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初赛模拟试题(一)


初赛模拟试题(一)
填空题: 1. 圆柱的底面半径为 r ,高为 h ,体积为 2 ,表面积为 24 ,则

1 1 + = ___________ 。 r h

2. 等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ,并且对任意正整数 n 成立 Sn+2 = 4 Sn + 3 ,则 a2 的值 是________________

_。 3. 若 关 于 x 的 不 等 式

4x 1 + a x

4 在 区 间 1, 2 上 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

[ ]

_________________。 4. 若 正 实 数 a , b 满 足 log8 a + log4 b2 = 5 和 log8 b + log4 a 2 = 7 , 则

log4 a + log8 b = ______ 。
x y z 5. 将 集 合 2 + 2 + 2 x , y , z ? N , x

{

y < z} 中 的 数 从 小 到 大 排 列 , 第 100 个 是

_______。 6. 设 x = sin a + sin(a + ____________。 7. 函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = í
2

2p p 67p )sin(a + ) ,当 a = 时, x 的小数点后第一位数字是 3 3 2014

ì x 1000 ? x - 3, ,则 f (84) 的值是______________。 ? ? f ( f ( x + 5)), x < 1000
2 2 2

8.设 a, b, c 为实数,且满足 a + b + c = 15, a + b + c = 100 ,则 a 的最大值和最小值的积 为____________。 9. a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是 1, 2, 3,4,5 的一个排列,且满足 ai - ai +1 条件的排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的数目为_______________。 10.已知正整数 n = abc < 10000 ,其中 a、b、c 均为素数,且 2a + 3b = c,4a + c + 1 = 4b , 则 n 的值为____________。 解答题: 11.设 A, B 是椭圆

1 (i ? 1, 2, 3, 4) ,则满足

x2 + y 2 = 1 上两个动点, O 是坐标原点,且 OA?OB 0 ,又设 P 点在 2

AB 上,且 OP ^ AB ,求 OP 的值。

12.在四面体 ABCD 内部有一点 O , 满足 OA = OB = OC = 4 , OD = 1 ,求四面体 ABCD 体 积的最大值。

13.已知 C、D 是以 AB 为直径的半圆 O 上的两个点,弦 AD, BC 交于点 E , F 、 G 分别 是 AC 、 BD 延长线上的点,且满足 AF ?BG 是 H1 , H2 , 证明: (1) AH1 , BH 2 的交点 k 在圆 O 上; (2) F , K , G 三点共线。

AE BE ,若 D AEF 、D BEG 的垂心分别

14.正五边形 ABCDE 的对角线 BE 分别与对角线 AD, AC 交于点 F、G ,对角线 BD 分 别与对角线 CA, CE 交于点 H、I ,对角线 CE 与对角线 AD 交于点 J ,设由图中的 10 个 点 A, B, C , D, E , F , G, H , I , J 和线段构成的等腰三角形的集合为 M 。 (1)求 M 中元素的数目; (2)若将这 10 个点中的每个点任意染成红、蓝两种颜色之一,问是否一定存在 M 中的一 个等腰三角形,其三个顶点同色? (3)若将这 10 个点中的任意 n 个点染为红色,使得一定存在 M 中的一个等腰三角形,其 三个顶点同为红色,求 n 的最小值。


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