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椭圆、双曲线、抛物线的基本问题


椭圆、双曲线、抛物线的基本问题
x2 y2 1.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,且 双曲线的离心率等于 5,则该双曲线的方程为 4 A.5x2-5y2=1 y2 x2 C. 5 - 4 =1 x2 y2 B. 5 - 4 =1 5 D.5x2-4y2=1 ( ).

c 解析 由于抛物

线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),即 c=1,又 e=a= 5,可得 a= 5 2 2 2 2 4 5 ,结合条件有 a +b =c =1,可得 b =5,又焦点在 x 轴上,则所求的双 5 曲线的方程为 5x2-4y2=1. 答案 D x2 y2 x2 y2 2.已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为a2+b2=1,双曲线 C2 的方程为a2-b2=1,C1 3 与 C2 的离心率之积为 2 ,则 C2 的渐近线方程为 A.x± 2y=0 C.x± 2y=0 c1 c2 解析 由题意知 e1= a ,e2= a , c1 c2 c1c2 3 ∴e1· e2= a · = 2 = a a 2.
2 2 2 2 2 2 又∵a2=b2+c2 1,c2=a +b ,∴c1=a -b , 2 a4-b4 c2 1c2 ?b? ?b? 3 ∴ a4 = a4 =1-?a?4,即 1-?a?4=4, ? ? ? ?

(

).

B. 2x± y=0 D.2x± y=0

b 2 b 2 解得a=± 2 ,∴a= 2 . x2 y2 令a2-b2=0,解得 bx± ay=0,∴x± 2y=0. 答案 A

x2 y2 3.已知抛物线 y2=4px(p>0)与双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)有相同的焦点 F, 点 A 是两曲线的交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为 ( A. 5+1 2 ).

B. 2+1 D. 2 2+1 2

C. 3+1

解析 依题意,得 F(p,0),因为 AF⊥x 轴,设 A(p,y),y>0,y2=4p2,所以 y p2 4p2 c2 =2p.所以 A(p,2p).又点 A 在双曲线上,所以a2- b2 =1.又因为 c=p,所以a2 - 4c2 ?c? ?c? =1,化简,得 c4-6a2c2+a4=0,即?a?4-6?a?2+1=0.所以 e2=3+ 2 2 ? ? ? ? c -a

2 2,e= 2+1. 答案 B x2 y2 4. 已知双曲线 C 与椭圆16+12=1 有共同的焦点 F1, F2, 且离心率互为倒数. 若 双曲线右支上一点 P 到右焦点 F2 的距离为 4, 则 PF2 的中点 M 到坐标原点 O 的距离等于 A.3 C.2 B.4 D.1 16-12=2,故椭圆的离 ( ).

解析 由椭圆的标准方程,可得椭圆的半焦距 c=

2 1 1 心率 e1=4=2,则双曲线的离心率 e2=e =2.因为椭圆和双曲线有共同的焦
1

x2 y2 点, 所以双曲线的半焦距也为 c=2.设双曲线 C 的方程为a2-b2=1(a>0, b>0), c 2 则有 a=e =2=1,b2= 2 c2-a2= 22-12= 3,所以双曲线的标准方程为

y2 x2- 3 =1.因为点 P 在双曲线的右支上,则由双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2| =2a=2, 又|PF2|=4, 所以|PF1|=6.因为坐标原点 O 为 F1F2 的中点, M 为 PF2

的中点. 1 所以|MO|=2|PF1|=3. 答案 A x2 y2 5.已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 ( x2 y2 A. + =1 45 36 x2 y2 C.27+18=1 解析 直线 AB 的斜率 k= 0+1 3-1 1 =2,
2 2

). x2 y2 + =1 36 27

B.

x2 y2 D.18+ 9 =1

x1 y1 ? ?a2+b2=1 设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以? 2 2 x2 y2 ? ?a2+b2=1,

① ②

y1-y2 b2 x1+x2 b2 2 ①-②得 =-a2· .又 x1+x2=2,y1+y2=-2,所以 k=-a2× , x1-x2 y1+y2 -2 b2 1 所以a2=2, 又 a2-b2=c2=9,
2 2

③ ④

x2 y2 由③④得 a =18,b =9.故椭圆 E 的方程为18+ 9 =1. 答案 D x2 y2 6.设 F1,F2 分别为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一 9 点 P,使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|· |PF2|=4ab,则该双曲线的离心率为 ( 4 A.3 5 B.3 ).

9 C.4

D.3

解析 不妨设 P 为双曲线右支上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,根据双曲线的定 义,得 r1-r2=2a, 3b+2a 3b-2a 3b+2a 3b-2a 9 又 r1+r2=3b,故 r1= 2 ,r2= 2 .又 r1· r2=4ab,所以 2 · 2 9 b 4 c =4ab, 解得a=3(负值舍去), 故 e=a= 5 3,故选 B. 答案 B 1 2 x2 2 7.抛物线 C1:y=2px (p>0)的焦点与双曲线 C2: 3 -y =1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p= ( 3 A. 16 2 3 C. 3 3 B. 8 4 3 D. 3 ). a2+b2 a2 = ?b?2 ?a? +1= ? ? ?4?2 ?3? +1= ? ?

p? 1 ? 解析 抛物线 C1:y=2px2 的标准方程为 x2=2py,其焦点为 F?0,2?;双曲线 ? ? x2 3 1 C2: 3 -y2=1 的右焦点 F′为(2,0),其渐近线方程为 y=± 3 x.由 y′=px, 1 3 3 ? 3 p? 所以px= 3 ,得 x= 3 p,所以点 M 的坐标为? p, ?.由点 F,F′,M 三点 6? ?3 4 3 共线可求 p= 3 . 答案 D x2 y2 5 8.双曲线16- m=1(m>0)的离心率为4,则 m 等于________. 解析 由题意得 c= 16+m,所以 16+m 5 =4,解得 m=9. 4

答案 9 x2 y2 9.椭圆 T:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y = 3(x+c)与椭圆 T 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离 心率等于________. 解析 直线 y= 3(x+c)过点 F1,且倾斜角为 60° ,所以∠MF1F2=60° ,从而 ∠MF2F1=30° ,所以 MF1⊥MF2,在 Rt△MF1F2 中,|MF1|=c,|MF2|= 3c,所 2c 以该椭圆的离心率 e=2a= 答案 3-1 = 3-1. c+ 3c 2c

x2 y2 10.已知椭圆 C: 9 + 4 =1,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对 称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=________. x2 y2 解析 椭圆 9 + 4 =1 中,a=3.. 如图,设 MN 的中点为 D,则|DF1|+|DF2|=2a=6.

∵D,F1,F2 分别为 MN,AM,BM 的中点, ∴|BN|=2|DF2|,|AN|=2|DF1|, ∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12. 答案 12 11.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂 足,如果 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=________. 解析 抛物线的焦点为 F(2,0),准线为 x=-2,因为 PA⊥准线 l,设 P(m, n),

则 A(-2,n),因为 AF 的斜率为- 3,所以

n -2-2

=- 3,得 n=4 3,点

P 在抛物线上,所以 8m=(4 3)2=48,m=6.因此 P(6,4 3),|PF|=|PA|=|6- (-2)|=8. 答案 8 1 x2 y2 12 过点 M(1,1)作斜率为-2的直线与椭圆 C: B 两点, a2+b2=1(a>b>0)相交于 A, 若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________.
2 x2 y1 1 ? ?a2+b2=1, 2 x2 y2 2 ? ?a2+b2=1,

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则?

?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? ∴ + =0, a2 b2 y1-y2 b2 x1+x2 ∴ =-a2· . x1-x2 y1+y2 y1-y2 1 ∵ =-2,x1+x2=2,y1+y2=2, x1-x2 b2 1 ∴-a2=-2, ∴a2=2b2.又∵b2=a2-c2, c 2 ∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2,∴a= 2 . 答案 2 2

y2 13.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+b2=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值. 解 (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,

4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=3. (2)l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b2. y=x+c, ? ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组? 2 y2 x +b2=1, ? ?

消去 y,

-2c 1-2b2 得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0,则 x1+x2= , x x = .因为直线 AB 1+b2 1 2 1+b2 4 8 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|,即3= 2|x2-x1|.则9=(x1+x2)2-4x1x2= 4?1-b2? 4?1-2b2? 8b4 2 2 2- 2 = 2 2,解得 b= 2. ?1+b ? 1+b ?1+b ? 14.已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一 个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程; OP (2)若 P 为椭圆 C 上的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, OM=λ, 求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 解 ?a-c=1, (1) 设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a, c ,由已知得? 解得 ?a+c=7,

?a=4, ? 又∵b2=a2-c2,∴b= 7, ?c=3. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为16+ 7 =1. OP2 (2)设 M(x,y),其中 x∈[-4,4],由已知OM2=λ2 及点 P 在椭圆 C 上可得 9x2+112 =λ2,整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中 x∈[-4,4]. 16?x2+y2? 3 4 7 ①当 λ = 4 时,化简得 9y2 = 112 ,所以点 M 的轨迹方程为 y = ± 3 ( - 4≤x≤4).轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3 x2 y2 3 ②当 λ≠4时,方程变形为 112 + 112 =1,其中 x∈[-4,4].当 0<λ<4时, 2 16λ2-9 16λ

点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足-4≤x≤4 的部分; 3 当4<λ<1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足-4≤x≤4 的部分;当 λ≥1 时,点 M 的轨迹为中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆. x2 y2 3 15.设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为 3 ,过点 F 且与 x 轴垂直 4 3 的直线被椭圆截得的线段长为 3 . (1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 分别为椭圆的左、 右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, →· → +AD →· → =8,求 k 的值. D 两点.若AC DB CB c 3 解 (1)设 F(-c,0),由 = ,知 a= 3c.过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x= a 3 ?-c?2 y2 6b 2 6b 4 3 -c,代入椭圆方程有 a2 +b2=1,解得 y=± 3 ,于是 3 = 3 ,解得 b= 2,又 a2-c2=b2,从而 a= 3,c=1, x2 y2 所以椭圆的方程为 3 + 2 =1. (2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1),由 y=k?x+1?, ? ? 方程组?x2 y2 + =1 ? ?3 2 消去 y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.由根与系 3k2-6 6k2 , x x = ,因为 A(- 3,0),B( 3,0), 2+3k2 1 2 2+3k2

数的关系可得 x1+x2=-

→· → +AD →· → =(x + 3,y )· 所以AC DB CB ( 3-x1, 1 1 ( 3-x2,-y2)+(x2+ 3,y2)· - y1) = 6 - 2x1x2 - 2y1y2 = 6 - 2x1x2 - 2k2(x1 + 1)(x2 + 1) = 6 - (2 + 2k2)· x1x2 - 2k2+12 2k (x1+x2)-2k =6+ . 2+3k2
2 2

2k2+12 由已知得 6+ =8,解得 k=± 2. 2+3k2


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