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辽宁省沈阳铁路实验中学2013届高三寒假验收数学(理)试题

时间:2013-03-12


只有一 项是符合题意要求的. A. ?- 1,2,2? - 1,

- 1, , 1.已知集合 A ? ?- 2,1,2? B ? x
B. ? , 3? 1 2,

?

x ? 4 ,则 A ? B 等于( ) C. ?0,2? D. ? 2? 1, 1,


?


2.已知 i 为虚数单位,复数

1 ? 3i 的实部和虚部之和为( 1? i
C. 2

A. 0

B. 1

D.3 ,则 z ? x ? y 的最小值是

?x ? 0 ? 3. 若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ?2 x ? y ? 3 ?
(A)-3 (B)0 (C)

3 2

(D)3

4. 已知|m|= 3 ,|n|=1,|m-2n|=1,则向量 m 与 n 的夹角为( A.



? 6

B.

? 4
x

C.

? 3

D.

? 2


5. 在下列区间中,函数 f ( x ) ? e ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为( A.

?1 1? ? , ? ?4 2?

B. ? ?

? 1 ? ,0 ? ? 4 ?

C. ? 0, ?

? ?

1? 4?

D. ?

?1 3? , ? ?2 4?

6.已知等比数列 ?a n ? 中, 各项都是正数, a1 , a3 ,2a 2 成等差数列, 且 则

a8 ? a 9 =( ) a6 ? a7
B. 1 ? 2 D. 3 ? 2 2

1 2

2 C. 3 ? 2 2

A. 1 ?

7. 阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出 s 值等于 A -3 B -10 C 0 D -2 8. 把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵 坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长 度,得到的图像是

9.设 m, n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程

x 2 ? mx ? n ? 0 有实根的概率为( 11 7 A. B. 36 36

) C.

7 11

D.

7 10
2 2

0 10. 直线 l : mx ? ( m ? 1 ) y ? 1 ? (m为常数) ,圆 C : ( x ? 1 ) ? y ? 4 ,则(
A. 当 m 变化时,直线 l 恒过定点(-1,1) B. 直线 l 与圆 C 有可能无公共点 C. 对任意实数 m ,圆 C 上都不存在关于直线 l 对称的两点 D. 若直线 l 与圆 C 有两个不同交点 M,N,则线段 MN 的长的最小值为 2 3 11. .如图是某几何体的三视图, 其中正视图是斜边长为 2a 的直角 a 的半圆,则该几何体的体积是 形,侧视图是半径为



三 (

角 )

3 3 3 3 B. ?a ?a 6 4 3 3 C. 3?a D. 2 3?a 2 2 2 21.若双曲线 x ? y ? a (a ? 0) 的左、右顶点分别为 A、B,点 P 是第一象限内双曲线上的点,
A. 若直线 PA、PB 的倾斜角分别为 ? , ? ,且 ? ? m? (m ? 1) ,那么 ? 的值为() A.

?
2m ? 1
2

B.

?
2m

C.

?
2m ? 1

D.

?
2m ? 2
.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? 1 在区间 ?? ?,1? 有零点,则实数 a 的取值范围为 14. 设 函 数 f ( x) ? sin x ? sin x cos x , 在 区 间 ?0, ? ? 上 任 取 一 点 x0 , 则 f ( x0 ) ?
2

1 的概率 2



.

15.已知三角形 ABC, ?C ? 60? ,AC=2,BC=1,点 M 是三角形 ABC 内部或边界上一动点,N 是边 BC 的中点,则 AN ? AM 的最大值为
2

.

16.过点 M (2,?2 P ) 作抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 的两条切线,切点分别为 A、B,若线段 AB 的中点

的纵坐标为 6,则抛物线的方程为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)

已知锐角 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,向量 m=( cos C ? sin C ,1),n=( cos C ? sin C ,

1 ),且 m ? n. 2

12.求角 C 的大小;(2)若边 c=2,求 ?ABC 面积的最大值.
18.(本小题满分 12 分)

三分球大赛是 NBA 全明星的周末比赛项目之一。比赛一共有 5 个投篮点:底角对称有两个, 45 度角对称有两个,另一个在弧顶, 每个投篮点有 5 个球, 其中 4 个橘色球投中了各得 1 分, 最后一个花球投中了得 2 分,满分为 30 分。若某球员在任意一个投篮点的 5 次投篮中,每次

3 投中的概率均为 5 。(1)求该球员在一个投篮点得分为 4 分的概率;
(2)该球员在五个投篮点投篮结束后,得分为 4 分的投篮点的个数为 X,求 E(X).
19. (本小题满分 12 分) 已知斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , ?BCA ? 90? , AC ? BC ? 2,
A1

A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D,
又 BA1 ? AC1 ; (1)求证: AC1 ? 平面 A1 BC ; (2)求 C1 到平面 A1 AB 的距离; (3)求二面角 A ? A1 B ? C 的余弦值; 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆
A D B

B1

C1

C

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F?1,0? , M 为椭圆的上顶点, O 为坐标原点,且 a 2 b2

?OMF 是等腰直角三角三角形.
(1) 求椭圆的方程; (2) 是否存在直线 l 交椭圆于 P、Q 两点,且使点 F 为 ?PQM 的垂心?若存在,求出直线

l 的方程;若不存在,请说明理由.
(1) (本小题满分 12 分)
2

设函数 f ( x) ? ax ? x ln x ? (2a ? 1) x ? a ? 1 (a ? R ) (1) (2) 当 a=0 时,求函数 f(x)在点 P (e, f (e)) 处的切线方程; 对任意的 x ? ?1,?? ? ,函数 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的直径, D, E 为圆上位于 AB 异侧的两点, 连结 BD 并延长至点 C ,使 BD ? DC ,连结 AC , AE , DE . 求证: ?E ? ?C . 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 直 线 l 的 参 数 方 程 为

3 ? ? x ? ?1 ? 5 t ? ?t为参数? ,若以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 ? 4 ? y ? ?1 ? t ? 5 ? ? C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin( ? ? ) . 4
20.求曲线 C 的直角坐标方程;(2)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 函数 f(x) ? x - 1 ? x ? 2 ? 画出函数 y ? f(x) 的图像; 若不等式 a ? b ? a ? b ? a f ( x )?a ? 0.a、b ? R ? 恒成立,求实数 x 的范围.

?

数学答案(理)

?3? 2 ? 2 ? 162 2? 3 ? 18. (1)得 4 分概率为 ? ? ? ? C4 ? ? ? ? ? ? 625 ?5? 5 ?5? ? 5?
? 162 ? (2)得分为 4 分的投篮点的个数 X 服从二项分布 B? 5, ? ? 625 ? 所以 E ( X ) ? 5 ? 162 ? 162 625 125 2 21 7 ? 19.(1)略 (2) 7 (3) 7

4

3

2

21.(1) c ? b ? 1 a ? 2 椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 2

(2)设存在直线 PQ 交椭圆于 P( x1 , y1 )Q( x2 , y2 ) 1 k PQ ? ? ? 1 设 PQ : y ? x ? m 与椭圆联立得: k MF
3 x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 2 ? 0 因为 ? ? 0 ? m 2 ? 3 4m 2m 2 ? 2 且 x1 ? x2 ? ? , y1 ? y2 ? 3 3

由题, MP ? FQ ? 0 又 MP ?

?x1 , y1 ? 1?, FQ ? ?x2 ? 1, y2 ?

4 ? 2 x1 x2 ? ? x1 ? x2 ?(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 代入解得, m ? ? 或 m ? 1 3

经检验, m ? 1 时三角形不存在, 4 4 当 m ? ? 时,所求直线 y ? x ? 满足题意 3 3 4 综上,存在直线 l : y ? x ? 3 ?
?1 ? (1) 切线方程为:x ? y ? 1 ? e ? 0(2)a ? ? ,?? ? ?2 ?