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2013年山东省数学理科高考真题Word版含答案


2013 年山东高考数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数为( D ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i C)

(2)设集合 A={0,1,2},则集合 B

={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( A. 1 B. 3 C. 5 D.9 (3)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x2+

1 ,则 f(-1)= ( x

A

)

(A)-2

(B)0

(C)1

(D)2

( 4)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直 , 体积为

9 , 底面积是边长为 4
B )

3 的正

三角形,若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ( (A)

5? 12

(B)

? 3

(C)

? 4

(D)

? 6

(5)将函数 y=sin(2x + ? )的图像沿 x 轴向左平移 像,则 ? 的一个可能取值为 ( (D) ? B

? 个单位后,得到一个偶函数的图 8
)

(A)

3? 4

(B)

? 4

(C)0

?
4

? 2x ? y ? 2 ? 0 ? (6)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组: ? x ? 2y ? 1 ? 0 ,所表示的区域上一动 ? 3x ? y ? 8 ? 0 ?
点,则直线 OM 斜率的最小值为 (C) ? ( C )

(A)2

(B)1

1 3

(D) ?

1 2
( A )

(7)给定两个命题 p、q,若﹁p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是﹁q 的 (A)充分而不必条件 (B)必要而不充分条件

第 -1- 页

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)函数 y=xcosx + sinx 的图象大致为

(

D

)

(A) (B ) (C) (D) 2 2 (9)过点(3,1)作圆(x-1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程 为 ( A ) (A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0 (C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0 (B )

(10)用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 (A)243 (B)252 (C)261 (D)279

(11)抛物线 C1:y=

x2 1 2 ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 x (p>0)的焦点与双曲线 C2: 3 2p
(D )

于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=

(12)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0.则当

2 1 2 xy 取得最大值时, ? ? 的最大值 x y z z
(C)



(

B

)

(A)0

(B)1

9 4

(D)3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 (13)执行右面的程序框图,若输入的 ? 的值为 0.25,则输入的 n 的值为

3

(14)在区间[-3,3]上随机取一个数 x,使得 |x+1 |- |x-2 |≥1 成立的概率为

1 3

? (15)已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120 ,且 | AB |? 3,| AC |? 2, 若

??? ?

????

??? ?

????

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? AP ? ? AB ? AC , 且 AP ? BC ,则实数 ? 的值为

7 12

第 -2- 页

(16)定义“正对数” : ln x ? ?
? b

?

? 0, 0 ? x ? 1 ,现有四个命题: x ?1 ?ln x,
?

①若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln (a ) ? b ln a ②若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln (ab) ? ln a ? ln b ③若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ? ( ) ? ln ? a ? ln ? b ④若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln (a ? b) ? ln a ? ln b ? ln 2 其中的真命题有: ①③④ (写出所有真命题的编号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.
? ? ? ? ? ?

a b

(17)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cosB= (Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求 sin(A-B)的值. 解答: (1)由 cosB=

7 . 9

7 14 2 2 与余弦定理得, a ? c ? 4 ? ac ,又 a+c=6,解得 a ? c ? 3 9 9
4 2 2 2 1 与正弦定理可得, sin A ? , cos A ? , 9 3 3

(2)又 a=3,b=2, sin B ?

所以 sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=

10 2 27

(18) (本小题满分 12 分) 如图所示,在三棱锥 P-ABQ 中,PB⊥平面 ABQ, BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交 于点 H,连接 GH。 (Ⅰ)求证:AB//GH; (Ⅱ)求二面角 D-GH-E 的余弦值 . 解答: (1)因为 C、D 为中点,所以 CD//AB 同理:EF//AB,所以 EF//CD,EF ? 平面 EFQ, 所以 CD//平面 EFQ,又 CD ? 平面 PCD,所以 CD//GH,又 AB//CD,所以 AB//GH. (2)由 AQ=2BD,D 为 AQ 的中点可得,△ABQ 为直角 三角形,以 B 为坐标原点,以 BA、BC、BP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,设 AB=BP=BQ=2, 可得平面 GCD 的一个法向量为 n1 ? (0, 2,1) ,平面 EFG 的一个法向量为 n2 ? (0,1, 2) ,可得

??

?? ?

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cos ? ?

4 4 4 ? ,所以二面角 D-GH-E 的余弦值为 ? 5 5 5 5

(19)本小题满分 12 分 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局 甲队获胜的概率是

1 2 外,其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立. 2 3

(1)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率 (2)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分,求乙队得分 x 的分布列及数学期望.
3 解答: (1) p1 ? C3 ( )3 ?

2 3

8 8 4 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 , p2 ? C3 , p3 ? C4 ( ) ? ? ( ) ( ) ? ? 27 3 3 3 27 3 3 2 27

(2)由题意可知 X 的可能取值为:3,2,1,0 相应的概率依次为: ,

1 4 4 16 7 , , ,所以 EX= 9 27 27 27 9

(20) (本小题满分 12 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1 (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设数列{bn}的前 n 项和 Tn,且 Tn+ 数列{cn}的前 n 项和 Rn.

an ? 1 = λ (λ 为常数) ,令 cn=b2n, (n∈N? ).求 2n

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(21) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ?

x ? c(e ? 2.71828? 是自然对数的底数, c ? R) . e2 x

(1)求 f ( x) 的单调区间,最大值; (2)讨论关于 x 的方程 | ln x |? f ( x) 根的个数.

解答: (1) f ( x) ?
'

1? 2x 1 ' ,令 f ( x) ? 0 得, x ? , 2x e 2

当 x ? (??, ), f ( x) ? 0, 函数单调递增;
'

1 2

1 1 所以当 x ? 时,函数取得最的最大值 x?( , ? ?), f ' ( x) ? 0,函数单调递减; 2 2 1 f max ( x) ? ? c 2e 1 (2) 由(1) 知,f(x)先增后减,即从负无穷增大到 ? c ,然后递减到 c,而函数|lnx|是(0,1) 2e
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时由正无穷递减到 0,然后又逐渐增大。 故令 f(1)=0 得, c ? ? 所以当 c ? ? 当c ? ?

1 , e2

1 时,方程有两个根; e2

1 时,方程有一两个根; e2 1 当 c ? ? 2 时,方程有无两个根. e
(22) (本小题满分 13 分)

x2 y 2 3 椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 ,过 F1 且垂 2 a b
直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 l. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1、PF2,设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 p 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公 共点, 设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2,若 k≠0,试证明 定值. 解答: (1)由已知得,

1 1 ? 为定值,并求出这个 kk1 kk2

c 3 2b2 ? , ? 1, a 2 ? b2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 4, b2 ? 1 a 2 a

所以椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

???? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? ? ???? ? PF PF2 ? PM PF1 ? PM PF2 ? PM 1 ? PM ?= ???? ? ???? ? , ???? = ???? ? , 设 P( x0 , y0 ) 其 中 ( 2 ) 由 题 意 可 知 : ???? ???? | PF | PF1 | | PF2 | 1 || PM | | PF2 || PM |
2 2 3 2 ? 16) ? 3x0 ? 12 x0 ,因为 x0 x0 ? 4 ,将向量坐标代入并化简得:m( 4 x0 ? 4,

所以 m ?

3 3 3 x0 ,而 x0 ? (?2, 2) ,所以 m ? (? , ) 4 2 2

(3)由题意可知,l 为椭圆的在 p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:

x y0 y0 x0 x 1 1 ? , k2 ? ,代入 中得: ? y0 y ? 1 ,所以 k ? ? 0 ,而 k1 ? 4 y0 kk1 kk2 4 x? 3 x? 3
x ? 3 x0 ? 3 1 1 ? ? ?4( 0 ? ) ? ?8 为定值. kk1 kk2 x0 x0

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