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重庆一中高2011级10-11学年(上)期末试题——数学文

时间:2011-05-26


高 2011 级(上)期末测试卷 上 期末测试卷
文史类 数学 (文史类) 文史

数学试题卷(理工类)共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试卷上答题无效。 5.考试结束,将试卷和答题卡一并收回。

小题, 在每小题给出的四个备选项中, 一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 5 分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项符合 选择题: 题目要求。 题目要求。 1.已知集合 A = {2,3}, B = {2, 4}, P = A U B ,则集合 P 的子集的个数是 ( A. 2 B. 4 ) C. 8 D. 16 )

2.抛物线 y = 2x 2 的焦点坐标是 (

1 A.(0, ) 4

1 B.(0, ) 8
)

1 C.( , 0) 8

1 D.( ,0) 4

3.已知 x, y ∈ R ,则“ x y = 0 ”是“ x = 0 ”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
o

C.充要条件 )

D.既不充分也不必要条件

4.下列各选项中,与 sin 2011 最接近的数是 (

A. ?

1 2

B.

1 2

C.

2 2

D. ?

2 2
)

5.已知各项均为正数的等比数列 {a n } 的首项 a1 = 3 ,前三项的和为 21,则 a 3 + a 4 + a 5 = ( A. 33 B. 72 C. 84 D. 189

6.已知直线 l1 的方程为 3 x + 4 y ? 7 = 0 ,直线 l2 的方程为 6 x + 8 y + 1 = 0 ,则直线 l1 与 l2 的距离为 ( )
第1页 共7页

A.

8 5

B.

3 2

C.4

D.8

7. 已知 A、B、C、D 是平面上四个不共线的点, ( DB + DC ? 2 DA) ( AB ? AC ) = 0 , ?ABC 若 则 的形状是 ( A.等腰三角形 ) B.直角三角形
?1

uuu uuur r

uuu r

uuu uuur r

C.等腰直角三角形

D.等边三角形 )

8. 已知函数 f (x ) 的反函数 f A. {2010}

( x) = log 2011 (

2010 + 2010) ,则方程 f ( x) = 2010 的解集为 ( x
C. {2010,2011} D. {1}

B. {2011}

?4 x ? y ? 10 ≤ 0 ? 9.设实数 x, y 满足条件 ? x ? 2 y + 8 ≥ 0 ,若目标函数 z = ax + by ( a > 0, b > 0) 的最大值为 12, ? x ≥ 0, y ≥ 0 ?


2 3 + 的最小值为 ( ) a b 25 8 A. B. 6 3

C.

11 3

D.4

2 2 10.设集合 A = {( x, y ) | x + y ≤ 1} ,集合 B = {( x, y ) log| x| | y |≤ log| y| | x |,| x |< 1,| y |< 1} ,则在

直角坐标平面内, A I B 所表示的平面区域的面积为 (

)

A.π

3 B. π 4

C.

2 π 2

D.

π
2

小题, 把答案填写在答题卡相应位置上。 二、填空题:本大题共 5 小题,共 25 分。把答案填写在答题卡相应位置上。 填空题: 11.已知向量 OA = (3, 2), OB = (4, 7) ,则 12.不等式 2
x2 ? x

uuu r

uuu r

r 1 uuu AB = 2

.

< 4 的解集是

. .

13.从圆 ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 = 1 外一点 P ( 2,3) 向这个圆引切线,则切线段的长为 14.已知数列 {a n } 的前 n 项和 Sn 满足 S n = 2 ? 1 ,则当 n ≥ 2 时,
n

1 1 1 + +L + = a1 a2 an



15.设双曲线 x ?
2

y2 = 1 的左右焦点分别为 F1、F2 , P 是直线 x = 4 上的动点,若 ∠FPF2 = θ ,则 3


θ 的最大值为

小题, 解答必须写出必要的文字说明、演算步骤和推理过程。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答必须写出必要的文字说明、演算步骤和推理过程。 解答题: 16.(本小题满分 13 分)
第2页 共7页

?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 a = 4, b = 13, c = 3.
(I)求角 B 的大小; (II)求 ?ABC 中 AC 边上的高 h.

17.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = 是集合 B. (I)分别求集合 A、B ; (II)若 A U B = B ,求实数 a 的取值范围.

x +1 2 2 的定义域是集合 A ,函数 g ( x) = lg[ x ? (2a + 1) x + a + a ] 的定义域 x?2

18.(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) = ? x + 2ax + m, g ( x ) =
2

a . x

(I)若函数 f ( x ), g ( x ) 在 [1,2] 上都是减函数,求实数 a 的取值范围; (II)当 a = 1 时,设函数 h( x ) = f ( x ) g ( x ) ,若 h( x ) 在 (0,+∞) 内的最大值为 ?4 ,求实数 m 的值.

19.(本小题满分 12 分) 已知向量 OA = ( m cos α , m sin α )( m = 0), OB = ( ? sin β , cos β ) .其中 O 为坐标原点. / (I)若 α = β +

uuu r

uuu r

π
6

且 m > 0 ,求向量 OA 与 OB 的夹角;

(II)当实数 α , β 变化时,求实数 | OA | ?2 | OB | 的最大值.

uuu r

uuu r

20.(本小题满分 12 分)

第3页 共7页

已知 F 是抛物线 y = 4 x 的焦点, Q 是抛物线的准线与 x 轴的交点,直线 l 经过点 Q .
2

(I)若直线 l 与抛物线恰有一个交点,求 l 的方程; (II)如题 20 图, 直线 l 与抛物线交于 A、B 两点, 记直线 FA、FB 的斜率分别为 k1、k 2 , k1 + k 2 求 的值.

21.(本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 {a n } 满足: a1 = 3,

an +1 + an 1 8 = (n ∈ N * ) ,设 bn = , n+1 an +1 ? an an

S n = b12 + b22 + L + bn2 .
(I)求数列 {a n } 的通项公式; (II)求证: S n <

1 . 4

第4页 共7页

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文史类 数学 (文史类) 参考答案 文史

小题, 一.选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 选择题: 1~5 CBBAC 7.A 6~10 BADAD

uuu uuur uuur uuu uuur r r uuu uuur uuu r r uuu r uuur ( DB + DC + 2 AD ) ( AB ? AC ) = 0 ? ( AB + AC ) ( AB ? AC ) =| AB |2 ? | AC |2 = 0 ,所以

这个三角形是等腰三角形,选 A. 8.D 由 f ( x ) = 2010 可得 f
?1

(2010) = x ,则 log 2011 (

2010 + 2010) = 1 ,选 D. 2010

9.A 由可行域知当 x = 4, y = 6 时有最大值,则

2 3 2a + 3b 2a + 3b 13 b a 25 2a + 3b = 6, + = + = + + ≥ , a b 3a 2b 6 a b 6
选 A. 10. 由 ? D

?0 < x < 1 画出第一象限的图象, 再由对称性画出其它象 ?0 < y < 1

限图像,如图,可知 A I B 所对应区域为一个半圆,面积为

πr 2
2

=

π
2

, 选 D.

小题, 二.填空题:本大题共 5 小题,共 25 分。 填空题: 11. ( , )
n

1 5 2 2

12.(-1,2)
n ?1

13.2 ,所以

14. 2 ? ( )

1 2

n?1

15. 30

o

14.由 S n = 2 ? 1 ? an = 2

1 1 1 1 1 1 1 + + L + = 1 + + 2 + L + n ?1 = 2 ? ( ) n ?1. a1 a2 an 2 2 2 2 t t , k PF2 = , 6 2

15.由对称性,设 P (4, t ), t > 0 , F1 ( ?2, 0), F2 (2, 0) ,∴ k PF1 =

t t ? 2 6 = 4t = 4 ≤ 4 = 3 ,∴θ = π = 30o . 由夹角公式得: tan θ = max t t 12 + t 2 12 3 6 1+ + t 2 13 2 6 t
三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 解答题: 小题, 16.解:(I)由余弦定理, cos B = 解

a 2 + c 2 ? b 2 12 1 π = = ? B = ………6 分 2ac 24 2 3

第5页 共7页

1 1 ac sin B (II)由面积法有, S ? = ac sin B = bh ? h = = 2 2 b
17.解:(I) A = {x | x ≤ ?1或x > 2} ………3 分 解

4 × 3×

3 2 = 6 39 ……13 分 13 13

B = {x | x < a或x > a + 1} ………6 分
(II)由 A U B = B 得 A ? B ,因此 ?

? a > ?1 ………10 分 ?a + 1 ≤ 2

所以 ? 1 < a ≤ 1 ,所以实数 a 的取值范围是 (?1,1] ………13 分.

18.解:(I) f ( x ), g ( x ) 在[1,2]上都是减函数. ? 解

?a ≤ 1 ? 0 < a ≤ 1. ………4 分 ?a > 0

(II)当 a = 1 时, h( x ) = f ( x ) g ( x ) =

? x 2 + 2x + m m = ? x + + 2, ………6 分 x x

当 m ≥ 0 时,显然 h(x ) 在 (0,+∞) 上单调递减,

∴ h(x) 无最大值;…………8 分
当 m < 0 时, h( x ) = ? x + 当且仅当 x =

m ( ? m) + 2 = ?( x + ) + 2 ≤ ?2 ? m + 2, ………10 分 x x

? m 时,等号成立,

∴ h( x) max = ?2 ? m + 2
?2 ? m + 2 = ?4 ? m = ?9 ………13 分

uuu uuu r r OA OB m(? cos α sin β + sin α cos β ) r r 19.解:(I)设它们的夹角为 θ ,则 cos θ = uuu uuu = = 解 m | OA || OB | sin(α ? β ) = sin

π
6

=

1 π ,故 θ = ………6 分 2 3

(II) | AB | ?2 | OB |=

(? sin β ? m cos α ) 2 + (cos β ? m sin α ) 2 ? 2

= 1 + m 2 + 2m sin( β ? α ) ? 2 ………10 分
所以当 m > 0 时,原式的最大值是 m ? 1 ; 当 m < 0 时,原式的最大值是 ? m ? 1 ………12 分

第6页 共7页

20.解:依题意得: Q (?1,0) ,直线 l 斜率存在,设其斜率为 k ,则 l 的方程为 y = k ( x + 1) , 解 代入抛物线方程有: k x + ( 2k ? 4) x + k = 0 ………2 分
2 2 2 2

(I)若 k = 0 ,令 ? = 0 得, k = ±1 ,此时 l 的方程为 y = x + 1, y = ? x ? 1. / 若 k = 0 ,方程有唯一解.此时 l 的方程为 y = 0 ………4 分 (II)显然 k = 0 ,记 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 x1 + x2 = /

4 ? 2k 2 , x1 x2 = 1, ………8 分 k2

k1 + k2 =

y1 y 2k ( x1 x2 ? 1) + 2 = = 0 ………12 分 x1 ?1 x2 ?1 ( x ? 1)( x ? 1)
1 2

21.解:(I)Q 解

a n+1 + a n 8 2 2 = ,∴ a n +1 ? a n = 8(n + 1) n+1 a n +1 ? a n

2 2 2 2 2 2 ∴ a n = (a n ? a n ?1 ) + (a n ?1 ? a n ? 2 ) + L + (a 2 ? a12 ) + a12

= 8[n + (n ? 1) + L + 2] + 9 = (2n + 1)2 ∴ a n = 2n + 1. ………5 分
(II) bn =
2

1 1 1 1 1 1 = < = ( ? ) 2 2 4n(n + 1) 4 n n + 1 a n (2n + 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ S n < [(1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? )] = (1 ? ) < ………12 分 4 2 2 3 n n +1 4 n +1 4

第7页 共7页


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