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时间:2010-07-01


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高中数学竞赛系列讲座——数列(等差数列与等比数列) 高中数学竞赛系列讲座——数列(等差数列与等比数列) ——数列
数列是高中数学中的一个重要课题,也是数学竞赛中经常出现的问题.数列中 最基本的是等差数列与等比数列. 所谓数列,就是按一定次序排列的一列数.如果数列{an}的第 n 项 an 与项数 (下标)n 之间的函数关系可以用一个公式 an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式. * 从函数角度看,数列可以看作是一个定义域为正整数集 N (或它的有限子集 {1,2,…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的 通项公式也就是相应函数的解析式. 为了解数列竞赛题,首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义,性质 有关公式,把握它们之间的(同构)关系. 一, 等差数列 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个 数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母 d 表示. 等差数列{an}的通项公式为: an=a1+(n-1)d (1) 前 n 项和公式为: (2) 从(1)式可以看出,an 是 n 的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排 在一条直线上, 由(2)式知, 是 n 的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0, Sn a1≠0), 且常数项为 0. 在等差数列{an}中,等差中项: , 且任意两项 am,an 的关系为: an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 从等差数列的定义,通项公式,前 n 项和公式还可推出: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则有 am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等. 二, 等比数列 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个 数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示. 等比数列{an}的通项公式是: an=a1qn-1 前 n 项和公式是:

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在等比数列中,等比中项: , n-m 且任意两项 am,an 的关系为 an=amq 如果等比数列的公比 q 满足 0<∣q∣<1,这个数列就叫做无穷递缩等比数 列,它的各 项的和(又叫所有项的和)的公式为: 从等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式可以推出: a1an=a2an-1=a3an-2=…=akan-k+1,k∈{1,2,…,n} 若 m,n,p,q∈N*,则有: apaq=aman, 记 πn=a1a2…an,则有 2n-1 2n+1 π2n-1=(an) ,π2n+1=(an+1) 另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列; 反之,以任一个正数 C 为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂 Can,则{Can} 是等比数列.在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是"同构" 的. 重要的不仅是两类基本数列的定义,性质,公式;而且蕴含于求和过程当中 的数学思想方法和数学智慧,也是极其珍贵的,诸如"倒排相加"(等差数列), "错位相减"(等比数列). 数列中主要有两大类问题, 一是求数列的通项公式, 二是求数列的前 n 项和. 三, 范例 例 1.设 ap,aq,am,an 是等比数列{an}中的第 p,q,m,n 项,若 p+q=m+n, 求证:apoaq=amoan 证明:设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则 ap=a1qp-1,aq=a1qq-1,am=a1qm-1,an=a1qn-1 所以: apaq=a12qp+q-2,aman=a12qm+n-2, 故:apaq=am+an 说明:这个例题是等比数列的一个重要性质,它在解题中常常会用到.它说 明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积, 即: a1+kan-k=a1an 对于等差数列,同样有:在等差数列{an}中,距离两端等这的两项之和等于 首末两项之和.即: a1+k+an-k=a1+an 例 2.在等差数列{an}中,a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a9-a10= A.20 B.22 C.24 D28 解:由 a4+a12=2a8,a6+a10 =2a8 及已知或得 5a8=120,a8=24 而 2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24. 故选 C 例 3.已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+…+a101=0,则有( ) A.a1+a101>0 B. a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=51
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[2000 年北京春季高考理工类第(13)题] 解:显然,a1+a2+a3+…+a101

故 a1+a101=0,从而 a2+a100=a3+a99=a1+a101=0,选 C 例 4.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项之各,S9=18,an-4=30(n>9),Sn=336, 则 n 为( ) A.16 B.21 C.9 D8 解 : 由 于 S9=9×a5=18 , 故 a5=2 , 所 以 a5+an-4=a1+an=2+30=32 , 而 ,故 n=21 选 B * 例 5. 设等差数列{an}满足 3a8=5a13, a1>0,n 为其前 n 项之和, Sn(n∈N ) 且 S 则 中最大的是( ). (1995 年全国高中联赛第 1 题) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 解:∵3a8=5a13 ∴3(a1+7d)=5(a1+12d) 故 令 an≥0→n≤20;当 n>20 时 an<0 ∴S19=S20 最大,选(C) 注:也可用二次函数求最值 例 6.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和 为 972,则这样的数列共有( ) (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 [1997 年全国高中数学联赛第 3 题] 解:设等差数列首项为 a,公差为 d,则依题意有( ) 即[2a+(n-1)d]on=2×97 (*) 因为 n 是不小于 3 的自然数,97 为素数,故数 n 的值必为 2×972 的约数(因 2 2 数),它只能是 97,2×97,97 ,2×97 四者之一. 若 d>0, d≥1 由(*)式知 2×972≥n(n-1)d≥n(n-1)故只可能有 n=97, 则 (*) 式化为:a+48d=97,这时(*)有两组解:
2

若 d=0,则(*)式化为:an=972,这时(*)也有两组解.

故符今题设条件的等差数列共 4 个,分别为: 49,50,51,…,145,(共 97 项) 1,3,5,…,193,(共 97 项) 97,97,97,…,97,(共 97 项) 1,1,1,…,1(共 972=9409 项)
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故选(C) 例 7.将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按第 n 组有(2n-1)个奇数进行 分组: {1}, {3,5,7},{9,11,13,15,17},… (第一组) (第二组) (第三组) 则 1991 位于第 组中. [1991 年全国高中数学联赛第 3 题] 解:依题意,前 n 组中共有奇数 1+3+5+…+(2n-1)=n2 个 而 1991=2×996-1,它是第 996 个正奇数. 2 2 ∵31 =961<996<1024=32 ∴1991 应在第 31+1=32 组中. 故填 32 例 8.一个正数,若其小数部分,整数部分和其自身成等比数列,则该数 . 为 [1989 年全国高中联赛试题第 4 题] 解:设该数为 x,则其整数部分为[x],小数部分为 x-[x],由已知得: x(x-[x]=[x]2 其中[x]>0,0<x-[x]<1,解得:

由 0<x-[x]<1 知, ∴[x]=1, 故应填 例 9.等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 积,则 πn(n∈N*)最大的是( ) (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 [1996 年全国高中数学联赛试题] 解:等比数列{an}的通项公式为 和 因为 故 π12 最大. 选(C) 例 10.设 x≠y,且两数列 x,a1,a2,a3,y 和 b1,x,b2,b3,y,b4 均为等 ,用 πn 表示它的前 n 项之

,前 n 项

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差数列,那么 = . [1988 年全国高中联赛试题] 解:依题意,有 y-x=4(a2-a1) ∴ 又 y-x=3(b3-b2) ∴ ∴ 例 11. x,y,Z 是实数, 设 3x,4y,5z 成等比数列, 且 的值是 .[1992 年全国高中数学联赛试题] 解:因为 3x,4y,5z 成等比数列,所以有 2 2 3x5z=(4y) 即 16y =15xz ① 又∵ 成等差数列,所以有 即 成等差数列, 则 ;



将②代入①得: ∵x≠0,y≠0,z≠0 ∴64xz=15(x2+2xz+z2) ∴15(x2+z2)=34xz ∴ 例 12.已知集合 M={x,xy,lg(xy)}及 N={0,∣x∣,y} 并且 M=N,那么 的值等于 . 解: M=N 知 M 中应有一元素为 0, 由 任由 lg(xy)有意义知 xy≠0, 从而 x≠0, 且 y≠0,故只有 lg(xy)=0, xy=1,M={x,1,0};若 y=1,则 x=1,M=N={0,1, 1}与集合中元素互异性相连,故 y≠1,从而∣x∣=1,x=±1;由 x=1 y=1(含), 由 x=-1 y=-1,M=N={0,1,-1} 此时, 从而 注 : 数 列 x , x2 , x3 , … , x2001 ; 以 及

在 x=y=-1 的条件下都是周期为 2 的循环数列, 2n-1=-2, 2n=0, 2001 并不可怕. S S 故 例 13.已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1)且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则 满足不等式( ) ∣Sn-n-6∣<
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的最小整数 n 是( )

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(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解:[1994 年全国高中数学联赛试题] 由 3an+1+an=4(n≥1) 3an+1-3=1-an

故数列{an-1}是以 8 为首项,以

为公比的等比数列,所以

当 n=7 时满足要求,故选(C) [注]:数列{an}既不是等差数列,也不是等比数列,而是由两个项数相等的 的对应项的和构成的 等差数列:1,1,…,1 和等比数列: 数列,故其前 n 项和 Sn 可转化为相应的两个已知数列的和,这里,观察通项结 构,利用化归思想把未知转化为已知. 例 14 . 设 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn=2an-1(n=1,2,…) , 数 列 {bn} 满 足 b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,…)求数列{bn}的前 n 项和. [1996 年全国高中数学联赛第二试第一题] 解:由 Sn=2an-1,令 n=1,得 S1=a1=2a1-1,∴a1=1 ① 又 Sn=2an-1 ② Sn-1=2an-1-1 ③ ②-③得:Sn-sn-1=2an-2an-1 ∴an=2an-2an-1 故 ∴数列{an}是以 a1=1 为首项,以 q=2 为公比的等比数列,故 an=2n-1 ④ 由 ∴ ⑤ 以上诸式相加,得

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注:本题综合应用了 a1-s1,a3=Sn-Sn-1(n≥2)以及等差数列,等比数列求和公 式以及叠加等方法,从基本知识出发,解决了较为复杂的问题.选准突破口,发 现化归途径,源于对基础知识的深刻理念及其联系的把握. 例 15.n2 个正数排成 n 行 n 列 a11,a12,a13,a14,…,a1n a21,a22,a23,a24,…,a2n a31,a32,a33,a34,…,a3n a41,a42,a43,a44,…,a4n an1,an2,an3,an4,…,ann. 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等. 已知 [1990 年全国高中数学联赛第一试第四题] 解:设第一行数列公差为 d,纵行各数列公比为 q,则原 n 行 n 列数表为:

故有:

②÷③得

,代入①,②得 , 从而

④ , 因此, 对于任意 1≤k≤n,

因为表中均为正数, q>0, 故 ∴ 有

记 S=a11+a22+a33+…+ann ⑤ ⑥ ⑤-⑥得:
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即 评注:本题中求和 比数列 ,实为等差数列 an=n 与等

的对应项乘积构成的新数列的前 n 项的和, 将⑤式两边同乘以公比

,再错项相减,化归为等比数列求各.这种方法本是求等比数列前 n 项和的基 本方法,它在解决此类问题中非常有用,应予掌握.课本 P137 复习参考题三 B 组题第 6 题为:求和:S=1+2x+3x2+…+nxn-1;2003 年北京高考理工类第(16)题: 已知数列{an}是等差数列, a1=2,a1+a2+a3=12, 且 (I)求数列{an}的通项公式; (II) n 令 bn=anx (x∈R),求数列{bn}的前 n 项和公式.都贯穿了"错项相减"方法的 应用. 练习 1.给定公比为 q(q≠1)的等比数列{an},设 b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…, bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…,则数列{bn} ( ) (A)是等差数列 (B)是公比为 q 的等比数列 (C)是公比为 q3 的等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列 [1999 年全国高中数学竞赛题] 2.等差数列{an}的前 m 项的和为 30,前 2m 项的和为 100,则它的前 3m 项 的和为( ) A.130 B.170 C.210 D.260 [1996 年全国高考题] 3.等差数列{an}中,a1=2,公差不为零,且 a1,a3,a11 恰好是某等比数列的 前三项,那么该等比数列的公比的值等于 . [2002 年北京高考理工数学第 14 题] 4.已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12 (I)求数列{an}的通项公式; (II)(文)令 bn=an3n,求数列{bn}的前 n 项和的公式; (理)令 bn=anxn (x∈R),求数列{bn}的前 n 项和的公式 [2003 年北京夏季高考数学第 16 题] 5.求和: (1)S=1+2x+3x2+…+nxn-1 [《数学》教科书第一册(上)P137 复习参考题三 B 组题第 6 题] (2)求数列:1,6,27,…,n-3n-1,的前 n 项之和 Sn. 6.已知正整数 n 不超过 2000,且能表示成不少于 60 个连续正整数之和, 那么这样的 n 的个数是 [1999 年全国高中数学竞赛试题] 7.各项为实数的等差数列的公差为 4,其首项的平方与其余各项之和不超 项.[1998 年全国高中数学竞赛试题] 过 100,这样的数列至多有
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参考答案 1.(C) 2.(C) 3.4 4.(I)an=2n (II)

5.

6.6 个 7.8

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