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2015年高考数学理科圆锥曲线大题专项训练

时间:2015-03-06


2015 年浙江高考理科圆锥曲线专训
姓名 1. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一动点,点 P 在 AM 上,点 N 在

CM 上,且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0,点N 的轨迹为曲线 E .
(1)求曲线 E 的方程;
<

br />[来源:学科网 ZXXK]

(2)若直线 y ? kx ? k 2 ? 1 与(1)中所求点 N 的轨迹 E 交于不同两点 F、H,O 是 坐 标原点,且

2 3 ? OF ? OH ? ,求△ FOH 的面积的取值范围. 3 4

(

6 2 ?S? ) 4 3
2 2

2. (本小题满分 12 分) 如图, 抛物线 C1 : x ? 4 y, C2 : x ? ?2 py ? p ? 0? , 点 M ? x0 , y0 ? 在 抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重合于 O )

1 x0 ? 1 ? 2 ,切线 MA. 的斜率为 - 。 2 (I)求 p 的值;
(II)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程。

? A, B重合于O时,中点为O?.

( x ?
2

4 y .) 3
2 2

3.(13 分)已知椭圆 x
a

5 2 ? 在椭圆上. + y =1(a>b>0),点 P ? a, a? ? 2 ? b 5 2 ?
2

?

?

(1)求椭圆的离心率; (2)设 A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点.若点 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线 OQ 的斜率 的值. (k=± 5 .) 4. (本小题满分 14 分) 平面内与两定点 A1(?a, 0) ,A2(a, 0) (a ? 0) 连续的斜率之积等于非零常数 m 的点 的轨迹,加上 A1 、 A2 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭 圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值得关系; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,对应的曲线为 C1 ;对给定的 m ? (?1, 0)U (0, ??) ,对应的曲线为

C2 ,设 F1 、 F2 是 C2 的两个焦点。试问:在 C1 撒谎个,是否存在点 N ,使得△

F1 N F2 的面积 S ?| m | a2 。若存在,求 tan F1 N F2 的值;若不存在,请说明理
由。 (当 m ? ?

?1 ? 5 ? ,0? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S ?| m | a2 , 且 tan F 1 NF 2 ? 2; ? 2 ? ?

当 m ? ? 0,

? 1? 5 ? 2 ? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S ?| m | a , 且 tan F1NF2 ? ?2; ? 2 ? ?

当 m(?1,

1? 5 1? 5 ) ( , ??) 时,在 C1 上,不存在满足条件的点 N) 2 2

5.(本小题满分 16 分) 已知 ?ABC 的三个顶点 A(?1 , 0) , B(1 , 0) , C (3 , 2) ,其外接圆为 H . (1)若直线 l 过点 C ,且被 H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (2)对于线段 BH 上的任意一点 P ,若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M , N ,使 得点 M 是线段 PN 的中点,求 C 的半径 r 的取值范围.

10 4 10 , ). 3 5 6. (本小题满分 10 分) 已知点 A(?1 , 0) , F (1 , 0) ,动点 P 满足 AP ? AF ? 2 | FP | . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; y ? 2 x ? 2 上取一点 Q , (2)在直线 l : 过点 Q 作轨迹 C 的两条切线, 切点分别为 M , N . 问: 是否存在点 Q ,使得直线 MN // l ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理 1 由. (? ,1) 2 [
7. (本小题满分 13 分)

已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0),设左顶点为 A,上顶点 a2 b2
y B A O F x

为 B,且 OF ? FB ? AB ? BF ,如图. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )若 F (1, 0) ,过 F 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点, 试确定 FM ? FN 的取值范围. [?3, ? ] .

9 4

P ( 3, ) . 8.已知椭圆 C 两焦点坐标分别为 F 1 (? 3,0) , F 2 ( 3,0) ,且经过点
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知点 A(0, ?1) ,直线 l 与椭圆 C 交于两点 M , N .若△ AMN 是以 A 为直角顶点的 等腰直角三角形,试求直线 l 的方程. (y?

1 2

3 或 5x ? 5 y ? 3 ? 0 或 5x ? 5 y ? 3 ? 0 . ) 5

x2 y 2 2 9.(12 分) .已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆 a b 2
的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆上一点,且满足 ,当 PA ? PB < OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原点)

2 5 时,求实数 t 的取值范围. 3

10.(本小题满分 12 分) 如图 ,过抛物线 x ? 4 y 的对称轴上任一点 P(O,m)(m>O)
2

作直线与抛物线交于 A,B 两点,点 Q 是点 P 关手原点的对 称点. (I) AP ? ? PB, 证明: QP ? QA ? ? QB); (Ⅱ )设直线 AB 的方程是 x- 2y+12=0,过 A,B 两点的 圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线,求圆 C 的方程.

11. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,离心率为 ,过点 F 且与石轴 3 2 a b

垂直的直线被椭圆截得的线段长为 2 ,O 为坐标原点. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设经过点 M(0,2)作直线 A B 交椭圆 C 于 A、B 两点,求△AOB 面积的最大 值; (Ⅲ)设椭圆的上顶点为 N,是否存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使点 F 为△PQN 的 垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

(

4 2 . y ? x? ) 3 2

12. (本小题满分 12 分) 设椭圆 C :

x2 y2 1 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点到直线 ? ? 1 的距离 2 2 a b a b

d?

21 , O 为坐标原点。 7

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A, B 两点,证明点 O 到直线 AB 的距离为定值. 并求出定值

13.(本小题共 14 分) 已知椭圆 G :

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 , 过 椭 圆 G 右 焦 点 F 的 直 线 2 a b 2

m : x ? 1与椭圆 G 交于点 M (点 M 在第一象限). (Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)已知 A 为椭圆 G 的左顶点,平行于 AM 的直线 l 与椭圆相交于 B, C 两点.判断直线
MB, MC 是否关于直线 m 对称,并说明理由.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 a 2 b2 F (1,0) ,过焦点 F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 A , B 两点,点 B 关于坐标原点的 对称点为 P ,直线 PA , PB 分别交椭圆 C 的右准线 l 于 M , N 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程; 8 3 3 ) ,试求直线 PA 的方程; (2)若点 B 的坐标为 ( , 5 5
14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点 (1, ) 的椭圆 C :

3 2

(3)记 M , N 两点的纵坐标分别为 yM , yN ,试问 yM ? yN 是否为定值?若是,请求出该 定值;若不是,请说明理由.
y

l
B

M

P

Q

O

A

x

(第 16 题)

16. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线为直线 l,动直线 a 2 b2 y ? kx ? m (k ? 0,m ? 0) 交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,射线 OM 分别交

椭圆及直线 l 于 P,Q 两点,如图.若 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点,上顶点时,

1 点 Q 的纵坐标为 (其中 e 为椭圆的离心率) ,且 OQ ? 5OM . e
(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)如果 OP 是 OM,OQ 的等比中项,那么 是,请说明理由. (常数 ?2 )

m 是否为常数?若是,求出该常数;若不 k

17.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) P (2, n) , Q(2,?n) 是椭圆 C 上两个定点,A、B 是椭圆 C 上位于直线 PQ 两侧的动 点。 ① 若直线 AB 的斜率为

1 ,短轴长为 4 3 。 2

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; 2

y

② 当 A、B 两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ 时,直线 AB 的斜率是否为定 值,说明理由。 P 18. (本小题满分 12 分) B A O Q 18 题 x

已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (1).求椭圆 C 的方程; (2).若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆上一点,且满足

OA ? OB ? tOP ( O 为坐标原点),当 | PA ? PB |?

2 5 时,求实数 t 取值范围. 3

19. (本题满分 13 分) 抛物线 P : x 2 ? 2 py 上一点 Q(m, 2) 到抛物线 P 的焦点的距离为 3 , A, B, C , D 为抛物线的 四个不同的点,其中 A 、 D 关于 y 轴对称, D( x0 , y0 ) , B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) ,

? x0 ? x1 ? x0 ? x2 ,直线 BC 平行于抛物线 P 的以 D 为切点的切线.
(Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)证明: ?CAD ? ?BAD ; (Ⅲ) D 到直线 AB 、 AC 的距离分别为 m 、 n ,且 m ? n ? 2 AD , ?ABC 的面 积为 48,求直线 BC 的方程.

? B(0,0), ?lBC : y ? 2x .

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴一个端到右焦点的距离为 2 a b 3

3。
(1)求椭圆 C 的方程: (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 面积的最大值。

6 ,求△ AOB 2

21.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的 2 2 a b

圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,直线 l : x ? my ? 4 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程;(2)求 OA ? OB 的取值范围;

13 (?4, ) . 4
22、在直角坐标系 xOy 上取两个定点 A1 (?2,0), A2 (2,0) , 再取两个动点 N 1 (0, m)、N 2 (0, n) 且 mn ? 3 . (Ⅰ)求直线 A1 N 1 与 A2 N 2 交点的轨迹 M 的方程; (II) 已知 F2 (1,0) , 设直线 l :y ? kx ? m 与 (I) 中的轨迹 M 交于 P 、Q 两点, 直线 F2 P 、

F2 Q 的倾斜角分别为 ?、? ,且 ? ? ? ? ? ,求证:直线 l 过定点,并求该定点的
坐标. (4,0)

23. (本小题满分 13 分) 如图,矩形 ABCD 中,|AB|=2 2,|BC|=2.E,F,G,H 分别是矩形四条边的中点, → → → → 分别以 HF,EG 所在的直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,已知OR=λOF,CR′=λCF, 其中 0<λ<1. x2 (Ⅰ)求证:直线 ER 与 GR′的交点 M 在椭圆 Γ: +y2=1 上; 2 (Ⅱ)若点 N 是直线 l:y=x+2 上且不在坐标轴上的任意一点,F1、F2 分别为椭 圆 Γ 的左、右焦点,直线 NF1 和 NF2 与椭圆 Γ 的交点分别为 P、Q 和 S、T.是否存在点 N, 使得直线 OP、OQ、OS、OT 的斜率 kOP、kOQ、kOS、kOT 满足 kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存 5 3 在,求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由. (- , ) 4 4

24.(本小题满分 12 分) 设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,准线为 l ,
2

M∈C,以 M 为圆心的圆 M 与 l , 相切于点 Q,Q 的纵坐标为 3 p ,E(5,0)是圆 M 与 x 轴除 F 外的另一个交点 (I)求抛物线 C 与圆 M 的方程: ( II) 已知直线 n : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , n 与 C 交于 A,B 两点, n 与 l 交于点 D,且

FA ? FD , 求△ABQ 的面积.


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