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2014届步步高大一轮复习讲义第十章 章末检测


第十章

章末检测

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、 10 种、30 种、20 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样 的方法抽取样本,则抽取的植物油

类与果蔬类食品种数之和是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 2.(2011· 威海模拟)下图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图,则甲和乙 得分的中位数的和是( )

A.56 分 B.57 分 C.58 分 D.59 分 3. (2010· 广州一模)商场在国庆黄金周的促销活动中, 对 10 月 2 日 9 时至 14 时的销售额 进行统计,其频率分布直方图如图所示,已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为( )

A.6 万元 B.8 万元 C.10 万元 D.12 万元 4.(2011· 烟台模拟)从 2 010 名学生中选取 50 名学生参加数学竞赛,若采用下面的方法 选取:先用简单随机抽样从 2010 人中剔除 10 人,剩下的 2 000 人再按系统抽样的方法抽取 50 人,则在 2 010 人中,每人入选的概率( ) A.不全相等 B.均不相等 5 1 C.都相等,且为 D.都相等,且为 201 40 5.

某班 50 名学生在一次百米测试中, 成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间, 将测试结果按如下 方式分成六组:第一组,成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒;第二组,成绩大于等于 14 秒且小 于 15 秒;??第六组,成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒.右图是按上述分组方法得到的 频率分布直方图. 设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x, 成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 y,则从频率分布直方图中可分析出 x 和 y 分别为( )

A.0.9,35 B.0.9,45 C.0.1,35 D.0.1,45 6.(2011· 广东)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙 队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ) 1 3 A. B. 2 5 2 3 C. D. 3 4 7.

如图是根据《山东统计年鉴 2007》中的资料作成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户 家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数 字和十位数字,右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字.从图中可以得到 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为( ) A.304.6 B.303.6 C.302.6 D.301.6 8.(2011· 广州联考)为了了解高三学生的数学成绩,抽取了某班 60 名学生,将所得数据 整理后, 画出其频率分布直方图(如图), 已知从左到右各长方形高的比为 2∶3∶5∶6∶3∶1, 则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是( )

A.32 B.27 C.24 D.33 9.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据的平均 数为 10,方差为 2,则|x-y|的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回的抽取三次,球的颜色全相 同的概率是( ) 2 1 2 1 A. B. C. D. 27 9 9 27 11.掷一枚硬币,若出现正面记 1 分,出现反面记 2 分,则恰好得 3 分的概率为( ) 5 1 1 1 A. B. C. D. 8 8 4 2 12.(2010· 安徽)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四 个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( ) 3 4 5 6 A. B. C. D. 18 18 18 18 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2010· 北京)从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成 频率分布直方图(如图).由图中数据可知 a=________.若要从身高在[120,130),[130,140), [140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在[140,150] 内的学生中选取的人数应为________.

14.如图所示,墙上挂有一长为 2π,宽为 2 的矩形木板 ABCD,它的阴影部分是由函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象和直线 y=1 围成的图形.某人向此木板投镖,假设每次都能击中 木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是________.

15.(2011· 广东五校联考)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使 用血清的人与另外 500 名未用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H0:“这种血清 不能起到预防感冒的作用”,利用 2×2 列联表计算得 K2≈3.918 ,经查对临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05.对此,四名同学作出了以下的判断: p:有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”; q:若某人未使用该血清,那么他在一年中有 95%的可能性得感冒; r:这种血清预防感冒的有效率为 95%; s:这种血清预防感冒的有效率为 5%. 则下列结论中,正确结论的序号是________.(把你认为正确的命题序号都填上) ①p∧綈 q ②綈 p∧q ③(綈 p∧綈 q)∧(r∨s) ④(p∨綈 r)∧(綈 q∨s) 16.(2011· 江苏通州调研)将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列 的概率为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)(2011· 福建龙岩一中模拟)将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数之和为 5 的概率; (2)两数中至少有一个为奇数的概率; (3)以第一次向上的点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x2+y2 =15 的内部的概率.

18.(12 分)为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举行了一次“环保知识竞 赛”,共有 900 名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生 的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分 布表和频率分布直方图(如图所示),解答下列问题:

分组 50.5~60.5 60.5~70.5 70.5~80.5 80.5~90.5 90.5~100.5 合计

频数 4 10 16 50

频率 0.08 0.16 0.32

(1)填充频率分布表中的空格; (2)补全频率分布直方图; (3)若成绩在 80.5~90.5 分的学生可以获得二等奖,问获得二等奖的学生约为多少人?

19.(12 分)(2011· 安庆模拟)对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查,根据调查得 到的数据,所绘制的二维条形图如下图.

(1)根据图中数据,制作 2×2 列联表; (2)若要从更爱好文娱和从更爱好体育的学生中各选一人分别做文体活动协调人,求选出 的两人恰好是一男一女的概率; (3)是否可以认为性别与是否爱好体育有关系? 参考数据: P(K2≥k) k 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

20.(12 分)(2010· 天津)有编号为 A1,A2,?,A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm), 得到下面数据: A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 编号 A1 直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品. (1)从上述 10 个零件中,随机抽取 1 个,求这个零件为一等品的概率. (2)从一等品零件中,随机抽取 2 个: ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 个零件直径相等的概率.

21.(12 分)(2011· 苍山期末)已知关于 x 的一元二次函数,f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b,求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率; x+y-8≤0, ? ? (2)设点(a,b)是区域?x>0, 内的随机点,求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是 ? ?y>0 增函数的概率.

22.(12 分)

从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高, 测量发现被测学生身高全部 介于 155 cm 和 195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160);第二组 [160,165);…;第八组[190,195],上图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分, 已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列. (1)估计这所学校高三年级全体男生身高 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为 x、y,求满足|x-y|≤5 的事件概率.

第十章

章末检测

20 20 1 1.C [抽样比 k= = = , 40+10+30+20 100 5 1 1 ∴抽取植物油类与果蔬类食品种数之和是 10× +20× =2+4=6.] 5 5 2.B [由图可知甲的中位数为 32,乙的中位数为 25,故和为 57.] 0.4 x 3.C [由 = ,得 x=10(万元).] 0.1 2.5 4.C [从 2 010 名学生中选取 50 名学生,不论采用何种抽样方法,每名学生被抽到的 50 可能性均相同,谁被剔除或被选中都是机会均等的.所以每人入选的概率都相等,且为 2 010 5 = .] 201 5.A [x=0.02+0.18+0.34+0.36=0.9; y=(0.36+0.34)×50=35.] 1 6.D [甲队若要获得冠军,有两种情况,可以直接胜一局,获得冠军,概率为 ,也可 2 1 1 1 1 1 3 以乙队先胜一局,甲队再胜一局,概率为 × = .故甲队获得冠军的概率为 + = .] 2 2 4 4 2 4 7.B [ x = 291×2+295+298+302+306+310+312+314+317 10 =303.6.] 8.D [80~100 间两个长方形高占总体的比例:

5+6 11 = 即为频数之比. 20 2+3+5+6+3+1 x 11 ∴ = .∴x=33.] 60 20 x+y+10+11+9 9.D [∵ =10,∴x+y=20. 5 ?x-10?2+?y-10?2+0+1+1 ∵ =2, 5 ∴(x-10)2+(y-10)2=8, ∴x2+y2-20(x+y)+200=8, ∴x2+y2-200=8,∴x2+y2=208. 由 x+y=20 知(x+y)2=x2+y2+2xy=400, ∴2xy=192,∴|x-y|2=x2+y2-2xy =208-192=16,∴|x-y|=4.] 10.B [有放回地取球三次,假设第一次取红球共有如下所示 9 种取法.

同理,第一次取黄球、绿球分别也有 9 种情况,共计 27 种.而三次颜色全相同,共有 3 3 1 种情况,故颜色全相同的概率为 = .] 27 9 11.A [有三种可能的情况: 1?3 ①连续 3 次都掷得正面,其概率为? ?2? ; 1?2 ②第 1 次掷得正面,第 2 次掷得反面,其概率为? ?2? ; 1?2 ③第 1 次掷得反面,第 2 次掷得正面,其概率为? ?2? , 因此恰好得 3 分的概率为 ?1?3+?1?2+?1?2=5.] ?2? ?2? ?2? 8 10 12. C [甲共得 6 条,乙共得 6 条,共有 6×6=36(对),其中垂直的有 10 对, ∴P= = 36 5 .] 18 13.0.030 3 1-0.700 解析 ∵小矩形的面积等于频率,∴除[120,130)外的频率和为 0.700,∴a= = 10 0.030.由题意知,身高在[120,130),[130,140),[140,150]的学生分别为 30 人,20 人,10 人, 18 3 ∴由分层抽样可知抽样比为 = , 60 10 ∴在[140,150]中选取的学生应为 3 人. 1 14. 2 解析 方法一 由余弦函数图象的对称性知, 阴影部分的面积为矩形 ABCD 的面积的一 1 半,故所求概率为 . 2 方法二 也可用积分求阴影部分的面积: π 2π ∫2 0 (1-cos x)dx=(x-sin x)|0 =2π. 2π 1 ∴P= = . 4π 2 15.①④

解析 本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语.由题意,得 K2≈3.918, P(K ≥3.841)≈0.05,所以,只有第一位同学的判断正确,即有 95%的把握认为“这种血清能 起到预防感冒的作用”.由真值表知①④为真命题. 1 16. 12 解析 基本事件有 6×6×6=216(个),点数依次成等差数列的有: (1)当公差 d=0 时, 1,1,1 及 2,2,2, ?, 共 6 个. (2)当公差 d=± 1 时, 1,2,3 及 2,3,4; 3,4,5; 4,5,6,共 4×2 个. (3)当公差 d=± 2 时,1,3,5;2,4,6,共 2×2 个. 6+4×2+2×2 1 ∴P= = . 12 6×6×6 17.解 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件. 4 1 (1)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有 4 个基本事件,所以 P(A)= = . 36 9 1 答 两数之和为 5 的概率为 .(3 分) 9 (2)记“两数中至少有一个为奇数”为事件 B, 则事件 B 与“两数均为偶数”为对立事件, 9 3 所以 P(B)=1- = . 36 4 3 答 两数中至少有一个为奇数的概率为 .(6 分) 4 (3)基本事件总数为 36, 点(x, y)在圆 x2+y2=15 的内部记为事件 C, 则 C 包含 8 个事件, 8 2 所以 P(C)= = . 36 9 2 答 点(x,y)在圆 x2+y2=15 的内部的概率为 . 9 (10 分) 18.解 (1) 分组 频数 频率 4 0.08 50.5~60.5 8 0.16 60.5~70.5 10 0.20 70.5~80.5 16 0.32 80.5~90.5 12 0.24 90.5~100.5 50 1.00 合计 (4 分) (2)频率分布直方图如图所示:
2

(8 分) (3)因为成绩在 80.5~90.5 分的学生的频率为 0.32 且有 900 名学生参加了这次竞赛, 所以 该校获得二等奖的学生约为 0.32×900=288(人).(12 分) 19.解 (1) 更爱好体育 更爱好文娱 合计

男生 女生 合计

15 5 20

10 10 20

25 15 40

(3 分) (2)恰好是一男一女的概率是: 15×10+5×10 1 = .(6 分) 2 20×20 n?ac-bd?2 2 (3)K = ?a+b??c+d??a+c??b+d? 40×?15×10-5×10?2 = 20×20×25×15 8 = ≈2.666 7?<2.706,(9 分) 3 ∴我们没有足够的把握认为性别与是否更喜欢体育有关系.(12 分) 20.解 (1)由所给数据可知,一等品零件共有 6 个.设“从 10 个零件中,随机抽取 1 个为一等品”为事件 A, 6 3 则 P(A)= = .(4 分) 10 5 (2)①一等品零件的编号为 A1,A2,A3,A4,A5,A6.从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个,所有可能的结果有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2, A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6), 共有 15 种.(8 分) ②“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等”(记为事件 B)的所有可能结果有: 6 (A1,A4),(A1,A6),(A4,A6),(A2,A3),(A2,A5),(A3,A5),共有 6 种,所以 P(B)= = 15 2 .(12 分) 5 2b 21.解 (1)∵函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图象的对称轴为 x= ,∴要使 f(x)=ax2-4bx a 2b +1 在区间[1,+∞)上为增函数,则 a>0 且 ≤1,即 2b≤a.(3 分) a 若 a=1,则 b=-1;若 a=2,则 b=-1,1; 若 a=3,则 b=-1,1. ∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5.(5 分) 又∵总事件数为 15, 5 1 ∴所求事件的概率为 = .(6 分) 15 3 (2)

由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时,函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数, 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 ?a+b-8≤0

? ? ??a,b?|?a>0 ? ?b>0 ?

? ?.如图所示. ?

构成所求事件的区域为阴影部分.(8 分)

a+b-8=0, ? ? 16 8? , 由? 得交点坐标为? a 3 3?.(10 分) ? b= , ? ? 2 1 8 ×8× 2 3 1 ∴所求事件的概率为 P= = .(12 分) 1 3 ×8×8 2 22.解 (1)由频率分布直方图知,前五组频率为 (0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82, 后三组频率为 1-0.82=0.18, 人数为 0.18×50=9(人),(2 分) 这所学校高三男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数为 800×0.18=144(人).(4 分) (2)由频率分布直方图得第八组频率为 0.008×5=0.04,人数为 0.04×50=2(人), 设第六组人数为 m,则第七组人数为 9-2-m=7-m,又 m+2=2(7-m),所以 m=4, 即第六组人数为 4 人,第七组人数为 3 人,频率分别为 0.08,0.06.(6 分) 频率除以组距分别等于 0.016,0.012,见图.

(9 分) (3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为 4 人,设为 a,b,c,d.身高在[190,195]的人数为 2 人,设为 A,B. 若 x,y∈[180,185)时,有 ab,ac,ad,bc,bd,cd 共 6 种情况. 若 x,y∈[190,195]时,有 AB 共 1 种情况. 若 x,y 分别在[180,185),[190,195]内时,有 aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB 共 8 种情况. 所以基本事件的总数为 6+8+1=15(种).(11 分) 事件|x-y|≤5 所包含的基本事件个数有 7 6+1=7(种),故 P(|x-y|≤5)= .(12 分) 15


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