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《指数函数及其性质》二课件第二课时

时间:2013-10-27


1.指数函数:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做 指数函数其中x是自变量,函数定义域是R. 2.指数函数的图象和性质:
a >1 y 图 象
y=1
(0,1)

0< a <1 y
(0,1)

y=1

o x x ( 1.定义域: ?? , ??

) 性 2.值域: ( 0 , ? ? ) 3.过点 ( 0 , 1 ) ,即x = 0 时,y = 1 质 4.在R上是 增 函数 在R上是 减 函数 o
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y ? ( 1 )x 10

y y ? 10

x

1 )x y?( 3 1 )x y?( 2

y?3 y?2

x

在第一象 限里,图象从 低到高,底数 逐渐变大.

x

o
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x

【3】在同一坐标系下,函数y=ax,y=bx, y=cx, y=d x的图象如下图,则a, b, c, d, 1之间 从小到大的顺序是__________________. b ? a ?1? d ? c y x x y ?b y ?c
y ?a
x

y?d

x

o

x
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【4】指数函数 不等式 0 ? n ? m ? 1 ,则它们的图象是 ( D ). y
y
① ②

①f ( x ) ?

m x , ②g( x ) ? n x ,满足
② ①

A.
o
② ①

B.
x
y
① ②

o
y

x

C.
o x

D.
o x

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图像过定点问题
由于函数y=ax(a>0,且a≠1)恒经过定点 (0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一 些丰富多彩的定点问题

例2.函数y=ax-3+2(a>0,且a≠1)必经 过哪个定点? (3, 3)

点评:函数y=ax-3+2的图象恒过定点(3,3),实 际上就是将定点(0,1)向右平移3个单位,向上平 移2个单位得到.
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2.图像过定点问题
【1】函数y=ax+5-1(a>0,且a≠1)必经 过哪个定点? (?5,0)

【2】函数 y ? a b=____. 1

x ?b

? 2 恒过定点(1,3)则

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例题3:求下列函数的定义域和值域
(1) y ? 3
x?2



?1 (2) y ? ? 2 ? . ? ?

1 ?x

解:(1)由 x ? 2 有意义,得x-2≥0即x ≥2,

∴原函数定义域为{x | x ≥2 } .
(2)由
1 x

值域

【 ,??) 1

有意义,得x≠0,

∴原函数定义域为{x | x ∈R且x≠0}.
值域{y | y >0且y≠1}.
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探究点3

指数函数在解题中的应用

例2.将下列各数值按从小到大的顺序排列

4 1 2 3 3 1 5 0 ( ) 3 , (? ) , ( ) 2 , ( ) . 3 3 4 6
分析:根据指数函数的性质,指数幂的运算法则进行,

注意采用中间值0和1进行比较。

2 3 解:( ? ) ? 0; 3

3 1 0 ? ( ) 2 ? 1; 4
1 2

5 0 ( ) ? 1; 6
1 3

4 1 ( ) 3 ? 1. 3

所以, (? 2 )3 ? ( 3 ) ? ( 5 ) 0 ? ( 4 ) .

3

4

6

3

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注意与1的

比较下列各数的大小:

比较!

1, 0.4
0

?2.5

, , . 2 2.5
1.6

?0.2

答案: 2?0.2 ? 10 ? 2.51.6 ? 0.4?2.5.

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例3.解下列不等式:

(1) 2 ? 4
x

x ?1
2x ? 4

(2) a

3x ?1

?a

(a ? 0, 且a ? 1)

分析:根据指数函数的单调性把指数不等式转化为代数 不等式.

解:(1)由 2 x ? 4 x ?1 ,得
根据指数函数的单调性得 解这个不等式得

2 x ? 22 x ? 2 ,

x ? 2 x ? 2.

x ? ?2.
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(2)当0<a<1时,根据指数函数的单调性得不等式 3x-1≥2x-4 解这个不等式得x≥-3.

当a>1时,根据指数函数的单调性得不等式3x-1≤2x-4 解这个不等式得x≤-3. 所以,当0<a<1时,不等式的解是x≥-3;
当a>1时,不等式的解是x≤-3. 主页

1.如果指数函数 f ( x) ? (a ? 1) x 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ( A. a ? 2
b

C

)

B. a ? 2
a

C.1 ? a ? 2 )

D. 0 ? a ? 1

2.

1 1 1 设 ? ? ? ? ? ? ? 1 .则有( D ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3?

A. 0 ? b ? a ? 1

B. a ? b ? 1

C.1 ? a ? b
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D. 0 ? a ? b ? 1

3.(2012·湘潭高一检测)解方程 4 解: ? 4 x

x

?2

x2 ?1

.

?2

2x

?2

x 2 ?1

? 2x ? x2 ? 1
解方程得x=1

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除了人格以外,人生最大的损失,莫

过于失掉自信心了。

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【3】已知函数 f(x)是奇函数,且当x > 0时 ,f(x)=2x+1,求当x<0时,f(x)的解析式.
f ( x ) ? 2 x ?1 , 解:因为当 x>0 时,

∴当 x <0时,-x >0, ? x ?1 ? f (? x ) ? 2 . 又因为f(x)是奇函数, ∴ f(-x)=-f(x). ? x ?1 ? ? f ( x) ? 2 , f ( x ) ? ?2? x?1 . 即

y

2

o -2
- x ?1

x

所以当x<0时, f ( x ) ? ?2
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.

4.单调性与奇偶性问题

例4.设a是实数, f ( x ) ? a ?

对于任意 a, f(x)为增函数; 证明:任取x1,x2 ,且 x1 ? x2 . 2 ? 2 f(x1)-f(x2)= x x

2 . (1)试证明 x 2 ?1

2 2 ?1 2 1 ?1 x1 x2 2 ? (2 x1 ? 2 x2 ) ? ? 2 ? 2 ? 2x1 2 ? x2 . x2 x1 (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1)

∵ y=2x在R上是增函数,且x1<x2 , ? 2 x1 ? 2 x2 , x1 x2 x1 x2 即2 ? 2 ? 0. 又2 ? 1 ? 0, 2 ? 1 ? 0, ∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)< f(x2 为增函数. 故 对于a 取任意实数,f(x)).
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例4.设a是实数, f ( x ) ? a ?

的值,使f(x)为奇函数.

2 . (2)试确定a x 2 ?1

解:若 f ( x ) 为奇函数,则 f(-x )=-f (x),

即a?

2 ? ? ( a ? x 2 ), ?x 2 ?1 2 ?1 x ? 2a ? 2 ? 2 x ? x 2 1? 2 2 ?1 x ? 2 ? 2 ? 2 ? 2. x 1? 2
利用 f(0)= 0
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∴ a= 1.

为奇函数,则a=__, b=_____. 2 1

-2 x ? b 【1】已知定义域为R的函数 f ( x ) ? x ?1 2 ?a

f (0) ? 0 ? b ? 1; f (?1) ? ? f (1) ? a ? 2.

e x ? a 在R上为偶函数 【2】设a>0, f ( x ) ? a ex

,(1)求a, (2)证明函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.
1 - 1) ? e x1 (e x1 - x2 -1) ? 1- e x1 ? x2 f ( x1 ) - f ( x2 ) ? (e - e )( x1 ? x2 x1 ? x2 e e
x1 x2

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指数形式的复合函数的单调性(奇偶性)

并求其值域. 解: 任取x1,x2∈(-∞,1],且x1< x2 ,

1 ) x12 ? 2 x1 , f ( x1 ) ? ( 5

1 ) x2 ?2 x , x ≤ 1 例1.讨论函数 f ( x ) ? ( 5 的单调性,

1 ) x2 2 ? 2 x 2 , f (x 2) ? ( 5

∵f(x1)>0, f(x2)>0,
f ( x2 ) 1 x22 ? 2 x2 ? x1 2 ? 2 x1 ? ?( ) f ( x1 ) 5 ? ( 1 )( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2) . 5
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并求其值域. ∵ x1<x2≤1, ∴ x2-x1>0, x1+x2-2<0.
f ( x2 ) ? ? 1, f ( x1 )

1 ) x2 ?2 x , x ≤ 1 例4.讨论函数 f ( x ) ? ( 5 的单调性,

1 )( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2) ? ( 1 )0 此时 (x2-x1)(x1+x2-2)<0. ? ( 5 5



f ( x2 ) ? f ( x1 ).

所以 f( x ) 在 (-∞,1]上为增函数. 又 x2 - 2x =(x -1)2 -1≥-1,
1 ) x 2 ? 2 x ≤ ( 1 ) ?1 ? 5, ?0 ? ( 5 5

所以函数的值域是(0,5].
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1.指数形式的复合函数的单调性(奇偶性)

值域. 证明:函数的定义域为R,
? f ( ? x ) ? 10? x ? 1 10 ? 1 x ?x 10 (10 ? 1) ? x ?x 10 (10 ? 1) 1 ? 10 x ? x 1 ? 10 ? ? f ( x ).
?x

10 x ? 1 例2.求证函数 f ( x ) ? x 是奇函数,并求其 10 ? 1

所以f(x)在R上是奇函数.
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1.指数形式的复合函数的单调性(奇偶性) 值域.
10 x ? 1 例2.求证函数 f ( x ) ? x 是奇函数,并求其 10 ? 1

10 x ? 1 解: ? f ( x ) ? x 10 ? 1 (10 x ? 1) ? 2 ? 1? 2 x . ? 1 ? 10 10 x ? 1

1 ? 1. x 1 ? 10 ??2 ? ? 2 x ? 0. ??1 ? 1 ? 2 ? 1. x 1 ? 10 1 ? 10 所以函数f(x)的值域为(-1,1).

?10 x ? 0,?1 ? 10 x ? 1. ? 0 ?

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y

y ? 2x

y ? 2 x ?1

y ? 2 x?2
y ?1

x ①将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位 长度,就得到函数y=2x+1的图象; ②将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位 长度,就得到函数y=2x-2的图象.
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o

【1】若函数f(x) = 3x 2,把图象向右平移 1 个 单位,则得到函数 ____________ 的图象; y=3(x-1)2

若把函数 f ( x ) 的图象向左平移2 个单位, y=3(x+2)2 则得到函数 ____________ 的图象; 若把函数 f ( x ) 的图象向下平移 3 个单位, y=3x2-3 则得到函数 _________ 的图象; 若把函数 f ( x ) 的图象向上平移 4 个单位, y=3x2+4 则得到函数 _________ 的图象.
规律:左加右减;上加下减
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【2】函数y=f(x+1)+1的图象可由函数y=f(x) 的图象经过下述哪种变换得到.…………( A ) (A)向左平移一个单位,再向上平移一个单位; (B)向左平移一个单位,再向下平移一个单位; (C)向右平移一个单位,再向上平移一个单位; (D)向右平移一个单位,再向下平移一个单位;
?函数图象的平移变换规律: (1)y=f(x) ?y=f(x+a) 左右平移 (2)y=f(x) ?y=f(x)+k 上下平移
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【3】若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经 过第二、三、四象限,则一定有……( C ).

A. 0 ? a ? 1, 且 b ? 0 C. 0 ? a ? 1, 且 b ? 0 B. a ? 1, 且 b ? 0 D. a ? 1, 且 b ? 0
? 0 ? a ? 1, ?? ?1 ? b ? 1 ? 0,
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y

o

x

y ? ( 1 ) x 作出函数图象,求定义域、 例1. 已知函数 2 y ? ( 1 )| x| 的关系. 值域,并探讨与图象 2

? ( 1 ) , x ≥ 0, ? 2 解:y ? ? ? 2 x , x ? 0. ?
x

y

1

o

x

y ? ( 1 ) x 在y轴右侧的图象,该部分翻 保留 2

折到y轴的左侧,这个关于y轴对称的图形就是
y ? ( 1 )| x| 的图象. 2

所以,定义域为R,值域为(0,1].
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y ? ( 1 )| x ?1| 【3】作出函数 2

的图像,求定义域、值域.

1 ) x ?1 解:y ? ( 2

? ( 1 ) x ?1 , x ≥ 1, ? 2 ?? ? 2 x ?1 , x ? 1. ?

y
1

o 定义域:R,值域:(0,1].
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1

x

说出下列函数的图象与指数函数 y=2x 的 图象的关系,并画出它们的示意图.

(1) y ? 2
y

?x

(2) y ? ?2

x

(3) y ? ?2
y

?x

(x,y)和(-x,-y)关 y 于原点对称!

o

x

o

x

o

x

(x,y)和(x,y)关于y轴对 称!

(x,y)和(x,-y)关 于x轴对称!
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(1) y ? 2
y
(0,1)

?x

(2) y ? ?2
y
(0,1)

x

(3) y ? ?2
y
(0,1)

?x

o

x

o

x

o

x

(1) y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 对称;

(2) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴 对称;
(3) y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 对称.
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分别在同一坐标系中作出下列各组函数 的图象,并说明它们之间有什么关系? x | x| y (4) y ? 2 与 y ? 2

o

x

由 y=f(x) 的图象作 y=f(|x|) 的图象:保留 y=f(x)中y轴右侧部分,再加上这部分关于y轴对称 的图形.
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