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双曲线的简单性质1

时间:2016-11-27


y
M
F1 O F2

x

目标

理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双 曲线的标准方程出发,推导出这些性质, 并能具体估计双曲线的形状特征.

重点

双曲线的几何性质及初步运用.

难点

双曲线的几何性质的理解

掌握.

复习
1、双曲线的定义,代数表达式, 标准方程(焦点在分别在x、y 轴上),a、b、c 间的关系? 2. 写出满足下列条件的双曲 线的标准方程: ① a=3,b=4焦点在x轴上; ②焦点在y轴上,焦距为8, a=2; 3.前面我们学习了椭圆的哪些 几何性质?你能类比探究出双曲 线的几何性质吗?
y
M

F1 O

F2

x

x y ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 2 a b

2

2

y
B2

1、范围: x≥a或x≤-a。 2、对称性: x A1 O A2 双曲线关于x轴、y 轴及原点都对 B1 称,原点是双曲线的对称中心。 3、顶点:A1(-a,0),A2(a,0) 线段A1A2叫做双曲线的实轴,线段B1B2 叫做双曲线的虚 轴。 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。

c 4、离心率 e ? (e>1) a

5、渐近线: x2 y 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1的渐近线方程为:? ? 0 a b a b

你能说出焦点在y轴上双曲线的性质吗? 2 2 y y x ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 2 A2 a b
1、范围: y≥a或y≤-a。 B2 B1 2、对称性: x 双曲线关于x轴、y 轴及原点都对 A1 称,原点是双曲线的对称中心。 3、顶点:A1(0,-a),A2(0,a) 线段A1A2叫做双曲线的实轴,线段B1B2 叫做双曲线的虚 轴。
O

c 4、离心率 e ? (e>1) a

5、渐近线: y 2 x2 y x 双曲线 2 ? 2 ? 1的渐近线方程为:? ? 0 a b a b

沙场练兵
2 2 x y 2-16x2=400 1、求双曲线1) ;2)25y ? ?1 16 9

的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及

渐近线的方程。
2、求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)实轴的长是10,虚轴长是8,焦点在x轴上; (2)离心率 e ? 2,经过点M(-5,3); (3)渐近线方程为2x-3y=0,经过点M(4.5,-1)

例题讲解
1、双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋 转所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口 半径为25m,高为55m,试选择适当的坐标系,求出此双曲线 的方程。 分析引导:题目 是个典型的求曲 线方程问题,求 双曲线的方程只 需求出a,b即可, 建立坐标系、找 出关系式求解。
C

y

C’

A

o

A’

x

B

B’

解:如图以冷却塔的轴截面所在的平面建立直角坐标系, 使小圆的直径AA’在x轴上。由已知可知:

|AA’|=2a=24即a=12, 设C’(13,y),则B’(25,y-55)
x2 y 2 设双曲线的方程为: ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), 则 2 a b y C ? 25 2 (y - 55) 2 ? ?1 ? 2 2 ? 12 b ? 2 解之得:b ? 25 2 13 y ? A o ? ? 1 2 2 ? b ? 12 x2 y2 ? 所求的双曲线方程为: ? ?1 144 625
B

C’
A’

x

B’

x y 1、已知双曲线的焦点在x轴上,方程为 2 ? 2 ? 1, a b
两顶点的距离为8,一渐近线上有点A(8,6),试求此双 曲线的方程。 2、过双曲线6x2-3y2=18的右焦点F2,作倾斜角为30°的 直线交双曲线于A、B两点,求A、B两点的坐标及|AB|的 长。(若求⊿ABF1的周长呢?)
2 2 x y 3、(1)求以椭圆 ? ? 1的焦点为顶点,顶点为焦点 12 8 的双曲线的方程。 2 2 x y (2)求以 ? ? 1 的顶点为焦点的等轴双曲线的方程。 12 8

2

2

P61练习1--5

解:由已知可知:a2=3,b2=6 ∴c2=3+6=9,c=3 即双曲线的右焦点F(3,0) 3 ? 直线AB的方程为:y ? ( x ? 3) 3 ? 3 y? ( x ? 3) ? ? 由? 2 3 2 得:5x 2 ? 6x - 27 ? 0 ?x ? y ? 1 ? 6 ?3 9 2 3 ? x1 ? ?3, x 2 ? ? y 1 ? ?2 3 , y 2 ? ? 5 5 9 2 3 即:A( ?3,?2 3 ), B( ,? ) 5 5 9 2 2 3 2 16 3 ?| AB |? ( ?3 - ) ? ( ?2 3 ? ) ? 5 5 5

知识小结
双曲线的问题要紧扣定义, 几何性质要熟练掌握

作业


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