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重庆一中高2011级10-11学年(上)期末试题——数学理

时间:2011-05-26


高 2011 级(上)期末测试卷 上 期末测试卷
理工类) 数学 (理工类 理工类

数学试题卷(理工类)共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 擦干净后,

再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试卷上答题无效。 5.考试结束,将试卷和答题卡一并收回。 小题, 在每小题给出的四个备选项中, 一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 5 分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项符合 择题: 题目要求。 题目要求。 1.已知集合 A = {2,3}, B = {2, 4}, P = A ∪ B ,则集合 P 的子集的个数是 ( A. 2 B. 4 ) C. 8 D. 16 )

2 2.抛物线 y = 2x 的焦点坐标是 (

1 A.(0, ) 4

1 B.(0, ) 8

1 C.( , 0) 8
)

1 D.( ,0) 4

3.下列各选项中,与 sin 2011 最接近的数是 (

A. ?

1 2

B.

1 2

C.

2 2

D. ?

2 2
)

4.已知各项均为正数的等比数列 {a n } 的首项 a1 = 3 ,前三项的和为 21,则 a 3 + a 4 + a 5 = ( A. 33 B. 72 C. 84 D. 189

5.已知直线 l1 的方程为 3 x + 4 y ? 7 = 0 ,直线 l2 的方程为 6 x + 8 y + 1 = 0 ,则直线 l1 与 l2 的距离为 ( )

A.

8 5

B.

3 2

C.4

D.8

6. 定义行列式运算:

a1 a2 3 sin x = a1a4 ? a2 a3 . 若将函数 f ( x ) = 的图象向左平移 m( m > 0) a3 a4 cos x 1
第1页 共9页

个单位长度后,所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是 (

)

A.

π
8

B.

π
3

C.

5π 6

D.

2π 3

7.设 M 是 MBC 内任一点, AB i AC = 2 3, ∠BAC = 30 , ?MBC , ?MAC , ?MAB 的面积分别为

x, y, z ,若 z =

1 ,则在平面直角坐标系中,以 x, y 为坐标的点 ( x, y ) 的轨迹图形是 ( 2

)

0

?4 x ? y ? 10 ≤ 0 ? 8.设实数 x, y 满足条件 ? x ? 2 y + 8 ≥ 0 ,若目标函数 z = ax + by ( a > 0, b > 0) 的最大值为 12, ? x ≥ 0, y ≥ 0 ?


2 3 + 的最小值为 ( a b 25 8 A. B. 6 3

)

C.

11 3

D.4

9.已知函数 f ( x) = x 3 + lg( x +

x 2 + 1) ,且 x1 + x 2 > 0, x 2 + x3 > 0, x3 + x1 > 0 ,则 f ( x1 )
) C.等于 0 D.以上都有可能 C A D 第 10 图

+ f ( x 2 ) + f ( x3 ) 的值 (
A.小于 0

B.大于 0

10.如题 10 图,半径都为 l 的三个圆两两相交,且 AB 弧长 = BC 弧长

= AC 弧长, CD 弧长等于

π
2

,则图中阴影部分的面积为 (

) B

A.3π

B.2π

C.

5π 2

3 D. π + 3 2

小题, 把答案填写在答题卡相应位置上。 二、填空题:本大题共 5 小题,共 25 分。把答案填写在答题卡相应位置上。 填空题: 11.已知向量 OA = (3, 2), OB = (4, 7) ,则

1 AB = 2


.

12.不等式 log 2 ( x ? 1) + log 2 x < 1 的解集是

13.从圆 ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 = 1 外一点 P ( 2,3) 向这个圆引切线,则切线段的长为 14.已知数列 {a n } 的前 n 项和 Sn 满足 S n = 2 + 1 ,则当 n ≥ 2 时,
n



1 1 1 + +? + = a1 a2 an



第2页 共9页

15.设抛物线 C : y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F ,其准线与 x 轴的交点为 Q ,过点 F 作直线交抛物 线 C 于 A、B 两点,若 ∠QBF = 90 ,则 | AF | ? | BF |= .

小题, 解答必须写出必要的文字说明、演算步骤和推理过程。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答必须写出必要的文字说明、演算步骤和推理过程。 解答题: 16.(本小题满分 13 分)

?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 a = 4, b = 13, c = 3.
(I)求角 B 的大小; (II)求 ?ABC 中 AC 边上的高 h.

17.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = 是集合 B. (I)分别求集合 A、B ; (II)若 A ∪ B = B ,求实数 a 的取值范围.

x +1 的定义域是集合 A ,函数 g ( x ) = lg[ x 2 ? (2a + 1) x + a 2 + a ] 的定义域 x?2

18.(本小题满分 13 分) 已知向量 OA = ( m cos α , m sin α )( m = 0), OB = ( ? sin β , cos β ) .其中 O 为坐标原点. / 且 m > 0 ,求向量 OA 与 OB 的夹角; 6 1 (II)若 | OB |≤ | AB | 对任意实数 α , β 都成立,求实数 m 的取值范围. 2 (I)若 α = β +

π

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = a x ? a ? x ( a > 0 且 a = 1). /

第3页 共9页

(I)判断函数 y = f (x ) 的单调性; (II)若 f (1) =

3 ,且 g ( x) = a 2 x + a ?2 x ? 2mf ( x) 在 [1,+∞) 上的最小值为 ?2 ,求实数 m 的值. 2

20.(本小题满分 12 分) 已知 F 是抛物线 y 2 = 4 x 的焦点, Q 是抛物线的准线与 x 轴的交点,直线 l 经过点 Q . (I)若直线 l 与抛物线恰有一个交点,求 l 的方程; (II)如题 20 图,直线 l 与抛物线交于 A、B 两点, (i)记直线 FA、FB 的斜率分别为 k1、k 2 ,求 k1 + k 2 的值; (ii)若线段 AB 上一点 R 满足

| AR | | AQ | = ,求点 R 的轨迹. | RB | | QB |

21.(本小题满分 12 分) 对于数列 {a n } ,若存在一个常数 M ,使得对任意的 n ∈ N ,都有 | a n |≤ M ,则称 {a n } 为有
*

第4页 共9页

界数列. (I)判断 an = 2 + sin n 是否为有界数列并说明理由. (II)是否存在正项等比数列 {a n } ,使得 {a n } 的前 n 项和 Sn 构成的数列 {S n } 是有界数列?若存 ? 在,求数列 {a n } 的公比 q 的取值范围;若不存在,请说明理由. (III)判断数列 an =

1 1 1 1 + + +? + (n ≥ 2) 是否为有界数列,并证明. 3 5 7 2n ? 1

第5页 共9页

高 2011 级(上)期末测试卷 上 期末测试卷
理工类) 数学 (理工类 参考答案 理工类

小题, 一.选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 选择题: 1~5 CBACB 6~10 CAABD

6.C 根据定义有 f ( x ) =

3 cos x ? sin x = 2 cos( x +

π

7.A 根据已知条件可得 S ?ABC

6 1 = 1 ,则 x + y = ,且 x > 0, y > 0. 2

) ,则至少向左平移

5π 个单位是偶函数. 6

8.A 由可行域知当 x = 4, y = 6 时有最大值, 则 2a + 3b = 6,

2 3 2a + 3b 2a + 3b 13 b a 25 + = + = + + ≥ . a b 3a 2b 6 a b 6

9.B 易证 f (x ) 是 R 上的奇函数与增函数. 10.D 如图:因为 CD 弧长 = α i R = 影部分的面积为

π
2

,所以 α =

π
2

, 故图中阴

1 .所以可得原题中阴影部分的面积为 4 2 π 1 3 3π ? 3 × [2 × ( ? )] = π + 3. 4 2 2 ? 1 5 2 2 4 1 n ?1 ?( ) 3 2

π

小题, 二.填空题:本大题共 5 小题,共 25 分。 填空题: 11. ( , )
n

12.(1,2)

13.2

14.

15. 2 p

14.由 S n = 2 + 1 ? a n = ?

?3n = 1 ?2
n ?1

n > 1,

所以

1 1 1 1 1 1 1 4 1 + +?+ = + + 2 + ? + n ?1 = ? ( ) n ?1 . a1 a 2 an 3 2 2 3 2 2 p p , | BF |= , 1 ? cos θ 1 + cos θ

15.设 ∠AFB = θ ,则由圆锥曲线的第二定义得 | AF |= 由 ∠QBF = 90 知:

| BF | 2 p cos θ = cos θ ? cos θ = 1 ? cos 2 θ ,| AF | ? | BF |= = 2 p. p 1 ? cos 2 θ

小题, 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 解答题: 16.解:(I)由余弦定理, cos B = 解

a 2 + c 2 ? b 2 12 1 π = = ? B = ………6 分 2ac 24 2 3

第6页 共9页

1 1 ac sin B (II)由面积法有, S ? = ac sin B = bh ? h = = 2 2 b
17.解:(I) A = {x | x ≤ ?1或x > 2} ………3 分 解

4 × 3×

3 2 = 6 39 ……13 分 13 13

B = {x | x < a或x > a + 1} ………6 分
(II)由 A ∪ B = B 得 A ? B ,因此 ?

? a > ?1 ………10 分 ?a + 1 ≤ 2

所以 ? 1 < a ≤ 1 ,所以实数 a 的取值范围是 (?1,1] ………13 分. 18.解:(I)设它们的夹角为 θ ,则 解

cos θ =
故θ =

OAiOB m(? cos α sin β + sin α cos β ) π 1 = = sin(α ? β ) = sin = , m 6 2 | OA || OB |
………6 分

π
3

(II)由 | AB |≥ 2 | OB | 得 ( m cos α + sin β ) 2 + ( m sin α ? cos β ) 2 ≥ 4 即 m 2 + 1 + 2m sin( β ? α ) ≥ 4 对任意的 α , β 恒成立………9 分 则?

?m > 0
2 ?m ? 2 m + 1 ≥ 4
x

或?

?m < 0
2 ?m + 2 m + 1 ≥ 4

,解得 m ≤ ?3 或 m ≥ 3 .………13 分
?x

19.解:(I)当 a > 1 时, y = a 在 R 上单调递增, y = a 解 所以,原函数在 R 上单调递增;

1 = ( ) x 在 R 上单调递减 a

同理,当 0 < a < 1 时,原函数在 R 上单调递减.………6 分 (II)∵ f (1) =

3 1 3 1 ,∴ a ? = ,即 2a 2 ? 3a ? 2 = 0,∴ a = 2 或 a = ? (舍去) 2 a 2 2

∴ g ( x) = 2 2 x + 2 ?2 x ? 2m(2 x ? 2 ? x ) = (2 x ? 2 ? x ) 2 ? 2m(2 x ? 2 ? x ) + 2 ………8 分
令 t = f ( x) = 2 x ? 2 ? x

∵ x ≥ 1,∴ t ≥ f (1) =
当m ≥

3 ,∴ g (t ) = t 2 ? 2mt + 2 = (t ? m) 2 + 2 ? m 2 2

3 时, g (t ) min = g ( m) = 2 ? m 2 = ?2,∴ m = 2 或 m = ?2 (舍) 2 3 3 17 25 3 当 m < 时, g (t ) min = g ( ) = ? 3m = ?2,∴ m = > (舍) 2 2 4 12 2
综上可知 m = 2 ………12 分.
第7页 共9页

20.解:依题意得: Q (?1,0) ,直线 l 斜率存在,设其斜率为 k ,则 l 的方程为 y = k ( x + 1) , 解 代入抛物线方程有: k x + ( 2k ? 4) x + k = 0 ………2 分
2 2 2 2

(I)若 k = 0 ,令 ? = 0 得, k = ±1 ,此时 l 的方程为 y = x + 1, y = ? x ? 1. / 若 k = 0 ,方程有唯一解.此时 l 的方程为 y = 0 ………4 分

4 ? 2k 2 4 (II)显然 k = 0 ,记 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 x1 + x2 = , x1 x2 = 1, y1 + y2 = , / k2 k

y1 y2 = k 2 ( x1 x2 + x1 + x2 + 1) = 4 ………6 分
(i) k1 + k 2 =

y1 y 2k ( x1 x2 ? 1) + 2 = = 0 ………8 分 x1 ?1 x2 ?1 ( x ? 1)( x ? 1)
1 2

(ii)设点 R 的坐标为 ( x, y ), ∵

y?y y ?0 | AR | | AQ | = , ∴ y ? y1 = 1 , 2 | RB | | QB | y2 ? 0

2 y1 y 2× 4 1 ∴ y = y + y2 = = 2k ,∴ x = y ? 1 = 2 ? 1 = 1 ………10 分 1 2 4 k k
由 ? > 0 得, ? 1 < k < 1 ,又 k = 0,∴ y ∈ ( ?2, 0) ∪ (0, 2). / 综上,点 R 的轨迹为 x = 1, y ∈ ( ?2, 0) ∪ (0, 2) ………12 分 21.解:(I) 1 ≤ a n = 2 + sin n ≤ 3 ,故 {a n } 为有界数列…………2 分 解 (II)设公比为 q ,当 0 < q < 1 时, S n = 则正数数列 {S n } 满足 | S n |<

a1 (1 ? q n ) a1 < , 1?q 1? q

a1 ,即为有界数列; 1?q

当 q = 1 时, S n = na1 → +∞ ,故为无界数列; 当 q > 1 时, S n = a1 + a2 + ? + an > na1 → +∞ ,此时为无界数列. 综上:当且仅当 0 < q < 1 时, {S n } 为有界数列………6 分 (III) {a n } 为无界数列,事实上

1 1 1 1 1 1 1 1 an = + + + ? + > + + +? + 3 5 7 2n ? 1 4 6 8 2n 1 1 1 1 1 1 ∴ 2 an > + + + + ? + + 3 4 5 6 2n ? 1 2 n
第8页 共9页

1 1 1 1 1 ∴ 2 a2 n > + + + + ? + 3 4 5 6 2i 2 n
? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? = ( + ) + ( + + + ) + ( +? + ) +? + ? n + n +? + n ? ? ? 2 +1 ? 3 4 5 6 7 8 9 16 2 +2 2 + 2n ? ?

1 1 1 1 n > × 2 + × 4 + ×8 +? + n × 2n = 4 8 16 2 ×2 2 n ∴ a 2n > 4
故当 n 无限增大时 a n 也无限增大,所以 {a n } 无界………12 分.

第9页 共9页


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