ,则函数 y ? x2 g ( x) 的部分图象可以 为.

【答案】C 【解析】 y ' ? cos x ,即 g ( x) ? cos x ,所以 y ? x g ( x) ? x cos x ,为偶函数,图象关于 y 轴
2 2

对称,所以排除 A,B.当 y ? x cos x ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?
2

?
2

? k? , k ? Z ,即函数过原点,所

以选 C.
-1-

6.运行右面框图输出的 S 是 254,则①应为 (A) n ≤5 (B) n ≤6 (C) n ≤7 (D) n ≤8 【答案】C 【解析】本程序计算的是

2(1 ? 2n ) S ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? 2n?1 ? 2 ,由 2n?1 ? 2 ? 254 , 1? 2 n?1 得 2 ? 256 ,解得 n ? 7 。此时 n ? 1 ? 8 ,不满足条件,输出, 所以①应为 n ? 7 ,选 C. 7.若不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? k ?1 对任意的 x ? R 恒成恒成立, 则实数 k 的取值范围
2 n

(A) (-2,4) 【答案】B

(B)

(0,2)

(C) [2,4]

(D) [0,2]

【解析】因为 x ? 2 ? x ? 3 的最小值是 1,所以要使不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? k ?1 对任意的

x ? R 恒成恒成立,则有 1 ? k ?1 ,即 ?1 ? k ? 1 ? 1,所以 0 ? k ? 2 ,即实数 k 的取值范围

(0, 2) ,选 B.
8.某车队准备从甲、乙等 7 辆车中选派 4 辆参加救援物资的运输工作,并按出发顺序前后排 成一队,要求甲、乙至少有一辆参加,且若甲、乙同时参加,则它们出发时不能相邻,那 么不同排法种数为 (A)360 (B)520 (C)600 (D)720 【答案】C
1 2 4 2 2 2 【解析】若甲乙只有一个参加,则有 C2C5 A4 ? 480 .若甲、乙同时参加,则有 C5 A2 A3 ? 120 ,

所以共有 600 种排法,选 C. 9. 定义

a1 a 2 a3 a 4

? a1a4 ? a2 a3 , 若函数 f ( x) ?

sin 2 x 1

cos2x 3

, 则将 f ( x ) 的图象向右平移

? 3

个单位所得曲线的一条对称轴的方程是 (A) x ? 【答案】A 【解析】 由定义可知,f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? 个单位得到 y ? 2sin[2( x ?

?
6

(B) x ?

?
4

(C) x ?

?
2

(D) x ? ?

?
6

) , f ( x) 的图象向右平移 将

? 5? 5? ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ) ,由 2 x ? ? ? k? , k ? Z 得对称轴 3 6 6 6 2 2? k? 2? ? ? ? , k ? Z ,当 k ? ?1 时,对称轴为 x ? ? ? ,选 A. 为x? 3 2 3 2 6
10.已知 ? , ? ? (0, (A)

?

? 3

?

2

) ,满足 tan(? ? ? ) ? 4 tan ? ,则 tan ? 的最大值是
(B)

1 4

3 4

(C)

3 2 4

(D)

3 2

【答案】B 【解析】由 tan(? ? ? ) ? 4 tan ?

tan ? ? tan ? 3 tan? ? 4 tan ? ,得 tan? ? ,因为 2 1 ? tan ? tan ? 1 ? 4 tan ?

-2-

? ? ? (0, ) ,所以 tan ? ? 0 。所以 tan ? ?
2

3 1 ? 4 tan ? tan ?

? 2

3 1 ? 4 tan ? tan ?

?

3 ,当且 4

仅当

1 1 3 1 ? 4 tan ? ,即 tan 2 ? ? , tan ? ? 时,取等号,所以 tan ? 的最大值是 ,所 4 2 4 tan ?

以选 B. 11.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 与双曲

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准 4 5 线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上且 AK ? 2 AF ,则 A 点的横坐标为
(B)3 (C) 2 3 (D)4

(A) 2 2 【答案】B

p p p , 0) ,准线为 x ? ? 。双曲线的右焦点为 (3, 0) ,所以 ? 3 , 2 2 2 2 即 p ? 6 ,即 y ? 6 x 。过 F 做准线的垂线,垂足为 M,则 AK ? 2 AF ? 2 AM ,即
【解析】抛物线的焦点为 (

KM ? AM ,设 A( x, y) ,则 y ? x ? 3 代入 y 2 ? 6x ,解得 x ? 3 。选 B.
12.已知 f ( x) ? a( x ? 2a)( x ? a ? 3), g ( x) ? 2? x ? 2 ,同时满足以下两个条件: ① ?x ? R, f ( x) ? 0或g ( x) ? 0 ; ② ?x ? (1, ??),f ( x) ? g ( x) ? 0 成立, 则实数 a 的取值范围是 (A) ( ?4, ) (C) (?4, ?1) ? (?1,0)

1 2

1 , 0) 2 1 1 (D) (?4, ?2) ? (? , ) 2 2
(B) (??, ?4) ? (?

【答案】C 【解析】由 g ( x) ? 0 ? x ? ?1 ,要使对于任意 x?R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立,则 x ? ?1 时,

f ( x) ? a( x ? 2a)( x ? a ? 3) ? 0 恒成立,故 a ? 0 ,且两根 ?2a 与 a ? 3 均比 ?1 大,得 ?4 ? a ? 0 ①. 因为 x ? (1, ??) )时, g ( x) ? 0 ,故应存在 x0 ? (1, ??) ,使 f(x0)>0, 1 只要 1 ? ?2a 或 1 ? a ? 3 即可,所以 a ? ? 或 a ? ?2 ②,由①、②求交,得 2 1 1 ?4 ? a ? ?2或 ? ? a ? 0 ,即实数 a 的取值范围是 (?4, ?2) ? (? , 0) ,选 C. 2 2

第Ⅱ卷
13.已知双曲线

(非选择题共 90 分)


二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 1 6 分.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a 2 b2


曲线的离心率等于 【答案】 5 【解析】 双曲线的渐近线为 y ? ?

b 1 b x。 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的斜率为 y ? ? 。 因为 y ? x 与 a 2 a b 1 2 2 2 2 直 线 x ? 2 y ? 1? 0 垂 直 , 所 以 ? ( ? ) ? ?1, 即 b ? 2a 。 所 以 c ? a ? b ?5 a , 即 a 2

-3-

e2 ? 5, e ? 5 。
14.已知一圆柱内接于球 O,且圆柱的底面直径与母线长均为 2,则球为 O 的表面积为 【答案】 8? 。

【解析】圆柱的底面直径与母线长均为 2,所以球的直径 22 ? 22 ? 8 ? 2 2 ,即球半径为 15.在区间 ? 0, 4? 内随机取两个数 a、b, 则使得函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b2 有零点的概率 为 。

2 ,所以球的表面积为 4? ? ( 2)2 ? 8? 。

1 【答案】 4
【 解 析 】 函 数 有 零 点 , 则 ? ? a ? 4b ? 0 , 即
2 2

?0 ? a ? 4 ,做出对应的平面区域 2 ?) 0? b 。又 ?0 ? b ? 4 1 b 为, a ? 4 时, ? 2 , 当 即三角形 OBC 的面积为 ? 4 ? 2 ? 4 , 2 2 2 所以由几何概型可知函数 f ( x) ? x ? ax ? b 有零点的概率 4 1 ? 。 为 4? 4 4
(a ? 2b ) a? (
16.现有一根 n 节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为 10cm, 最下面的三节长度之和为 114cm,第 6 节的长度是首节与末节长度的等比中 项,则 n= 。 【答案】16 【解析】 设对应的数列为 {an } , 公差为 d ,(d ? 0) 。 由题意知 a1 ? 10 ,an ? an?1 ? an?2 ? 114 ,

a62 ? a1an 。 由 an ? an?1 ? an?2 ? 114 得 3an?1 ? 114 , 解 得 an?1 ? 38 , 即
2 ? 即 ? 1 3 得 (a1 ? 5d )? 1a ? (a1 ? ,d ) ( 1? 0d 2 5 ) ? d 0,( 解 8 d ) 2 , 所 以 n an?1 ? a1 ? (n ? 2)d ? 38 ,即 10 ? 2(n ? 2) ? 38 ,解得 n ? 16 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin

?x ??
2

cos

?x ??
2

? sin 2

?x ??
2

(? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) .其图象的

两个相邻对称中心的距离为

? ? ,且过点 ( ,1) . 3 2

(I) 函数 f ( x ) 的达式; (Ⅱ)在△ABC 中.a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a ? 5 , S?ABC ? 2 5 ,角 C 为锐角。且满 f (

C ? 7 ? ) ? ,求 c 的值. 2 12 6

1 8. (本小题满分 12 分) 某电视台举办有奖竞答活动,活动规则如下:①每人最多答 4 个小题;②答题过程中, 若答对则继续答题,答错则停止答题;③答对每个小题可得 1 0 分,答错得 0 分.甲、乙两 人参加了此次竞答活动,且相互之间没有影响.已知甲答对每个题的概率为

1 ,乙答对每个 3

-4-

题的概为

2 . 3

( I )设甲的最后得分为 X,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙最后得分之和为 20 分的概率.

1 9. (本小题满分 1 2 分) 如图,四边形 ABCD 中, AB ? AD ,AD∥BC,AD =6,BC =4,AB =2,点 E,F 分别在 BC,AD 上,且 E 为 BC 中点,EF∥AB。现将四边形 ABEF 沿 EF 折起, 使二面角 A ? EF ? D 等于 60 . ( I )设这 P 为 AD 的中点, 求证: CP∥平面 ABEF; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ACD 所成角的正弦值.
?

20. (本小题满分 12 分)

一行的第一个数 a1 , a2 , a4 , a7 ,??? 构成等差数列 ?bn ? , Sn 是 ?bn ? 的前 n 项和,且 b1 ? a1 ? 1, S5 ? 15

已知数列 ?an ? 的各项排成如图所示的三角形数阵, 数阵中每

o, ‘

( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均 构成公比为正数的等比数列,且公比相等,已知 a9 ? 16 ,求 a50 的值; ( Ⅱ ) 设 Tn ?

1 1 1 ? , 当 m?? ?1, 1 时 , 对 任 意 n ? N , 不 等 式 ? ? ??? ? ? Sn?1 Sn ? 2 S2 n

8 t 2 ? 2mt ? ? Tn 恒成立,求 t 的取值范围. 3
21. (本小题满分 12 分) 如图,已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0,2),与 x 轴正半轴 相交于两点 M,N(点 M 必在点 N 的右侧) ,且 MN ? 3 椭圆 D:

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距等于 2 ON ,且过点 ( 2, ) 2 a b 2
( I ) 求圆 C 和椭圆 D 的方程; (Ⅱ) 设椭圆 D 与 x 轴负半轴的交点为 P,若过点 M 的动直 线 l 与椭圆 D 交于 A、B 两点, ?ANM ? ?BNP 是否恒成立?给出你的判断并说明理由. 22. (本小题满分 14 分)

1 3 mx ? (4 ? m) x 2 , g ( x) ? a ln( x ? 1) ,其中 a ? 0 . 3 3 ( I )若函数 y ? g ( x) 图象恒过定点 P,且点 P 关于直线 x ? 的对称点在 y ? f ( x) 的图 2
设函数 f ( x) ? 象上,求 m 的值; (Ⅱ)当 a ? 8 时,设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x ? 1) ,讨论 F ( x) 的单调性; (Ⅲ)在(I)的条件下,设 G( x) ? ?

? f ( x), x ? 2 ,曲线 y ? G ( x) 上是否存在两点 P、Q, ? g ( x), x ? 2

使△OPQ(O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在 y 轴上?如果存在,求 a 的取值范围;如果不存在,说明理由.

-5-

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