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山东师范大学附属中学2018届高三上学期第三次模拟考试数学(文)试题+Word版含答案

时间:2018-02-18


山东师大附中 2015 级高三第三次模拟考试 数学(文科)试卷
命题:高三数学备课组 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 22 题,共 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定 的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持答题卡卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液,修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
2 1. 已知集合 M ? {x | x ? x ? 2 ? 0} ,集合 N ? {x | ?1 ? x ? 1} ,则 M ? N ?

A. {x | ?1 ? x ? 1}

B. {x | ?2 ? x ? 1}

C. {x | ?1 ? x ? 2}

D. {x | x ? ?2}

2. 若 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? ,则“ f ? x ? 的图象关于 ( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件

?
6

, 0) 成中心对称”是“ ? ? ?

?
3

”的

D. 既不充分也不必要条件

3. 已知 {an } 是公差为 2 的等差数列.若 a8 ? 5a4 ,则 a10 ? A. 6 B. 12 C. 14 D. 18

4. 若 a ? b ? 0, c ? 1,则 A. loga c ? logb c B. a ? b
c c

C. c ? c
a

b

D. logc a ? logc b

5. 函数 f ( x) ? sin x ? ln(x ? 1) 的部分图象可能是
2

A.

B.

C.

D.

6. 为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图象,可以将函数 y ? 2 sin 3x 的图象

? 个单位 4 ? D. 向左平移 个单位 12 1 1 7. 已知 a , b 均为正实数,且 a ? b ? 3 ,则 ? 的最小值为 a b
? 个单位 12 ? C. 向左平移 个单位 4
A. 向右平移 B. 向右平移 A.

2 3

B.

2 2 3

C.

4 3

D.

4 2 3
冷漠 不冷漠 4 16 20 总计 12 18 30

8. 有人发现 , 多看手机容易使人变冷漠 , 下表是一 个调查机构对此现象的调查结果: 多看手机 附:K = 附表:
2

8 2 10

少看手机 总计

P(K2≥k0) k0

0.050 3.841

0.010 6.635

则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为 A. 99 % 9. 在区间 [ ? B. 97 .5% C. 95 % D. 90 %

? ? , ] 上随机取一个数 x ,则 sin x ? cos x ?[1, 2] 的概率是 6 2
B. D.

3 1 C. 4 2 10. 已知函数 f ( x) ? ln x ? ln(4 ? x) ,则
A. A. f ( x) 在 (0,4) 单调递增 C. y ? f ( x) 的图象关于直线 x=2 对称

2 3

1 3

B. f ( x) 在 (0,4) 单调递减 D. y ? f ( x) 的图象关于点 ( 2,0) 对称

?x ? 2 ? 11. 设满足约束条件 ?3 x ? y ? 1 ,则下列不等式恒成立的是 ?y ? x ?1 ?
A. x ? 3 B. y ? 4 C. x ? y ? 5 ? 0 D.

5 x ? y ?1 ? 0 2

12. 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? 1, 且2 f ' ? x ? ? 1 ,当 x ? [0, 2? ] 时,不等式

f ? 2 cos x ? ? 2 cos 2
A. ( ?

? ?

x 1 ? 的解集为 2 2

, ) 6 6

B. ( ?

? ?

, ) 3 3

C. [0,

?
6

)?(

5? ,2? ] 6

D. [0,

?
3

)?(

5? ,2? ] 3

第Ⅱ卷 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书不相邻的概率 为 . .

14. 在数列 {an } 中, a1 ? 3, an?1 ? 2an , Sn 为 {an } 的前 n 项和.若 S n ? 189,则 n ? 15. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) ( A , ? , ? 是常 数, A ? 0 , ? ? 0 )的部分图象如图所示,则 f ( ? ______. 16. 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A, B, C 的对边,

y

?
3

) 的值是
O

? 7? 3 12

x

sin A, sin B, sin C 成等比数列,当 B 取最大值时, sin A ? sin C 的
最大值为 .

? 2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ?1 . (I)求不等式 f ( x) ? 5 的解集; (II)若 f ( x) ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是等比数列,首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 0 ,其前 n 项和为 Sn ,且 S1 ? a1 , S3 ? a3 ,

S 2 ? a2 成等差数列, bn ? 2 log1 an ? 1 .
2

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn . bnbn ?1

19.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 已知 cos 2 A ? ? (I)求 a 的值; (II)若角 A 为锐角,求 b 的值及 ?ABC 的面积. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x +mx ? nx ? 3 ,在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 5 ? 0 .
3 2

1 , c? 3, sin A ? 6 sin C . 3

(I)求函数 f ? x ? 的极值; (II)若方程 f ? x ? ? a2 ? 4a ? 0 ( a ? R ) 有三个不等的实数根,求实数 a 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x 万元 销售额 y 万元 2 26 3 39 4 49 5 58

?? 经计算 ? xi ? yi ? 655 .附: b
i ?1

4

?x ?y
i ?1 i

n

i

? nx ? y ? nx 2

?x
i ?1

n

?x . ? ? y ?b ,a

2

i

(I)根据上表中的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程; (II)根据上述回归方程,预测广告费用为 10 万元时,销售额为多少万元? 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ( x ? 1)e ?
x

1 2 ax . 2

(I)讨论 f ( x) 的单调性; (II) 若 f ( x) 有两个零点,求实数 a 的取值范围.

山东师大附中 2015 级高三第三次模拟考试 数学(文科)参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 B 6 D 7 C 8 A 9 B 10 C 11 C 12 D

二、填空题 (13)

1 ; 3

(14) 6 ;

(15) ?

6 ; 2

(16) 3 .

三、解答题 17. 【解析】(1)当 x ? ?3 时, ? x ? 3 ? 1 ? x ? 5 ? x ? ? 当 ? 3 ? x ? 1 时, x ? 3 ? 1 ? x ? 5 ,恒不成立 ;

7 7 ,所以 x ? ? ; 2 2

3 3 ,所以 x ? 。 2 2 7 3 综上,不等式的解集为 {x x ? ? 或x ? } 2 2
当 x ? 1 时, x ? 3 ? x ? 1 ? 5 ? x ?

?5 分

?? 2 x ? 2, x ? ?3 ? (2) f ( x) ? ?4,?3 ? x ? 1 ?2 x ? 2, x ? 1 ?

, f ( x) max ? 4

2 所以 a ? 3a ? 4 ? ?1 ? a ? 4 ,所以 ? 1 ? a ? 4 。

?10 分

18. 【解析】(1)由题意知 2(S3 ? a3 ) ? S1 ? a1 ? S2 ? a2 , 即 2(a1 ? a2 ? a3 ? a3 ) ? a1 ? a1 ? a1 ? a2 ? a2 ,所以 a1 ? 4a3 ? 4a1q 2 ,解得 q ? ? 因为 q ? 0 ,所以 q ?
a

1 , 2

1 1 n ?1 1 n ?1 。所以 an ? 1? ( ) ? ( ) 。 2 2 2
1 ( ) n?1 2

????6 分

n (2) bn ? 2 log1 ? 1 ? 2 log1

? 1 ? 2n ? 1

2

2

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
Cn ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ( ? ? ? ?? ? ? ) ? (1 ? )? 。 2 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
????12 分

1 2 19.【解析】解: (I) 因为 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ? ? ,且 0 ? A ? ? , 3
所以 sin A ? 由正弦定理

6 . 因为 c ? 3,sin A ? 6 sin C , 3

a c ? ,得 a ? 6 ? c ? 6 ? 3 ? 3 2 . sin A sin C

(Ⅱ) 由 sin A ?

6 ? 3 . , 0 ? A ? 得 cos A ? 3 2 3

2 2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,得 b ? 2b ? 15 ? 0 .

解得 b ? 5 或 b ? ?3 (舍负) . 所以 S?ABC ?

1 5 2 . bc sin A ? 2 2

2 20. 【解析】(1)定义域为 R , f ? ? x ? ? 3x ? 2mx ? n
2 ? ? f ?(2) ? 3 ? 2 ? 2m ? 2 ? n ? ?3 ? 3 2 ? ? f (2) ? 2 ? m ? 2 ? n ? 2 ? 3 ? ?1

解得

?m ? ?6 ? ?n ? 9

f ? ? x ? ? 3x2 ?12x ? 9 ,


f ? ? x ? ? 3x2 ?12x ? 9=3( x ? 3)( x ?1) ? 0 ,解得 x ? 3或x ? 1 ,

x
f ?( x )
f ( x)

(??,1)

1

(1,3)
?


3
0
极小值 ? 3

(3,??)

?


0
极大值 1

?


所以 f ( x)极大值 ? f (1) ? 1, f ( x)极小值 ? f (3) ? ?3 ????8 分 (2) f ? x ? ? a2 ? 4a ,所以 ?3 ? a ? 4a ? 1 ,
2

解得 2 ? 5 ? a ? 1或3 ? a ? 2 ? 5 ???12 分 21.【解析】(1)

? xi ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 14, ? yi ? 26 ? 39 ? 49 ? 58 ? 172, ? xi ? 4 ? 9 ? 16 ? 25 ? 54 ,
2 i ?1 i ?1 i ?1

4

4

4

x?

14 172 ? 3.5, y ? ? 43 , 4 4

?? b

?x ?y
i ?1 i

4

i

? nx ? y ? ? nx 2

?x
i ?1

4

2

655? 4 ? 3.5 ? 43 ? ? 43 ? 10.6 ? 3.5 ? 5.9 , ? 10.6, a 54 ? 4 ? 3.52

i

所以线性回归方程为 y ? 10.6 x ? 5.9 。

................8(分)

(2)预测广告费用为 10 万元时, y ? 10.6 ?10 ? 5.9 ? 111.9 (万元) 所以预测广告费用为 10 万元时,销售额为 111.9 万元. ................12(分)

22.【解析】(1)f′(x)=e +(x-1)e -ax=x (e -a). (i)设 a≤0,则当 x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以

x

x

x

f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.
(ii)设 a>0,由 f′(x)=0 得 x=0 或 x=ln a. ① 若 a=1,则 f′(x)=x (e -1) ≥0, 所以 f(x)在(-∞,+∞)单调递增. ② 若 0<a<1, 则 ln a<0, 故当 x∈(-∞, ln a)∪(0, +∞)时, f′(x)>0;当 x∈(ln
x

a,0)时,f′(x)<0,
所以 f(x)在(-∞,ln a),(0,+∞)单调递增,在(ln a,0)单调递减. ③若 a>1,则 ln a>0,故当 x∈(-∞,0)∪(ln a,+∞)时,f′(x)>0;当 x∈(0, ln a)时,f′(x)<0,所以 f(x)在(-∞,0),(ln a,+∞)单调递增,在(0,ln a)单调递 减. 综上所述,当 a≤0 时 f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;当 0<a<1 时

f(x)在(-∞,ln a),(0,+∞)单调递增,在(ln a,0)单调递减;当 a=1 时 f(x)在(-∞,
+∞)单调递增;当 a>1 时 f(x)在(-∞,0),(ln a,+∞)单调递增,在(0,ln a)单调递 减. (2)(i)设 a≤0,则由(1)知,f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. 1 1 2 又 f(0)=-1,f(1)=- a,取 b 满足 b<-3 且 b=ln(-a),则 f(b)>-a (b-1)- a b 2 2 1 2 =- a(b +2b-2)>0. 2 所以 f(x)有两个零点. (ii)设 a=1,则 f(x)=x (e -1),所以 f(x)只有一个零点. (iii)设 0<a<1,则由(1)知,f(x)在(-∞,ln a),(0,+∞)单调递增,在(ln a,0) 1 2 1 2 单调递减,f(0)=-1, 当 b =ln a 时,f(x)有极大值 f(b)=a (b-1)- a b =- a(b -2b+2) 2 2
x

<0,故 f(x)不存在两个零点;当 a>1 时,则由(1)知,f(x)在(-∞,0),(ln a,+∞)单 调递增,在(0,ln a)单调递减,当 x=0 时,f(x)有极大值 f(0)=-1<0,故 f(x)不存在两 个零点. 综上,a 的取值范围为 a≤0.


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