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吉林省实验中学2014届高三下学期第五次模拟考试数学(理)试题 Word版

时间:2014-05-19


吉林省实验中学 2014 届高三下学期第五次模拟考试数学 (理)试题
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一 . 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x ? R | 2 x ? e}, B ? {x ? R | A. {x ? R | 0 ? x ? log 2 e} C. {x ? R |1 ? x ? log 2 e} 2.以下判断正确的是

1 ? 1} 则 A B ? x





B. {x ? R | 0 ? x ? 1} D. {x ? R | x ? log 2 e} ( )

A.函数 y ? f ( x) 为 R 上的可导函数,则 f ' ( x0 ) ? 0 是 x0 为函数 f ( x) 极值点的充要条 件. B.命题“ 存在x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ 任意x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”. C.命题“在 ?ABC 中,若 A ? B, 则 sin A ? sin B ”的逆命题为假命题. D. “ b ? 0 ”是“函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 是偶函数”的充要条件.

i ? i 2 ? i 3 ? ? i 2013 3.已知复数 z ? ,则复数 z 在复平面内对应的点位于 1? i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若 tan ? ? 3 ,则 sin ? cos ? ? A. ?









3 3 3 B. 3 C. D. 4 4 3 5.一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示,则这个空间几何体的表面积是(
A.
11? 2



B. D.

11? +6 3 2 11? +3 3 2
开始 n=0,S=0 S=S+2n n=n+1 是

C.11π

6.执行右边的程序框图,若输出的 S 是 2047,则判断框内应填 A.n≤9? B.n≤10? C.n≥10? D.n≥11?

否 输出 S

π 7.函数 f(x)=sin(ωx+φ) (其中(ω>0,|φ|< )的图象如图所示,为了得到 结束 g(x)=sinωx 2 的图象,则只要将 f (x)的图象 ( ) π A.向右平移 个单位 6

π 个单位 12 π C.向左平移 个单位 6 π D.向左平移 个单位 12 B.向右平移 8.在三角形 ABC 中,设 AC ? AB ? 2 AM ? BC ,那么动点 M 的轨迹必通过三角形的 ( ) A.垂心 B.内心 C. 外心 D.重心 9. 八个一样的小球排成一排,涂上红、白两种颜色,5 个涂红色,3 个涂白色.若涂红色 的小球恰好有三个连续,则不同涂法共有 A.36 种 B.30 种 C.24 种 ( D.20 种 )
2 2

10.一个空间四边形 ABCD 的四条边及对角线 AC 的长均为 2 ,二面角 D ? AC ? B 的余 弦值为

A.四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3? B .四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 4? C.四边形 ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为 3 3? D .不存在这样的球使得四边形 ABCD 的四个顶点在此球面上 11.已知 A(1,0) ,点 B 在曲线 G:y=1n(x+1)上,若线段 AB 与曲线 M:y=

1 ,则下列论断正确的是 3





1 相交 x

且交点恰为线段 AB 的中点,则称 B 为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点.记曲线 G 关于 曲线 M 的关联点的个数为 a,则 ( ) A.a=0 B.a=1 C.a=2 D. a ? 2 12. 从点 M ( x0 , 4) 发出的光线, 沿平行于抛物线 y 2 ? 8 x 的对称轴方向射向此抛物线上的点

P ,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点 Q ,再经抛物线反射后射向直线

l : x ? y ? 10 ? 0 上的点 N ,经直线反射后又回到点 M ,则 x0 等于
A. 5 B. 6 C. 7

( D. 8

)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试,从中 抽出 60 名学生,将其成绩分成六段[40,50) ,[50,60) , …,[90,100]后,画出如图所示的频率分布直方图.观 察图形的信息,回答下列问题:估计这次考试的及格率 (60 分及以上为及格)为 .

14 .圆心为 (2 ,- 3) ,一 条直径的两 个端点分 别在 x 轴 和 y 轴上 的圆的标 准方程为 ________________.

?0 ? y ? 4, ? 15.随机地向区域 ? x ? 0, 内投点,点落在区域的每个位置是等可能的,则坐标原点与 ? y ? x2 ?
该点连线的倾斜角小于

?
3

的概率为

. .

16.在 ?ABC 中, C ? 60?, AB ?

4 3, AB 边上的高为 , 则 AC ? BC ? 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 . (本 题满分 12 分) 设 ?an ? 是等差数列 , ?bn ? 是各项都为正 数的等 比数列,且

a1 ? 2, b1 ? 3 , a3 ? b5 ? 56 , a5 ? b3 ? 26 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 ? x 2 ? 3 x ?

2bn 对任意 n ? N * 恒成立,求实数 x 的取值范围. 2n ? 1

18. (本题满分 12 分)在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱, 由 现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手, 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷, 他必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的空间几何体中, 平面 ACD ? 平面 ABC ,?ACD 与 ?ACB 是边长为 2 的等边三角形, BE ? 2 , BE 和平面 ABC 所成的角为 60? ,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上. (Ⅰ)求证: DE // 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 的中心为原点 O ,离心率 e ?

? ,其一个焦点在抛 ?

物线 C2 : y 2 ? 2 px 的准线上,若抛物线 C2 与直线 l : x ? y ? 6 ? 0 相切. (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)若点 T 满足: OT ? MN ? ?OM ? ON ,其中 M , N 是 C1 上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

uuu r

uuur

uuur

uuu r

? ,试说明:是否存在两个定点 F? , F? ,使得 TF? ? TF? 为定值?若存在, ?

求 F? , F? 的坐标;若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

ln x . x

(Ⅰ)求过原点且与函数 f ( x) 的图象相切的直线方程; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ln x ? m ,讨论函数 g ( x) 在区间 , e 2 上零点的个数; ? ?

?1 ?e

? ?

ln 2 (nx) (Ⅲ)记 Fn ( x) ? , S n ( x) ? F1 ( x) ? F2 ( x) ? ? ? Fn ( x), n ? N ? .若对任意正整数 3 n 4 p , | S n? p ( x) ? S n ( x) |? 对任意 x ? D 恒成立,则称 S n ( x) 在 x ? D 上是“高效” n 的.试判断 S n ( x) 是否是 x ? e, e 2 上是“高效”的?若是,请给出证明,若不是,请

? ?

说明理由.

选考题: (本小题满分 10 分) 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修 4—1:几何证明选讲 如图, D、 E 分别为△ABC 边 AB、 AC 的中点, 直线 DE 交△ABC A 的外接圆于 F、G 两点,若 CF∥AB. 证明:(Ⅰ)CD=BC; D (Ⅱ)△BCD ∽△GDB . E F G

B

C

23.选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? a cos ? (1 ? a ? 6, ? 为参数).在以 O 为原 ? y ? sin ? 点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 6 cos ? , 射线为 l 为 ? ? ? , l 与 C1 的交点为 A , l 与 C2 除极点外的一个交点为 B .当 ? ? 0 时, | AB |? 4 . (Ⅰ)求 C1 , C2 的直角坐标方程;
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 为 ? (Ⅱ)若过点 P(1 ,0)且斜率为 3 的直线m与曲线 C1 交于D、E两点,求 |PD| 与|PE | 差的绝对值.

24.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | . (Ⅰ)若 f ( x) ? m 的解集为 {x | ?1 ? x ? 5} ,求实数 a, m 的值; (Ⅱ)当 a ? 2 且 t ? 0 时,解关于 x 的不等式 f ( x ) ? t ? f ( x ? 2) .

参考答案及评分标准
一.选择题(每题 5 分,共 12 小题,满分 60 分,每小题只有一个选项正确。 ) 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 D 5 D 6 A 7 A 8 C 9 C 10 A 11 B 12 B

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ____75%___. 14. (x-2) +(y+3) =13 ___ 三.解答题
2 2

15.

3 3 32

16.

11 .

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意, ?

? a1 ? 2d ? b1 ? q 4 ? 56 , 2 a ? 4 d ? b ? q ? 26 ? 1 1

……………… 2 分

代入得 ?

? 2 ? 2d ? 3 ? q 4 ? 56 ,消 d 得 2q 4 ? q 2 ? 28 ? 0 , 2 ?2 ? 4d ? 3 ? q ? 26

……………… 3 分

(2q 2 ? 7)(q 2 ? 4) ? 0 ,

?bn ? 是各项都为正数的等比数列,? q ? 2
……………… 6 分

n ?1 所以 d ? 3 ,? an ? 3n ? 1, bn ? 3 ? 2

(Ⅱ)记 cn ?

3 ? 2n ?1 2n ? 1

cn ?1 ? cn ? 3 ? 2n ?1 ?

2n ? 1 ?0 (2n ? 1)(2n ? 3)

……………… 8 分

所以 cn 最小值为 c1 ? 1 , 所以 ? x ? 3 x ? 2 ,解得 x ? 2, 或 x ? 1
2

……………… 9 分

所以 x ? 2, 或 x ? 1 18. (本小题满分 12 分)

……………… 12 分

解:(Ⅰ)

设事件 A 表示:观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手.

2 3 ,观众乙未选中 3 号歌手的概率为1 - . 3 5 2 3 4 所以 P(A) = ( ……………… 3 分 ? 1- ) ? . 3 5 15 4 因此,观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 ……………4 分 15
观众甲选中 3 号歌手的概率为 (Ⅱ)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则 X 可取 0,1,2,3. ……………… 5 分 观众甲选中 3 号歌手的概率为

2 3 ,观众乙选中 3 号歌手的概率为 . 3 5 4 . 75
……………… 6 分

当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时,这时 X=0, P(X = 0) = (1 ? ) ? (1 ? ) 2 ?

2 3

3 5

当观众甲、乙、丙中只有 1 人选中 3 号歌手时,这时 X=1, P(X = 1) =

2 3 2 3 3 2 3 3 8 ? 6 ? 6 20 . ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? 3 5 3 5 5 3 5 5 75 75 2 3 3 2 3 3 2 3 3 12 ? 9 ? 12 33 . ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? ? (1 ? ) ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 75
……………… 8 分

当观众甲、乙、丙中只有 2 人选中 3 号歌手时,这时 X=2, P(X = 2) =

当观众甲、乙、丙均选中 3 号歌手时,这时 X=3, P(X =3) =

2 3 2 18 . ?( ) ? 3 5 75
0 1 2

………………9 分

X 的分布列如下表: X P 3

4 75

20 75

33 75

18 75
……………… 10 分

EX ? 0 ?

4 20 33 18 20 ? 66 ? 54 28 , ? 1? ? 2? ? 3? ? ? 75 75 75 75 75 15

……………… 11 分

28 ……………… 12 分 15 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)由题意知, ?ABC , ?ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点 O , 连接 BO, DO ,则 BO ? AC , DO ? AC ,
所以,数学期望 EX ? 又∵平面 ACD ⊥平面 ABC ,∴ DO ⊥平面 ABC ,作 EF ⊥平面 ABC , 那么 EF // DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴ ?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ? 3 , ∴四边形 DEFO 是平行四边形,∴ DE // OF ,∴ DE // 平面 ABC ……………6 分

(Ⅱ)解法一:作 FG ? BC ,垂足为 G ,连接 EG , ∵ EF ⊥平面 ABC ,∴ EF ? BC ,又 EF ? FG ? F , ∴ BC ? 平面 EFG ,∴ EG ? BC , ∴ ?EGF 就是二面角 E ? BC ? A 的平面角

Rt?EFG 中, FG ? FB ? sin 30? ?
EF ? 3 , EG ? 13 .
2

1 , 2

∴ cos ?EGF ? FG ? 13 .即二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 13 . EG 13 13 ………………12 分 解法二 :建 立如图 所示 的空间 直角 坐标 系 O ? xyz ,可知平 面 ABC 的一个法 向量为

n1 ? (0,0,1)
设平面 BCE 的一个法向量为 n 2 ? ( x, y, z )

?n2 ? BC ? 0 则, ? 可求得 n2 ? (?3, 3 ,1) . ? ? n ? BE ? 0 ? 2
分所以 cos ? n1 , n2 ??

………………9

n1 ? n2 13 ? , | n1 | ? | n2 | 13

所以二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 20. (本小题满分 12 分)

13 . 13

………………12 分

2 ? ? y ? 2 px 解: (I )由 ? ? y 2 ? 2 py ? 2 6 p ? 0 , ? ?x - y ? 6 ? 0

抛物线 C2 : y 2 ? 2 px 与直线 l : x - y ? 6 ? 0 相切,

?? ? 4 p 2 ? 8 6 p ? 0 ? p ? 2 6

…………………………………………………2 分

? 抛物线 C2 的方程为: y 2 ? 4 6 x ,其准线方程为: x ? ? 6 ,
离心率 e ?

? c? 6

? c 2 , ? a ? 12, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 6 , , ?e? ? ? a 2
…………………………………………………… 4 分

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆的标准方程为 12 6

(II )设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , T ( x, y ) 由 OT ? MN ? ?OM ? ON 得

uuu r

uuur

uuur

uuu r

( x, y ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ? 2( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ), x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 .
…………………………………… 6 分

设 kOM , kON 分别为直线 OM , ON 的斜率,由题设条件知

kOM ? kON ?

y1 y2 1 ? ? , 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0, …………………………………… 8 分 x1 x2 2

因为点 M , N 在椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 12 上,
2 2 所以 x12 ? 2 y12 ? 12, x2 ? 2 y2 ? 12 , 2 2 故 x 2 ? 2 y 2 ? ( x12 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ) ? 2( y12 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 ) 2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ) ? 60 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ).

所以 x 2 ? 2 y 2 ? 60 ,从而可知: T 点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点,…………………11 分 60 30

? 存在两个定点 F? , F? ,且为椭圆
标为 F1 (? 30, 0), F2 ( 30, 0) . 21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,使得 TF? ? TF? 为定值,其坐 60 30
……………………………………………12 分

22. ( 1) CF / / AB , DF / / BC ? CF / /BD / / AD ? CD ? BF

CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD
( 2) BC / / GF ? BG ? FC ? BD

………………5 分

BC / / GF ? ?GDE ? ?BGD ? ?DBC ? ?BDC ? ?BCD ?GBD
………………10 分

23. (I )由 ? ? 6 cos ? 得 ? 2 ? 6 ? cos ? ,所以 C2 的直角坐标方程是 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 0

x2 2 由已知得 C1 的直角坐标方程是 2 ? y ? 1 , a
当 ? ? 0 时射线与曲线 C1 , C2 交点的直角坐标为 ? a, 0 ? , ? 6, 0 ? ,

AB ? 4,? a ? 2 ? C1 的直角坐标方程是
1 ? x ? 1? t ? 2 (II )m 的参数方程为 ? (t为参数) ? ?y ? 3 t ? 2 ?

x2 ? y 2 ? 1 .①…………5 分 4



将②带入①得 13t 2 ? 4t ? 12 ? 0 ,设 D, E 点的参数是 t1,t2 ,则

4 12 , t1t 2 ? ? ? 0 13 13 4 ?|| PD | ? | PE ||?| t1 ? t 2 |? 13 t1 ? t 2 ? ?
24 解: (Ⅰ)由|x-a|≤m 得 a-m≤x≤a+m,

………………10 分

?a ? m ? ?1 ?a ? 2 , 解得? . 所以? ?a ? m ? 5 ?m ? 3
(Ⅱ)当 a=2 时,f (x)=|x-2|, 所以 f (x)+t≥f (x+t)?|x|-|x-2|≤t,

………………5 分

?2, x ? 2 ? 令 h( x) ?| x | ? | x ? 2 |? ?2 x ? 2,0 ? x ? 2 ?? 2, x ? 0 ?
所以,当 t ? 2 时,不等式①恒成立,解集为 R; 当 0 ? t ? 2 时,解集为 {x | x ?

……………6 分

……………8 分

t ? 1} 2

……………10 分


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